高考数学复习点拨：平面法向量的一种简单求法和在求角

法向量简便求法

在三维空间中，我们经常需要求解一个平面的法向量。平面的法向量是指垂直于该平面的向量，它的方向和大小都可以用来描述该平面的特征。在计算机图形学、物理学、机器人学等领域中，求解平面的法向量是一个非常常见的问题。本文将介绍一种简便的方法——以法向量简便求法。

以法向量简便求法的基本思想是：通过平面上的三个点，计算出两个向量，然后求出这两个向量的叉积，即可得到平面的法向量。这个方法的优点是简单易懂，计算量小，适用于大多数情况。

具体来说，以法向量简便求法的步骤如下：

1. 选取平面上的三个点A、B、C。

2. 计算向量AB和向量AC。

3. 求出向量AB和向量AC的叉积，即：

N = AB × AC

其中，N就是平面的法向量。

需要注意的是，向量的叉积满足右手法则，即如果将右手的四指从向量AB转向向量AC，那么大拇指所指的方向就是向量的叉积N的方向。

以法向量简便求法的优点在于，它不需要求解平面的方程，也不需要进行矩阵运算，计算量非常小。同时，这个方法也非常容易理解，即使没有深厚的数学基础，也可以轻松掌握。

需要注意的是，如果三个点A、B、C共线，那么向量AB和向量AC就会共线，此时无法求解平面的法向量。因此，在使用以法向量简便求法时，需要确保所选取的三个点不共线。

以法向量简便求法是一种简单易懂、计算量小的方法，适用于大多数情况。在实际应用中，我们可以通过这个方法快速求解平面的法向量，从而更好地描述和分析三维空间中的各种问题。

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1 / 3 领略立体几何中的向量方法

战前热身

立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了利用空间向量这个工具解决立体几何问题，

◆首先要解决如何利用向量把空间中的点、直线、平面的位置表示出来。

1．直线的方向向量：是指和这条直线平行（或共线）的向量.一条直线的方向向量有个。

2．平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量.一个平面的法向量有个，它们的关系是。

3．求法向量的步骤：（1）设出平面的法向量),,(zyxn；（2）找出平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(321321bbbbaaaa；（3）根据法向量的定义建立关于zyx,,的方程组00bnan；（4）解方程组，取其中的一个解，即得一个法向量。

4．利用向量确定点、直线、平面在空间中的位置：

（1）空间中的任意一点P，可以以一定点O作为基点，用向量来确定；

（2）空间中任意一条直线l，可以通过l上的一个定点A和l的一个方向向量a来确定，即直线l可以表示为atAP，其中P是l上任意一点；

（3）空间中任意一个平面，有两种向量表示形式：①通过上的一个定点O和两个不共线向量ba,来确定，即平面可以表示为：OP＝，其中P是上的任意一点；②通过上的一个定点O和的法向量a来确定，即平面可以表示为：0aOP，其中P为上的任意一点。

◆其次要解决如何结合运算，利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角。

设直线l，m的方向向量分别为),,(),,,(321321bbbbaaaa，平面,的法向量分别为),,(),,,(321321ddddcccc，则：

（1）线线平行 bkabaml//// ；

线面平行 0//cacal ；

面面平行 // 。

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1 / 4 高二数学向量法求空间角

宁明镜

确定空间角的大小是立体几何中一类重要题型，也是历年高考数学试题考查的重点。本文通过一些典型X例，介绍用空间向量确定空间角大小的基本方法。

一、确定异面直线所成的角

方法要点：设异面直线1l、2l所成的角为，ba、分别是21ll、的方向向量，则||b||a|ba||b,acos|cos。

例1. （2007年卷）如图1，在AOBRt中，6OAB，斜边AB=4。AOCRt可以通过AOBRt以直线AO为轴旋转得到，且二面角CAOB是直角二面角，D是AC中点。

（I）求证：平面COD平面AOB；

（II）求异面直线AO与CD所成角的大小。

解：（I）证明：略。

（II）以O为原点，OC、OB、OA分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系xyzO，则O（0，0，0），A（0，0，32），C（2，0，0），D（0，1，3），所以)3,1,2(CD),32,0,0(OA，设异面直线AO与CD所成的角为，则

462326||CD|OA|CDOA||CD,OAcos|cos。

所以异面直线AO与CD所成角的大小为46arccos。

二、确定直线与平面所成的角

方法要点：如图2，直线l与平面成角，a是直线l的方向向量，b平面的一个法向量，则||b||a|ba||b,acos|sin

例2. （2007年全国卷I）如图3，四棱锥ABCDS中，底面ABCD为平行四边形，侧word

2 / 4 面SBC底面ABCD。已知∠ABC=45°，AB=2，3SBSA,22BC。

（I）证明BCSA；

（II）求直线SD与平面SAB所成角的大小。

解：（I）证明：（略）

（II）作,BCSO垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD。所以OBSO,OASO。又因为SA=SB，所以AO=BO，即AOB为等腰三角形，又∠ABC=45°，从而OBAO。

高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面面角

时间过的飞快，距离高考的时间就只剩76天了，同学和老师也越来越紧张了，有些地方欠缺的同学开始寝食难安，老师也赶快奉献点干货来帮助几何证明欠缺的学生。

立体几何其实难度不大，只要你会空间向量，会建系，一切就自然而然水到渠成了。在这先分析这些立体几何的解题思路。

在立体几何中，第一问一般会让你证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直

1、证明线面平行的方法1、平移的方法，找到直线与平面内一条直线平行

2、利用面面平行、证明线面平行

2、证明线面垂直的方法1、证明直线与平面内相交的两直线垂直

3、证明面面平行的方法1、证明一个平面内两相交的直线与另一个平面内两相交的直线 互相平行

2、证明平面内两相交的直线分别平行另一个平面

4、证明面面垂直的方法1、先证明一条直线垂直于一个平面，这条直线还在另一个平面 内

利用这些方法第一问就可以轻松解决了。

在立体几何第二中，会求线面角、面面角，在第二步中，利用空间向量解决就可以

利用空间向量解决第二问的步骤1、找三垂，建立空间直角坐标系

2、写出各个点的坐标

3、求出直线向量、面的法向量

4、利用夹角公式算出余弦值 下面通过两个例题说明一下这个空间几何