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《圆有关的最值问题》专题

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1圆有关的最值问题一、求解方法：1．根据“三角形三边关系”求解：

abcab2．动中有静，抓住不变量求解．

3．旋转必产生圆，很多情况在相切位置产生最值．

4．四点共圆（补充）．

五个基本判断方法：(1)若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．

(2)若一个四边形的一组对角互补（和为180。），则这个四边形的四个点共圆．

(3)若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆．

(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，

那么这两个点和这条线的两个端点共圆．(5)同斜边的直角三角形的顶点共圆，

二、解题策略1．直观感觉，画出图形；

2．特殊位置，比较结果；

3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量

（常量）之间的关系，建立等式，进行转化．2

三、中考展望与题型训练例一、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内的一个动点，且AD＝2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是．

例二、正弦定理2．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为．

3．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．例三、不等式、配方法4．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？3

5．如图，线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）

A．4B．C．D．26．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．则线段AB的最小值是．

例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是____

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是．4

9．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3D．2

【题型训练】10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°＜a＜360°），连结AC′、BD′，设直线AC′与直线BD′相交于点F，则点F的纵坐标的最大值为．

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（）A．4B．C．D．

12．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）5

A．4.75B．4.8C．5D．413．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D是BC的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为____

14．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．D．

15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（）A．3B．C．D．4

16．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为（）6

A．B．2C．3D．417．如图，∠BAC＝60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为．

18．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP＝2，点B是直线y＝x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan∠ABP＝m，则m的取值范围是．

19．在平面直角坐标系中，M（6，8），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（﹣2，0）、B（2，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，圆A和圆B相切于点D，且分别交线段AC，BC于点E，F．则阴影部分（在△ABC内，且在两圆外）面积的最大值是____．7

21．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（）

A．2﹣2B．C．D．22．如图，平面直角坐标系中，分别以点M（2，3）、N（3，﹣5）为圆心，以1、2为半径作⊙M、⊙N，A、B分别是⊙M、⊙N上的动点，P为y轴上的动点，则PA+PB的最小值等于．

23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，1+m），C（0，1﹣m）（m＞0），点P在以D（﹣4，﹣2）为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则m的取值范围是．24．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D是弧ACB上的一个动点（不与点A、B重合）．连接BD．过点A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若⊙O的半径为2cm，则CE长的最小值为cm．8

25．在平面直角坐标系中，点A是直线y＝x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（）A．B．C．3D．26．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是（）

A．2B．3C．4D．527．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为．

28．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为cm．29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是．9

30．已知条件如图所示，点D是AC上动点，求弦EF长度的最小值．31．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′，如图，连接A′C，则A′C长度的最小值是．

32．在平面直角坐标系中，以点A(10，8)为圆心的⊙A与y轴相切。点B(0，16)，点C是⊙A上任意一点，点M是线段BC的中点，求线段OM的取值范围．10

答案与解析1．【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB＝＝＝5，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE＝AB＝．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME＝AD＝1．

∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤．故答案是：≤CM≤．

2．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝2OE•sin∠EOH＝2OE•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周

角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH，即可求出答案．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°，

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微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题

微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题


12－

32
2

∴ 82＋|8a（－－3|6）2＝12，
又∵M(a，0)在l的下方，∴8a－3＞0，∴8a－3＝5，a＝1. 故圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
10
(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2(k1＞k2)，则直线AC的方程为y＝k1x ＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6. 由方程组yy＝＝kk12xx＋＋tt，＋6， 得 C 点的横坐标为 x0＝k1－6 k2. ∵AB＝t＋6－t＝6， ∴S＝12k1－6 k2×6＝k11－8k2.
的弦长为 3，且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程； (2)设 A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆 M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.
9
解 (1)设圆心 M(a，0)，由已知得圆心 M 到 l：8x－6y－3＝0 的距离为 ＝12，
23
解 (1)连接OP，OA，OB，因为PA，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB. 因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2. 设点 P 的坐标为(t，t＋2 2)，则 t2＋(t＋2 2)2＝4，t2＋2 2t＋2＝0，即(t＋ 2)2＝0， 解得 t＝－ 2， 所以点 P 的坐标为(－ 2， 2).
24
(2)假设存在符合条件的定点R. 设点 M(x，y)，R(x0，y0)，MMPR22＝λ，则 x2＋y2＝1， 即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋ 2)2＋(y－ 2)2]， 整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(2 2x－2 2y＋5)， 上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，
培优专题20 圆中的最值问题-解析版

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培优专题19 圆中的最值问题◎类型一：利用圆的对称性求最值1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）A．1B C D．2【答案】B【分析】作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，则CE+DE的最小值就是CD′的长度，根据已知易证∠COD′=90°，然后利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，∴DE=D′E，∴CE+DE=CE+D′E=CD′，2．（2021·江苏·常熟市第一中学九年级阶段练习）如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠M =30°，B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA +PB 的最小值为（ ）A ．BC ．1D ．2【答案】B 【分析】过点A 作直线MN 的对称点A ¢ ，连接A B ¢ ，AO ，则PA PA ¢= ，可得当点,,A P B ¢ 三点共线时，PA +PB 的值最小，最小值为A B ¢ 的长，再由圆周角定理可得==60A ON AON ¢Ðа ，从而得到90A OB ¢Ð=°，即可求解．【详解】解：如图，过点A 作直线MN 的对称点A ¢ ，连接A B ¢ ，AO ，则PA PA ¢= ，∴PA PB A B +³¢ ，即当点,,A P B ¢ 三点共线时，∵AA ¢ 关于直线MN 对称，3．（2020·天津·耀华中学九年级期中）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =2，点C 在⊙O 上，∠CAB =30°，D 为 BC的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为A ．BC ．1D ．24．（2021·贵州安顺·九年级期末）如图，MN 为O e 的直径，⊙O 的半径为3，点A 在O e 上，30AMN Ð=°，B 为 AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为______．∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵B 为弧AN 的中点，∴∠NOB′=12×60°=30°，∴∠AOB′=90°，◎类型二：利用垂线段最短求最值5．（2017·江苏扬州·中考模拟）如图，⊙O 是以原点为圆心，P 是直线8y x =-+上的一点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（ ）A ．4B ．C ．8-D ．◎类型三：利用两点之间线段最短求最值6．（2020·江苏·九年级专题练习）如图，O e 是ABC D 的外接圆，60A Ð=°，点P 是ABC D 外一点，6BP =，3CP =，则线段OP 的最大值为（ ）A ．9B ．4.5C ．D【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难度，将△OPC 绕点O 顺时针旋转120°到△OMB 的位置，将求OP 的最大值转化为求PM 的最大值是解题的关键.7．（2018·江苏·海安市白甸镇初级中学一模）如图，已知⊙C 的半径为3，圆外一点O 满足5OC =，点P 为⊙C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA OB =，90APB Ð=°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为_____.【答案】4【详解】分析：连接OP 、OC 、PC ，如图所示，则有OP ≥OC -PC ，当O 、P 、C 三点共线时，OP =OC -PC ；由∠APB =90°可知点P 在以AB 为直径的圆上，则⊙O 与⊙C 相切时，OP 取得最小值，据此求解即可.详解：连接OP 、OC 、PC ，如图所示，则有OP ≥OC -PC ，当O 、P 、C 三点共线时，OP =OC -PC .∵∠APB =90°，OA =OB ，∴点P 在以AB 为直径的圆上，∴⊙O 与⊙C 相切时，OP 取得最小值，则OP ′=OC -CP ′=2，∴AB =2OP ′=4.故答案为4.点睛：本题考查了圆与圆的位置关系，两点之间线段最短，判断出当⊙O 与⊙C 相切时，OP 取得最小值是解答本题的关键.◎类型四：利用直径是圆中最长的弦求最值8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在ABC V 中，10,8,6AB AC BC ===，经过点C 且与边AB 相切的动圆与,CB CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是（ ）A ．B ．4.75C ．5D ．4.8【答案】D 【分析】设EF 的中点为O ，⊙O 与AB 的切点为D ，连接OD ，连接CO ，CD ，则有OD ⊥AB ，由勾股定理逆定理知，ABC V 是直角三角形，OC +OD =EF ，而 OC +OD ≥CD ，只有当点O 在CD 上时，OC +OD =EF 有最小值为CD 的长，即当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上CD 时，EF =CD 有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD 的长即可．【详解】解：设EF 的中点为O ，⊙O 与AB 的切点为D ，连接OD ，连接CO ，CD ，∵10,8,6AB AC BC ===，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴ABC V 是直角三角形，∠ACB =90°，∴EF 是⊙O 的直径，9．（2021·四川绵阳·九年级期末）如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A(6，0)和B(0，2)，点P是圆上一个动点，点C(0，﹣3)，则PC长度的最小值为（）A．B．C．D．510．（2018·全国·九年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，经过点C且与边AB 相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是( )A．125B．6013C．5D．无法确定【答案】B【详解】∵在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，∴AB2=AC2+BC2．∴∠ACB=90°，∴PQ一定是直径．要使过点C且与边AB相切的动圆的直径最小，则PQ等于斜边上的高，则PQ==．故选B．点睛：本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，圆周角定理的推论，直角三角形的面积公式，判断出PQ等于斜边上的高是解答本题的关键.11．（2015·江苏镇江·一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．B．C．D．考点：1．圆的性质；2．直角三角形的性质．12．（2022·安徽·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为___．∵E点在以CD为直径的圆上，∴∠CED＝90°，故答案为：1【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径，掌握直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径是解题关键．。

与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题

( (0, )) 令 2 2 PA PB PA PB cos 2 PA COS 2 APB 2

O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
2.5.3 与圆有关的最值问题专项

2.5.3 与圆有关的最值问题专项


m1 13
4
| AC | 5 最短弦长为2 52 ( 5)2 4 5
4.有几何意义的代数式的最值 [例4]已知实数x, y满足y 9 x2 ,则 y 3的取值范围为_(___,_23_]__[_43_,__.)
x 1
解: y 9 x2化为x2 y2 9( y 0),表示圆心为(0,0),半径为3的上半圆周.
(1)求切线长|PA|的最小值.
(1) PA m in
|
PC
|2
m in
2
(2
2)2 2
6.
(2)求四边形PAOB面积的最小值.
(2)S四
2SPAC
2
1 2
PA
2
2 PA 2 3
(3)求两切线的夹角的最大值；
(3)sin APC 2 | PC | 2
2 1 22
APC 30
APB 60
(弦长为2 r2 d 2 )
[例3]已知圆C:(x－1)2＋(y－2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0，求 直线l被圆C截得的弦长最短时m的值及最短弦长.
析 : 直线可化为(x y 4) m(2x y 7) 0 直线过定点A(3,1).
当AC l时,弦长最短, 即( 2m 1) 2 1 1,得m 3 . l : 2x y 5 0
PQOP (x x0 )x0 ( y y0 ) y0 x0x y0 y x02 y02 0, x0 x y0 y r 2. 当P,Q重合时,Q(x0, y0 )亦满足上式. 2. 过圆(x-a)2 + (y-b)2 = r2上一点P(x0, y0)的切线方程为 (x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2