4、反比例函数的图象和性质应用(3)

两者区别
幂函数图像根据n的正负而不同， 反比例函数图像为双曲线，两者 在坐标系中的位置和形状也不同。
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04
反比例函数的应用
在物理中的应用
电流与电阻的关系
在电路中，电流与电阻成反比关系，即当电阻增大时，电流减小；反之亦然。 这是反比例函数在物理中的一个重要应用。
声速与介质的关系
声速在固体、液体和气体中的传播速度与介质的密度和介质的性质有关，通常 呈现反比例关系。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，供需关系可以用反比例函数来表示。当供应量增加时，需求量可能 会减少，反之亦然。
定义域
反比例函数的定义域为$xneq0$，即除 了$x=0$以外的所有实数。
奇偶性分析
奇函数
反比例函数$f(x)=frac{k}{x}$是奇函数，因为对于任意实数$x$， 都有$f(-x)=-frac{k}{x}=-f(x)$。
偶函数
反比例函数不是偶函数，因为对于任意实数$x$，都有$f(x)neq f(x)$。
k 的影响
当 k > 0 时，图像位于第 一象限和第三象限；当 k < 0 时，图像位于第二象 限和第四象限。
渐近线
反比例函数的图像有两条 渐近线，分别是 x 轴和 y 轴。
反比例函数的性质
当 x > 0 时，y 随着 x 的增大而减小； 当 x < 0 时，y 随着 x 的增大而增大。
无界性：反比例函数的值域和定义域 都是无限的，但在实数范围内是有界 的。
反比例函数的图象与性 质
目录 CONTENT
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图像特点 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他函数的比较

§9.2反比例函数的图象与性质（3）1．进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质，掌握比例系数k 的几何意义。

2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法掌握比例系数k 的几何意义，体会数形结合及转化的思想方法。

【知识回顾】反比例函数的性质？【预习导航】1、画出反比例函数y =x3在第一象限内的图象，点M 、N 是图象上的两个不同点，分别过点M 、N 作x 垂线，垂足分别为A 、B ，试探索 △MOA 的面积与△NOB 的面积之间的大小关系。

概括：过反比例函数图象上任意一点作x 的垂线，那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个 。

【预习反馈】1、如图，过反比例函数xy 1（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定2、如图是反比例函数y ＝k x在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC 的面积为2，则k ＝ ．学习过程【预习疑惑】【合作探究】1、如图，Rt △AOB 顶点A 是一次函数3++-=m x y 的图象与反比例函数xm y =的 图象在第二象限内的交点，且S △AOB ＝1，求A点坐标．2、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1y=x9的图象在第一象限相交于点A 。

过点A 分别作x 轴、y 为点B 、C 。

如果四边形OBAC 是正方形，求一次函数的关系式。

【小组展示】1、如图5，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S > 2、如图，直线y=mx 与双曲线y=xk 交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2C 、mD 、43、如图，在反比例函数2y x=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为12S S S ，，，则12S S S ++= ．图52y x=xyOP 1P 2P 3 P 4 12 344、如图 7，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数 2k y x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点 A （1，3）．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x【总结反思】【课后作业】1、函数m xy +=与)0(≠=m xm y 在同一坐标系内的图象可以是（ ）2、在△ABC 的三个顶点Ａ（2，－3），Ｂ(―4，―5)，Ｃ（－3，2）中，可能在反比例函数)0(k ＞xk y =的图象上的点是 ．4、在反比例函数4y x=-的图象上有两点11()A x y ，、22()B x y ，，当120x x >>时，1y 与2y 的大小关系是 ． 5、已知双线xk y =与直线1+-=x y 都经过点),2(m 则________,==k m ．6、一次函数12-=x y 与反比例函数xy 4=的图象交点的个数为（ ）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无数个 7、如图，点A 、B 为反比例函数(0)k y x x=<上的两点，则12S S 与的大小关系为（ ）A ．12S S < B. 12S S > C. 12S S = D.无法确定8、（1）如图（1）,A 、C 分别是反比例函数y ＝x1图象上两点。

17.1.2 反比例函数的 图像和性质（3）
永定县仙师中学 罗新全
k2 如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2= x
的图像交于A（-1, 2）、B（1, -2）两点，若
y1 ＜y2，则x的取值范围是（ A. x＜-1或x＞1 B. x＜-1或0＜x＜1 C. -1＜x＜0或 0＜x＜1 D. -1＜x＜0或x＞1 ）
Y D k 如图，已知双曲线 y 和直线y=mx+n交于点 X x S A和B，B点的坐标是（2，-3），AC垂直y轴于 Z 点C，AC=1.5 ； y X （1）求双曲线和直线的 C A 解析式； （2）求△AOB的面积。
O B
x
A3(x3，y3)为双曲线上的三 点，且 x1＜x2＜0＜x3，请 直接写出y1，y2，y3的大小 关系式； （3）观察图象，请直接写出不等
k2 式k1x＋b＞ 的解集． x
如图，已知点A在反比例函数 图象上，AM⊥x轴于点M， 且△AOM的面积为1，则反比 例函数的解析式为 ．
Y D X S Z X
Y D 如图所示，在x轴的正半轴上依次截OA1= A1A2 X = A2A3 = A3A4 = A4A5 …，过A1、A2、A3、A4、 S Z 2 A5 … 分别作x轴的垂线与反比例函数y= 的图 X
x
象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、 △A1A2P2、△A2A3P3…的 面积分别为S1、S2、S3…， 按此作法进行下去，则Sn 的值为 （n为正整数）．
பைடு நூலகம்
Y D X S Z X
Y D k2 如图，直线y=k1x+b与双曲线y= 交于A、B两 X x k2 S 点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b< Z x X 的解集是_________．

13
练一练
B
(1)、(2)、(3) (4)
14
练一练
D
15
活动三：反比例函数y=
从数的角度看，若点(x,y) 数6
x
6 x
还有什么性质？
的图
6 在反比例函数y= x 6 x
像上，则它关于原点的对称点(－x,－y)也在反比例函
y= 的图像上，所以反比例函数y= 的图像关于原
点 从形的角度，把双曲线的一个分支绕原点旋转180° 成中心对称。 一定与另一支重合。
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作业：《同步练习》P35-37
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共同特征：图像不过坐标原点，图像为两支曲线 且与两坐标轴无交点。 不同点：图像分为在第一、三象限和第二、四象 限两类。
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活动二：归纳反比例函数的性质
探究二：函数y=
k x
（k≠0）图像位于哪些象限由什么
因素决定的？为什么？
由xy=k（K＞0）得x、y同号，反映到函数图像上 图像在第一、三象限； 由xy=k（K＜0）得x、y异号，反映到函数图像上 图像在第二、四象限。 （从数到形，又从形到数。）
反比例函数的图像和性质
反比例函数相对应的性格推测： 你好奇心强，对新事物抱有开放的态度， 你向往改变，讨厌束缚，假以时日一定能成 就一番事业，但有时会强出风头。
2
问题1：反比例函数的表达形式有几种？
k 1、y= x
2、y=kx-1
3、xy=k (k≠0)
问题2：在以前一次函数、二次函数的学习中， 我们研究了哪些内容？
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活动四：反比例函数与正比例函数类比，“反”在何处？
反在：
由“直”到 “曲”； 由“连续”到 “间断”；由 与坐标轴“相 交”到“渐 近”。