2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《2.6对数与对数函数》

第六节 对数与对数函数

(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在化简运算中的作用.

(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.

(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.

(3)了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1).

1.对数的概念

(1)对数的定义:

一般地,如果① ax=N(a>0,且a≠1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记作②

x=logaN ,其中③ a 叫做对数的底数,④ N 叫做真数.

(2)几种常见的对数:

对数形式 特点 记法

一般对数 底数为a(a>0且a≠1) ⑤ logaN

常用对数 底数为10 ⑥ lg N

自然对数 底数为e ⑦ ln N

2.对数的性质与运算法则

(1)对数的性质:

𝑎log𝑎N=⑧ N ;logaaN=⑨ N .(a>0且a≠1)

(2)对数的重要公式:

换底公式:⑩ logbN =log𝑎Nlog𝑎b(a,b均大于0且不等于1);

相关结论:logab=1log𝑏a,logab·logbc·logcd= logad (a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).

(3)对数的运算法则:

如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么

loga(MN)= logaM+logaN ;

loga𝑀𝑁= logaM-logaN ;

logaMn= nlogaM (n∈R);

log𝑎𝑚Mn=𝑛𝑚logaM(m,n∈R,且m≠0).

3.对数函数的图象与性质

a>1 0

图象

性质 定义域:(0,+∞)

值域:R

图象恒过点(1,0),即x=1时,y=0

当x>1时,y>0;

当01时,y<0;

当00

是(0,+∞)上的增函数 是(0,+∞)上的减函数

▶提醒 当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0

第 1 页 共 4 页 高考数学一轮复习学案：2.6 对数与对数函数（含答案）

2.6对数与对数函数对数与对数函数最新考纲考情考向分析

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用

2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的对数函数的图象

3.体会对数函数是一类重要的函数模型

4.了解指数函数yaxa0，且a1与对数函数ylogaxa0，且a1互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择.填空题，中低档难度.1对数的概念一般地，如果axNa0，且a1，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数2对数的性质与运算法则1对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么logaMNlogaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaMnR2对数的性质logaNa__N__；logaaN__N__a0，且a13对数的换底公式logablogcblogcaa0，且a1；c0，且c1；b03对数函数的图象与性质ylogaxa100；当00且a1与对数函数ylogaxa0且a1互为反函数，它们的图象关于直线yx对称知识拓展1换底公式的两个重要结论1logab1logba；第 2 页 共 4 页 2logmnabnmlogab.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故00且a1在0，上是增函数3函数yln1x1x与yln1xln1x的定义域相同4对数函数ylogaxa0且a1的图象过定点1,0且过点a,1，1a，1，函数图象只在第

一.四象限题组二

【与名师对话】2021高考数学一轮温习 对数与对数函数课时作业 理（含解析）新人教A版

一、选择题

1．(2021·温州八校高三期初联考)以下函数中知足f(x＋1)>f(x)＋1的是( )

A．f(x)＝ln x B．f(x)＝ex

C．f(x)＝ex－x D．f(x)＝ex＋x

解析：代入选项验证知D正确，选D.

答案：D

2．(2021·济宁市高三模拟)设a＝，b＝logπ3，c＝(e为自然对数的底数)，那么a，b，c的大小关系是( )

A．a

解析：a＝>1,0b>c，选B.

答案：B

3．(2021·江西师大附中、鹰潭一中高三联考)已知函数f(x)＝ 2x，x<1fx－1，x≥1，那么f(log27)＝( )

解析：

答案：C

4．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，那么b－a的最小值为( )

A．2 D．1

解析：由题知函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，当f(x)＝0时，x＝1；当f(x)＝1时，x＝3或13，

因此要使值域为[0,1]，概念域能够为[x,3]13≤x≤1，13，x(1≤x<3)，

因此b－a的最小值为23，应选B.

答案：B5．设函数f(x)概念在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，那么有( )

A．f13

C．f12

解析：由f(2－x)＝f(x)得x＝1是函数f(x)的一条对称轴，

又x≥1时，f(x)＝lnx单调递增，

∴x<1时，函数单调递减．

∴f12

答案：C

6．设函数f(x)＝ log2x，x>0，log12 －x，x<0.若f(a)>f(－a)，那么实数a的取值范围是( )

A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)

1 / 3 2.6 对数与对数函数

典例精析

题型一 对数的运算

【例1】计算下列各题：

(1)2(lg2)2＋lg2•lg 5＋(lg2)2－lg 2＋1；

(2)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40.

【解析】

(1)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2lg 5＋(lg2－1)2

＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2＝1.

(2)原式＝lg2×58lg5040＝lg54lg54＝1.

【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形.

【变式训练1】已知log89＝a，log25＝b，用a，b表示lg 3为 .

【解析】由ba2 lg2 lg1,2 lg33 lg2⇒lg 3＝3a2＋2b.

题型二 对数函数性质的应用

【例2】设函数f(x)＝loga(x－2) (a＞0，且a≠1).

(1)求函数f(x)经过的定点坐标；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)解不等式log3(x－2)＜1.

【解析】(1)当x＝3时，loga1＝0恒成立，所以函数f(x)所经过的定点坐标为(3,0).

(2)当a＞1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递增函数；当0＜a＜1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递减函数.

(3)不等式log3(x－2)＜1等价于不等式组,32,02xx

解得2＜x＜5，所以原不等式的解集为(2,5).

【变式训练2】已知函数f(x)＝1,log,1,1)2(xxxxaa若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 .

【解析】要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f(x)＝(a－2)x－1在区间(－∞，1]上单调递增，则a－2＞0，即a＞2.若f(x)＝logax在区间(1，＋∞)上单调递增，则a＞1.另外要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须2 / 3 满足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a的取值范围为2＜a≤3.