第五节 复合函数微分法与隐函数微分法
在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数
的情形. 下面分几种情况来讨论.
分布图示
★ 链式法则(1) ★ 链式法则(2)
★ 链式法则(3) ★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 例6 ★ 例7
★ 全微分形式的不变性 ★ 例 8
★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11
★ 隐函数微分法(1) ★ 例12 ★ 例13
★ 隐函数微分法(2) ★ 例14 ★ 例15
★ 例16 ★ 例17 ★ 例18
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-5
内容要点
一、多元复合函数微分法
1．复合函数的中间变量为一元函数的情形
设函数),(vufz
,)(tuu
,)(tvv
构成复合函数)](),([tvtufz
.
dtdv
vz
dtdu
uz
dtdz
（5.1）
公式(5.1)中的导数
dtdz
称为全导数.
2、复合函数的中间变量为多元函数的情形
设),,(vufz),,(yxuu),(yxvv
构成复合函数)],,(),,([yxvyxufz
,
xv
vz
xu
uz
xz
(5.3)
,
yv
vz
yu
uz
yz
(5.4)
3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形
定理3 如果函数),(yxuu
在点),(yx
具有对x
及对y
的偏导数, 函数)(yvv
在点
y
可导，函数),(vufz
在对应点),(vu
具有连续偏导数, 则复合函数)](),,([yvyxufz在对应点),(yx
的两个偏导数存在, 且有
,
xu
uz
xz
(5.7)
.
dydv
vz
yu
uz
yz
(5.8)
注：这里
xz
与
xf
是不同的，
xz
是把复合函数],),,([yxyxufz
中的y
看作不变而
对x的偏导数，
xf
是把函数),,(yxufz
复合函数求微分公式
复合函数求微分公式是微积分中的重要内容之一。在实际问题中，往往需要考虑多个函数的复合，然后求出其导数。复合函数的求导公式是通过链式法则推导出来的，它能够帮助我们计算复杂函数的导数，从而解决实际问题。
我们来看一下复合函数的定义。给定两个函数f(x)和g(x)，我们可以构造一个新的函数h(x)=f(g(x))，其中g(x)作为f(x)的自变量。这样的函数h(x)就是一个复合函数。要求复合函数的导数，我们需要使用链式法则。
链式法则是求导复合函数的基本方法。它的基本思想是将复合函数的导数分解为两个函数的导数的乘积。具体来说，假设y=f(u)和u=g(x)，那么复合函数y=f(g(x))就可以表示为y=f(u)和u=g(x)的复合。根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：
dy/dx = dy/du * du/dx
其中，dy/du表示f(u)对u的导数，du/dx表示g(x)对x的导数。
根据链式法则，我们可以得到一些常见的复合函数求导公式。下面我们来看几个例子。
1. 复合函数中的常数倍数：假设y=k*f(x)，其中k是常数。根据链式法则，我们有dy/dx = k * df/dx。
2. 复合函数中的和差：假设y=f(x)±g(x)。根据链式法则，我们有dy/dx = df/dx ± dg/dx。
3. 复合函数中的积：假设y=f(x) * g(x)。根据链式法则，我们有dy/dx = f(x) * dg/dx + g(x) * df/dx。
4. 复合函数中的商：假设y=f(x) / g(x)。根据链式法则，我们有dy/dx = (f(x) * dg/dx - g(x) * df/dx) / g^2(x)。
5. 复合函数中的幂：假设y=f(g(x))^n。根据链式法则，我们有dy/dx = n * f(g(x))^(n-1) * df/dx。
通过这些公式，我们可以求解各种复合函数的导数。需要注意的是，求导过程中需要注意函数的连续性和可导性。部分函数在某些点上可能不可导，因此在求导时需要注意排除这些点。
复合函数微分
什么是复合函数微分？
在数学中，一种被广泛应用的工具就是函数。如果两个（或更多）函数相互作用，形成了新的函数，那么这种构成新函数的方式就被称为“复合函数”，也被称作“组合函数”。
复合函数的微分，也被称为复合函数的导数，指的是在函数中进行微分时，相继执 行的一系列函数的导数相乘的结果。关于复合函数微分，也就是求 $y = f(g(x))$ 的导数，我们已有一个方法：链规则。
假设我们有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，那么它们的复合函数
$h(x) = f(g(x))$。那么复合函数的导数就可以表示为：
$$\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dg} \times \frac{dg}{dx}$$
这种方法就是链规则，它是一种用于计算复合函数导数的方法。需要注意的是，由于两个函数组成了复合函数，所以在微分的时候，要先求出里面最先执行的函数的导数，再求下一个，一直到最后一个函数。
举个例子，假设我们有一个函数 $h(x) = (x^2 + 3)^3$，我们现在要求它的导数，也就是 $h'(x)$。那么我们可以使用链规则来求解。
我们可以将 $h(x)$ 分开成两个函数：
$$f(x) = x^3$$
$$g(x) = x^2 + 3$$
相应地，可以写出它们的导数：
$$f'(x) = 3x^2$$
$$g'(x) = 2x$$
将它们代入链规则的公式中，就可以求出 $h'(x)$：
$$(x^2 + 3)^3)' = 3(x^2 + 3)^2 \times (x^2 + 3)'$$
$$= 3(x^2 + 3)^2 \times 2x$$
$$= 6x(x^2 + 3)^2$$
总结一下，复合函数微分是一种计算复合函数导数的方法。其核心就是链规则，在求解中，我们需要分别求出每个函数的导数，并进行相应的处理。除了求导数之外，复合函数还可以应用在微积分、概率论等数学领域，成为一个非常重要的概念。
第四节 复合函数微分法
分布图示
★ 链式法则(1) ★ 链式法则(2)
★ 链式法则(3) ★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10
★ 全微分形式的不变性 ★ 例11
★ 例12 ★ 例13 ★ 例14
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内容要点
一、复合函数的中间变量为一元函数的情形 )](),([tvtufz
.dtdvvzdtduuzdtdz
二、复合函数的中间变量为多元函数的情形 )],(),,([yxvyxufz
,xvvzxuuzxz ,yvvzyuuzyz
三、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形 ],,),,([yxyxufz
xfxuufxz, .yfyuufyz
四、全微分形式的不变性
例题选讲
例1（E01）设,sintuvz而,cos,tveut 求导数.dtdz
解 dtdztzdtdvvzdtduuzttuvetcossin
ttetettcossincos.cos)sin(costttet
例2（E02）设,sinvezu而,,yxvxyu 求xz和.yz
解 xzxvvzxuuz1cossinveyveuu
)cossin(vvyeu)],cos()sin([yxyxyexy
yzyvvzyuuz1cossinvexveuu
)cossin(vvxeu)].cos()sin([yxyxxexy 例3 求 yxyxz2422)3(的偏导数.
