3.1
变化率与导数
3.1.1
变化率问题
3.1.2
导数的概念
学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
知识点一 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
答案 自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.
思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？AB与BC哪一段更陡峭？
答案 ①对山路AB来说，用ΔyΔx＝y2－y1x2－x1可近似地刻画其陡峭程度．
②BC更陡峭．
梳理 (1)定义式：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1，叫函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率．
(2)实质：函数值的增量与自变量增量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)平均变化率的几何意义：
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx为割线AB的斜率，如图所示．
特别提醒：Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
知识点二 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
定义式 limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx
实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用 刻画函数在某一点处变化的快慢
特别提醒：“Δx无限趋近于0”的含义
问範精说7
(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣
到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经
营成果?
(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万
元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较
和评价甲，乙两人的经营成果？
痒龜说师t屮仅比怨一金養的安祂是想_想
水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，fs
后容器甲中水的体积（单位: cm3） f计算第一个ios内砌如纯化。
现有宿迁市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5°C 18.6°C 33・4°C
温差15・1°C温差14.8 °C
问龜精境“衣济昌衬枪
r
>- 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具
也风驰电掣、有惊无险的快感令不少人
卜
B
xc-xB
该比值近似量化BQ 间 这一段曲线的陡哨程度.
称该比值为曲线在B.C之 间这一段年谢麦祀半・容易看出点B.C之间的曲线较* A.B之间的曲线更加"陡哨〃・ 如何量化陡哨程度呢？
O A
y
建构數修鰹捡
4均变化率的定义:
一般地，函数介莊区间[Xp%2]±的平均变化率为
说明:⑴平均变化率的实质就是:两点（引, 佩現⑥）连线的斜率.（皿吏代曲思您丿
（2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或
者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”
（救形箱合思越丿
Ay
Ax /（兀2）- /（兀1）
"救馬形讨璀直九，形馬热时乘入微”——华罗康
例1、已知函数f(x)=2x+l, g{x) =-2x ,分另！J 计算在区间［-3, T］, ［0, 5］上f(x)及
g{x)的平均变化率•
思考:一次函数y二kx+b在区间［m, n］上的
平均变化率有什么特点?
例2、已知函数/(x)=x1 2,分别计算/匕)在下列
区间上的平均变化率：
⑴[1, 3]；弋
(2) [1, 2]； 3\
(3) [1, 1.1]； 2.1\
3丄1变化率问题
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一.已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等；
•二、求曲线的切线； •三、求已知函数的最大值与最小值；
•四、求长度、面积、体积和重心等。
△导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减.变化快慢.最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
问题1气球膨胀率
气球的体积V（单位:L）与半径/（单位:dm）之间的函数关系是
若将半径r表示为体积V的函数，那么
LL! 气球的平均膨胀率为
当空气容量V从1L增加到2 L,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
思考:
・当空气容量从£增加到V?时，气球的平 均膨胀率是多少？
心)—心!) X问题2高台跳水
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态，那么：
^0 < t <0.5这段时间里，
&
计算运动员在 这段时间里的平均速度,
并思考下面的问题：
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗？
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态, 需要用瞬时速度描述运动状态。 例题:
在考察yc—『B的同时必须考察Xc—XB，函数的本质在 于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一 个量的（形与数两方 先―力
现在回答问题"气温陡增”它的数学意义是什么?
定义:
式子 称为函数/（兀）从X1到兀2
的平均变化率.
令△x =工2""兀1，△ y = f （工2）"~f （兀 1）'则
n（xJ_Ay
兀2 —兀1 △兀 理解：
1, 舟子中Ay的值可正、可负，但的
△兀值不能为0, 的值可以为0
2, 若函数化兀）为常函数时，\y=0
3, 变式
・观察函数f(x)的图象
思考:
Y=f(x)
B
f(x2)-f(x1
1
o X1 X2 平均变化率n叫
— Xx f(x2) I- 表示什么？
极限
（数学术语）
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“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
极限思想
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简介
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计
极限思想的思维功能
极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。
