优选倒格空间晶体的X射线衍射

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倒格子和X衍射

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X射线光谱
图 2 元素特征X射线的激发机理
X射线的产生：高速电子流轰击金属，内层电子被击出，Kα1 、Kα2、Kβ1高
能级电子跃迁到低能级补充空位, 能量以X光的形式放出。
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图3
X射线的物理性质和穿过物质时的作用
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2、X射线的本质
劳厄斑Laue spots
X射线 X--ray
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劳厄斑晶体 Laue spots 晶体的三维光栅 crystal Three-dimensional “diffraction grating”
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• 由此，X射线被证实是一种频率很高（波长很短）的电磁波。 X射线的本质是电磁辐射，与可见光完全相同，仅是波长短而已，因此具有波粒二像性。 (1)波动性; (2)粒子性。
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• 2、正、倒格子对应关系不同空间描写晶体的对称性 • r空间 k空间 • Bravais格子倒格子 • W-S原胞 Brilliuon区 • 正格子的晶面(hkl)对应于倒格子的格点h,k,l；反之亦然。 • 3、等价的周期性 • 如果Kh是倒格矢，那么物理量的Fourier级数在晶体任何平移变换下具有所期待的不变性。
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图1 电磁波谱
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X照片
• 伦琴夫人的手
• 戒指
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1、X射线的产生
原子内壳层电子跃迁产生的一种辐射和高速电子在靶上骤然减速时伴随的辐射，称为X 射线。

倒格空间晶体的X射线衍射演示文稿

设A为任一格点，格矢
S0
A
Rl l1 a1l2 a2l3 a3
S
Rl
波程差
CO D
C O O D R lS 0R lSR lSS0
衍射加强条件为：
R lS S 0 (为)整劳数厄衍射方程
波矢 k02πS0,k2πS
λ
λ
R lk k 0 2 π μ
R lk k 0 2 π μ
*(2)3a2a3(a3a 1a 1a2)
A B C (A C ) B (A B ) C
a 3 a 1 a 1 a 2
a 3 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 1 a 2 Ω a 1
Ω * 2π 3a2a3Ω a1(2)3
Ω
正点阵中晶面族与倒易位矢的关系
倒格空间晶体的X射线衍射演示文稿
晶体结构是怎么测定的？
晶体结构与衍射图样的对应关系？
晶体的X光衍射
按照衍射理论，当辐射的波长与晶格中原子的间距相同或更小时，即可发生显著的衍射现象。
晶体衍射的基本方法
1、X射线衍射
X射线是由被高电压V
加速了的电子，打击在
hmaxeU
h
c
min
eU
“靶极”物质上而产生
(1)证明 Khh1b1h2b2h3b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢
a1,a2,a3上的截距分别为
a1 , a2 , a3 。
h1 h2 h3
a3
由图可知： CAOAOCa1 a3
C Kh
h1 h3 CBOBOCa2 a3
h2 h3
h12 h22 h32

1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例

倒易格子与衍射—1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。

引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。

二者之间的关系：a*•a=1a*•b=0 a*•c=0b*•a=0b*•b=1b*•c=0c*•a=0c*•b=0c*•c=1则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。

2. 正倒格子的关系：a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V其中V= a•(b×c)正格子的体积或为：a=(b*×c*)/V*b=(c*×a*)/V* c=(a*×b*)/V*其中V*=a*•(b*×c*)倒格子的体积亦有：V* = 1/V正倒格子的角度换算：|a*| = bcsinα/V|b*| = casinβ/V |c*|= absinγ/V或：|a| = b*c*sinα*/V* |b| = c*a*sinβ*/V* |c|= a*b*sinγ*/V*上式中：cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγcosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinαcosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ当晶体的对称中，α=β=γ=90°时|a*| = 1/a|b*| =1/b|c*| = 1/c单斜晶系时，α=γ=90°，β≠90°，即：α*=γ*=90°，β*=180°-β则：|a*| =1/asinβ |b*| = 1/b |c*| =1/csinβ图1-1.三斜晶系的倒易点阵如图1-1所示为三斜晶系的倒易点阵，其中a*在与bc平面垂直的方向，b*与ac平面垂直，长度为1/b，c*与ab平面垂直，长度为1/c。

[课件]第三章：晶体的X射线衍射PPT

2 ( O N M Q ) r ( k k ) rS
Q 1 Q

4 s i n S kk 2 k s i n 0 0
体系的散射波振幅为：
ES ( ) fa( SE ) ee （3-1）
ir S Q
N 1
* IS ( ) ESE () ( S )
5)倒易空间的强度分布．倒易体由（3-7）式，晶体的衍射强度为
I ( S ) I () c e FIS
I ( S ) 都是 S 的函数，但除晶体结构使 S 取式中 I e ，F， I c ( S ) 主要取决于干涉函数 I ( S )。某些值时F=0外， I ( S ) 具有主极大值，除某些使 F(S) 0的值 k 当 S2 h k l 时， I c ( S ) 也具有主极大值。当 S / 2 偏离 k h k l 时， I c ( S )将变外， I c ( S ) 才为0。也就是说，小，一直到 S 偏离到某一值时，在倒易空间，倒易点附近存在着一个衍射强度不为 k hkl 0的小区域。
这一倒易球上不在交线上的点其余小晶粒的倒格点不发生衍射也即粉末样品中只有一部分晶粒的与入射x射线的相对取向满足laue条件它们的倒格点位于倒易球与反射球的交线abde上而大部分晶粒的取向并不满足laue条件不发生衍其它指数的倒格点构成不同半径倒易球凡半径的倒易球都会与反射球相交形成一系列圆衍射线束构成一系列张角不同的圆锥衍射花样的记录平板照相面探测器
2 F 4 f 当(hk l)为偶数时， F 2 f ，， 2 当(hk l) 为奇数时， F 0 ， F 0 。据此，体心结构的晶体，不能产生如（001），（111）一等面的衍射。这种由于晶体结构的原因，在某些晶面上符合Bragg定律（Laue定律）的衍射光束消失的现象，称为结构消光。

X射线衍射和倒格子

第二章 X 射线衍射和倒格子大多数探测晶体中原子结构的方法都是以辐射的散射概念为基础的。

早在1895年伦琴发现X 射线不久，劳厄在1912年就意识到X 射线的波长量级与晶体中原子的间距相同，大约是0.1nm 量级，晶体必然可以成为X 射线的衍射光栅。

随后布拉格用X 射线衍射证明了NaCl 等晶体具有面心立方结构，从而奠定了用X 射线衍射测定晶体中的原子周期性长程有序结构的地位。

随着科学技术的不断发展，电子、中子衍射有为人类认识晶体提供了有效的探测方法。

但到目前为止，X 射线衍射仍然是确定晶体结构、甚至是只具有短程有序的无定形材料结构的重要工具。

本章以X 射线衍射为例介绍晶体的衍射理论，引入倒格子的概念，在此基础上介绍原子形状因子和几何结构因子，并介绍几种确定晶格结构的实验方法。

§2.1 晶体衍射理论一、布拉格定律（Bragg ’s Law ）X 射线是一种可以用来探测晶体结构的辐射，其波长可以用下式来估算012.4()()hcE h A E KeV νλλ==⇒= （2.1.1）能量为2~10KeV 的X 射线适用于晶体结构的研究。

在固体中，X 射线与原子的电子壳层相互作用，电子吸收并重新发射X 射线，重新发射的X 射线可以探测得到，而原子核的质量相对较大，对这个过程没有响应。

X 射线的反射率大约是10-3~10-5量级，在固体中穿透比较深，所以X 射线可以作为固体探针。

1912年劳厄（ul ）等发现了X 射线通过晶体的衍射现象之后，布拉格（W.L.Bragg ）父子测定了NaCl 、KCl 的晶体结构，首次给出了晶体中原子规则排列的实验数据，发现了晶态固体反射X 射线特征图像，推导出了用X 射线与晶体结构关系的第一个公式，著名的布拉格定律（Bragg ’s Law ）。

布拉格对于来自晶体的衍射提出了一个简单的解释。

假设入射波从晶体中的平行晶面作镜面反射，每个平面反射很少的一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。

1.10-倒格空间

4
倒格子和倒易空间
5
6
7
8
9
倒格子与正格子布喇菲格子) 与正格子(布喇菲格子 ● 倒格子与正格子布喇菲格子有什么关系？有什么关系？
10பைடு நூலகம்
一、正格子与倒格子互为对方的倒格子
证明？证明？
11
二、正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于
12
三、倒格矢 (h1h2h3)正交正交
与正格子晶面族
13
四、倒格矢
的模与晶面族(h 的模与晶面族 1h2h3)的面间距成反比的面间距成反比
14
五、常见布喇菲格子的倒格子
证明？
15
正格子与倒格子关系示意图
16
2
第一章倒格子倒格子与X-ray衍射衍射联系一起衍射第三章倒格子与晶体格波、声子联系一起格波、声子倒格子格波第五章倒格子德布罗意波(电子倒格子与德布罗意波电子德布罗意波电子)联系一起
3
倒格子和倒易空间如何定义? ● 倒格子和倒易空间如何定义与正格子(布喇菲格子有什么关系？布喇菲格子)有什么关系 ● 与正格子布喇菲格子有什么关系？
第一章晶体的结构
1.10 倒格空间
徐智谋
华中科技大学光电子科学与工程学院
1
倒格子和倒易空间，最初是由Ewald 倒格子和倒易空间，最初是由Ewald 引入用来描述和解释晶体中x射线衍射现象的一种方法。述和解释晶体中x射线衍射现象的一种方法。然而，固体物理学的进一步发展表明，然而，固体物理学的进一步发展表明，其意义远非仅此。由于晶体微观结构的平移对称性(即周期性) 非仅此。由于晶体微观结构的平移对称性(即周期性)，平移对称性使得晶体内原子、电子等微观粒子运动的量子态量子态可用使得晶体内原子、电子等微观粒子运动的量子态可用一个几何点来标记倒易空间中的一个几何点来标记，倒易空间中的一个几何点来标记，这大大简化了对晶体内原子、电子等微观粒子运动的研究。因此，体内原子、电子等微观粒子运动的研究。因此，倒格子和倒易空间这一概念在固体物理学中是非常重要的，子和倒易空间这一概念在固体物理学中是非常重要的，它几乎贯穿于整个固体物理学领域。它几乎贯穿于整个固体物理学领域。

晶体结构与X射线衍射

晶体结构与X射线衍射晶体结构与X射线衍射是固体物理学中的重要研究领域。

晶体是由原子、离子或分子按照一定的规则排列而成的，其结构对物质的性质和行为有着重要影响。

而X射线衍射是一种通过照射晶体样品并观察衍射图样来研究晶体结构的方法。

本文将介绍晶体结构与X射线衍射的基本原理、实验方法和应用。

晶体结构的基本概念晶体是由原子、离子或分子按照一定的规则排列而成的固体。

晶体结构的基本概念包括晶胞、晶格和晶系。

晶胞晶胞是晶体中最小的重复单元，它可以通过平移操作重复堆积形成整个晶体。

晶胞可以用一组参数来描述，包括晶胞边长和夹角。

晶格晶格是由无限多个平行于某个方向的平面组成的空间点阵。

每个点代表一个晶胞，整个晶体的结构可以通过晶格来描述。

晶系晶系是根据晶胞的几何形状和夹角来分类的。

常见的晶系有立方晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱面晶系和三斜晶系。

X射线衍射的基本原理X射线衍射是一种通过照射晶体样品并观察衍射图样来研究晶体结构的方法。

其基本原理可以用布拉格方程来描述。

布拉格方程布拉格方程是描述X射线衍射的基本关系式，它可以用来计算衍射角和晶格参数之间的关系。

布拉格方程可以表示为：其中，为衍射阶次，为入射X射线波长，为晶面间距，为衍射角。

衍射图样当入射X射线照射到晶体上时，会发生衍射现象。

通过观察衍射图样，可以得到有关晶体结构的信息。

衍射图样通常由一系列亮暗相间的环或条纹组成，每个环或条纹对应着不同的衍射阶次。

X射线衍射的实验方法X射线衍射实验通常使用X射线衍射仪进行。

下面介绍几种常见的X射线衍射实验方法。

Laue法Laue法是最早发现的X射线衍射方法之一。

它利用入射X射线的波长与晶体晶格常数之间的关系，通过观察衍射图样来研究晶体结构。

旋转法旋转法是一种常用的X射线衍射实验方法。

它通过旋转晶体样品和探测器，记录不同角度下的衍射图样，从而得到有关晶体结构的信息。

粉末法粉末法是一种广泛应用于材料科学研究中的X射线衍射方法。

晶体X射线衍射

➢ 当采用短波x射线照射时，能参与反射的干涉面将会增多。
布拉格方程的讨论（6）
应用从实验角度可归结为两方面的应用： ➢ 一方面是用已知波长的x射线去照射晶体，通过衍
射角的测量求得晶体中各晶面的面间距d，这就是结构分析； ➢ 另一方面是用一种已知面间距的晶体来反射从试样发射出来的x射线，通过衍射角的测量求得x射线的波长且，这就是X射线光谱学。该法除可进行光谱结构的研究外，从x射线的波长尚可确定试样的组成元素。电子探针就是按这原理设计的。
一个原子分布与之完全相同的面。此时面簇中最近原点的晶面在X轴上截距已变为1／2，故面簇的指数可写作(200)。又因面间距已减为原先的一半，相邻晶面反射线的程差便只有一个波长发生了一级反射，其相应的布喇格方程为
2d200sinθ＝λ
2d sin n
布拉格方程的讨论（2）
➢ 一般的说法是，把(hkl)的n级反射，看作(nh nk nl)的一级反射。如果(hkl)的面间距是d，则(nh nk nl)的面间距d／n。
布拉格方程的讨论（4）
• 掠射角
➢掠射角θ是入射线或反射线与晶面的夹角，一般可以表征衍射的方向。
➢由布拉格方程得知：sinθ=λ/2d
当λ一定时，d相同的晶面必然在θ相同的情况下才能同时获得反射，当用单色X射线照射多晶体时，各晶粒中d相同的晶面其反射线将有着确定的方向关系，这里所指d相同的晶面，也包括等同晶面；
➢ 当d一定时，且减小，n可增大，说明对同一种晶面，当采用短波X射线照射时，可获得较多级数的反射，即衍射花样比较复杂。
➢ 在晶体中，干涉面的划取是无限的，但并非所有的干涉面均能参与衍射，因为dsinθ=λ／2或者d≥λ／2。此表达式说明只有间距大于或等于X射线半波长的那些干涉面才能参与反射。

倒格子——精选推荐

a
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。

固体物理学-晶体X射线衍射的实验方法

b、c，现在沿该晶体的［100］方向入射X射线。确定在哪些方向上出
现衍射极大？并指出在什么样的波长下，能观察到这些衍射极大。
解：
简单正交格子正格基矢：
՜ ՜ ՜
, ,
表示沿三个坐标轴方向的单
位矢量。
Solid State Physics
简单正交格子正格基矢：
其倒格基矢：
倒格矢：
据题意，入射的X射线的波矢
实的抽象，有严格的物理意义。
(2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，没有特
定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。
(3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。但由
于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描述了X
射线在晶体中的衍射，故成为有力手段。
(4) 如需具体数学计算，仍要使用布拉格方程。
❖该球称为反射球
（Ewald 球）
Solid State Physics
➢ 入射、衍射波矢的起点
永远处于C点，末端永
远在球面上
S/
➢ 随2的变化，衍射波矢
C
可扫过全部球面。nKh

的起点永远是原点，终
nKh
点永远在球面上
2

nKh
2

2

0
nKh
O
Solid State Physics
4. 反射球球心C与倒易点的连线
即为衍射方向。
hklLeabharlann 2sC
0
O
Solid State Physics
如果没有倒易点落在球面上，则无衍射发生。
为使衍射发生，可采用两种方法。
hkl

2

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“靶极”物质上而产生
的一种电磁波。
min
hc eU
1.2103 U
(nm)
当 U 104 V, λ ~ 0.1nm
在晶体衍射中，常取U ~ 40千伏，所以 ~
0.03nm
劳厄与晶体X射线衍射
德国慕尼黑大学理论物理学家 X射线衍射的发现者 1914年诺贝尔物理学奖
Max von Laue 1979-1960
当 U ~ 0.1V,λ ~ 0.1nm
中子主要受原子核的散射，轻的原子对于中子的散射也很强，所以常用来决定氢、碳在晶体中的位置。
中子具有磁矩，尤其适合于研究磁性物质的结构。
X射线衍射方程
1.劳厄衍射方程
设X射线源和晶体的距离以及观测点和晶体的距离都比晶体线度大得多。
(1)入射线和衍射线为平行光线；（2）入射光为单色光 (3)略去康普顿效应；
K hkl ha kb lc
dhkl
2
Khkl
倒易点阵的物理意义：
(1) 倒易点阵的一个基矢是与正点阵的一组晶面相对应的；
(2) 倒易点阵基矢的方向是该晶面的法线方向；
(3) 倒易点阵基矢的大小是该晶面族的晶面间距的倒数的2π倍。单位为长度的倒数
例：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为
2
2
2 a
k
2 a
22
2 a
2
22
2 a2
a2
j k
22
a2 a3 a2 j a2 k 22
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
b1
2π Ω
a2 a3
2π a3
a2 2
j k 2π a
jk
2
同理得：
b2
2π a
ik
b3
2π a
i
j
倒格矢：
b1
2π a
波矢 k0 2π S 0 , k 2π S
λ
λ
Rl k k0 2π μ
Rl k k0 2π μ
k k 0 K h
Rl Kh 2π μ
倒格矢
K h h1'b1 h2'b2 h3'b3
两种点阵的基矢之间的关系：
ai
bj
2
ij
ij
1
if
i j
ij 0 if i j
(4) S 0和S 分别为入射和衍射线方向的单位矢量；
(5)只讨论布喇菲晶格。
设A为任一格点，格矢
S0
A
Rl l1a1 l2 a2 l3 a3
波程差
S
Rl
CO D
CO OD Rl S0 Rl S Rl S S0
衍射加强条件为：
Rl S S0 (为整数)
劳厄衍射方程
d h1h2h3 证明：
a h12 h22 h32
d K2π 法一：由
2π Kh
d h1h2h3
得：
h1h2h3
h1h2h3
简立方：a1 ai,a2 a j,a3 ak,
b1 2π a2 a3 2π i
Ω
a
b2 2π a3 a1 2π j
Ω
a
2π
2π
b3 a1 a2 k
a
a2 i j k 2
a
a3 i j k 2
b1 2π a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1
Ω
b3 2π a1 a2 Ω
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
i jk
a a
aa
a a
a2 a3
a a 22
a 2
i
2 a
a a a
2
2 a
j
2 a
正格子和倒格子基矢的关系
倒格子基矢
2π
b1 a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
b3 ab3 2
a2
a1
b1
a1 (a2 a3)
正格子与倒格子互为对方的倒格子
例：证明体心立方的倒格是面心立方。
解：体心立方的原胞基矢：
a
a1 2 i j k
jk
b2
2π a
ik
2π
b3 a i j
体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方
两种格子原胞体积之间的关系
正点阵晶胞的体积为：
a1 (a2 a3)
倒易点阵的体积为：
* b1 (b2 b3)
正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于(2π)3
* (2 )3 a2 a3 ( a3 a1 a1 a2 )
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢
பைடு நூலகம்
a1,a2,a3上的截距分别为
a1 , a2 , a3 。
h1 h2 h3
a3
由图可知： CA OA OC a1 a3
C Kh
h1 h3 CB OB OC a2 a3
h2 h3
a3/h3 a2/h2
B
O a1/h1 A
Kh
2.电子衍射
h , P 2 eU ,P 2meU ,
P 2m
h
2meU
1.5（nm）
U 当 U 150V,λ ~ 0.（ 1 nm）
电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱，电子衍射主要用来观察薄膜。
3.中子衍射
m中 2000m电
1.5 7.5 102nm 2000U U
UESTC
优选倒格空间晶体的X射线衍射
晶体结构是怎么测定的？
晶体结构与衍射图样的对应关系？
晶体的X光衍射
按照衍射理论，当辐射的波长与晶格中原子的间距相同或更小时，即可发生显著的衍射现象。
晶体衍射的基本方法
1、X射线衍射
X射线是由被高电压V
加速了的电子，打击在
h
max
eU
h c eU
min
CA (h1b1
h2 b2
h3 b3 )
a1 h1
a2 h2
0
a2
a1
K h CB (h1b1
h2 b2
h3 b3 )
a2 h2
a3 h3
0
所以 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
2π
(2)证明 K h h1b1 h2 b2 h3 b3
A B C (AC)B (A B)C
a3 a1 a1 a2
a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 Ω a1
Ω* 2π 3 a2 a3 Ω a1 (2 )3
Ω
正点阵中晶面族与倒易位矢的关系
(1)证明 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
的长度等于
。
d h1h2h3
由平面方程： X n d 得：
d h1h2 h3
a1 h1
Kh Kh
a1 h1 b1 h2 b2 h3 b3
2π
h1
Kh
Kh
在晶胞坐标系 a,b,c 中，
a 2π b c Ω
b 2π c a Ω
c 2π a b Ω
Ω (ab )c