解三角形必考题型归纳梳理

解三角形题型归纳总结

一、正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理 正弦定理 余弦定理

内

容 asin A＝bsin B＝csin

C＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；

b2＝c2＋a2－2cacos B；

c2＝a2＋b2－2abcos C

变

形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C

(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R

(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C

(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin

C＝csin A cos A＝b2＋c2－a22bc

cos B＝c2＋a2－b22ac

cos C＝a2＋b2－c22ab

二、三角形中常用的面积公式

1.三角形中常用的面积公式

(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝12bcsin A＝12acsinB＝12absin C；

(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

2.在△ABC中常用结论

(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.

(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin A＋B2＝cos C2；cos A＋B2＝sinC2.

(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A

(7)合比定理：asin A＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R.

(8)在锐角三角形中①A＋B＞π2；②若A＝π3，则π6＜B，C＜π2

三、实际测量中的常见问题

求AB 图形 需要测量的元素 解法

求

竖

直

高

度 底部

可达

∠ACB＝α，

BC＝a 解直角三角形AB＝atan α

底部

不可达

∠ACB＝α，

∠ADB＝β，

CD＝a 解两个直角三角形AB＝atan αtan βtan β－tan α

求

水

平

距

离 山

两

侧 ∠ACB＝α，

AC＝b，

BC＝a 用余弦定理AB＝

a2＋b2－2abcos α

河

两

岸 ∠ACB＝α，

∠ABC＝β，

CB＝a 用正弦定理

AB＝asin αsinα＋β

河

对

岸 ∠ADC＝α，

∠BDC＝β，

∠BCD＝δ，

∠ACD＝γ，

CD＝a 在△ADC中，AC＝asin αsinα＋γ在△BDC中，BC＝asin βsinβ＋δ；

在△ABC中，应用余弦定理求AB

（一）仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．

（二）方位角和方向角

(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．

必考点1： 利用正弦定理解三角形

利用正弦定理可解决两类问题

基本类型 一般解法

已知两角及其中一角的对边，如A，B，a ①由A＋B＋C＝180°，求出C；

②根据正弦定理，得asin A＝bsin B及asin A＝csin C，求出边b，c.

已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A ①根据正弦定理，经讨论求B；

②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；

③再根据正弦定理asin A＝csin C，求出边c.

例题1： 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝( )

A．2

B．1

C．3 D．2 答案：D

变式1： 在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝3b，则角A＝________.

【解析】∵2asin B＝3b，∴2sin Asin B＝3sin B，得sin A＝32，

∴A＝π3或A＝2π3，

∵△ABC为锐角三角形，∴A＝π3.

利用余弦定理解三角形

利用余弦定理可解决两类问题

已知两边

和它们的

夹角，如

a，b，C ①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边c；

②根据cos A＝b2＋c2－a22bc，求出A；

③根据B＝180°－(A＋C)，求出B.

已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角；

由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角.

例题2： (2019·山东济南)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )

A．24 B．－24 C．34 D．－34

【解析】由题意得，b2＝ac＝2a2，即b＝2a，

∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋2a2－4a22a×2a＝－24.选B

变式2： (2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，

则B＝________.

方法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.

∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.

∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.又sin B≠0，∴cos B＝12.∴B＝π3.

方法二：∵在△ABC中，acos C＋ccos A＝b，∴条件等式变为2bcos B＝b，∴cos B＝12.

又0

必考点2： 判断三角形的形状

例题3： 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

【解析】由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，

∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A． ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．

变式3： 本题中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．

【解析】∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，

∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，∴sin(A－B)＝0.

又A，B为△ABC的内角．∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．

变式4： 本题中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．

【解析】∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，

又0

求三角形的面积

例题4：

(2017·全国卷Ⅲ)△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

【解析】 (1)由已知可得tan A＝－3，所以A＝2π3.

在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos 2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.

(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.

故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sin π612AC·AD＝1.

又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.

变式5： (2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.

【解析】∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，

∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C>0，∴sin A＝12.

由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝82bc＝4bc>0，∴cos A＝32，bc＝4cos A＝833，

∴S△ABC＝12bcsin A＝12×833×12＝233

必考点3： 解几何计算问题

例题5： 如图，在△ABC中，B＝π3，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．

(1)若△BCD的面积为33，求AB的长；(2)若DE＝62，求角A的大小．

【解析】 (1)∵△BCD的面积为33，B＝π3，BC＝2，∴12×2×BD×sin π3＝33，∴BD＝23.

在△BCD中，由余弦定理可得CD＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos B＝4＋49－2×2×23×12＝273.

∴AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝273＋23＝27＋23.

(2)∵DE＝62，∴CD＝AD＝DEsin A＝62sin A.在△BCD中，由正弦定理可得BCsin ∠BDC＝CDsin B.

∵∠BDC＝2∠A，∴2sin 2A＝62sin Asin π3，∴cos A＝22.∴A＝π4.

变式6： (2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－17.

(1)求∠A；(2)求AC边上的高．

【解析】(1)在△ABC中，因为cos B＝－17，所以sin B＝ 1－cos2B＝437.

由正弦定理得sin A＝asin Bb＝32.由题设知π2<∠B

(2)在△ABC中，因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝3314，

所以AC边上的高为asin C＝7×3314＝332.

必考点4： 考点6三角函数求值问题

例题6： (2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acosB－π6.

(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．

【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理asin A＝bsin B，可得bsin A＝asin B.

又由bsin A＝acosB－π6，得asin B＝acos B－π6，

即sin B＝cos B－π6，所以tan B＝3.又因为B∈(0，π)，所以B＝π3.

(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，

得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝7.由bsin A＝acosB－π6，可得sin A＝37 .

因为a

所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝437×12－17×32＝3314.

必考点5： 考点7解三角形综合问题

例题7： (2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.