【配套K12]七年级数学下册 2.2 乘法公式《完全平方公式》典型例题素材 (新版)湘教版

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《完全平方公式》典型例题
例1 利用完全平方公式计算：
（1）2)32(x；（2）2)42(aab；（3）2)221(bam．

例2 计算：
（1）2)13(a；（2）2)32(yx；（3）2)3(yx．

例3 用完全平方公式计算：
（1）2)323(xy； （2）2)(ba； （3）2)543(cba．

例4 运用乘法公式计算：
（1）))()((22axaxax； （2）))((cbacba；
（3）2222)1()1()1(xxx．

例5 计算：
（1）2241)321(xx；（2）)212)(212(baba；（3）22)()(yxyx．

例6 利用完全平方公式进行计算：（1）2201；（2）299；（3）2)3130(
例7 已知12,3abba，求下列各式的值．
（1）22ba；（2）22baba；（3）2)(ba．

例8 若2222)()(3cbacba，求证：cba．
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参考答案
例1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算．
解：（1）22229124)3(3222)32(xxxxx；
（2）222222216164)4(422)2()42(ababaaaababaab；
（3）22224241)221(bambmabam．
说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）
在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现
22
3124)32(xxx
的错误．

例2 分析：（2）题可看成2]3)2[(yx，也可看成2)23(xy；（3）题可看成
2)]3([yx，也可以看成2
])3[(yx
，变形后都符合完全平方公式．

解：（1）2221132)3()13(aaa
1692aa
（2）原式22)3(3)2(2)2(yyxx
229124yxyx
或原式2)23(xy
22)2(232)3(xxyy
224129xxyy
（3）原式2)]3([yx
2)3(yx
2232)3(yyxx
2269yxyx
或原式22)3(2)3(yyxx 2269yxyx
说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．
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例3 分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式x32为公式中a，y3为公式中b，利用
差的平方计算；第（2）小题应把2)(ba化为2)(ba再利用和的平方计算；第（3）小
题，可把任意两项看作公式中a，如把)43(ba作为公式中的a，c5作为公式中的b，再两
次运用完全平方公式计算．
解：（1）2)323(xy=2229494)332(yxyxyx
（2）2)(ba=2222)(bababa
（3）22225)43(10)43()543(cbacbacba
=abbcbcaca24162540309222
说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：222)(baba，
222
)(baba
．

例4 分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计
算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项ca，和互为相反数的项b，
所以先利用平方差公式计算])[(bca与])[(bca的积，再利用完全平方公式计算
2)(ca；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为22
)]1)(1(10[(xxx
，再利用乘法公

式计算．
解：（1）原式=422422222222)())((axaxaxaxax
（2）原式=22)(])][()[(bcabcabca
=2222bcaca
（3）原式=22222)]1)(1[()]1)(1)(1[(xxxxx
=12)1(4824xxx．
说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简
化运算的目的．

例5 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第
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（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．
解：（1）xxxxxx3941934141)321(2222；
（2）]21)2][(21)2[()212)(212(babababa
414441)2(222bababa；
（3）)2(2)()(222222yxyxyxyxyxyx
xyyxyxyxyx4222222．
说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研
究．
例6 分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和
或差．
解：（1）4040112002200)1200(201222；
（2）980111002100)1100(99222．
（3）2)3130(＝222)31(3130230)3130(
.219209120900
说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便
于计算的两个数，这才能达到简算的目的．
例7 分析：（1）由完全平方公式2222)(bababa，可知
22ba2)(baab2，可求得3322ba
；

（2）45)12(332222abbababa；
（3）57)12(2332)(222bababa．
解：（1）33249)12(232)(2222abbaba
（2）451233)12(33)(2222abbababa
（3）abbabababa2)(2)(22222
572433)12(233
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说明：该题是2222)(bababa是灵活运用，变形为abbaba2)(222，
再进行代换．
例8 分析：由已知条件展开，若能得出,0)()()(222accbba就可得到
,0,0,0accbba进而,,cbaaccbba
同时此题还用到公式

bcacabcbacba222)(2222
．

证明：由,)()(32222cbacba得
acbcabcbacba222333222222
.0222222222bcacabcba
则0)2()2()2(222222aacccbcbbaba
.0)()()(222accbba
∵ .0)(,0)(,0)(222accbba
∴ .0,0,0accbba
即,,,accbba得cba．