数列递推关系与单调性

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2023高考数列专题——数列的函数性质

一、数列的单调性

解决数列单调性问题的三种方法

(1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；

(2)作商比较法：根据an＋1an(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断；

(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断．

例1(2022·滕州模拟)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为( )

A．[1，＋∞) B．(－3，＋∞)

C．[－2，＋∞) D．－92，＋∞

例2 若数列{an}满足an＝－2n2＋kn－1，且{an}是递减数列，则实数k的取值范围为

跟踪练习

1、已知数列{an}的通项公式为an＝n3n＋1，那么这个数列是( )

A．递增数列 B．递减数列

C．摆动数列 D．常数列

2、请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0

3、(2022·绵阳模拟)在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋12an＋1．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值．

二、数列的周期性

解决数列周期性问题的方法

根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．

例3、若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an1－an(n∈N*)，则该数列的前2 023项的乘积是( )

A．2 B．－6

C．3 D．1

例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知Sn为数列{an}前n项和，若a1＝12，且an＋1＝22－an(n∈N*)，2

则6S100＝( )

A．425 B．428

C．436 D．437

跟踪练习

1、(2022·福州模拟)已知数列{an}满足an＋1＝11－an，若a1＝12，则a2 023＝( )

§2.1 数列的概念与简单表示法(二)

学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).

预习教材P30－31完成下列问题：

知识点一 数列的函数性质

1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.

2.在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1

【预习评价】

1.从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？

提示 还可以用列表法，图象法.

2.数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？

提示 联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调.反之不正确，例如f(x)＝(x－54)2，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增.

区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)

知识点二 数列的表示方法

1.数列的递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.

2.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.

【预习评价】

1.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，则数列的第5项a5＝________，由此归纳出{an}的一个通项公式为________，可以求得a8＝________.

解析 ∵a1＝3，∴a2＝2a1＋1＝7，a3＝2a2＋1＝15，a4＝2a3＋1＝31，a5＝2a4＋1＝63，

∴a5＝63.可以看出an＝2n＋1－1，

∴a8＝29－1＝511.

不动点法解决数列通项公式的适用条件

要使用不动点法解决数列通项公式，首先需要确定数列的递推关系式。数列的递推关系式描述了数列中每一项与前一项之间的关系，通常用一个公式来表示。例如，Fibonacci数列的递推关系式为：$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$，其中$F(n)$表示第n个Fibonacci数。

在确定了数列的递推关系式之后，我们可以构造一个基于该递推关系式的函数。这个函数通常会包含一个参数，表示数列中的项数。例如，对于Fibonacci数列，我们可以定义一个函数$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$，其中$f(n)$表示第n个Fibonacci数。

接下来，我们需要找到这个函数的不动点。不动点就是满足$f(x) = x$的点，即在这个点上函数的值不会发生变化。通过迭代的方式，我们可以逼近这个不动点，从而得到数列的通项公式。

不动点法的适用条件主要取决于数列的递推关系式和函数的性质。在一般情况下，不动点法适用于具有良好递推性质的数列，即数列中的每一项都能够通过前一项和前两项来计算。此外，函数的性质也会影响不动点法的适用性，例如函数的连续性、单调性等。

总的来说，不动点法是一种有效的求解数列通项公式的方法。通过寻找函数的不动点，我们可以得到数列的解析表达式，从而更好地理解数列的性质和规律。在实际应用中，不动点法可以用于解决各种数学问题，如概率论、统计学等领域的数列求解。

数列讲义

数列的单调性

- 1 - 数列的单调性以及恒成立的问题

一、数列的单调性

（一）数列的单调性与函数的单调性的区别

【例题1】已知2*nannnN是单调递增数列，则的取值范围是

【例题2】给定函数y=f (x)的图像在下列图中，并且对任意a10,1，由关系an+1=f (an)得到an+1>an(n*N)，则该函数的图像是

（二）an=f (n)的单调性

【例题3】已知{an}的通项an=(n2-1)cn+cn-1(n*N)，其中实数c≠0，若对一切k *N有a2k>a2k-1，求c的取值范围.

【例题4】已知a1=a，an+1=Sn+3n，若an+1≥an (n*N)，求a的取值范围.

【变式训练】设数列{an}满足a1=2，11nnnaaa(n*N).

（I）证明：21nan对一切正整数n成立； 数列讲义 数列的单调性

- 2 - （II）令nnabn(n*N)，试判断bn和bn+1的大小，并说明理由.

【例题5】已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q*N，有ap+q=ap+aq.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）若数列{bn}满足112121212121nnnnbbba，求数列{bn}的通项公式；

（III）若3nnncb，是否存在实数，使得当n*N时，cn+1>cn恒成立？

数列讲义 数列的单调性

- 3 -

【变式训练】设数列{an}的各项都是正数，且对任意的n*N，都有333212nnaaaS，其中，Sn为数列{an}的前n项和.

（I）求证：2112nnnaSa；

（II）求数列{an}的通项公式；

（III）设1312nnannb为非零整数，n*N，试确定的值，使得对任意的n*N，都有bn+1>bn成立.