《函数的单调性与导数》参考教案

变式 3：求函数 f(x)=√x-ln(x+1)的单调增区间. 针对学生易错点：忽视使导数为零的点的讨论而造 成解题不完整而设计的．还是首先让学生自己解决，交 流解题方法． 很多学生会出现错误答案：单调增区间为(0,1)和 (1,+∞) 为了说明问题，把问题特殊化．提出新的问题：我 们通过函数图像或利用函数单调性的定义已经证实了 函数 y=x3 在 R 上为单调增函数，请同学们利用导数再 探求该函数的单调区间，看有什么发现． 部分同学得到单调增区间是(-∞,0),(0,+∞)，这 与以前学习的结论出现矛盾，怎样解决呢？ 再思考问题：我们已证明了反比例函数 y=1x 的单 调性，请同学们利用导数再探求该函数的单调区间，看 有什么发现．
一步熟练导数研究单调性的方法，规范解题格式步骤； 其次，三个导函数题都与二次函数有关，且用到指数函 数的性质，进一步强化二次不等式的解法和指数函数性 质，让学生体会导数问题的综合性．再次，第 3 题中设 置了参数 a，在此不需单独讨论，但在老师的追问下， 有些学生已经意识到有时要对 a 进行讨论，为下面针对 参数的分类讨论埋下伏笔．
解：若函数在上是增函数， 则大于或等于零在上恒成立 恒成立，解得实数的取值范围为[2，4]. 针对变式 4 中学生出现的两种思路，教师再提出问 题：请同学们思考下面这个问题： 变式 5、（1）若函数的单调递减区间为（）求实 数的取值范围． （2）若函数的在区间（）上单调递减，求实数的 取值范围． 我的思考：“单调递减区间为（）”与“在区间（） 上单调递减”是两个截然不同的问题情境．设计这个变 式题组，一是让学生辨析这两种不同叙述的含义，二是 对变式 4 两种思路的进一步明晰． 学生独立思考，然后进行生生交流，最后统一答案． （1）解：令导数，即，再讨论的符号， 当>0 时，解得， 所以函数的单调减区间为， 函数的减区间为（），则（）， 所以，即； 当 a=0 时，函数的导数恒成立． 所以 a=0 时函数不存在单调减区间； 当时，函数的导数总成立．

函数的单调性与导数教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】黑暗中，你是怎样通过远处汽车自身的灯光判断该车是上坡还是下坡的？(二)、探究新知，揭示概念探究1．问题：图1.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．探究2．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图1.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．猜想：导数与函数的单调性有什么联系呢？在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增； 在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．（三）、分析归纳，抽象概括 函数的单调性与导数的关系曲线 切线斜率k >0 上升函数()y f x = ()0f x '> ？ 递增()x I ∈在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增； 如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．（2）“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优先”． （四）、知识应用，深化理解例1．已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+7 2.f (x )=x1+2x3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈4. y=xlnx（五）、归纳小结、布置作业。

高中数学《函数的单调性与导数》公开课优秀教学设计教学设计普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1（人教A版）（第一课时）函数的单调性与导数《函数的单调性与导数》教学设计课题:函数的单调性与导数教材:人教A版《数学》选修1-1 课时:1课时教材分析:函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容. 《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.函数的单调性是函数的重要性质之一.在必修一中学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.在前几节课中，学生学习了平均变化率，瞬时变化率，导数的定义和几何意义等内容，在本节课中，学生将要在此基础上学习通过导数来研究函数的单调性，掌握研究函数单调性的更一般方法，进而为后面学习函数的极值，最值等作出知识铺垫，打下能力基础，进行方法指导，因此，本节课可以起到承上启下，完善建构，拓展提升的作用. 学生学情分析:课堂学生为高二年级的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性.教学目标:结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系：能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.难点：探索并了解函数的单调性与导数的关系.借助几何直观，通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系；理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的单调区间；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学发展的一般规律. 教学策略分析:根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索函数的单调性与导数的关系；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象.本节课的教学设计也是围绕这些目标，让学生自主探究，充分参与课堂，并从中体会学习的成功和快乐.本节课时学习过导数的概念和运算后，首次运用导数解决函数相关问题的一节课，如何激发学生的兴趣，使其探索和运用新的工具即导数解决单调性问题是本节课的关键，利用手边胡工具，更好的分析这个过程，运用信息技术确认加深理解.充分利用学生已有的基础，分析原函数的单调性与导数正负之间的关系，本着由形到数，由数到形，数形结合的思想. （一）创设情境，引发冲突.师：在北方，进入十月，就能感觉到阵阵寒意，今天我们就从一个气温的实际问题开始数学之旅.师：我市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示，从2时到5时的C随C与时间 t可近似的用函数 C(t)?t?4lnt?1拟合，气温问：这段气温t的变化趋势如何？时间回答这个问题，我们需要了解这个函数的什么性质？生：函数的单调性.师：如何判断这个函数的单调性呢？生：画图象，用定义.师：有的同学说画图象，有的说用单调性的定义，我们动手来做一下吧生：动手操作.师：选择画图的同学们，可以画出图象么？生：不可以.师：哪位同学来说一下如何用单调性的定义来解决. 生：在区间2到5上，任意选取 t1，t2且 t1?t2，我们需要判断 C(t1)?C(t2)的符号，师：可以判断么？生：不可以.师：好，请坐，也就是我们已有的方法都遇到了困难，如何解决这个单调性问题呢？设计意图：通过学生熟悉的生活情景，激发学生迫切知晓函数单调性的欲望，尝试运用所学知识解决非初等函数的单调性，引发学生的认知冲突，思考如何将未知化为已知，激发了学生主动学习新知识的热情. （二）回归定义，寻求方法.师：追本溯源，我们重新回到定义.请一位同学回答单调性的定义.(a,b)内，满足对于任意的 x1,x2?(a,b)生:在函数f(x)的定义域内的某区f(x1)?f(x2)，是增函数. 且 x1?x2，都有师：很好，也就是我们要需要判断 f(x 1)?f(x2)的符号，我们把这个形式变形，判断生：大于0.师：即函数值的改变量与自变量改变量的比值: 生：大于0师：函数f(x)在区间 (a,b)内是减函数，满足对于任意的 x1,x2?(a,b)且 x1?x2，都有 f(x1)?f(x2)，也就是 f(x2)?f(x1)x2?x1生：小于0.即函数值的改变量与自变量改变量的比值:f(x2)?f(x1)x2?x1的符号，结果为:生：小于0.师：我们发现，函数的单调性与这样一个比值的符号相关，在本章的学习中，我们知道这叫做---- 生：函数的平均变化率.师：我们运用无限趋近于的方式，可以由平均变化率得到瞬时变化率，反过来，瞬时变化率可以刻画函数在该点附近的变化情况，我们知道瞬时变化率，即---- 生：导数.师：非常棒！我们这节课就试着用导数来研究函数的单调性. 板书：3.3.1函数的单调性与导数. 设计意图：注意到知识的联系，尝试在学生原有认知的基础上建立新知，通过回顾函数单调性的定义，将其形式改变，联想平均变化率，运用无限趋近于的方式，得到瞬时变化率，即导数，引发学生思考导数与单调性的关系，这个过程由浅入深，层层深入，合乎学生的逻辑思维. （三）观察发现，探索规律.师：要研究函数的单调性与导数的关系，我们来观察，函数单调递增时，平均变化率大于0，函数单调递减时，平均变化率小于0，那么，导数的符号是否与函数的单调性有关呢？师：我们从最熟悉的函数开始研究，我们都学过哪些基本初等函数呢？生：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数.师：对于这些函数，我们都是通过函数的形，也就画出图像的方式来研究，同样的，导数的形，也就是导数的几何意义是什么呢？生：函数的图像在该点处切线的斜率.师：根据导数的几何意义，我们一起来看研究的方法.师：给出函数的图像，指出其单调区间，用牙签靠近图像，使其作为该点处的切线，移动牙签，观察斜率即导数的正负情况.师：拿出坐标纸，作出你研究的函数图像，利用牙签，得出结论，并填写下面的表格.师：可以进行讨论，到前面展示你的结果.师：我们一起来看同学们的展示，可以得到什么结论呢？生：导数为负数时函数单调递减，导数为正数时单调递增.师：熟悉的初等函数，得到这样的结论，数学来源于生活，我们再来看生活中的例子:t变化的函数，来研究运动员运动状态的给出高台跳水运动员的高 h随时间变化情况.生：可以画出这个二次函数的图像，得到高度的变化情况，从(0,a)时刻，高度上升，(a,b)时刻高度下降.师：也就是高度函数先单调递增，而后单调递减，运动状态除了高度，还有速度，我们进一步研究.师：给出导函数即速度函数的图像，有什么结论？生：导函数即速度图像在x轴的上方时高度函数单调递增，导函数图像在x轴下方时函数单调递减. 设计意图：从基本初等函数入手，让学生动手操作，通过观察、归纳，提炼，激发学生的自主探究欲望.让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联系.培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识，从而培养学生的探究意识和探究能力.引导学生从形的角度来验证，降低了学生的思维难度，又能体会导数研究单调性的一般性.生活实例高台跳水是我们从导数概念就开始使用，把抽象的概念与物理背景结合，能迅速的突破难点，高度函数的单调性与速度函数的关系,再次确认了结论. （四）结论总结，揭示本质.师：我们一起来总结一下函数的单调性与导数的关系. 一般地，函数y?f(x)在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f?(x)>0，那么y?f(x) 在这个区间(a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f?(x)<0，那么 y?f(x)在这个区间(a,b)内单调递减.导函数值的正负与单调性之间存在这样的关系，这个结论也印证了我们本节课一开始的思考和分析. 若恒有f?(x)=0呢？思考一下板书：结论内容师：有结果了么？生：常函数. 设计意图：由观察、猜想到归纳、总结，让学生体会知识的发现的过程，使学生的思维、行动积极主动地参与课堂教学.从猜想到验证的发现过程，使自主探究成为学生的一种学习习惯. （五）自主分析，多维验证.师：这里我们分析了我们熟悉的函数，其他的函数呢？我们不妨来分析一下我们遇到困难的函数f(x).师：运用我们探究出的结论，求出函数f(x)的单调区间，如何运用导数知识来解决呢？生：先给出定义域，求出导函数，导函数大于0的部分为增区间，小于0的部分为减区间.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

导数与函数的单调性教案教案标题：导数与函数的单调性教案目标：1. 理解导数的概念和计算方法；2. 掌握函数单调性的判定方法；3. 能够运用导数判定函数的单调性。

教学准备：1. 教师准备：黑板、白板笔、教学课件；2. 学生准备：教材、笔记本。

教学步骤：Step 1：导入与导入（5分钟）引导学生回顾函数的单调性概念，并提问：如何判断一个函数的单调性？引出导数与函数单调性的关系。

Step 2：导数的定义（10分钟）1. 讲解导数的定义：导数表示函数在某一点的变化率，是函数的斜率。

2. 通过几个简单的例子，帮助学生理解导数的计算方法。

Step 3：导数与函数的单调性（15分钟）1. 解释导数与函数单调性的关系：若函数在某一区间上导数恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若导数恒小于零，则函数在该区间上单调递减。

2. 通过具体的例子，演示如何通过导数判断函数的单调性。

Step 4：练习与巩固（15分钟）1. 给学生分发练习题，让他们运用导数的知识判断函数的单调性。

2. 针对练习题，进行讲解和答疑。

Step 5：拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考如何利用导数求函数的极值点。

2. 通过实际问题，让学生应用导数和函数单调性的知识解决实际问题。

Step 6：总结与反思（5分钟）1. 总结导数与函数单调性的关系；2. 学生对本节课的掌握情况进行反馈。

教学延伸：1. 学生可以通过更多的练习题来巩固导数与函数单调性的知识；2. 学生可以尝试使用导数求函数的极值点。

教学评估：1. 课堂练习题的完成情况；2. 学生对导数和函数单调性的理解程度；3. 学生在应用导数和函数单调性解决实际问题时的表现。

教学反思：1. 教师可以根据学生的实际情况，调整教学内容和难度；2. 教师可以通过更多的案例和实际问题，帮助学生深入理解导数和函数单调性的概念。