学位论文-—矩阵指数函数及其在控制论中的应用

本科毕业论文(设计)

题 目 矩阵指数函数及其在控制论中的应用

院(系) 数学系

专 业 数学与应用数学

学生姓名 XXXXXXX

学 号 XXXXXXX

指导教师 XXXXXX 职称 XXXXX

论文字数 6500

完成日期: 年 月 日

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󰀀 巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

I 矩阵指数函数及其在控制论中的应用

摘 要

矩阵指数函数是一类特殊而又重要的函数，无论是数学领域、计算机领域，还是工程技术领域涉及到的现代控制论中都有非常广泛的应用。

本文从矩阵指数函数的基本定义开始，归纳总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而探讨了如何计算矩阵指数函数，本文选择了其中的四种计算方法，并通过实例说明了它们的计算量和计算步骤，对它们进行了简单的比较，分析遇到具体的问题应如何选择最佳的方法求解。另外联系现代控制理论，掌握如何用矩阵指数函数解决在工程技术领域中会遇到的状态方程问题以及在线性控制系统中常常涉及的求解线性微分方程组的问题。

关键词：矩阵指数函数；Jordan标准型；状态方程；微分方程组

矩阵指数函数及其在控制论中的应用

II Matrix exponential function and its application

in Control Theory

Abstract

Matrix exponential function is a special and important function,

whether it is the field of mathematics, computer areas, or engineering

technology related to the modern control theory has a very wide range

of applications.

This article from the matrix exponential function the basic

definition of began to, summed summed up the matrix exponential function

some basic properties of, and thus explores the how to calculate the

matrix exponential function, paper chose the one of the four kinds

calculation method, develop simultaneously out the examples illustrate

the their computation volume and calculation step, right they carried

out simple comparison, analyze encounter specific problems should how

to choose the the best method for solving. In addition Contact modern

control theory, to master how to use matrix exponential function to solve

in the engineering technical fields will encounter of the state Equation

Problem as well as online Xing control systems in the often involve of

the solving linear differential equations group issue.

Keywords: Matrix exponential function, Jordan standard,

equation of state, differential equations

目 录

摘要........................................................ I

Abstract ................................................... II

引 言 ...................................................... 1

1. 矩阵指数函数的概念及其基本性质 .............................. 1

⒈1矩阵指数函数的概念 ........................................ 1

⒈2 矩阵指数函数的基本性质..................................... 2

2. 矩阵指数函数的四种计算方法及其比较 ........................... 6

2.1矩阵指数函数的四种计算方法 ................................. 6

2.1.1利用HAMILTON-GAYLEY定理求矩阵指数函数 ....................... 6

2.1.2利用相似对角化求矩阵指数函数 .............................. 7

2.1.3利用JORDAN标准形求矩阵指数函数 ............................ 8

2.1.4利用待定系数法求矩阵指数函数 ............................. 10

2.2四种计算方法的比较 ....................................... 12

3. 利用矩阵指数函数求解状态方程 ............................... 13

4. 矩阵指数函数的应用 ........................................ 15

4.1矩阵指数函数在微分方程中的应用 ............................. 15

4.2用矩阵指数函数求解一阶常系数齐次线性微分方程组 ............... 16

5. 结束语 .................................................. 18

参考文献 ................................................... 19 巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

1 引 言

作为数学的一个重要分支，矩阵函数具有极其丰富的内容。随着计算机的高速发展和普及，矩阵函数的重要性也愈加显著。作为一种基本工具，矩阵函数在数学及其他科学技术领域，如信息计算、现代控制理论等学科都有着十分重要的应用。

控制论是研究各种系统控制和通讯的一般规律的科学。随着科技的发展和计算机网路技术的普及，现代控制理论在工程信息技术以及其他领域中起着越来越重要的作用。

本文通过矩阵指数函数的基本概念和性质，探讨了矩阵指数函数的四种计算方法并举例说明对其进行比较。最后通过求解状态方程来进一步研究矩阵指数函数在控制论和微分方程中的应用。

1. 矩阵函数的概念及矩阵指数函数的基本性质

矩阵函数的概念和通常的函数概念类似，所不同的是这里的自变量和因变量都是n阶矩阵。本节首先以定理与矩阵幂级数的和为依据，给出矩阵函数的幂级数表示，进而探讨了矩阵指数函数的一些相关性质。

1.1 矩阵函数的概念

定义1[1] 设nnAC，一元函数fx能够展开为z的幂级数

0kkkfzcz，

并且该幂级数的收敛半径为R。当矩阵A的谱半径AR时，则将收敛矩阵幂级数0kkkcA的和定义为矩阵函数，记为fA，即

0kkkfAcA 矩阵指数函数及其在控制论中的应用

2 因为当z时，有

2111......2!!znezzzn

则对任意nnAC，矩阵幂级数

211......2!!nIAAAn是收敛的。它们的和记为Ae，即

211......2!!AneIAAAn

通常称Ae为矩阵指数函数

1.2[2] 矩阵指数函数的基本性质

性质1 微分公式：

AtAtAtdeAeeAdt （1.2.1）

这是因为矩阵指数函数右端的级数绝对收敛，所以可以逐项求导，得到

2233232431223311223311111()2!3!!1112!3!(1)!111()2!3!(1)!111()2!3!(1)!AtkkkkkkAtkkAtddeIAtAtAtAtdtdtkAAtAtAtAtkAIAtAtAtAtkAeIAtAtAtAtAkeA

性质2 Ate与kA可交换:

kAtAtkAeeA

从（1）中已看出Ate与A是可交换矩阵。容易证明Ate与kA也是可以交换。