倒易格子与衍射—
1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例
一、倒易格子概念及性质
1. 倒易点阵的定义
设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。
二者之间的关系：
a*•a=1 a*•b=0 a*•c=0
b*•a=0 b*•b=1 b*•c=0
c*•a=0 c*•b=0 c*•c=1
则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。
2. 正倒格子的关系：
a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V
其中V= a • (b×c) 正格子的体积
或为：
a=(b*×c*)/V* b=(c*×a*)/V* c=(a*×b*)/V*
其中V*=a* • (b*×c*) 倒格子的体积
亦有： V* = 1/V
正倒格子的角度换算：
|a*| = bcsinα/V |b*| = casinβ/V |c*|
= absinγ/V
或： |a| = b*c*sinα*/V* |b| = c*a*sinβ*/V* |c|
= a*b*sinγ*/V*
上式中：
cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγ
cosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinα
cosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ
当晶体的对称中，α=β=γ=90°时
|a*| = 1/a |b*| =
1 第二章 晶体的结构习题及答案
1．晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，0A ，0B和0C分别与基矢1a，2a和3a重合，除0点外，0A ，0B ，和0C上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？
[解答] 晶面家族（123）截1a，2a ，和3a分别为1，2，3等份，ABC面是离原点0最近的晶面，0A的长度等于1a长度，0B的长度等于2a的长度的1/2 ，0C的长度等于3a的长度的1/3 ，所以只有A点是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则A、B、和C都不是格点。
2．在结晶学中，晶胞是按晶体的什么特性选取的？
[解答] 在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。
3. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？
[解答] 晶体中原子间距的数量级为1010米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于1010米。但可见光的波长为7.6 — 7100.4米,是晶体中原子间距的1000倍。因此，在晶体衍射中，不能用可见光。
4．温度升高时，衍射角如何变化？X光波长变化时，衍射角如何变化？
[解答] 温度升高时，由于热膨胀，面间距hkld逐渐变大，由布拉格反射公式
ndhklsin2可知，对应同一级衍射，当X光波长不变时，面间距hkld逐渐变大，衍射角逐渐变小。所以温度升高，衍射角变小。
当温度不变，X光波长变大时，对于同一晶面族，衍射角随之变大。
5．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度（一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度）分别为：
（1）简立方，6 ； （2）体心立方，83 ；
（3）面心立方，62 ； （4）金刚石结构，163 。
[解答] 该想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。
第五讲：晶体衍射
X射线晶体衍射
散射波振幅
衍射条件
布喇格对衍射条件的推导简洁而清楚地表述被格点处点电荷所散射的波相干涉条件。考
虑每个原胞
中电子密度空间分布所给出的散射强度。因为晶体中电子密度分布具有晶格周期性，因
此可以将电子密度函数作傅里叶展开：
()()∑
⋅⋅=
321 h h hi
hhennrK
Kr
(5.1)
由相距为r的体积元散射的射线束之间的位相差因子是()
r k' k
•−i
e，入射束和出射束的波矢分别是k
和k’。从一个体积元散射的波的振幅正比于该处的电子密度。在k’方向上散射波的总振幅F为：
()()
()()
()()
∑
∫∑
∫∫
⋅∆−⋅+−⋅−−
===
321321
h h hi
h h hhi
hi
hedVnedVnedVnF
rkKrk' k Krk' k
KKr
h
(5.2)
式中
k' k k−=∆ 为散射矢量。当散射矢量等于一个倒格矢K
h时，指数的幅角为零，F = Vn(K
h)。可
以证明当散射矢量同任一倒格矢相差足够大时，F小到可以忽略。
在不改变入射波粒子能量的弹性散射中，入射束和出射束的频率和波矢的数值不变。22
'kk=。
因此衍射条件为：
022
=+
•
hhKK k (5.3)
这个条件实际上布喇格定律在倒格子空间的表述形式。稍加变换可得：
()
321/2sin /22
hhhdπθλπ
= (5.4)
定义K
h的诸整数可能含有一个公因子n，然而在晶面密勒指数中的公因子n已被消去。这样就
得布喇格的结果：
λθ
nd=sin 2 (5.5)
单胞的结构因子
在实验上，对于衍射强度问题的研究必须考虑晶体的特殊对称性，因此在讨论衍射问题时，常
常采用结晶学中的原胞即单胞。当衍射条件
hK k=∆ 被满足时，对于一个由含有N个单胞的晶体，
散射振幅为：
()
si
sNfedVnNF
h==∫
•−rK
r
(5.6)
f
s称为单胞的结构因子，有时也称为几何结构因子。它定义为在一个单胞体积内的积分。令单胞的
第一章 晶体结构和倒格子
1. 画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。
(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅
（6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂
2. 对于六角密积结构，初基元胞基矢为
1a=jia3(2 jiaa3(22
求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。
3．用倒格矢的性质证明，立方晶格的[hkl]晶向与晶面（hkl）垂直。
4. 若轴矢cba、、构成简单正交系，证明。晶面族（h、k、l）的面间距为
2222)()()(1clbkahhkld
5．用X光衍射对Al作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54Å反射角为=19.20
求面间距d111。
6．试说明：1〕劳厄方程与布拉格公式是一致的；
2〕劳厄方程亦是布里渊区界面方程；
7．在图1－49（b）中，写出反射球面P、Q两点的倒格矢表达式以及所对应的晶面指数和衍射面指数。
8．求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。
9．说明几何结构因子Sh和坐标原点选取有关，但衍射谱线强度和坐标选择无关。
10. 能量为150eV的电子束射到镍粉末上，镍是面心立方晶格，晶格常数为3.25×10-10m,求最小的布拉格衍射角。
附：1eV=1.602×10-19J, h=6.262×10-34J·s, c=2.9979×108m/s
第二章 晶体结合
1．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成
nmrbrarU)(
(1) 求出晶体平衡时两原子间的距离；
(2) 平衡时的二原子间的互作用能；
