专题十五不等式选讲第三十五讲不等式选讲答案 十年高考数学(文科)真题题型分类汇编

专题十五 不等式选讲

第三十五讲 不等式选讲

答案部分

2019年

1.解：（1）当a=1时，()=|1| +|2|(1)fxxxxx.

当1x时，2()2(1)0fxx；当1x时，()0fx.

所以，不等式()0fx的解集为(,1).

（2）因为()=0fa，所以1a.

当1a，(,1)x时，()=() +(2)()=2()(1)<0fxaxxxxaaxx.

所以，a的取值范围是[1,).

2.解析 （1）因为2222222,2,2ababbcbccaac，又1abc，故有

222111abbccaabcabbccaabcabc.

所以222111abcabc.

（2）因为, , abc为正数且1abc，故有

3333333()()()3()()()abbccaabbcac

=3(+)(+)(+)abbcac

3(2)(2)(2)abbcac

=24.

所以333()()()24abbcca.

3.解析（1）由于2[(1)(1)(1)]xyz

222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]xyzxyyzzx

2223(1)(1)(1)xyz，

故由已知得2224(1)(1)(1)3xyz， 当且仅当x=53，y=–13，13z时等号成立．

所以222(1)(1)(1)xyz的最小值为43.

（2）由于2[(2)(1)()]xyza

222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]xyzaxyyzazax

2223(2)(1)()xyza„，

故由已知2222(2)(2)(1)()3axyza…，

当且仅当43ax，13ay，223az时等号成立．

因此222(2)(1)()xyza的最小值为2(2)3a．

由题设知2(2)133a…，解得3a„或1a…．

2010-2018年

1．【解析】(1)当1a时，()|1||1|fxxx，即2,1,()2,11,2,1.≤≥xfxxxx

故不等式()1fx的解集为1{|}2xx．

(2)当(0,1)x时|1||1|xaxx成立等价于当(0,1)x时|1|1ax成立．

若0≤a，则当(0,1)x时|1|1≥ax；

若0a，|1|1ax的解集为20xa，所以21≥a，故02≤a．

综上，a的取值范围为(0,2]．

2．【解析】(1)当1a时，24,1,()2,12,26,2.≤≤xxfxxxx

可得()0≥fx的解集为{|23}≤≤xx． (2)()1≤fx等价于|||2|4≥xax．

而|||2||2|≥xaxa，且当2x时等号成立．故()1≤fx等价于|2|4≥a．

由|2|4≥a可得6≤a或2≥a，所以a的取值范围是(,6][2,)．

3．【解析】(1)13,,21()2,1,23,1.xxfxxxxx≤≥

()yfx的图像如图所示．

(2)由(1)知，()yfx的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()fxaxb≤在[0,)成立，因此ab的最小值为5．

4．D．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)xyzxyz≥．

因为22=6xyz，所以2224xyz≥，

当且仅当122xyz时，不等式取等号，此时244333xyz，，，

所以222xyz的最小值为4．

5．【解析】（1）当1a时，不等式()()fxgx≥等价于

2|1||1|40xxxx≤．① 当1x时，①式化为2340xx≤，无解；

当11x≤≤时，①式化为220xx≤，从而11x≤≤；

当1x时，①式化为240xx≤，从而11712x≤．

所以()()fxgx≥的解集为117{|1}2xx≤．

（2）当[1,1]x时，()2gx．

所以()()fxgx≥的解集包含[1,1]，等价于当[1,1]x时()2fx≥．

又()fx在[1,1]的最小值必为(1)f与(1)f之一，

所以(1)2f≥且(1)2f≥，得11a≤≤．

所以a的取值范围为[1,1]．

6．【解析】（1）556556()()ababaababb

3323344()2()abababab

2224()abab

4≥

（2）∵33223()33abaababb

23()abab

23()2()4abab≤

33()24ab，

所以3()8ab≤，因此2ab≤．

7．【解析】（1）3,1()21,123,2xfxxxx≤≤， 当1x时，fx1≥无解；

当x12≤≤时，由fx1≥得，x211≥，解得x12≤≤

当＞2x时，由fx1≥解得＞2x．

所以fx1≥的解集为xx1≥．

（2）由fxxxm2≥得mxxxx212≤，而

xxxxxxxx2212+1+2≤

x2355=--+244≤

且当32x时，2512=4xxxx．

故m的取值范围为5-，4．

8．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()acbdabcd≤，

因为22224,16,abcd

所以2()64acbd≤，

因此8acbd≤.

9．【解析】(1)如图所示：

(2) 4133212342xxfxxxxx，≤，，≥，1fx． 当1x≤，41x，解得5x或3x，1x∴≤．

当312x，321x，解得1x或13x，

113x∴或312x，

当32x≥，41x，解得5x或3x，332x∴≤或5x，

综上，13x或13x或5x，

1fx∴，解集为11353，，，．

10．【解析】（I）当12x时，11222fxxxx，若112x；

当1122x≤≤时，111222fxxx恒成立；

当12x时，2fxx，若2fx，112x<．

综上可得，|11Mxx．

（Ⅱ）当11ab，，时，有22110ab，

即22221abab，

则2222212ababaabb，

则221abab，

即1abab，

证毕．

11．【解析】（Ⅰ）当2a时，()|22|2fxx.

解不等式|22|26x„，得13x剟.

因此，()6fx的解集为{|13}xx剟.

（Ⅱ）当xR时，()()|2||12|fxgxxaax

|212|xaxa…|1|aa，当12x时等号成立，

所以当xR时，()()3fxgx…等价于|1|3aa…. ①

当1a„时，①等价于13aa…，无解.

当1a时，①等价于13aa…，解得2a….

所以a的取值范围是[2,). 12．【解析】（Ⅰ）当1a时，不等式()1fx化为|1|2|1|10xx，

当1x≤时，不等式化为40x，无解；

当11x时，不等式化为320x，解得213x；

当1x≥时，不等式化为20x，解得12x≤．

所以()1fx的解集为2{|2}3xx．

（Ⅱ）有题设可得，12,1()312,112,xaxfxxaxaxaxa≤≤，所以函数()fx图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3aABaCaa，ABC的面积为22(1)3a．有题设得22(1)63a，故2a．所以a的取值范围为(2,)．

13．【解析】（Ⅰ）∵2()2ababab，2()2cdcdcd，

由题设abcd，abcd得22()()abcd．

因此abcd．

（Ⅱ）（ⅰ）若||||abcd，则22()()abcd，

即22()4()4ababcdcd．

因为abcd，所以abcd，由（Ⅰ）得abcd．

（ⅱ）若abcd， 则22()()abcd，

即22ababcdcd．

因为abcd+=+，所以abcd>，

于是2222()()4()4()abababcdcdcd．

因此||||abcd，

综上abcd是||||abcd的充要条件．

14．【解析】（I）由112ababab，得2ab，且当2ab时取等号． 故33ab33242ab，且当2ab时取等号．

所以33ab的最小值为42．

（II）由（I）知，232643abab．由于436，从而不存在,ab，

使得236ab．

15．【解析】（I）由0a，有()fx111()2xxaxxaaaaa．

所以()fx≥2.

（Ⅱ）1(3)33faa.

当时a＞3时，(3)f=1aa，由(3)f＜5得3＜a＜5212．

当0＜a≤3时，(3)f=16aa，由(3)f＜5得152＜a≤3．

综上，a的取值范围是（152，5212）．

16．【解析】(Ⅰ)当a=2时，不等式()fx＜()gx化为|21||22|30xxx，

设函数y=|21||22|3xxx，y=15, 212, 1236, 1xxxxxx，

其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x时，y＜0，

yx2112