二项式定理计数原理

C.-56
√
D.-28
)
解析:(1)因为只有第5项的二项式系数最大,

8
所以 n=8,(x- ) 的展开式的通项为 Tk+1=(-1)


- (k=0,1,2,…,8),
k
所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等,偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数,而展开式中
解析:(2)(1+3x) 的展开式中前三项的二项式系数和为 + + =
n
1+n+
(-)

12
2
*
=79,整理可得 n +n-156=0,因为 n≥2 且 n∈N ,解得 n=12,
(1+3x) 的展开式通项为
r
r r


Tr+1= ·(3x) = ·3 x (r=0,1,2,…,12),
因为r∈N,故r=9,因此,展开式中系数最大的项为第10项.故选D.
(1)二项式系数最大值直接利用二项式系数的性质求解.
(2)二项展开式系数最大项的求法常采用不等式法.
如求(a+bx)n(a,b∈R,n∈N*)的展开式系数最大的项,一般是先用
待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数
3.杨辉三角
下面的数表称为杨辉三角:
其中第n行是
-
-


1, , ,…, , ,1
.
n
在(a+b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项
n-1






式系数的和,即 + + +…= + + +…=2 .

排列,组合,二项式定理一.两个基本计数原理㈠分类计数原理(加法原理):做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的方法.㈡分步计数原理(乘法原理):做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.㈢分类计数原理和分步计数原理的联系与区别:两个原理是排列组合的基础和核心,既可用来推导排列数、组合数公式,也可用来直接解题.1.它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算.2.只不过利用分类计算原理时,每一种方法都可能独立完成事件;如需连续若干步才能完成的则是分步.利用分类计数原理,重在分“类”,类与类之间具有独立性和并列性;利用分步计数原理,重在分步;步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题,常先分类再分步.★乘法原理:可．以有．．重复．．元素．．的排列(“邮筒投信”问题) ★从m 个不同元素中,每次取出n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数为m·m·… m = m n ...1例将n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法？(解:n m 种).2例有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？(解:53种)三.排列与排列数(1)排列的概念:从n 个不同元素中,任取)(n m m ≤个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的一个排列．(2)排列数的定义:从n 个不同元素中,任取)(n m m ≤个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的排列数。

本
解析 依题意 C57a2＋C37a4＝2C74a3.
课
时 由于 a≠0，整理得 5a2－10a＋3＝0，
栏
目 开 关
解得
a＝1±
10 5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.1
4．求2
x－
1 6 x
的展开式．
解 先将原式化简，再展开，得
本
2 x－ 1x6＝2x－x 16＝x13(2x－1)6
开 关
(a＋b)在相乘时都有两种选择：选 a 或选 b，而且每个(a＋b)
中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法
计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 展开式共有 2×2＝
22 项，而且 a2－kbk 相当于从 2 个(a＋b)中取 k 个 b 的组合数
Ck2，即 a2－kbk 的系数是 Ck2.
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当 9－2r＝5 时，解得 r＝2，所以系数为 36.
所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.
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1.3.1
探究点三 综合应用
例3
已知
x－ 2
1 4
x
n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次
成等差数列．
本
(1)证明：展开式中没有常数项；
课
时
(2)求展开式中所有的有理项．
栏 目 开 关
(即1)证n2－明9n＋由8题＝意0，得：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，
∴n＝8 (n＝1 舍去)．
∴Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·－241
xk＝－12k·Ck8x
8－k 2
·x－4k ＝

系数； (2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数． 解 (1)(1＋2x)7 的展开式的第 4 项是 T3＋1＝C37×17－3×(2x)3 ＝C73×23×x3＝35×8x3＝280x3. 所以展开式的第 4 项的二项式系数是 35，系数是 280.
(2)x－1x9 的展开式的通项是 Cr9x9－r－1xr＝(－1)rCr9x9－2r. 根据题意，得 9－2r＝3，r＝3. 因此，x3 的系数是(－1)3C93＝－84.
1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋
方法二 1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4[x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1] ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14.
探究点二 二项展开式的通项 例 2 (1)求(1＋2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数、项的
问题 3 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ 答 (1)它有 n＋1 项，各项的系数 Ckn(k＝0,1，…，n)叫二项 式系数； (2)各项的次数都等于二项式的次数 n.
问题 4 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有 代表性？ 答 (1)字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0，字母 b 按升 幂排列，次数由 0 递增到 n； (2)Cknan－kbk 叫二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即通项 Tk＋1＝Cknan－kbk.
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变 形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x)5(1＋x＋x2)5 的展开式，可将原式变形为(1－x3)5，再展开较为方便．
跟踪训练 1 求1＋1x4 的展开式．
解 方法一 x62＋x43＋x14.