数列通项公式习题精选精讲

习题精选精讲

数列通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法

一． 观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…（2）,17164,1093,542,211（3）,52,21,32,1（4）,54,43,32,21

解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110nna

（2）;122nnnan （3）;12nan （4）1)1(1nnann.点评：关键是找出各项与项数n的关系。

二、公式法

例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，

∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，

∴2213)2(qqbb=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1

例1. 等差数列na是递减数列，且432aaa=48，432aaa=12，则数列的通项公式是（ ）

(A) 122nan (B) 42nan (C) 122nan (D) 102nan

解析：设等差数列的公差位d，由已知12348)()(3333adaada，

解得243da，又na是递减数列， ∴ 2d，81a，∴ )2)(1(8nan102n，故选(D)。

例2. 已知等比数列na的首项11a，公比10q，设数列nb的通项为21nnnaab，求数列nb的通项公式。

解析：由题意，321nnnaab，又na是等比数列，公比为q

∴qaaaabbnnnnnn21321，故数列nb是等比数列，)1(211321qqqaqaaab，∴ )1()1(1qqqqqbnnn

点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、 叠加法

例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

解 易知,121naann∵,312aa ,523aa,734aa……,121naann

各式相加得)12(7531naan∴)(52Nnnan

点评：一般地，对于型如)(1nfaann类的通项公式，只要)()2()1(nfff能进行求和，则宜采用此方法求解。

例4. 若在数列na中，31a，naann1，求通项na。

解析：由naann1得naann1，所以11naann，221naann，…，112aa， 习题精选精讲

将以上各式相加得：1)2()1(1nnaan，又31a所以 na=32)1(nn

四、叠乘法

例4：在数列｛na｝中，1a =1, (n+1)·1na=n·na，求na的表达式。

解：由(n+1)·1na=n·na得11nnaann，1aan=12aa·23aa·34aa…1nnaa=nnn11433221 所以nan1

例4. 已知数列na中，311a，前n项和nS与na的关系是 nnannS)12( ，试求通项公式na。

解析：首先由nnannS)12(易求的递推公式：1232,)32()12(11nnaaanannnnn

5112521221aannaann将上面n—1个等式相乘得：

.)12(12(1)12)(12(357)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1nnannnnnnnnaann

点评：一般地，对于型如1na=f(n)·na类的通项公式，当)()2()1(nfff的值可以求得时，宜采用此方法。

五、Sn法利用1nnnSSa (n≥2)

例5：已知下列两数列}{na的前n项和sn的公式，求}{na的通项公式。（1）13nnSn。 （2）12nsn

解： （1）11111Sana=1nnSS=1)1()1()1(33nnnn=3232nn

此时，112Sa。∴na=3232nn为所求数列的通项公式。

（2）011sa，当2n时 12]1)1[()1(221nnnssannn

由于1a不适合于此等式 。 ∴)2(12)1(0nnnan

点评：要先分n=1和2n两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

六、待定系数法：

例6：设数列}{nc的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn

解：设1)1(nnbqdnac 132211121237242nnncabdqbqdabqdabqdaba

例6. 已知数列nc中，bbc11，bbcbcnn11，

其中b是与n无关的常数，且1b。求出用n和b表示的an的关系式。

解析：递推公式一定可表示为 习题精选精讲

)(1nncbc的形式。由待定系数法知：bbb1

)1(1,1,12122bbcbbbcbbbnn

故数列21bbcn是首项为112221bbbbc，公比为b的等比数列，故111121211222bbbcbbbbbbbcnnnnn

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{na为等差数列：则cbnan，cnbnsn2（b、ｃ为常数），若数列}{na为等比数列，则1nnAqa，)1,0(qAqAAqsnn。

七、辅助数列法

例7：已知数}{na的递推关系为121nnaa，且11a求通项na。

解：∵121nnaa ∴)1(211nnaa令1nnab则辅助数列}{nb是公比为2的等比数列

∴11nnqbb即nnnqaa2)1(111 ∴12nna

例5. 在数列na中，11a，22a，nnnaaa313212，求na。

解析：在nnnaaa313212两边减去1na，得)(31112nnnnaaaa

∴ nnaa1是以112aa为首项，以31为公比的等比数列，∴11)31(nnnaa，由累加法得

na=112211)()()(aaaaaaannnn =2)31(n3)31(n…11)31(=311)31(11n=1])31(1[431n= 1)31(4347n

例8： 已知数列｛na｝中11a且11nnnaaa（Nn），，求数列的通项公式。

解：∵11nnnaaa∴ 11111nnnnaaaa， 设nnab1，则11nnbb

故｛nb｝是以1111ab为首项，1为公差的等差数列 ∴nnbn)1(1 ∴nbann11

点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

1.形如)(1nfaann型

（1）若f(n)为常数,即：daann1,此时数列为等差数列，则na=dna)1(1. 习题精选精讲

（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.

方法如下： 由 )(1nfaann得：

2n时，)1(1nfaann，

)2(21nfaann，



)2(23faa

)1(12faa

所以各式相加得 )1()2()2()1(1ffnfnfaan

即：111)(nknkfaa.

为了书写方便，也可用横式来写：

 2n时，)1(1nfaann，

112211)()()(aaaaaaaannnnn

=1)1()2()2()1(affnfnf.

例 1. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足)2(3,1111naaannn,

证明213nna

证明：由已知得：故,311nnnaa

112211)()()(aaaaaaaannnnn

=.213133321nnn 213nna.

例2.已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式. 答案：12nn

例3.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.

答案：nan12 习题精选精讲

评注：已知aa1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例4.已知数列}{na中, 0na且)(21nnnanaS,求数列}{na的通项公式.

解:由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS,

化简有nSSnn212,由类型(1)有nSSn32212,

又11aS得11a,所以2)1(2nnSn,又0na,2)1(2nnsn,

则2)1(2)1(2nnnnan

此题也可以用数学归纳法来求解.

2.形如)(1nfaann型

（1）当f(n)为常数，即：qaann1（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，na=11nqa.