基于_数学史融入数学课程_的教科书编写_朱哲[1]

第22卷第5期 数 学 教 育 学 报Vol.22, No.52013年10月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONOct., 2013收稿日期：2013–05–05基金项目：2010年教育部人文社会科学研究规划基金项目——多元文化数学课程的理论与实践（10YJA880179） 作者简介：朱哲（1979—），男，浙江绍兴人，讲师，博士，主要从事数学课程与教学论、数学史与数学教育研究．基于“数学史融入数学课程”的教科书编写朱 哲（浙江师范大学 教师教育学院，浙江 金华 321004）摘要：在考察教科书中数学史的呈现形式、影响教师实施“数学史融入教学”的因素和影响学生数学史学习的因素的基础上，提出基于“数学史融入数学课程”的教科书编写策略：史学形态转化为教育形态，关注数学思想方法，呈现多元文化数学内容，建设资源库和教师的发展．关键词：数学史；数学课程；教科书中图分类号：G423.3 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2013）05–0009–05 数学史是数学的一个分支，数学史教育则是数学教育的一个部分；“数学史与数学教育”这个研究领域被数学家、数学史工作者以及数学教育研究者共同关注．HPM 已经成为国际数学教育的新思潮之一[1]．在中国，无论义务教育阶段还是普通高中阶段的《数学课程标准》[2~3]，都有与数学史相关的论述．两年一次的数学史与数学教育会议迄今已经召开过5次．人们认识到，数学是人类文化的重要组成部分，数学教育是数学文化的教育；而数学史是数学文化的一种载体，数学史融入数学课程有助于学生认识数学、理解数学并感受数学文化．数学课程是数学教育改革的关键．如何将数学史融入数学课程，使数学史成为数学课程的有机组成部分，是广大数学教育工作者和数学史家共同关注的问题．这里主要论述基于“数学史融入数学课程”的教科书编写问题．1 教科书中数学史的分类和作用出现在数学教科书中的数学史料，粗略地分，有显性和隐性两种形式．1.1 显性数学史内容显性的数学史内容，主要是历史上的人物（主要是数学家）及其贡献、重要的历史事件、发生的时间等．它们出现在教科书的正文、注解或阅读等栏目中．一些重要的知识点，需要学生熟知和掌握的内容，出现在正文中；略显次要的，或者文字较多的内容则出现在注解和阅读中．至于形式，显性的数学史以文字、图片和表格等出现．文字有助于学生细致了解数学史的内容；而生动的图片则有助于学生直观、形象地感受人物与事件． 1.2 隐性数学史内容隐性的数学史内容，主要是古人的思想方法．数学的思想方法可以出现在正文中，主要是例题的解法和证法．同时，也可以安排在习题中，让学生去解决古人的问题，或使用古人的方法去解决现在的问题（前者相对比较显性，而后者就显得非常隐性）．相对而言，隐性数学史融入教科书更为不易．然而，隐性的内容也许才是数学史融入数学教科书，并以此提高学生数学素养的主战场．这是因为，数学史的核心教育价值应是，让学生在感受历史的过程中感受数学、感受方法，由此发展学生的数学思维，提高学生解决问题的能力，进而培养学生的创新能力，而隐性数学史通过古人数学思想方法的渗透正好能实现上述价值．1.3 教科书中数学史内容的作用不管是显性还是隐性的内容，数学史出现在教科书中，并进而出现在课堂教学中，它的作用可以归纳为激趣、激情、激志、激智等．激趣，即激发兴趣，激发学生的学习兴趣；激情，即激发情绪，激发学生投入学习的情绪，一种淡定、坦然以至兴奋、激昂的情绪；激志，即激发斗志，虽然遇到困难和挫折，但依然坚持不懈；激智，即激发智慧，从古人那里得到启发，闪现灵感．不管怎么样，数学史融入数学教科书的最终目的还是为了促进学生的数学学习．如何来判断教科书中数学史内容的多寡、优劣，就看它们是否有效地通过教师的教促进了学生的数学学习．2 影响数学史教学的因素影响教科书中数学史内容发挥作用的因素有很多，这里仅从教师和学生两方面来考察．2.1 影响教师数学史教学的因素数学史融入教科书后，需要教师加以实施．教师如何在教学中使用数学史，也受到诸多因素的影响．影响教师实施“数学史融入教学”的因素主要有知识储备和观念这两方面．（1）知识储备．教师的知识储备会影响教师的教学．如果教师对数学史的知识了解得很少，那么在教学中他（她）只可能将教科书和教学参考书中的内容干巴巴地传递给学生；如果他（她）了解得比较多，则可以旁征博引、生动有趣、富有启发地进行教学．（2）观念．教师的观念会影响教师的教学，与数学史有关的观念会影响教师数学史的教学．首先是教师对数学史的重要性和必要性的认识．如果教师认识到这一点，那么他（她）在教学中就会非常重视数学10数学教育学报第22卷史内容，在课前会非常认真地准备相关素材，在教学中会花费一定的时间在上面．相反，如果没有认识到这一点，纵使教科书中有数学史内容，教师在教学中也会作淡化处理，甚至忽略．那么教科书中的数学史内容仅仅成了摆设，而没能起到应有的作用．在实际教学中，研究者发现教师有一观念，即“重算轻史”．对于教科书中作为例题、习题出现的史料，教师仅仅是把它作为一个数学问题．教师的任务是和学生一起，或者让学生自己，解决这个数学问题．教师重视这个问题是什么，它的解法是什么；而不关心它的历史，它的背景，它在数学史中的地位、意义等内容．这样，数学史在数学教学中的地位和作用被大大降低了．当然，除去知识储备和观念这两个主要因素外，教师的教学基本功、教科书的编写质量等也会影响教师数学史的教学．反过来，在教科书编写时关注这些因素的影响，也可以促进教科书的编写．2.2影响学生数学史学习的因素数学史出现在数学教科书中，其目的是为了促进学生的学习．在现实中，应试取向、内容的呈现形式、教师的讲解方式等因素会影响数学史对学生学习的促进作用．在教科书编写时考虑到这些因素，也有助于教科书编得更好．教科书中数学史内容的呈现方式是否有吸引力，会影响学生的学习．文字叙述、插图安排、活动设计、问题设置等都需要慎重考虑和精心安排．如果把一段原始的古文文献直接呈现给学生，学生就会感到沉闷、乏味、枯燥，就会远离它．但是用浅显易懂的现代文表示出来，适当地配上插图，学生就会比较容易接受．如果再安排有趣味并有一定挑战性的问题，设计成数学活动，这样就让数学史更具亲和力．3 教科书编写理念——数学史融入数学课程数学史如何融入数学课程？对这一理念的具体阐述，可以从“定位—挖掘—转化—呈现”这4方面着手：首先确立价值，随后根据价值选择内容，之后将这些内容转化形态呈现在数学课程中[4]．3.1数学史的核心教育价值是培养创新数学史的教育价值有很多．对于学生而言，可以激发学习兴趣、开阔视野、增长知识、提高数学素养，启发人格成长等；通过学习数学的起源与发展，可以更好地认识数学、理解数学．而对于教师来说，数学史可以帮助他们预见学生的认知发展，指导并丰富自己的课堂教学，沟通数学与人文的联系等．数学史有丰富的教育价值，这也意味着它有融入数学课程的必要性．数学史有助于学生认识数学的过去，了解现在，并思考未来．数学史的学习和研究是为了数学本身的发展与创新．数学史融入数学课程，要处理好继承与创新这两者之间的关系．学习数学及其历史的过程，首先是一个继承前人先进成果的活动．对于历史的遗产，除了继承，还应发展．用古人的方法去解决一个现在的数学问题，从前人的数学问题和方法中得到启示，去提出一个新的问题．研究者认为，数学史的核心教育价值在于培养学生的创新思维和创造能力．3.2数学史的重点内容是数学思想方法数学史可以为学生的数学学习提供有力的支持和支撑．数学课程中多介绍一些数学产生和发展的故事，数学家的生平、成果和贡献，都有助于学生感受数学，感受数学文化．数学家是如何发现问题、发明方法、创造思想并解决问题的，他们的数学思想方法是如何推动数学的发展的，对于这些问题的思考和解决有助于加深学生对数学的认识和理解．在确立数学史的核心教育价值为培养学生的创新精神和创造能力之后，又如何培养这种创新精神和创造能力呢？可以说，数学史更多的是数学思想方法史，因此向学生介绍数学史应以介绍历史上的数学思想方法为重点．事实上，“不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于脑际的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法以及着眼点，却随时随地发生作用，并使他们终生受益……这样的教育，才是最好的教育．”[5]在设计课程和编写教科书时（尤其是在高中阶段），应重视选取那些有助于发展学生数学思维和培养创新能力的数学史料，而这样的内容应包含丰富的数学思想方法．让学生自然而然地重演（这种重演并非完全遵照古人的做法）古人对某一问题的发现、探索和解决过程并体验其中蕴涵的思想方法则有助于实现上述目标．3.3 数学的史学形态转化为教育形态宋乃庆教授在首届全国数学史与数学教育大会上做大会报告时提出一个观点：数学教学中运用数学史，需要将“数学的史学形态转化为教育形态”[6]．数学史具有丰富的教育价值，由此也决定它除了自身的史学形态外，还有应用于数学教育的教育形态．事实上，在数学史中，数学概念的形成、数学思想的来历、数学方法的应用、数学定理的审美内涵、数学家的思维方法和科学与人文精神、数学的哲学基础、数学发展的社会背景等都是极富价值的素材，对于学生全面深刻地认识数学及数学的发展非常重要，也更富有教育意义．数学教育应充分发掘数学史的教育功能，有效地发挥数学史的教育价值，需要把数学史的史学形态转化为教育形态，充分发挥数学发展过程中人类思维的本质性、思想性、连续性和完整性以及数学所蕴涵的理性精神对学生学习数学的启发意义和感召作用[7]．数学课程中引入数学史，绝非简单的嫁接、拼凑和移植，而需要对其进行深入地挖掘、改造、提炼和升华．数学史作为数学思想的发展史，蕴涵了丰富的思想方法．有些思想方法已经沉寂，有些依然活跃在数学和科学领域．不管是沉寂的还是依然活跃的，对学生的思维都具有一定的启发意义．不过，作为动态演化的历史凝聚成静态的数字、公式和文字之后，在某种程度上却掩盖了深层次的，同时又是作为数学核心部分的思想方法．所以，人们面对的是作为学术形态的数学史．如何把学术形态的数学史料转化为教育形态的教学材料，需要人们对古代数学的概念、原理、思想、方法做出认真的思考和梳理，进行加工和创造，深入挖掘材料背后隐含的价值，并探索如何展现在具体的课程、教科书，以至教学中，使之适合学生的认识水平、心理特征以及中小学第5期朱哲：基于“数学史融入数学课程”的教科书编写11数学课堂的特点．3.4数学史在数学课程中的呈现方式数学课程中的数学史可以以数学课本、数学读本、选修课程和专题研究等形式呈现[8]．（1）数学课本．数学课本可以把故事、历史名题作为问题情境，比如丢番图的年龄问题引出一元一次方程；也可以简单介绍数学家的事迹来鼓励学生热爱数学、勤奋学习、刻苦钻研，例如阿基米德在死神降临之时仍醉心于数学研究．而且，更应注重将数学史料（尤其是数学的思想方法）有机地渗透融合到课本中．比如，在“等比数列求和公式”这一节中，除了课本中的“错位相消法”之外，不妨介绍《原本》第九卷中给出的方法，从定义出发进行推导．（2）数学读本．数学课本应当体现数学的特色，简洁而明确，只需给出问题、方法和结论，并配以一定的练习．至于这些问题是如何提出的，这些方法是如何想到的，有没有其它的方法，这些问题的历史背景如何，它们的来源以及其后的发展又是如何，各个数学分支、数学内容之间的联系如何，数学与其它学科之间的联系又如何，等等，编者不妨将这些内容详细写入数学读本，让有兴趣的学生课外去阅读．（3）选修课程．《高中课标》已将“数学史选讲”作为选修课程的一个专题．选修课程可以把系统学习和专题讲座结合起来．系统学习指利用教科书（选修）有计划、有条理地介绍数学史；专题讲座则是指不定期地邀请一些教师、专家开设讲座，或者组织学生观看与数学史有关的视频．（4）专题研究．中小学数学课程应当给学生留出一定的思考空间．数学课程不仅仅是介绍数学的发展，而且还应创造机会让学生重演这种过程．比如，在“正四棱台体积公式”这一节中，给出一定的背景和必要的提示之后，留出空白，让学生重演古埃及人、古巴比伦人以及中国古人对这一公式的推导过程[9]．此外，还可以通过“成果综述”和“问题拓展”来进行专题研究．比如，在“勾股定理”中，让学生通过各种途径查阅资料，对不同时期不同地区的证明方法进行综述，并体验这些方法的巧妙和优美，同时对它们进行比较、分析．在研究“正多面体和多面体欧拉公式”之后，不妨提问：正多面体只有5个，那么类似足球的“半正多面体”[10]又有多少个，你能把它们描述（计算）出来吗？这就拓展了问题．“专题研究—问题拓展”这一形式最能培养学生的创新意识和创造能力．这里的问题可以是课程设计者或者教师给出的，也可以是学生自己提出的．4基于“数学史融入数学课程”的教科书编写策略根据上述理念，研究者提出以下基于“数学史融入数学课程”的教科书编写策略．提出这些策略的直接目的是提高教科书的编写质量，最终目的还是为了促进教师的教和学生的学．4.1前提——史学形态转化为教育形态把数学史由史学形态转化为教育形态，让学生亲近和喜欢．这是前提，同时也是关键的一步．教科书不能把原始的数学史料直接拿来使用．要让学生亲近、接受和喜欢，必须改变其枯燥乏味、晦涩难懂的原始面貌，以学生喜闻乐见和易于理解的形式呈现出来．这样才有助于发挥数学史应有的价值和作用．例如，在“圆锥曲线”这一单元，教科书会介绍圆锥曲线的简单历史，比如梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现圆锥曲线，阿波罗尼斯在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，他的《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结，等等．除了这些，也会介绍Germinal Dandelin的工作和Dandelin双球．如图1所示，用一个平面去截圆锥，这个平面与圆锥的交线是一个椭圆．在圆锥内做大小两个球分别与圆锥和截面相切，切于点E，F，在截口曲线上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点C，B．由球和圆的几何性质，可以知道F A+AE=BA+AC=BC．而且，截面与两个球的切点恰是椭圆的两个焦点．图1 Dandelin双球对这一原始素材，其实有很多工作要做．首先，可以用圆柱体取代圆锥，依然可以得到一个椭圆，依然有F A+AE=BA+AC，但问题已经简单化了．（在研究双球问题之前，可以先研究单球问题．）把简单的圆柱体里的Dandelin 双球问题研究透后再来研究圆锥里的Dandelin双球问题，这就为学生的学习做了铺垫．其次，如何向学生说明E、F 就是椭圆的焦点，并且为什么被称为焦点，也需要做进一步梳理．再次，教科书为什么将坐标系的原点选在椭圆的中心，椭圆的标准方程与阿波罗尼斯的方程之间有什么联系，都需要做一些思考和加工．如此一来，问题也随之产生，将数学史的史学形态转化为教育形态，会不会因此淡化数学史？或者，会不会因为强调数学味，而使教育形态呈现不足？其实这些问题的本质涉及数学教育的基本矛盾．“数学方面”与“教育方面”的对立统一事实上构成了数学教育的基本矛盾．前者是指数学教育应当正确地体现数学的本质，后者则是指数学教育应当充分体现教育的社会目标并符合教育的规律．能否处理好这一矛盾（或者说，搞好这两个方面的均衡取得平衡）也正是搞好数学教育的关键所在[11]．数学教育具有一般教育过程的性质，又具有自身特殊过程的性质，那么数学教学问题的研究就得以沿着“教与学对应的原理”和“教与数学对应的原理”双重轨道进行[12]．这两条原理的构建也是符合上述数学教育的基本矛盾．那么，数学史融入数学课程，也应该在史学形态（数学方面）和教育形态（教育方面）取得适当的平衡．4.2重点——关注数学思想方法教科书中应有一定的数学史内容；数学史应该以合适的方式适量地呈现在教科书中．教科书中的数学史内容，应方12数学教育学报第22卷便教师在教学中使用，方便学生直接接触．对于具体内容的选择，在小学阶段，可以通过生动有趣的故事，绚丽多彩的插图来呈现，主要是为了吸引学生的注意力，激发他们学习数学的兴趣，感受数学文化．但随着年级的提高，图片应该逐渐减少，而文字逐渐增加．尤其是到了高中阶段，应把目光聚焦于让学生“进入”数学史，古为今用、推陈出新；文字更要关注涉及数学本质的内容，关注数学的思想方法，而不仅仅是外在的故事和奇闻趣事．因为学习数学史，不仅仅是知道、了解一些史实，更多的是感受数学思想方法．所以，教科书中应该呈现较多的显性数学史料，但同时也设置一定的隐性内容．基于“数学史融入数学课程”的教科书重点是关注数学思想，具体做法是将数学史显性和隐性内容相结合，尤其注重通过隐性的数学史内容让学生感受数学思想方法．在不知不觉中，重演古人对某一问题的解决过程，感受他们的解题方法，尝试用他们的方法去解决今天碰到的数学问题，由他们的问题出发提出一系列新的问题．这样有助于提高学生的数学素养，进一步培养学生的创新意识和创造能力．这既是重点，同时也是手段．例如，研究者在中国几套现行初中《数学》教科书《勾股定理》单元中可以看到类似“已知圆柱的底面半径为 6 cm，高为10 cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是多少（精确到0.1 cm）（图略）？”这样的问题．在此题之后，不妨安排以下一道历史名题，作为进一步的拓展：“如图2，在一个长、宽、高分别为30、12、12英尺的长方体房间里，一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的A处，苍蝇则在对面墙的中间离地面1英尺的B处，苍蝇是如此害怕，以至于无法动弹．试问，蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬行的最短距离是多少？（提示：它少于42英尺）”这一“蜘蛛与苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上，它是杜登尼最有名的谜题之一．杜登尼是19世纪英国著名的谜题创作者，他创作的这一问题对全世界难题爱好者的挑战，长达四分之三个世纪[13]．图2长方体房间图这一问题看似简单，但要正确地解决它也并非易事．解决这一问题的基本工具是勾股定理，同时，它还需要用到以下数学思想方法——转化思想：把立体图形转化为平面图形；变换思想：正方形的旋转变换；分类讨论思想：分3种情况分别求出蜘蛛的爬行距离．这一个“蜘蛛问题”，问题本身充满趣味性，而且在解决它的时候需要转化和分类讨论，对促进学生思维的灵活性和严谨性有一定的作用．总的来说，这是一道非常不错的问题，通过充满趣味的表面可以直达数学的本质，而且可以促进学生“数学地思维”．4.3 突破点——呈现多元文化数学内容呈现多元文化数学内容，让学生尊重、分享、欣赏和理解不同文化背景下的数学成果．这是“数学史融入数学课程”和“数学史融入教科书”的突破点．数学通过数学教育得以传播和发展，所以数学教育必须置身于人类文化，尤其是数学文化之中．在多元文化的视野中，为认识数学教育的过去、面对数学教育的现在、展望数学教育的未来，从不同文化背景深入探究不同数学教育体系的特点与规律，这既是人类认识的必然，又是人类发展的需要；既要体现不同文化的特色差异，又形成不同文化交融的基础[14]．在数学发展过程中，出现了许多不同的成果；在不同文化背景下，东西方的数学思想方法更是有很大差异而各有其特征和优势．通过对不同时期、不同地区数学成果以及思想方法的比较，可以使学生认识到数学并不只属于某个民族、某种文化，让学生用一种更宽广的胸怀和视野去看待数学及身边的世界．数学教科书和数学教学引导学生尊重、欣赏、分享、理解其它文化下的数学，由此拓宽学生的视野，深化对数学知识的认识和理解，培养开放的心灵．以往过份强调某项数学成果中国比西方早多少年，这其实滋长了狭隘民族主义的思想；那么本着一种尊重、理解和支持的态度向学生介绍多元文化的数学，重在对所有数学成果的欣赏和分享上，就可以让学生用一种“泛爱万物”的胸怀去了解不同时期、不同文化背景下的思考方式．以“勾股定理”为例，对于其证明，一方面，可以训练学生缜密的数学思维；另一方面，其方法据说超过400种，而且不同的方法与不同的文化、不同种族的思维方式紧紧联系在一起．所以可以说，它是体现多元文化数学的极好题材．因此，在“勾股定理”单元中，教科书应以适当的方式呈现若干种经典证法．比如欧几里得《原本》中的证明方法就很值得向学生介绍，与赵爽的方法作一对比，学生能体会到古希腊人对理性的追求．具体说来，赵爽的弦图证法（几何观点）充分运用了直角三角形易于移补的特点，给出了简洁、直观的证法，其相应的几何思想是图形经移、补、凑、合而面积不变，不仅反映了中国传统文化中追求直观、实用的倾向，而且其展示的割补原理和数形结合思想让人们看到中国传统文化中的精髓，对继承和发扬传统文化起着潜移默化的熏陶作用．而欧几里得证法给人们展示的是西方数学文化传统的另一侧面，即严谨的逻辑和理性的推理[15]．如果再对相关背景做介绍，学生可以意识到不同的文明产生了不同的数学．欧几里得方法可能对学生而言比较难，不是那么容易理解，教师可以做适当的处理，比如借助计算机做动态演示，一般学生还是可以接受的．4.4 保障——资源库的建设和教师的发展教科书中不可能出现很多的数学史内容，编者只能精选其中最重要、最有价值的部分．除了精心编写教科书外，还需大力建设配套的课程资源．这里的资源可以包括相关文献、参考书目、网络链接、视频资源等．课程资源库的建设，这是“数学史融入数学课程”、“数学史融入教科书”的保障，方便教师查找资料、设计教学，促进学生自主学习、拓展视野，加深对数学的认识和理解．前文已经述及，教师的数学史知识储备会影响教师的教学；教师可以通过阅读、培训、交流等途径增加自己数学史。