高中数学第二章解析几何初步2圆与圆的方程第2课时圆的一般方程课件北师大版必修2

第二课时 圆与圆的位置关系
[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2.能利用直线与圆 的位置关系解决简单的实际问题． 3.体会用代数方法处理几何问题的思想.
课前自主学习
【主干自填】
圆与圆的位置关系及判定 已知两圆 C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22， 则圆心分别为 C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为 r1，r2，圆心距 d＝|C1C2|
答案
类题通法 求弦长的常用方法
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距 先求半弦长，即得弦长．
(2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常 用如下方法：
[变式训练2] 判断两圆 C1：x2＋y2－2x＝0 与 C2：x2＋y2－4y＝0 的位 置关系．若相交，求其公共弦长．
答案
解析
答案
由圆 C1 的方程，易得 C1(1,0)，|AC1|＝1. 两圆的方程相减，得直线 OA 的方程为 x－2y＝0.
从而|C1M|＝ |112－＋2×－02|2＝ 15.
于是|OA|＝2|AM|＝2
|AC1|2－|C1M|2＝2

12－
152＝4
5
5 .
答案
易错点⊳两圆位置关系考虑不全面 [典例] 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 相切于点 A(4，－1)且半径为 1 的圆 的方程． [错解] 设所求圆的圆心为 C(a，b)，则 a－42＋b＋12＝1 ①，当 两圆相切时，有 a－22＋b＋12＝3②，由①②解得 a＝5，b＝－1. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1. [错因分析] 错解中误认为两圆相切就是两圆外切，而丢掉两圆内切时 的情况．

答案:(1)× (2) (3) (4)
) ) ) )
( ( (
(3)x2+y2+Dx+Ey+F=0 一定表示圆的方程的条件为 D 2+E2(4)若圆过原点,则在平面直角坐标系中该圆的一般方程式中常
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探究一对圆的一般方程的理解
【例1】 已知方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0. (1)若该方程表示圆,求m的取值范围; (2)若该方程表示一个半径等于4的圆,求其圆心坐标. 分析:根据二元二次方程表示 探究四
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解:(1)若该方程表示圆,则 D2+E2-4F=(2m) 2+(-2)2-4(m 2+5m)>0, 即 4m2+4-4m 2-20m>0,解得 m< ,
5 1
故 m 的取值范围是 -∞,
1 5
此时 - =- =3,- =- =1,故圆心坐标为(3,1).
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跟踪训练 3 (1)若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y ＋m＝0 外切，则 m＝( )
A．21 B．19 C．9 D．－11 (2)求与圆 x2＋y2－2x＝0 外切且与直线 x＋ 3y＝0 相切于点 M(3，－ 3)的圆的方程．
解析：(1)圆 C2 的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m. 又圆 C1：x2＋y2＝1，所以|C1C2|＝5.
2．圆 C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4 与圆 C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 的 位置关系是( )
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
解析：圆心距 d＝ －2－12＋－2－22＝5，两圆半径的和 r1 ＋r2＝2＋3＝5，则 d＝r1＋r2，即两圆外切．
答案：B
3．已知点 A，B 分别在两圆 x2＋(y－1)2＝1 与(x－2)2＋(y－5)2 ＝9 上，则 A，B 两点之间的最短距离为( )
(3)方法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， ①
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
②
两式相减得 x＝2y－4，③
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
∴xy11＝＝－0，4， 或xy22＝＝02，. 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
方法二：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， x2＋y2＋2x＋2y－8＝0， 两式相减得 x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程． 由 x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得 (x－1)2＋(y＋5)2＝50， 其圆心为 C1(1，－5)，半径 r1＝5 2. 圆心 C1 到直线 x－2y＋4＝0 的距离

课堂典例讲练
二元二次方程的曲线与圆的关系
下列方程能否表示圆？若能表示， 求出圆心和半 径． (1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0； (5)x2＋y2＋20x＋62＝0.
[思路分析]
第二章 §2 圆与圆的方程
2． 2 圆的一般方程
课前自主预习
钻石又名金刚石，提起它的大名，应该说很少有人会不知
道．然而不知同学们是否知道，在大自然中，还有着另一种与
钻石的成分一模一样，但用途却完全不同的物质——石墨．
石墨和钻石的化学成分都是碳．但是因为
碳元素之间结构的不同，决定了这一对孪生兄
弟有了截然不同的命运． 数学上也有因为结构不同而造成“用途” 不同的“物质”，如本节课要学习的圆的一般 式方程就是圆的方程的另外一种形式．
最 近 的 点 的 坐 标 是 __________ ， 距 离 最 远 的 点 的 坐 标 是 __________． [答案] (1,1) (3,3)
[解析] ∵圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2， 圆心坐标为(2,2)，半径为 2，原点 O 在圆外． ∴由数形结合知与原点 O 距离最近、 最远的点是直线 OC(C 为圆心)与圆的两个交点．
D2＋E2－4F＝0
x2＋y2＋ Dx＋Ey ＋F＝0 D2＋E2－4F>0
1 2 2 D ＋ E －4 F 以___________ 为半径的圆 2
1 ．若圆的方程为 x2 ＋ y2 ＋ 4x － 6y － 12 ＝ 0 ，则该圆的圆心
坐标和半径长分别为(
A．(2，－3)，25 C．(－2,3)，5 [答案] C [解析]