武汉2015年中考复习专题：与圆有关的最值问题

ECOABD武汉市中考数学第21题（圆）专题训练一、 近几年调考题及中考题回顾：1、（2011、五调）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，C 为BD 弧的中点，AC 、BD 交于点E ．（1）求证：△CBE ∽△CAB ；（2）若S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，求sin ∠ABD 的值．2、（2011、中考）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点.过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点B.延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E.（1）求证：PB 为⊙O 的切线；PO ED CB A（2）若tan ∠ABE=21，求sinE 的值.3、(2012、四调)如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，且AB ∥CD ．OB 与EF 相交于点M ，OC 与FG 相交于点N ，连接MN ．（1）求证：OB ⊥OC ；（2）若OB ＝6，OC ＝8，求MN 的长．/4、（2012、中考）在锐角三角形ABC 中，BC=4，sinA=， （1）如图1，求三角形ABC 外接圆的直径；第22题图MN F A COEDGKHCBKEDH BOOACGA（2）如图2，点I 为三角形ABC 的内心，BA=BC ，求AI 的长．5、（2013、四调）在⊙O 中，AB 为直径，PC 为弦，且PA=PC 。

（1）如图1，求证：OP ∥BC ；（2）如图2，DE 切⊙O 于点C ，若DE ∥AB ，求tan ∠A 的值。

图1CBOAPD 图2CBO A PE6、（2013、五调）在⊙O 中，AB 是直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线，切点为G ，连接AG 交CD 于点K. (1)如图1，求证：KE=GE ；(2)如图2，若AC ∥EG ，sinE=5253=AK ，,求⊙O 的半径。

7、（2013、中考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=；（2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求∠tan 的值．OP C B A 第22题图②O PCB A8、(2014、四调)已知：P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为⊙O上一点．（1）如图1，若AC为直径，求证：OP∥BC；（2）如图2，若sin∠P＝1213，求tan∠C的值．B AOPC BAOPC图1 图29、（2014、中考）如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5(1) 如图(1)，若点P是弧AB的中点，求PA的长(2) 如图(2)，若点P是弧BC的中点，求PA得长二、题组训练：1、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB 的延长线与点F。

与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。

微专题2与圆有关的最值问题知识梳理在某些题目中，已知所求代数式的结构特征具有明显的几何意义，可以和直线方程、圆的方程相联系，我们可以利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．最值问题解决方法(1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．(3)圆上动点到定直线距离的最值可以先计算圆心到直线的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．(4)形如u ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(5)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋lb 的截距的最值问题．题型探究题型一、定点到圆上动点距离1．已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A ．1B ．2C ．22D ．3222．已知点(3,4)P --，Q 是圆22:4O x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．若实数x ，y 满足()()225+12144x y +-=，则22x y +的最小值为______．4．若圆C 的方程为224450x y x y ++++=，点P 是圆C 上的动点，点O 为坐标原点，则OP 的最大值为______．5．已知实数x ，y 满足2266140x y x y +--+=，求2223x y x +++的最大值与最小值．6．已知,M N 分别是y 轴和圆22:650C x y x +++=上的动点，点()1,3P -，则PM MN +的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2题型二、可转化为点到直线的距离问题1．已知点(,)M a b 在直线512260x y -+=上，则22a b +的最小值为________．2．圆C ：()()22454x y -+-=上的动点P 到直线l ：10mx y m +--=的距离的最大值是（）A ．6B ．7C ．8D ．93．点M 在圆222x y +=上，点N 在直线5y x =-上，则|MN |的最小值是（）A ．2B ．22C ．322D ．14．已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．842-B ．1682-C ．842+D ．1682+题型三、与斜率、截距有关的最值问题1．已知点(,)x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上．(1)求x y +的最大值；(2)求yx的最大值；(3)求22245x y x y ++-+的最小值．2．已知点(),P x y 在圆：()2211x y +-=上运动．试求：(1)()223x y ++的最值；(2)12y x --的最值；跟踪训练1．已知半径为2的圆经过点()2,1，则其圆心到原点的距离的最小值为（）A ．52+B ．52-C ．5D ．32．若点(5,3)P ，点M 在圆224240x y x y +-++=上运动，则PM 的最大值为___________.3．若(,)P x y 是圆221:(1)4C x y -+=上的任意一点，求(,)P x y 到原点的距离的最大值和最小值．4．已知(1,1)--P ，点Q 是圆22(2)(3)1x y -+-=上任意一点，求||PQ 的最大值．5．圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（）A ．21-B ．22-C ．2D ．06．已知圆221:420C x y x y +-+=与圆222:240C x y y +--=相交于A ､B 两点，则圆()()22:331C x y ++-=上的动点P 到直线AB 距离的最大值为（）A ．7212+B ．221+C ．5212+D ．9212+7．已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知实数x ，y 满足224640x y x y ++-+=，则x 的最大值是（）A ．3B ．2C ．1D ．以上答案都不对9．已知()4,0A ，()0,3B -，点P 在圆()()22:234C x y ++-=上运动，则ABP △面积的最大值是（）A ．25B ．20C ．15D ．1010．（多选）已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（）A ．y x 的最大值为43B ．yx的最小值为0C ．22x y +的最大值为51+D ．x y ＋的最大值为32+10．已知()M m n ，为圆C ：()2221x y -+=上任意一点，则1nm +的最小值为（）A ．2-B ．2C ．24-D ．2411．已知点(),P x y 在圆()()22113x y -+-=上运动，则43yx --的最大值为（）A ．630--B ．630+C ．630-+D ．630-12．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点．(1)求y －2x －1的最大值与最小值；(2)求x －2y 的最大值与最小值．。

二、几何中的最值问题几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形周长或面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1、几何定理（公理）法； 2、特殊位置与极端位置法； 求最小值适用于：（1）轴对称模型：两点之间，线段最短（2）直角三角形模型：垂线段最短（直角三角形斜边大于直角边） 求最大值适用于：（1）不等式模型：222a b ab +≤(0,0)2a b a b +≤≥≥ （2）三角形两边之差小于第三边 A 、轴对称模型求最小值 模型理解1、在直线l 上找一点P ，使得其到直线同侧两点A 、B 的距离之和最小。

2、直线12l l 、交于O 、P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A 、B ，使得△PAB的周长最短。

3、直线12l l 、交于O ，A 、B 是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一点P ，再从P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P 、Q 两点，使四边形APQB 周长最小。

lAB24、从A 点出发，先移动到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ，再回到点B ，求作点P ，使移动的距离最短。

5、A 、B 是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短。

模型运用16、如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点，则PB PE +的最小值是___________17、如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB上一动点，则PA PC +的最小值是__________18、如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，则PQR △周长的最小值是__________ABABEBAOPBC的周长最小，请求出点的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。