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(1)确定 a, b 的值, 使 f(x) 在 x=0
处连续、可导; (2)求曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程.
解: (1)要使 f(x) 在 x=0 处连续,
则需
xlim0-
f(x)
=lim x0+
f(x)=f(0).
而 xlim0- f(x) =xlim0- (x2+x+1)=1,
唯一的导数 f(x0), 然后定义函数精选y整=理f(x) 在开区间 (a, b) 内可导2 ,
因而对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值, 都对应着一个确定
的导数 f(x0). 据函数定义, 在开区间 (a, b) 内就构成了一个新
函数, 即导数.
三、知识要点
1.导数的概念
对于函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x0 处有增量 Dx, 那么函数 y 相应的有增量 Dy=f(x0+Dx)-f(x0), 比值DDxy 叫做函数 y=f(x) 在 x0 到 x0+Dx 之间的平均变化率, 即DDxy =f(x0+DDxx)-f(x0) .
二、重点解析
导数概念比较抽象, 其定义、方法一般不太熟悉, 因此对导 数概念的理解是学习中的一个难点. 本节要重点掌握根据导数 定义求简单函数的导数的方法. 一方面, 根据导数定义求导可 进一步理解导数的概念, 另一方面, 许多法则都是由导数定义 导出的.
导函数(导数)是一个特殊的函数, 它的引出和定义始终贯穿 着函数思想, 首先定义函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 且在 x0 处有
(2)物理意义: 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是当物体
的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v, 即:
v=s(t0). 设 v=v(t) 是速度函数, 则 v(t0)表示物体在时刻 t=t0 时的
加速度.
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3.几种常见函数的导数
自变量的增量 Dx 的比
Dy Dx
的极限,
即:
f(x)=y=lim Dx0
Dy Dx
=lim Dx0
f(x+Dx)-f(x)
Dx
.
求函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数的步骤:
(1)求函数的增量: Dy=f(x0+Dx)-f(x0);
(2)求平均变化率:
Dy Dx
=
f(x0+DDxx)-f(x0) ;
=Dlxim0+[a(0+Dx)+Dbx]-(02+0+1)
=lim Dx0+
aDx+b-1 Dx
=a+lim Dx0+
b-1 Dx
故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导.
综上所述, 当 b=1, aR 时, f(x) 在 x=0 处连续, 当 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导.
(1)解: 设f(-x)=g(x), 则
g(a+Dx)-g(a) f(-a-Dx)-f(-a)
如果当 Dx0 时,
Dy Dx
有极限,
就说函数
y=f(x)
在点
x0
处可导,
并把这个极限叫做 f(x) 在点 x0 处的导数(或变化率), 记作:
f(x0) 或 y | x=x0,
即:
f(x0)=Dlxim0
Dy Dx
=lim Dx0
f(x0+DDxx)-f(xy=f(x) 的导数 f(x), 就是当 Dx0 时, 函数的增量 Dy 与
f(0)=1, lim f(x) =lim(ax+b)=b,
x0+
x0+
故当 b=1 时, 可使 f(x) 在 x=0 处连续.
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又
Dlxim0-
Dy Dx
=Dlxim0-[(0+Dx)2+(0+DDxx)+1]-(02+0+1)
=Dlxim0 -
(Dx+1)=1,
lim
Dx0+
Dy Dx
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一、复习目标
了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度, 加速度, 光滑曲线 切线的斜率等), 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义, 理解导数的概念, 熟记常见函数的导数公式 c, xm(m 为有 理数), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的导数, 并能熟练应用它们求 有关导数.
(2)由(1)知, f(0)=1, 又 f(0)=1,
故曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程为 y-1=x-0,
即 x-y+1=0.
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典型例题 2
若 f(x) 在 R 上可导, (1)求 f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a
处的导数的关系; (2)证明: 若 f(x) 为偶函数, 则 f(x) 为奇函数.
的导函数, 记作 f(x) 或 y(需指明精选自整理变量 x 时记作 yx), 即: 4
f(x)=y=lim Dx0
Dy Dx
=lim Dx0
f(x+DDxx)-f(x).
导函数也简称导数. 当 x0(a, b) 时, 函数 f(x) 在点 x0 处的导数
f(x0) 等于函数 f(x) 在开区间 (a, b)内的导数 f(x) 在点 x0 处的函
(3)
取极限:
得导数
f(x0)=Dlixm0
Dy Dx
.
如果函数 f(x) 在开区间 (a, b) 内每一点都可导, 就说 f(x) 在开
区间 (a, b) 内可导. 这时, 对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值
x0, 都对应着一个确定的导数 f(x0), 这样就在开区间 (a, b) 内构
成一个新的函数, 我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间 (a, b)内
数值.
如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连 续, 但要注意连续不一定可导.
2.导数的意义
(1)几何意义: 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k, 即: k=tan=f(x0). 相 应的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).
(1)c=0(c 为常数), (xn)=nxn-1(nQ); (2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx;
(3)(lnx)=
1 x
,
(logax)=
1 x
logae;
(4)(ex)=ex, (ax)=axlna.
典型例题 1
已知函数 f(x)=
x2+x+1, x≤0, ax+b, x>0.
