7.5 复合函数和隐函数的微分法

f 2 x f 3 xz ,
f 3 xy
xy y f 23 xy yz f 33 xy y f 3 , f13 y f 23 yz f 33 ) y f 3 . xy ( f13
全微分的形式不变性
z f ( u, v , w ).
y 2 f1 f 2 y cos x f 3 . x
式中的 f i 表示 z 对第 i 个中间变量的偏导数 (i = 1 ,
2 , 3)， 有了这种记法， 就不一定要明显地写出中
间变量 u， v， w . 类似地，可求得
1 z f1 2 f 2 sin xf 3 . x y
z z u z v . y u y v y
例 2 设 z = eu cos v， u xy ,
z z 求 ， . x y
v 2x y ,
解 因为 z e u cos v , u
u y, x u x, y
z e u sin v ; v v 2; x v 1 . y
2 z z 2 2 2 例 8 设 x 2 y 3z 4 , 求 , . x x y
解 令 F ( x, y, z) x 2 2 y 2 3z 2 4 . 所以
2. 二元隐函数的求导公式
定理
(隐函数存在定理).
设三元函数 F(x, y, z) 在 P0=(x0, y0, z0)的邻
域 U(P0)内有连续编导，F(x0, y0, z0)=0, F'z(x0, y0,
z0)0, 则在 P0 的某邻域内唯一确定一个有连续偏
导的函数 z = f (x, y), 满足 z0=f (x0, y0), 且 Fy z Fx z , Fz y Fz x 这就是二元隐函数的求导公式.
7.5.2 隐函数的微分法
1. 一元隐函数的求导公式 定理 (隐函数存在定理). 设函数F(x, y) 在点 P0 = (x0, y0)的邻域U(P0)
内有连续偏导数. 且F (x0, y0) = 0, Fy ( x0 , y0 ) 0. 则方程 F(x, y) = 0在点 P0 = (x0, y0)的某邻域内唯 一确定一个有连续导数的(单值)函数 y = f (x), 它满足 y0 = f (x0). 且 dy Fx . dx Fy 这就是一元 隐函数的求导公式.
z z y , . 例 3 设 z f ( , x 2 y , y sin x )，求 x y x y 解 令 u , v x 2 y , w y sin x , 于是 x
因为
所以
w u y v y cos x , 2, 1, x x x x u 1 v w , 2, sin x , y x y y y z y cos x f u 2 f v1 f w x x y 2 f1 f 2 y cos x f 3 . x
因此，无论z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质 叫做全微分的形式不变性.
y 例5. 用全微分形式不变性,求 z f ( xy , )的全微分dz . x y 解: 记 u = xy , v , 从而 z = f (u, v). x y dz f1du f 2dv f1d( xy ) f 2d x x d y yd x f1( xdy ydx ) f 2 2 x y 1 yf1 2 f 2 dx xf1 f 2 dy x x
z z u z v z z u z v , , x u x v x y u y v y
z z dx d y中 , 得 代入, d z x y z u z v z u z v dz dx dy u x v x u y v y z u u z v v dx dy dx dy u x y y v x z z du dv u v
例6
Fx dy . 公式： Fy dx
dy . 设 x y 2x , 求 dx
2 2
解 令 F ( x, y) x 2 y 2 2 x , 则
2 x 2 , Fy 2y , Fx
由公式得
dy 2x 2 1 x . dx 2y y
e
xy
x cos(2 x y ) sin( 2 x y ) .
注： 应用两个公式时， 可参考下图 表示 函数的复合 关系和求导的运算途径. z u v x z u v x y
dz z du z dv . dx u dx v dx
z z u z v , x u x v x
定理(复合函数偏导数的链式法则) 而 u ( x, y)和 设函数 z = f (u , v) 可微， v ( x , y ) 的一阶偏导数都存在， 这时，复合 函数 z = f [u(x , y), v (x , y)] 对 x 与 y 的偏导数都 存在且
z z u z v , x u x v x
z z z u v , u v
①
2 2 ( u ) ( v ) , lim 0 , 且 0 其中
得 又因一元函数 u 与 v 可导，所以 u 与 v 均连续，
x 0
lim 0 , 于是
2 2 lim lim x 0 x x 0 2 ( x ) 2
x z 设 z y , 求 dz . 例7
解 令 F ( x , y , z ) z x y z . 因为
x z y z 1 , F x z ln z , F y
x 1 z Fz xz y ln y , x z z ln z , x 1 所以 z x x z y ln y z zy z 1 , x 1 z y xz y ln y x z ln z z y z 1 dy 故 dz z dx . x 1 x 1 z y ln y xz xz y ln y
dz z du z dv . dx u dx v dx
全导数公式
证
给 x 以增量 x , 则 u ，v 有相应的增
量 u，v， 从而 z = f (u , v) 有全增量
z f ( u u, v v ) f ( u, v ) ,
根据假设，z = f (u , v) 在 (u , v) 偏导数连续，从而 知其可微，所以
设 z = f (u, v)可微, 当 u, v 为自变量时, 有 z z dz du dv u v 若 u, v 不是自变量, 而是中间变量, 是否仍 有这一形式? 设 u = u (x, y), v = v (x, y)均可微, 则 z z z = f (u (x, y), v (x, y)), d z dx dy x y 由链式法则,
例4 设 解
2u ( f 1 y f 2 yz f 3) zx z
u x u y u z
2 u u u u u f ( x , xy , xyz ), 求 : , , 及 . x y z zx
f 1 f 2 y f 3 yz
又如 z = f (u , v ) , u ( x , y , t ), v ( x , y , t ) , 则
z z u z v , x u x v x
z z u z v , y u y v y
z z u z v . t u t v t
可得
z x
e cos v y e sin v 2
u u
xy
e u ( y cos v 2 sin v )
e
y cos(2 x y ) 2 sin( 2 x y ) ,
z e u cos v x e u sin v ( 1) y u e ( x cos v si y u y v y
当 z = f (u , v , w ), u ( x , y ) , v ( x , y ) ,
( x , y ) 时， 其求导公式可参考关系图如下 .
u z v w y x
z z u z v z w , x u x v x w x z u z v z z w . u y y v y w y
7.5 复合函数和隐函数的微分法
7.5.1 多元复合函数微分法
定理 设一元函数 u = (x) 与 v = (x) 在
x 处均可导， 二元函数 z = f (x , y)在 x 的对应点 z z , , 则复合函数 (u , v) 处有一阶连续偏导数 u v
z f ( x ),( x ) 对 x 的导数存在， 且为

x
x0
0 , 再将 ① 式两边除以
x , 并求
x 0 时的极限， 则得
dz z lim dx x 0 x
z u z v lim lim lim x 0 u x x 0 v x x 0 x
z du z d v . u dx v d x
v 2 u sin 2 x , 设 z u , v x 1 , 求 例1 dz z du z dv . dz . dx u dx v dx dx z z v v 1 u ln u . vu , 解 因 v u du dv x 2 cos 2 x , . dx dx x2 1 x dz 则 v v 1 v u 2 cos 2 x u ln u dx x2 1 x ln u v 2v cos 2 x u 2 u x 1 x ln(sin 2 x ) 2 x 2 1 . (sin 2 x ) 2 x 1 cot 2 x 2 x 1