当前位置：文档之家 › 高一数学必修一函数的应用知识点总结

高一数学必修一函数的应用知识点总结

  • 格式：doc
  • 大小：487.50 KB
  • 文档页数：7

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。

2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．

3、函数零点的求法：

○1 （代数法）求方程0)(xf的实数根；

○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、基本初等函数的零点：

①正比例函数(0)ykxk仅有一个零点。

②反比例函数(0)kykx没有零点。

③一次函数(0)ykxbk仅有一个零点。

④二次函数)0(2acbxaxy．

（1）△＞０，方程20(0)axbxca有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程20(0)axbxca有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程20(0)axbxca无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

⑤指数函数(0,1)xyaaa且没有零点。

⑥对数函数log(0,1)ayxaa且仅有一个零点1.

⑦幂函数yx，当0n时，仅有一个零点0，当0n时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成0fx，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,yy（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。

6、选择题判断区间,ab上是否含有零点，只需满足0fafb。

试判断方程在区间01224xxx[0,2]内是否有实数解？并说明理由。

7、确定零点在某区间,ab个数是唯一的条件是:①fx在区间上连续，且0fafb②在区间,ab上单调。

求函数2)1lg(2)(xxfx的零点个数。

8、函数零点的性质：

从“数”的角度看：即是使0)(xf的实数；

从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标；

若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相切，则零点0x通常称为不变号零点；

若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相交，则零点0x通常称为变号零点．

一元二次方程根的分布讨论

一元二次方程根的分布的基本类型

设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x，2x，且21xx.

k为常数，则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）或根在区间上的分布主要有以下基本类型：

表一：（两根与0的大小比较）

分布情况 两个负根即两根都小于0

120,0xx 两个正根即两根都大于0

120,0xx 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120xx

大致图象（0a）

得出的结论 00200baf 00200baf 00f 大致图象（0a）

得出的结论 00200baf 00200baf 00f

综合结论 （不讨论a） 00200baaf 00200baaf 00fa

表二：（两根与k的大小比较）

分布情况 两根都小于k即

kxkx21, 两根都大于k即

kxkx21, 一个根小于k，一个大于k即12xkx

大致图象（0a）

得出的结论 020bkafk 020bkafk 0kf kkk大致图象（0a）

得出的结论 020bkafk 020bkafk 0kf

综合结论 （不讨论）020bkaafk 020bkaafk 0kfa

表三：（根在区间上的分布）

分布情况 两根都在nm,内 两根有且仅有一根在nm,内（有两种情况，只画了一种） 一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm

大致图象（0a）

得出的结论 0002fmfnbmna 0nfmf 0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq 大致图象（0a）

得出的结论 0002fmfnbmna 0nfmf 0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq

综合结论（不讨论）—————— 0nfmf 00qfpfnfmf

（1）关于x的方程0142)3(22mxmx有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围？

（2）关于x的方程0142)3(22mxmx有两实根在[0,4]内，求m的取值范围？

（3）关于x的方程0142)3(22mxmmx有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围？

9、二分法的定义

对于在区间[a，]b上连续不断，且满足()()0fafb的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

10、给定精确度ε，用二分法求函数()fx零点近似值的步骤：

（1）确定区间[a，]b，验证()()fafb0，给定精度；

（2）求区间(a，)b的中点1x；

（3）计算1()fx：

①若1()fx=0，则1x就是函数的零点；

②若()fa1()fx<0，则令b=1x（此时零点01(,)xax）；

③若1()fx()fb<0，则令a=1x（此时零点01(,)xxb）；

（4）判断是否达到精度；即若||ab，则得到零点值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）．

11、二分法的条件()fa·()fb0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序：

① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；

④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

13、函数的模型

检验 收集数据

画散点图

选择函数模型

求函数模型

用函数模型解释实际问题 符合实际 不符合实际

14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：

一次函数模型：()(0);fxkxbk

二次函数模型：2()(0);gxaxbxca

幂函数模型：12()(0);hxaxba

指数函数模型：()xlxabc（0,ab＞0，1b）

利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型

合集下载

高一数学知识点总结

高一数学知识点总结

高一数学知识点总结

高一上册数学必修一知识点梳理

函数的性质

函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质;

(2)图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

(1)任取x1，x2∈D，且x1

(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商

(3)变形(通常是因式分解和配方); (4)定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

(2)奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

高一数学必修五知识点总结

1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想;

高一函数 知识点大全

高一函数 知识点大全

高一函数 知识点大全

一、函数的定义

函数是一种数学操作，它将输入值（或参数）映射到输出值（或结果）。函数的定义通常包括函数名称、参数列表和函数体。在高一阶段，我们将学习一些基本的函数，如一次函数、二次函数、幂函数和对数函数等。

二、函数的表示方法

函数的表示方法有三种：符号表示法、列表表示法和图像表示法。符号表示法是用函数名称和参数列表来表示函数，例如y = 2x + 1；列表表示法是将输入值和对应的输出值列成一个表格；图像表示法是通过绘制函数的图像来表示函数的关系。

三、函数的性质

函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。奇偶性是指函数是否具有奇偶性；单调性是指函数在某个区间内是单调递增或单调递减；周期性是指函数是否存在周期性；对称性是指函数是否具有对称性。 四、函数的运算

函数的运算包括函数的加减乘除、复合运算和反函数运算等。函数的加减乘除是指将两个或多个函数进行加、减、乘、除运算；复合运算是指将多个函数嵌套在一起，形成一个复合函数；反函数运算是指将一个函数转换为其反函数。

五、函数的图像

函数的图像是用来描述函数变化的直观工具。在绘制函数的图像时，我们需要先确定函数的定义域和值域，然后根据函数的表达式绘制出对应的图像。同时，我们还需要掌握一些常见的图像变换方法，如平移、伸缩和对称变换等。

六、函数的实际应用

高一函数知识点还包括一些实际应用，如利用函数解决实际问题、利用函数进行数据分析等。在实际问题中，我们需要根据问题的具体情境来选择合适的函数和数学模型进行解决。我们还需要掌握一些数据处理和分析的方法，如回归分析、聚类分析等。

高一函数知识点是数学学习的重要内容之一。通过学习和掌握这些知识点，我们可以更好地理解函数的本质和特点，为后续的学习和实际应用打下坚实的基础。

高一函数知识点总结

函数是数学的重要概念，是高中数学的核心内容。在初中数学中，函数通常被视为变量之间的依赖关系，而高中的函数则更加强调映射的概念。下面将对高一函数的知识点进行总结。

高一函数知识点总结凸凹性

高一函数知识点总结凸凹性

高一函数知识点总结凸凹性

函数是数学中一个非常重要的概念，也是高中数学的一大重点内容。在高一数学学习中，学生需要学习函数的基本概念和运算，其中凸凹性是函数研究中的一个重要内容。下面，我将对高一函数中的凸凹性进行一些总结。

一、函数的凸凹性概念

在函数研究中，凸凹性是用来描述函数曲线的形状的一个重要性质。凹函数是指对于函数的定义域上的任意两个点，函数曲线上连接这两个点的弓形线段位于函数曲线的下方或与曲线重合。而凸函数则相反，表示连接这两个点的弓形线段位于函数曲线的上方或与曲线重合。

二、凹函数的判定方法

在高一数学中，可以使用一阶导数的性质来判定函数的凹凸性。具体而言，如果函数的二阶导数在定义域上恒大于零，则表示该函数为凹函数；如果函数的二阶导数在定义域上恒小于零，则表示该函数为凸函数。

三、凹函数的性质和应用

1. 凹函数的性质：

a. 凹函数在定义域上任意两点间的连线位于函数曲线的下方或与曲线重合。

b. 凹函数的切线位于曲线上方。 c. 凹函数的二阶导数恒大于零。

d. 凹函数在凸区间内恒递增。

2. 凹函数的应用：

a. 在经济学中，凹函数可以描述边际效应递减的现象，比如边际产出递减。

b. 在凸优化问题中，凹函数是一类重要的可行函数，具有较好的性质。

四、凸函数的判定方法

凸函数的判定方法与凹函数类似，也可以使用二阶导数的性质来进行判定。如果函数的二阶导数在定义域上恒小于零，则表示该函数为凸函数；如果函数的二阶导数在定义域上恒大于零，则表示该函数为凹函数。

凸函数的性质和应用与凹函数的性质和应用相反。具体而言，凸函数在定义域上任意两点间的连线位于函数曲线的上方或与曲线重合，切线位于曲线下方，二阶导数恒小于零，在凸区间上恒递增。凸函数在数学和工程学中都有广泛的应用，如优化问题、凸包算法等。

综上所述，函数的凸凹性是高一数学中一个重要的知识点。凹函数在定义域上连线位于函数曲线的下方，凸函数则相反。可以通过二阶导数的正负性来判断函数的凹凸性，并且凹凸函数有着一系列的性质和应用。通过理解凸凹性的概念和判定方法，能够帮助我们更好地理解和应用函数这一数学工具。通过不断学习和练习，相信大家能够熟练掌握函数的凸凹性知识，为日后的数学学习打下坚实的基础。

高一数学必修一知识点总结归纳(6篇)

高一数学必修一知识点总结归纳(6篇)

高一数学必修一知识点总结归纳1

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

高一数学必修一知识点总结归纳2

对数函数 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。