乘法公式,知识梳理,经典中考题

乘法公式专题【主要内容】 1．两数和乘以它们的差·推导：（a+b ）（a-b ）=22b ab ab a ++-（多项式乘法法则） 22b a -= （合并同类项） ·公式：（a+b ）(a-b)＝a 2-b 2·语言表示：两个数的和与这两个数的差的积等于这两数的平方差 ·用面积表示：矩形ABCD 的面积=（a+b ）（a-b ） 公式的结构特征：①左边：两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。

②右边：两项的平方差，其中被减数就是左边两个二项式中完全相同的项的平方。

③公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式 2．两数和的平方·推导 222))(()(b ab ab a b a b a b a +++=++=+（多项式乘法法则）222b ab a ++= （合并同类项）·公式：()2222b ab a b a +±=±·语言表述：首平方、尾平方、乘积两倍放中央。

·用面积表示：正方形ABCD 的面积=2)(b a +又正方形ABCD 又被分成了四块，这四块的面积分别是2a 、ab 、ab 、2b即2222)(b ab a b a ++=+·公式的结构特征：（1）左边：两数和的平方。

即2)(b a +（2）右边：是二次三项式，这两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab b a 222++ （3）公式中的a 、b 可以是数、单项式、多项式。

【乘法公式的变形】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz【平方差、完全平方式例题讲解】一、计算 1.（a+3）（a-3）（a 2+9）2.(2x-1)(2x+1)(4x 2+1)(16x 4+1)3.(2x-y)(y+2x)-2(3x-2y)(-2y-3x)-(11x-3y)(2x+3y)二、计算1.(3a+b)2 =2.(-x+3y)2 =3.(-m-n)2=三、简便计算1.498×502 =2.1022 =3.20042-4006×2004+20032=四、整体思想1.(x-y-z)(x-y+z) =2.(3a+4b-c)2=五、逆用公式1.（x+y ）2（x-y ）2-（x-y ）(x+y)(x 2+y 2) =2.（x+2y ）2(x-2y)2=3.（x+1）2(x-1)2(x 2+1)2=六、灵活运用公式1. 已知：a+b=3，ab=-12,求a 2+b 2和(a-b)2的值。

考向05 乘法公式【考点梳理】1．乘法的平方差公式: 22))((b a b a b a -=-+ 2．乘法的完全平方公式: 2222)(b ab a b a +±=±【题型探究】题型一：运用平方差公式计算1．（2022·河北邯郸·统考二模）若2022202020222022202320222021-=⨯⨯n ，则n 的值是（ ） A ．2023B ．2022C ．2021D ．20202．（2022·江苏扬州·统考二模）若322420212023404420222022M =⨯+⨯-，则（ ） A ．1M <-B ．1M =C ．11M -<<D ．1M >3．（2021·吉林松原·校考一模）小淇将（2021x +2022）2展开后得到a 1x 2+b 1x +c 1，小尧将（2022x ﹣2021）2展开后得到a 2x 2+b 2x +c 2，若两人计算过程无误，则c 1﹣c 2的值为（ ） A ．2021B ．2022C ．4043D ．1题型二：平方差和几何图型问题4．（2021·全国·九年级专题练习）在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（ ）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．22()()a b a b a b -=+-C ．2()a ab b a b ++=+D ．222()2a b a ab b -=-+5．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）在边长a 为的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形a b >（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图中阴影部分面积相等，可以验证（ ）A ．()()2222a b a b a ab b +-=+-B ．()()22a b a b a b -+=-C ．()2222a b a ab b -=-+ D ．()2222a b a ab b +=++6．（2020·河北·模拟预测）如图所示，在边长为a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a b a ab b +=++C ．()2222a b a ab b -=-+D ．()2a ab a a b -=-题型三：完全平方式的变形求值7．（2022·江苏南通·统考中考真题）已知实数m ，n 满足222+=+m n mn ，则2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最大值为（ ） A ．24B ．443C ．163D ．4-8．（2022·河北张家口·统考一模）若2,3ab b a =-=，则32232a b a b ab -+-的值为（ ） A ．18B ．18-C ．6D ．6-9．（2022·四川宜宾·九年级专题练习）已知1x 、2x 是一元二次方程2x －x －7＝0的两个实数根，则21x ＋41x 2x ＋22x 的值是（ ） A ．6B ．2C ．4D ．-13题型四：完全平方公式在几何的应用10．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b +-=-D ．222()ab a b =11．（2022·广东梅州·统考一模）赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()24a b +=，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．（2022·贵州贵阳·统考一模）把长和宽分别为a 和b 的四个相同的小长方形按不同的方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a b a ab b +=++ C ．()2222a b a ab b -=-+D ．()()224a b a b ab +--=题型五：完全平方式13．（2022·广东茂名·统考二模）关于 m 、n 的整式 m 2 + kmn + 9n 2是完全平方式，则 k 的值为（ ） A ．6B ．- 6C ．± 6D ．± 1814．（2021·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市实验学校校考一模）若()224252x kx x a ++=+，则k 的值可以是（ ）A ．20B ．20-C ．10±D ．20±15．（2020·广东深圳·校考模拟预测）若2149x kx ++是完全平方式，则实数k 的值为（ ）A ．43B ．13C ．43±D ．13±题型六：乘法公式的综合问题16．（2022·新疆·模拟预测）计算：(1)()()()2111x x x -+-；(2)22144111x x x x -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，其中3x =．17．（2022·湖南邵阳·统考模拟预测）先化简，再求值：224()xy x y xy x y x y x y-+-÷++，其中2x =2y =-18．（2022·湖北荆门·统考中考真题）已知x +1x ＝3，求下列各式的值：(1)（x ﹣1x）2；(2)x 4+41x ．【必刷基础】一、单选题19．（2022·宁夏银川·校考一模）下面等式： =① 1=②， ()222x y x y -=-③，()3412m m =④， ()()22222x y x y x y -+=-⑤，3=，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．420．（2022·四川绵阳·校考二模）已知实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=．若m n ≠，且4m n +≥，则()()2211m n -+-的最小值是（ ）A ．6B ．3-C ．3D ．021．（2022·广东东莞·校考一模）下列运算正确的是（ ） A ．236(3)9a a -=- B ．22445a a a += C ．222(2)4x y x y -=-D ．235()a a a -⋅=22．（2022·广东东莞·校考一模）下列各式中，正确的是（ ） A ．5210236a a a ⋅= B ．32()()m m m x x x ÷=C ．236()ab ab -=-D ．()()22a b a b a b ---=--23．（2021·重庆开州·校考一模）下列运算正确的是（ ） A ．23(2)6x -=-6x B ．4x ÷2x =2xC ．22x +4y =xyD ．(y +)(x -y +)x =2y -2x24．（2022春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考开学考试）三角形的三边a ，b ，c 满足22()2a b c ab +-=，则此三角形是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【必刷培优】一、单选题25．（2018·山东威海·统考中考模拟）已知1m =+1n = ） A ．9B ．3±C ．3D ．526．（2021·湖南娄底·统考二模）若x 2＋（m ﹣1）x ＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m 的值为（ ） A ．﹣3B ．1C ．﹣3，1D ．﹣1，327．（2022·山东济宁·统考二模）若二次三项式2249x mxy y ++是一个完全平方式，则m 的可能值是（ ） A ．6±B ．12C ．6D ．12±28．（2022·青海·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．235347x x x +=B ．()222x y x y +=+C ．()()2232394x x x +-=-D ．()224212xy xy xy y +=+二、填空题29．（2021·四川眉山·校考模拟预测）已知实数a 、b 满足320a b ab，则22a b +的值为____________．30．（2022·四川成都·统考二模）已知2m n -=，则224m n n --的值是______．31．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则555a b c abc++= _____．32．（2022·河北石家庄·校联考三模）如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）以上两个图形反映了等式：______；（2）运用（1）中的等式，计算2202220212023-⨯=______．33．（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m ，n 满足3m n +=，2230m n mn +=-． （1）若m n >，则m n -=_______；（2）若5n p +=-，则代数式2232m p n p m mn -+-的值是______________． 34．（2021·广西百色·一模）直接写出计算结果： (1)3(2)2x x ÷= ______ ；(2)()22(2)5xy x y -= ______ ；(3)20212022(0.25)(4)-⨯-= ______ ； (4)()()33b a a b ---= ______ ．35．（2022·贵州遵义·统考一模）杨辉三角，又称贾宪三角，其中揭示了()na b +（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下：()1a b +=()1a b a b +=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++ ()543225345510105a a b a b a a a b b b b =++++++…则()10+a b 展开式中所有项的系数和是______．三、解答题36．（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）利用乘法公式计算： (1)297；(2)()()()2212525x x x --+-． 37．（2022·重庆·模拟预测）计算： (1)()()22x x y x y -++； (2)281612222x x x x x ++⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭． 38．（2022·河北石家庄·校联考三模）已知：整式21A n =+，2B n =，21C n =-，整式0C >． (1)当1999n =时，写出整式A B +的值______（用科学记数法表示结果）； (2)求整式22A B -；(3)嘉淇发现：当n 取正整数时，整式A 、B 、C 满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由． 39．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）计算： (1)()()22x y y x +-+；(2)22441422x x x x x x x ⎛⎫-+--÷ ⎪-++⎝⎭． (3)2313()x y x y --．40．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a ，b 的正方形秧田A ，B ，其中不能使用的面积为M ．(1)用含a ，M 的代数式表示A 中能使用的面积___________； (2)若10a b +=，5a b -=，求A 比B 多出的使用面积．参考答案：1．D【分析】原式先提取公因式，再运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：2022202020222022- =202022022(20221)- =20202022(20221)(20221)+- =2020202220232021⨯⨯∵2022202020222022202320222021-=⨯⨯n ∴2020202220232021202320222021n ⨯⨯=⨯⨯ ∴202020222022n = ∴2020n =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 2．B【分析】根据完全平方公式化简根号内的算式，即可求解． 【详解】解：22420212023404420222022⨯+⨯-()()()()22220221202212022220222022=+⨯-+⨯⨯- ()()2222202212202220222022=-+⨯⨯-()242222022220221202222022=-⨯+-+⨯1=,1M ∴==,故选:B.【点睛】本题考查了求一个数的立方根，完全平方公式与平方差公式，正确的计算是解题的关键． 3．C【分析】根据完全平方公式展开求出c 1，c 2，根据平方差公式求值即可． 【详解】解：∵（2021x +2022）2展开后得到a 1x 2+b 1x +c 1， ∴c 1＝20222，∵（2022x ﹣2021）2展开后得到a 2x 2+b 2x +c 2， ∴c 2＝20212， ∴c 1﹣c 2 ＝20222﹣20212＝（2022+2021）×（2022﹣2021） ＝4043×1 ＝4043． 故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式，熟练掌握以上公式是解题的关键． 4．B【分析】由面积相等列式可得答案．【详解】解：从左图到右图的变化过程中，由面积相等可得22()()a b a b a b -=+-， 故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个图形的面积相等列式是关键，属于基础题． 5．B【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到结果． 【详解】解：第一个图形的阴影部分的面积为：22a b -， 第二个图形阴影部分的面积为：()()a b a b +-，则()()22a b a b a b +-=-，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键． 6．A【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）． 【详解】解：左边图形的阴影部分的面积=a 2-b 2 右边的图形的面积1222b a a b=（a +b ）（a -b ）．∴()()22a b a b a b -=+-，故选：A ．【点睛】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键． 7．B【分析】先将所求式子化简为107mn -，然后根据()22220m n m n mn +++=≥及222+=+m n mn 求出23mn ≥-，进而可得答案．【详解】解：2(23)(2)(2)-++-m n m n m n222241294m mn n m n =-++-225125m mn n =-+()5212mn mn =+-107mn =-；∵()22220m n m n mn +++=≥，222+=+m n mn ，∴220mn mn ++≥，∴32mn ≥-， ∴23mn ≥-， ∴441073mn -≤， ∴2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最大值为443， 故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出mn 的取值范围是解题的关键．8．B【分析】先化简原式，再将2,3ab b a =-=整体代入即可求解．【详解】解：32232a b a b ab -+-()222ab a ab b =--+2()ab b a =--，将2ab =，3b a -=代入上式可得：原式22318=-⨯=-，故选：B ．【点睛】本题考查代数式化简求值，涉及到完全平方公式，解题的关键是正确化简原式，理解整体思想．9．D【分析】根据根与系数关系定理，结合完全平方公式进行变形计算即可．【详解】∵1x 、2x 是一元二次方程2x －x －7＝0的两个实数根，∴12121,7x x x x +==-，∴221221121224()2x x x x x x x x ++++==27)21(+⨯-= -13故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，完全平方公式，熟练掌握定理和灵活进行公式变形是解题的关键．10．A【分析】根据大正方形的面积=边长为a 的正方形的面积+两个长为a ，宽为b 的长方形的面积+边长为b 的正方形的面积，即可解答．【详解】根据题意得：(a +b )2=a 2+2ab +b 2，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键．11．C【分析】设直角三角形斜边上为c ，根据勾股定理可得222+=a b c ，由大正方形的面积为14，可得2214a b +=，根据完全平方公式的变形可得210ab =，便可求解．【详解】设直角三角形斜边上为c ，∴直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，222a b c ∴+=，大正方形的面积为14，2214a b ∴+=，2()24a b +=，210ab ∴=，2224()21410a b a b ab ∴+=-=--=，所以，小正方形的面积为4，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用及完全平方公式的变形，熟练掌握知识点是解题的关键．12．D【分析】由图1可得：阴影部分的面积为：22,a ba b 由图2可得：阴影部分的面积为：4,ab 再利用阴影部分的面积相等可得答案.【详解】解：由图1可得：阴影部分的面积为：22,a ba b 由图2可得：阴影部分的面积为：4,ab由阴影部分的面积相等可得：224,a b a b ab故选D【点睛】本题考查的是利用几何图形的面积证明乘法公式，掌握“利用图形面积的不同的计算方法证明乘法公式”是解本题的关键.13．C【分析】根据完全平方式的定义：形如222a ab b ±+的式子叫做完全平方式，进行求解即可【详解】解：∵关于 m 、n 的整式 m 2 + kmn + 9n 2是完全平方式，∴326k =±⨯=±，故选C ．【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟知完全平方式的定义是解题的关键．14．D【分析】由题意可知2425x kx ++为完全平方式，可得225a =，则5a =±，代入求解即可【详解】解：由题意可知2425x kx ++为完全平方式由()224252x kx x a ++=+可得225a =，5a =±将5a =代入得22(25)42025x x x +=++，则20k =将5a =-代入得22(25)42025x x x -=-+，则20k =-故选D【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．15．C【分析】本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k 的值．【详解】由完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2可得： kx=±2•2x•13， 解得k=±43． 故选：C【点睛】本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2是关键．16．(1)4221x x -+ (2)12x x +-，原式4=【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式计算即可；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x 的值代入计算即可．【详解】（1）原式()()2211x x =-- 4221x x =-+；（2）原式()()21121(2)x x x x x +--=⋅-- 12x x +=-， 当3x =时，原式31432+==-． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、平方差公式和完全平方公式，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．17．x y xy-，【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入求解即可． 【详解】解：224xy x y xy x y x y x y ⎛⎫-+-÷ ⎪++⎝⎭()()24x y xy x y x y xy x y +-+=⨯+- ()()2x y x y x y xy x y -+=⨯+- x y xy-=当2x =2y =原式22-== 【点睛】本题考查了分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式等知识点，解题的关键是掌握分式混合运算的顺序和运算法则．18．(1)5(2)47【分析】（1）由21()x x +＝22112x x x x +⋅⋅+、21()x x -＝22112x x x x -⋅⋅+，进而得到21()x x +﹣4x •1x即可解答； （2）由21()x x -＝2212x x -+可得221x x +=7，又2221()x x +＝4412x x ++，进而得到441x x +＝2221()x x+﹣2即可解答． 【详解】（1）解：∵21()x x +＝22112x x x x+⋅⋅+ ∴21()x x -＝22112x x x x-⋅⋅+ ＝2211124x x x x x x+⋅+-⋅＝21()x x +﹣4x •1x＝32﹣4＝5．（2）解：∵21()x x -＝2212x x-+， ∴221x x + ＝21()x x-+2 ＝5+2＝7， ∵2221()x x +＝4412x x ++， ∴441x x + ＝2221()x x +﹣2 ＝49﹣2＝47．【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．19．B【分析】①②⑥为二次根式的运算，③④⑤为整式运算，分别依据运算法则计算即可判断对错．【详解】解：21224=⨯=，故①错误；②错误；()2222x y x xy y -=-+，故③错误； ()343412m m m ⨯==，故 ④ 正确；()()()22222224x y x y x y x y -+=-=-，故⑤错误；3==，故⑥正确，正确的有④⑥两个，故选：B ．【点睛】本题考查了整式及二次根式的运算，关键是掌握运算法则，关注计算过程，提高运算准确性．20．A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出2,2m n a mn +==，将代数式化简，然后整体代入求解即可【详解】解：∵实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=，∴m 、n 是方程2220x ax -+=的两个根，∴2,2m n a mn +==，∴()()2211m n -+-222121m m n n =-++-+()()2222m n mn m n =+--++ 24442a a =--+()2213a =--∵m n ≠，且4m n +≥，∴()()2211m n -+-的最小值是()2413936--=-=，故选：A ．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．21．D【分析】直接利用积的乘方运算法则、合并同类项、完全平方公式分别判断得出答案．【详解】解：A 、236(3)27a a -=-，故此选项不合题意；B 、22245a a a +=，故此选项不合题意；C 、 222(2)44x y x xy y -=-+，故此选项不合题意；D 、235()a a a -⋅=，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了积的乘方运算法则、合并同类项、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．22．B【分析】根据单项式乘法和同底数幂乘法法则计算并判定A ；根据幂的乘方和同底数幂的除法法则计算并判定B ；根据积的乘方和幂的乘方计算并判定C ；根据平方差公式计算并判定D ．【详解】解：A 、527236a a a ⋅=，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、32()()m m m x x x ÷=，计算正确，故此选项符合题意；C 、2336()ab a b -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、()()22a b a b a b ---=-+，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握整式的运算法则计：单项式乘法和同底数幂乘法法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，积的乘方法则，平方差公式是解题词的关键．23．B【分析】根据整式的加减乘除运算法则进行计算，即可判断．【详解】解：A 、236(2)8x x -=-，故不符合题意；B 、4x ÷2x =2x ，正确，符合题意；C 、2x 、2y 不是同类项，不能合并，故不符合题意；D 、(y +)(x -y +)x =22x y -，故不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了整式的运算，包含幂的运算，整式的加减与乘除，掌握基本的运算法则是解出此题的关键．24．B【分析】将所给出的等式化简可得222+=a b c ，利用勾股定理的逆定理可求解． 【详解】解：三角形的三边a ，b ，c 满足22()2a b c ab +-=，222220a ab b c ab ∴++--=，222a b c ∴+=，∴三角形为直角三角形．故选：B ．【点睛】本题主要考查完全平方公式，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握将等式变形为222+=a b c ．25．C【分析】计算出m −n 及mn 的值，再运用完全平方公式可把根号内的算式用m −n 及mn 的代数式表示，整体代入即可完成求值．【详解】∵1m =1n =∴m n -=mn =-1，===3．故选：C ．【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，对被开方数进行变形并运用整体代入法求值是关键．26．D【分析】利用完全平方公式的运算判断即可．【详解】∵ x 2＋（m ﹣1）x ＋1可以用完全平方公式进行因式分解，∴ m ﹣1＝±2，解得：m ＝﹣1或m ＝3．故选：D ．【点睛】此题考查使用完全平方公式的条件，属于基础题．27．D【分析】根据完全平方式的概念进行判断即可．【详解】解：∵2249x mxy y ++是一个完全平方式，∴m = ±2×2×3=12±，故选：D ．【点睛】本题考查完全平方式，掌握完全平方式为222a ab b ++或222a ab b -+是解题关键．28．D【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．【详解】A.选项，3x 2与4x 3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；B.选项，原式= ()2222x y x xy y +=++，故该选项计算错误，不符合题意；C.选项，原式= 249x -，故该选项计算错误，不符合题意；D.选项，原式=()212xy y +，故该选项计算正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点．29．5【分析】利用非负数的和为0，每个非负数均为0，求出,a b ab +的值，再利()2222a b a b ab +=+-，求值即可． 320a b ab， 30,20a b ab ， ∴30,20a b ab ，∴3,2a b ab +==，∴()222223225a b a b ab +=+-=-⨯=；故答案为：5．【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，以及整体思想代入求值，是解题的关键．30．4【分析】根据()()22a b a b a b -=+-，对224m n n --化简，再把2m n -=代入，即可．【详解】∵2m n -=∴224m n n --()()4m n m n n =+--()24m n n =+⨯-224m n n =+-22m n =-()2m n =-22=⨯4=．故答案为：4．【点睛】本题考查平方差的知识，解题的关键是掌握平方差公式：()()22a b a b a b -=+-．31．52##2.5 【分析】灵活运用立方和公式进行转换，再从中找到相应规律求出555a b c ++的值即可得出答案．【详解】解：∵2222222a b c a b c ab bc ac +++++++（）＝，0a b c ++=，2221a b c ++=，∴012ab bc ca +++＝（）， ∴12ab bc ca ++=-， ∵333a b c ++222()()3a b c a b c ab bc ca abc =++++++++3abc =，∴555a b c ++222333233233233)()()()()(a b c a b c a b c b a b c a b =+++++⎡⎤-+++⎣+⎦ ，222222((3)))(abc a b a b a c a c b c b c ⎡⎤=+++++⎣⎦-2222223()abc a b c a c b b c a +++=3()abc abc ab bc ca =+++132abc abc =- 52abc =， ∴5555522abc a b c abc abc ++==． 故答案为：52． 【点睛】本题考查了代数式求值及立方和公式，解题关键是找到相应的公式进行转换．32． ()()22a b a b a b -=+- 1【分析】1（）根据图1和图2中阴影部分的面积相等列式进行计算即可得出答案；2（）原式可化为220222022120221--+（）（），再根据1（）中的结论进行计算即可得出答案． 【详解】解：1（）根据题意可得，图1中阴影部分的面积为：22a b -，图2中长方形的长为a b +，宽为a b -，面积为：a b a b +-（）（）， 则两个图形阴影部分面积相等，22a b a b a b -=+-（）（）； 故答案为：()()22a b a b a b -=+-；（2）2202220212023-⨯220222022120221=--+（）（）222202220221=--（）22202220221=-+1=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的几何背景问题的解决方法进行求解是解决本题的关键．33． 7 42或252##252或42【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出10mn =-，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可；（2）利用（1）中结论得出52m n =⎧⎨=-⎩或25m n =-⎧⎨=⎩，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可． 【详解】解：（1）∵m +n =3，∴()2230m n mn mn m n +=+=-，∴10mn =-，∴()()()22494049m n m n mn -=+-=--=，∴7m n -=±，∵m >n ，∴0m n ->，∴7m n -=；（2）2232m p n p m mn -+-()2222()m n p m m n =-+- ()22()m n p m =-+()()()m n m n p m =+-+，由（1）得37m n m n +=⎧⎨-=⎩或37m n m n +=⎧⎨-=-⎩ 解得：52m n =⎧⎨=-⎩或25m n =-⎧⎨=⎩当m =5，2n =-时，∵5n p +=-，∴3p =-，∴m +p =2，∴原式()()52522=-⨯+⨯42=；当2m =-，n =5时，∵5n p +=-，∴10p =-，∴12m p +=-，∴原式()()()252512=-+⨯--⨯-252=；∴代数式的值为42或252；故答案为：①7；②42或252．【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则进行变换是解题关键．34． 24x 4320x y - 4- 29a b -【分析】()1直接利用积的乘方运算法则以及单项式与单项式的除法运算法则计算得出答案；()2逆用积的乘方法则计算得出答案；()3直接利用积的乘方运算法则计算得出答案；()4直接利用平方差公式计算得出答案．【详解】解：()3321(2)2824x x x x x ÷=÷=；()()()222222(2)545xy x y x y x y -=⋅-4320x y =-；()201920203(0.25)(4)-⨯-20192020(0.25)4=-⨯2019(0.254)4=-⨯⨯14=-⨯4=-；()()()22433(3)b a a b a b ---=--229a b =-．故答案为：()214x ；()43220x y -；()34-；()2249a b -．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．35．1024【分析】根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（a +b ）n （n 为非负整数）展开式的项系数和为2n ，求出系数之和即可．【详解】解：当n =0时，展开式中所有项的系数和为1=20，当n =1时，展开式中所有项的系数和为2=21，当n =2时，展开式中所有项的系数和为4=22，当n =3时，展开式中所有项的系数和为8=23•••由此可知（a +b ）n 展开式的各项系数之和为2n ，则（a +b ）10展开式中所有项的系数和是210=1024，故答案为：1024．【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．36．(1)9409(2)426x -+【分析】（1）将97写成()1003-，再利用完全平方公式计算即可；（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可．【详解】（1）297()21003=- 100006009=-+9409=；（2）()()()2212525x x x --+- 22441425x x x =-+-+426x =-+．【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，正确计算是解题的关键．37．(1)222x y + (2)44x x+-【分析】（1）先进行单项式乘以多项式及完全平方公式的计算，然后计算加减法即可；（2）将分式进行化简，同时进行括号内的计算，然后再计算分式的除法即可．【详解】（1）解：()()22x x y x y -++22222x xy x xy y =-+++ 222x y =+；（2）281612222x x x x x ++⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭ 2(4)12(2)(2)222x x x x x x ++-⎛⎫=÷- ⎪---⎝⎭ 22(4)1622x x x x +-=÷-- ()()()242244x x x x x +-=⋅--+ 44x x+=-． 【点睛】题目主要考查整式的混合运算及分式的混合运算，包括完全平方公式及平方差公式的计算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．38．(1)6410⨯(2)22(1)n -(3)正确，理由见解析【分析】1（）根据题意可得，()()22121A B n n n +=++=+，把1999n =代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；2（）把21A n =+，2B n =，代入22A B -中，可得()()22212n n +-，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；3（）先计算()()2222221B C n n +=+-，计算可得()221n +，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． （1）解：()()22121A B n n n +=++=+， 当1999n =时，原式()219991=+ 22000=6410=⨯；故答案为：6410⨯；（2）()()2222212A B n n -=+-()2222214n n n =++-()22221n n =-+ 22(1)n =-；（3）嘉淇的发现正确，理由如下：()()2222221B C n n +=+-()2222421n n n =+-+ ()221n =+，222B C A ∴+=，∴当n 取正整数时，整式A 、B 、C 满足一组勾股数．【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．39．(1)224x y (2)21x - (3)1x【分析】()1根据平方差公式进行计算即可；()2先算括号里面的，再算除法即可；()3根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．（1）解：原式()()22x y x y =+-224x y =-；（2）原式()()()2222221x x x x x x x ⎡⎤-+=-⋅⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦ 2221x x x x x --+=⋅+- 2221x x x -+=⋅+- 21x=-； （3）解：原式2333x y x y --=⋅10x y -=1x=． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 40．(1)2a M -(2)50【分析】（1）利用正方形秧田A 的面积减去不能使用的面积M 即可得；（2）先求出B 中能使用的面积为2b M -，再求出A 比B 多出的使用面积为22a b -，利用平方差公式求解即可得．【详解】（1）解：A 中能使用的面积为2a M -，故答案为：2a M -．（2）解：B 中能使用的面积为2b M -，则A 比B 多出的使用面积为2222()a M b M a b ---=-，10a b +=，5a b -=，22()()10550a b a b a b ∴-=+-=⨯=，答：A 比B 多出的使用面积为50．【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．。

专题05整式的乘法（3个知识点6种题型3种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：单项式与单项式相乘知识点2：单项式与多项式相乘知识点3：多项式与多项式相乘【方法二】实例探索法题型1：单项式与单项式相乘题型2：单项式与单项式相乘的综合应用题型3：单项式与多项式相乘题型4：单项式与多项式相乘的综合应用题型5：多项式与多项式相乘题型6：多项式与多项式相乘的综合应用【方法三】仿真实战法考法1：单项式与单项式相乘考法2：单项式与多项式相乘考法3：多项式与多项式相乘【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y⋅-=⋅-=-．要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数 的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指 数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.知识点2：单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.知识点3：多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【方法二】实例探索法题型1：单项式与单项式相乘1．（2022秋•嘉定区期中）计算：﹣3ab •4b 2＝ ．2．（2022秋•杨浦区期中）计算：（﹣xy）2•x5＝．3．（2022秋•奉贤区期中）计算：ab2•（﹣4a2 b4）＝．题型2：单项式与单项式相乘的综合应用4．（2022秋•嘉定区期中）计算：（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2﹣x2•x4．5．（2022秋•黄浦区期中）计算：（﹣3a2b）3﹣（﹣2a3b）2•（﹣3b）．题型3：单项式与多项式相乘6．（2022秋•杨浦区期中）计算：6ab（2a﹣0.5b）﹣ab（﹣a+b）．7．（2022秋•嘉定区期中）计算：2x•（x2﹣x+3）．8．（2022秋•闵行区校级期中）计算：（﹣2xy）•（x2+xy﹣y2）．9．（2022秋•长宁区校级期中）若A＝3x﹣2，B＝1﹣2x，C＝﹣6x，则C•B+A•C＝．10．（2022秋•奉贤区期中）计算：（x2﹣3xy+y2）（﹣2x）2．题型5：多项式与多项式相乘11．（2022秋•黄浦区期中）计算：（3x﹣2）（x+2）＝．12．（2022秋•杨浦区期中）计算：（x+2y）（y﹣2）+（2y﹣4x）（y+1）．13．（2022秋•长宁区校级期中）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）．14．（2022秋•长宁区校级期中）计算：x（2x﹣3）+（3﹣x）（1﹣5x）．15．（2022秋•宝山区校级月考）计算：．16．（2022秋•闵行区期中）若多项式x﹣1与多项式x2+ax﹣b相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么a，b的值分别是（）A．1，1B．1，﹣1C．﹣1，﹣1D．﹣1，117．（2022秋•浦东新区期中）已知（mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x2项，且x3的系数为2，则n m的值为．18．（2022秋•长宁区校级期中）如果（x﹣2）（x+m）＝x2+x+n，那么m＝，n＝．19．（2022秋•虹口区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形，则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．（标上卡片名称）20．（2022秋•虹口区校级期中）已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2项的系数为4，含x项的系数为2，求a+b的值．21．（2022秋•浦东新区期中）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．求（a﹣b）（﹣2a ﹣b）的值．22．（2022秋•长宁区校级期中）若关于x 的多项式2x +a 与x 2﹣bx ﹣2的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求a 、b 的值．【方法三】 仿真实战法考法1：单项式与单项式相乘1．（2020•上海）计算：2a •（3ab ）＝ ．考法2：单项式与多项式相乘2．（2023•吉林）计算：a （b +3）＝ ．考法3：多项式与多项式相乘3．（2019•南京）计算（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）【方法四】成功评定法一、单选题1．（2021秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）下列计算正确的是（ ） A ．3x 2y +5yx 2＝8x 2y B ．2x •3x ＝6xC ．（3x 3）3＝9x 9D ．（﹣x ）3•（﹣3x ）＝﹣3x 42．（2021秋·上海黄浦·七年级统考期末）若x 2+px +q ＝（x ﹣3）（x +5），则p 的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣2C ．2D ．83．（2022秋·上海普陀·七年级统考期末）如果2（5﹣a ）（6+a ）＝100，那么a 2+a +1的值为（ ） A ．19B ．﹣19C ．69D ．﹣694．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ） A ．325426x x x ⋅=B ．236326x x x ⋅=C ．()()25293212x x x -⋅-=-D ．()312319()x x x x -⋅--=-5．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）如果A 、B 都是关于x 的单项式，且A B ⋅是一个八次单项式，A B +是一个六次多项式，那么A B -的次数（ ） A ．一定是八次 B ．一定是六次 C ．一定是四次D ．无法确定6．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）如果()()253x m x x x k +-=-+，那么k 、m 的值分别是（ ）．A ．10k =，2m =B ．10k =，2m =-C ．10k =-，2m =D ．10k =-，2m =-二、填空题)213x y ⎛⎫- ⎝⎪⎭3⎫=⎪⎭．的结果是 )()32m n -三、解答题22241x y y y x y（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．（2）当a ＝2时，（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．24．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）7张如图1的长为a ，宽为b ()0b >的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形ABCD 内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．(1)如图2，点E 、Q 、P 在同一直线上，点F 、Q 、G 在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含,a b 的代数式表示），长方形ABCD 的面积为____________（用含,a b 的代数式表示）(2)如图3，点F 、H 、Q 、G 在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S ，CP x =. ①用含,,a b x 的代数式表示AE ；②当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S 始终保持不变，那么,a b 必须满足什么条件?25．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）已知关于x 的一次二项式ax b +与231x x -+的积不含二次项，一次项的系数是4． 求：(1)系数a 与b 的值；(2)二项式ax b +与231x x -+的积．26．（2022秋·上海闵行·七年级校考周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如()()()()a b c d a c d b c d ++=+++（乘法分配律）ac ad bc bd =+++()()()()()2x y x y x y x x y y x y +=++=+++22x xy yx y =+++（合并同类项） 222x xy y =++则ac ad bc bd +++叫做()()a b c d ++的展开式，222x xy y ++叫做()2x y +的展开式． (1)计算()21x +的展开式；(2)请指出()2x y +是几次几项式，并计算()3x y +的展开式（按照x 进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测()nx y +是几次几项式（用n 表示，其中n 为正整数）；(3)推测()nx y +的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n 表示，其中n 为正整数）．27．（2022秋·上海·七年级专题练习）请阅读以下材料：[材料]若1234912346x =⨯，1234812347y =⨯，试比较x ，y 的大小．解：设12348a =，那么()()2122x a a a a =+-=--，()21y a a a a =-=-． 因为()()22220x y a a a a -=----=-<，所以x y <． 我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：997657997655x =⨯，997653997659y =⨯．28．（2021秋·上海·七年级统考期末）如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，点G 在边CD 上，已知正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，且a b >．用a 、b 表示下列图形的面积．(1)DFG 的面积．(2)BEF △的面积．(3)BDF 的面积．。

初中数学试卷桑水出品14.2 乘法公式一．选择题（共15小题）1．（2015•酒泉）下列运算正确的是（）A． x2+x2=x4 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．（﹣a2）3=﹣a6 D． 3a2•2a3=6a62．（2015•常德）下列等式恒成立的是（）A．（a+b）2=a2+b2 B．（ab）2=a2b2 C． a4+a2=a6 D． a2+a2=a43．（2015•日照）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A． 36 B． 45 C． 55 D． 664．（2015•邵阳）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 65．（2015•遵义）下列运算正确的是（）A． 4a﹣a=3 B． 2（2a﹣b）=4a﹣b C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a﹣2）=a2﹣4 6．（2015•广安）下列运算正确的是（）A． 5a2+3a2=8a4 B． a3•a4=a12 C．（a+2b）2=a2+4b2 D．﹣=﹣47．（2015•成都）下列计算正确的是（）A． a2+a2=a4 B． a2•a3=a6 C．（﹣a2）2=a4 D．（a+1）2=a2+18．（2015•杭州）下列各式的变形中，正确的是（）A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2 B．﹣x=C． x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）=+19．（2015•永州）下列运算正确的是（）A． a2•a3=a6 B．（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2C．（a3）4=a7 D． a3+a5=a810．（2014•南充）下列运算正确的是（）A． a3•a2=a5 B．（a2）3=a5 C． a3+a3=a6 D．（a+b）2=a2+b211．（2014•鄂州）下列运算正确的是（）A．（﹣2x2）3=﹣6x6 B．（3a﹣b）2=9a2﹣b2 C． x2•x3=x5 D． x2+x3=x512．（2014•邵阳）下列计算正确的是（）A． 2x﹣x=x B． a3•a2=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）=a2+b213．（2014•呼伦贝尔）下列各式计算正确的是（）A． x5﹣x3=x2 B．（mn3）3=mn6 C．（a+b）2=a2+b2 D． p6÷p2=p4（p≠0）14．（2014•昆明）下列运算正确的是（）A．（a2）3=a5 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．﹣=3 D．=﹣3 15．（2014•河南）下列各式计算正确的是（）A． a+2a=3a2 B．（﹣a3）2=a6 C． a3•a2=a6 D．（a+b）2=a2+b2二．填空题（共13小题）16．（2015•铜仁市）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6= ．17．（2015•珠海）填空：x2+10x+ =（x+ ）2．18．（2015•衡阳）已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为．19．（2015•金华）已知a+b=3，a﹣b=5，则代数式a2﹣b2的值是．20．（2015•莱芜）已知m+n=3，m﹣n=2，则m2﹣n2= ．21．（2014•孝感）若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为．22．（2014•达州）己知实数a、b满足a+b=5，ab=3，则a﹣b= ．23．（2014•包头）计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）= ．24．（2014•葫芦岛）若m+n=2，mn=1，则m2+n2= ．25．（2014•日照）已知a＞b，如果+=，ab=2，那么a﹣b的值为．26．（2014•梅州）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2= ．27．（2014•镇江）化简：（x+1）（x﹣1）+1= ．28．（2014•宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用a、b的代数式表示）．三．解答题（共2小题）29．（2015•内江）（1）填空：（a﹣b）（a+b）= ；（a﹣b）（a2+ab+b2）= ；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= ．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）= （其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．30．（2014•宜昌）化简：（a+b）（a﹣b）+2b2．14.2 乘法公式 3年参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015•酒泉）下列运算正确的是（）A． x2+x2=x4 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．（﹣a2）3=﹣a6 D． 3a2•2a3=6a6考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．分析：根据同类项、完全平方公式、幂的乘方和单项式的乘法计算即可．解答：解：A、x2+x2=2x2，错误；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误；C、（﹣a2）3=﹣a6，正确；D、3a2•2a3=6a5，错误；故选C．点评：此题考查同类项、完全平方公式、幂的乘方和单项式的乘法，关键是根据法则进行计算．2．（2015•常德）下列等式恒成立的是（）A．（a+b）2=a2+b2 B．（ab）2=a2b2 C． a4+a2=a6 D． a2+a2=a4考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：原式各项计算得到结果，即可做出判断．解答：解：A、原式=a2+b2+2ab，错误；B、原式=a2b2，正确；C、原式不能合并，错误；D、原式=2a2，错误，故选B．点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．3．（2015•日照）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A． 36 B． 45 C． 55 D． 66考点：完全平方公式．专题：规律型．分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可．解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．4．（2015•邵阳）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6考点：完全平方公式．分析：根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．解答：解：∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5，故选C点评：本题考查了完全平方公式的应用，注意：a2+b2=（a+b）2﹣2ab．5．（2015•遵义）下列运算正确的是（）A． 4a﹣a=3 B． 2（2a﹣b）=4a﹣b C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a﹣2）=a2﹣4考点：完全平方公式；合并同类项；去括号与添括号；平方差公式．分析：根据合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，进行解答．解答：解：A、4a﹣a=3a，故本选项错误；B、应为2（2a﹣b）=4a﹣2b，故本选项错误；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，正确．故选：D．点评：本题考查合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．6．（2015•广安）下列运算正确的是（）A． 5a2+3a2=8a4 B． a3•a4=a12 C．（a+2b）2=a2+4b2 D．﹣=﹣4考点：完全平方公式；立方根；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式计算即可．解答：解：A、5a2+3a2=8a2，错误；B、a3•a4=a7，错误；C、（a+2b）2=a2+4ab+4b2，错误；D、，正确；故选D．点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式，关键是根据法则计算．7．（2015•成都）下列计算正确的是（）A． a2+a2=a4 B． a2•a3=a6 C．（﹣a2）2=a4 D．（a+1）2=a2+1考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式计算即可．解答：解：A、a2+a2=2a2，错误；B、a2•a3=a5，错误；C、（﹣a2）2=a4，正确；D、（a+1）2=a2+2a+1，错误；故选C．点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．8．（2015•杭州）下列各式的变形中，正确的是（）A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2 B．﹣x=C． x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）=+1考点：平方差公式；整式的除法；因式分解-十字相乘法等；分式的加减法．分析：根据平方差公式和分式的加减以及整式的除法计算即可．解答：解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2，正确；B、，错误；C、x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，错误；D、x÷（x2+x）=，错误；故选A．点评：此题考查平方差公式和分式的加减以及整式的除法，关键是根据法则计算．9．（2015•永州）下列运算正确的是（）A． a2•a3=a6 B．（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2C．（a3）4=a7 D． a3+a5=a8考点：平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析： A：根据同底数幂的乘法法则判断即可．B：平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，据此判断即可．C：根据幂的乘方的计算方法判断即可．D：根据合并同类项的方法判断即可．解答：解：∵a2•a3=a5，∴选项A不正确；∵（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2，∴选项B正确；∵（a3）4=a12，∴选项C不正确；∵a3+a5≠a8∴选项D不正确．故选：B．点评：（1）此题主要考查了平方差公式，要熟练掌握，应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m）n=a mn（m，n 是正整数）；②（ab）n=a n b n（n是正整数）．（4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．10．（2014•南充）下列运算正确的是（）A． a3•a2=a5 B．（a2）3=a5 C． a3+a3=a6 D．（a+b）2=a2+b2考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据合并同类项，可判断C；根据完全平方公式，可判断D．解答：解：A、底数不变指数相加，故A正确；B、底数不变指数相乘，原式=a6，故B错误；C、系数相加字母部分不变，原式=2a3，故C错误；D、和的平方等于平方和加积的二倍，原式=a2+b2+2ab，故D错误；故选：A．点评：本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项和完全平方公式，熟记和的平方等于平方和加积的二倍．11．（2014•鄂州）下列运算正确的是（）A．（﹣2x2）3=﹣6x6 B．（3a﹣b）2=9a2﹣b2 C． x2•x3=x5 D． x2+x3=x5考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析： A、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；C、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式不能合并，错误．解答：解：A、原式=﹣8x6，故A错误；B、原式=9a2﹣6ab+b2，故B错误；C、原式=x5，故C正确；D、原式不能合并，故D错误，故选：C点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2014•邵阳）下列计算正确的是（）A． 2x﹣x=x B． a3•a2=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）=a2+b2考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；平方差公式．专题：计算题．分析： A、原式合并同类项得到结果，即可作出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；D、原式利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断．解答：解：A、原式=x，正确；B、原式=x5，错误；C、原式=a2﹣2ab+b2，错误；D、原式=a2﹣b2，错误；故选：A点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．13．（2014•呼伦贝尔）下列各式计算正确的是（）A． x5﹣x3=x2 B．（mn3）3=mn6 C．（a+b）2=a2+b2 D． p6÷p2=p4（p≠0）考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．分析：根据合并同类项法则，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再判断即可．解答：解：A、x5、﹣x3不能合并，故本选项错误；B、（mn3）3=m3n9，故本选项错误；C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、p6÷p2=p4（p≠0），故本选项正确；故选D．点评：本题考查了合并同类项法则，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．14．（2014•昆明）下列运算正确的是（）A．（a2）3=a5 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．﹣=3 D．=﹣3考点：完全平方公式；实数的运算；幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析： A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；B、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C、原式不能合并，错误；D、原式利用立方根定义化简得到结果，即可做出判断．解答：解：A、原式=a6，错误；B、原式=a2﹣2ab+b2，错误；C、原式不能合并，错误；D、原式=﹣3，正确，故选：D点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（2014•河南）下列各式计算正确的是（）A． a+2a=3a2 B．（﹣a3）2=a6 C． a3•a2=a6 D．（a+b）2=a2+b2考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可．解答：解：A、a+2a=3a，故A选项错误；B、（﹣a3）2=a6，故B选项正确；C、a3•a2=a5，故C选项错误；D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故D选项错误，故选：B．点评：本题考查了合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式的应用，主要考查学生的计算能力．二．填空题（共13小题）16．（2015•铜仁市）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6= a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．考点：完全平方公式；规律型：数字的变化类．分析：通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．解答：解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6点评：此题考查数字的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．17．（2015•珠海）填空：x2+10x+ 25 =（x+ 5 ）2．考点：完全平方式．分析：完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，从公式上可知．解答：解：∵10x=2×5x，∴x2+10x+52=（x+5）2．故答案是：25；5．点评：本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求熟悉完全平方公式，并利用其特点解题．18．（2015•衡阳）已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为﹣3 ．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵a+b=3，a﹣b=﹣1，∴原式=（a+b）（a﹣b）=﹣3，故答案为：﹣3．点评：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．19．（2015•金华）已知a+b=3，a﹣b=5，则代数式a2﹣b2的值是15 ．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵a+b=3，a﹣b=5，∴原式=（a+b）（a﹣b）=15，故答案为：15点评：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．20．（2015•莱芜）已知m+n=3，m﹣n=2，则m2﹣n2= 6 ．考点：平方差公式．分析：根据平方差公式，即可解答．解答：解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=3×2=6．故答案为：6．点评：本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．21．（2014•孝感）若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为 1 ．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：运用平方差公式，化简代入求值，解答：解：因为a﹣b=1，a2﹣b2﹣2b=（a+b）（a﹣b）﹣2b=a+b﹣2b=a﹣b=1，故答案为：1．点评：本题主要考查了平方差公式，关键要注意运用公式来求值．22．（2014•达州）己知实数a、b满足a+b=5，ab=3，则a﹣b= ±．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：将a+b=5两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入求出a2+b2的值，再利用完全平方公式即可求出a﹣b的值．解答：解：将a+b=5两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=25，将ab=3代入得：a2+b2=19，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=19﹣6=13，则a﹣b=±．故答案为：±点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．23．（2014•包头）计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）= 2x+5 ．考点：完全平方公式；平方差公式．专题：计算题．分析：原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．解答：解：原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．故答案为：2x+5．点评：此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．24．（2014•葫芦岛）若m+n=2，mn=1，则m2+n2= 2 ．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：原式配方变形后，把已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵m+n=2，mn=1，∴原式=（m+n）2﹣2mn=4﹣2=2，故答案为：2点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．（2014•日照）已知a＞b，如果+=，ab=2，那么a﹣b的值为 1 ．考点：完全平方公式；分式的加减法．专题：计算题．分析：已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，将ab的值代入求出a+b的值，再利用完全平方公式即可求出a﹣b的值．解答：解：+==，将ab=2代入得：a+b=3，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=9﹣8=1，∵a＞b，∴a﹣b＞0，则a﹣b=1．故答案为：1点评：此题考查了完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．26．（2014•梅州）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2= 12 ．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：根据a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），然后代入求解．解答：解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=4×3=12．故答案是：12．点评：本题重点考查了用平方差公式．平方差公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．本题是一道较简单的题目．27．（2014•镇江）化简：（x+1）（x﹣1）+1= x2．考点：平方差公式．分析：运用平方差公式求解即可．解答：解：（x+1）（x﹣1）+1=x2﹣1+1=x2．故答案为：x2．点评：本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解题的关键．28．（2014•宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab （用a、b的代数式表示）．考点：平方差公式的几何背景．专题：操作型．分析：利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．解答：解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，解得，②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（）2﹣4×（）2=ab．故答案为：ab．点评：本题考查了平方差公式的几何背景，正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键．三．解答题（共2小题）29．（2015•内江）（1）填空：（a﹣b）（a+b）= a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）= a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= a4﹣b4．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）= a n﹣b n（其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．考点：平方差公式．专题：规律型．分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；（2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．解答：解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．点评：此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．30．（2014•宜昌）化简：（a+b）（a﹣b）+2b2．考点：平方差公式；合并同类项．专题：计算题．分析：先根据平方差公式算乘法，再合并同类项即可．解答：解：原式=a2﹣b2+2b2=a2+b2．点评：本题考查了平方差公式和整式的混合运算的应用，主要考查学生的化简能力．。

中考复习专题：乘法公式和因式分解考点梳理在中考中，乘法公式和因式分解部分要求我们能够利用乘法公式进行简单计算，并且能够用提公因式法和公式法进行因式分解。

乘法公式与因式分解不仅仅是一个重要的知识点，还是一种数学方法，广泛运用于整式、分式化简与求值、解方程等，是中考的必考知识点，属于基础知识，以中低档题形式出现。

一、考点知识梳理【考点1 平方差公式】两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

(a＋b)(a－b)＝a2－b2【考点2 完全平方公式】两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方。

(a±b)2＝a2±2ab＋b2【考点3 因式分解】1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

2.分解因式与整式乘法的关系是互逆的．3.分解因式的基本方法（1）提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)。

（2）运用公式法：平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)。

完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2。

二、考点分析【考点1 平方差公式】【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反。

【例1】(2019河北沧州中考模拟)若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|＝0，则a2﹣b2的值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6【答案】D。

【分析】由非负数的性质得出a﹣b＝2，a+b＝﹣3，求出a，b的值，再代入a2﹣b2进行计算即可。

【解答】解：∵（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|＝0，∴a﹣b＝2，a+b＝﹣3，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×（﹣3）＝﹣6；故选：D。

【考点2 完全平方公式】【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．【例2】(2019辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次x2﹣16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．±8 B．4 C．﹣2 D．±2【答案】A。

初中数学中考专题复习《乘法公式》1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.知识点一、平方差公式平方差公式：22+-=-a b a b a b()()两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.知识点解析：在这里，ba,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a+-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++知识点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.知识点解析：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+知识点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.知识点解析：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.知识点四、补充公式加强2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.例题1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++；(3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-；(5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．【思路】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()22a ＝2294b a -．(3) ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()23b ＝2249a b -．(4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()23b ＝2249a b -．(5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()22a ＝2294b a -．【总结】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．举一反三：【变式】计算：（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）(2)(2)x x -+--； （3）(32)(23)x y y x ---．【答案】解：（1）原式2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）原式222(2)4x x =--=-．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-．例题2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98．【答案】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1-＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002-＝10000－4＝9996．【总结】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)899×901＋1； (2)99×101×10001；(3)22005－2006×2004；【答案】解：(1)原式＝(900－1)(900＋1)＋1＝22-+＝810000．90011(2)原式＝[(100－1)(100＋1)]×10001＝()2-×100011001＝(10000－1)×(10000＋1)＝100000000－1＝99999999．(3)原式＝22005－21)＝2005－(2005＋1)(2005－1)＝22005－(21．例题3、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.【答案】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1＝642－1＋1＝642．【总结】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．举一反三：【变式】计算：(1)2(3)(9)(3)-++x x x(2)(a＋b)( a－b)( 22a b+)+)( 44a b【答案】解：(1)原式＝[(x＋3)(x－3)](29x-．x+)＝481x+)＝(29x-)(29(2)原式＝[(a＋b)( a－b)]( 22+)a b+)( 44a b＝[(22+)]( 44+)a ba b-)( 22a b＝(44+)＝88a b-．a ba b-)( 44例题4、解方程：(21)(21)3(2)(2)(71)(1)x x x x x x+-++-=+-．【答案】解：222(2)13(4)771x x x x x -+-=-+-，22241312761x x x x -+-=--，227761112x x x -+=-++，612x =，∴ 2x =．【总结】先利用平方差公式，再按多项式乘法法则展开，此题把平方差公式与解方程综合起来考查．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩ 【答案】解： (3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①②由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-，425x -<-， 6.25x >．∴不等式组的解集为 6.25x >．例题1、计算：(1)()23a b +； (2)()232a -+； (3)()22x y -； (4)()223x y --．【思路】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案】解：(1) ()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++．(2) ()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+．(3) ()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+ ．(4) ()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++． 【总结】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()22a b a b --=+之间的转化．例题2、计算：(1)22002；(2)21999．(3)2999.9．【答案】解：(1)()222220022000220002200022=+=+⨯⨯+＝4000000＋8000＋4＝4008004．(2)()222219992000120002200011=-=-⨯⨯+＝4000000－4000＋1＝3996001．(3) ()2222999.910000.11000210000.10.1=-=-⨯⨯+＝1000000－200＋0.01＝999800.01．【总结】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方．例题3、已知7a b +=，ab ＝12．求下列各式的值：(1) 22a ab b -+；(2) 2()a b -．【答案解：(1)∵ 22a ab b -+＝22a b +－ab ＝()2a b +－3ab ＝27－3×12＝13．(2)∵ ()2a b -＝()2a b +－4ab ＝27－4×12＝1.【总结】由乘方公式常见的变形：①()2a b +－()2a b -＝4ab ；②22a b +＝()2a b +－2ab ＝()2a b -＋2ab ．解答本题关键是不求出,a b 的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值．举一反三：【变式】已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22a b +和ab 的值．【答案】解：由2()7a b +=，得2227a ab b ++=； ①由2()4a b -=，得2224a ab b -+=． ②①＋②得222()11a b +=，∴ 22112a b +=． ①－②得43ab =，∴ 34ab =．例题4、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【答案】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-．【总结】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+；(3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---．【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c --=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋ ＝－()22(2)a ab⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－例题5、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【思路】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=．∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.【高效练习A 】一.选择题1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A.))((n m n m +-- B.()()3333x y x y -+ C.))((b a b a --- D.()()2222c d d c -+ 2．若x y +＝6，x y -＝5，则22x y -等于( )． A.11B.15C.30D.603．下列计算正确的是( )． A.()()55m m -+＝225m - B. ()()1313m m -+＝213m - C.()()24343916n n n ---+=-+D.( 2ab n -)(2ab n +)＝224ab n -4．下列多项式不是完全平方式的是( )． A.244x x --B.m m ++241 C.2296a ab b ++D.24129t t ++5．下列等式能够成立的是( )． A.()()22a b a b -=--B.()222x y x y -=- C.()()22m n n m -=-D.(x －y)(x ＋y)＝(－x －y)(x －y)6．下列等式不能恒成立的是( )． A.()222396x y x xy y -=-+ B.()()22a b c c a b +-=-- C.22241)21(n mn m n m +-=- D.()()()2244x y x y x y x y -+-=-二.填空题7．若2216x ax ++是一个完全平方式，则a ＝______． 8. 若2294x y +＝()232x y M ++,则M ＝______． 9. 若x y +＝3，xy ＝1，则22x y +＝_______.10.观察等式222222213,325,437-=-=-=，…用含自然数n 的等式表示它的规律为：_________.11. ()25(2)(2)21x x x -+--=___________.12.若()212x -=，则代数式225x x -+的值为________. 三.解答题13. 计算下列各题： （1）33(2)(2)22x y x y +--+ （2）2(4)(4)(16)x x x +-+ （3）2(2)()4(2)x y x y x y -+-- （4）23()(2)(2)y z y z z y --+-+14.先化简，再求值：22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+a a a a ，其中3=a ． 15.已知：2225,7x y x y +=+=，且,x y >求x y -的值.【高效练习A 答案与解析】一.选择题 1. 【答案】A ；【解析】A 中m 和m -符号相反，n 和n -符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2. 【答案】C ；【解析】()()22x y x y x y -=+-＝6×5＝30. 3. 【答案】C ；【解析】()()55m m -+＝225m -；()()1313m m -+＝219m -；(2ab n -)(2ab n +)＝2224a b n -.4. 【答案】A ；【解析】2211()42m m m ++=+；22296(3)a ab b a b ++=+；224129(23)t t t ++=+.5. 【答案】C ；6. 【答案】D ；【解析】()()()()22222x y x y x y x y-+-=-.二.填空题 7. 【答案】±4；【解析】222216244x ax x x ++=±⨯+，所以4a =±. 8. 【答案】12xy -；【解析】2294x y +＝()23212x y xy +-. 9. 【答案】7；【解析】()2222x y x y xy +=++，22927x y +=-=. 10.【答案】()22121n n n +-=+ （n ≥1的正整数）； 11.【答案】2421x x +-；【解析】()()()22225(2)(2)2154441421x x x x x x x x -+--=---+=+-.12.【答案】6；【解析】因为()212x -=，所以2221,256x x x x -=-+=.三.解答题 13.【解析】解：（1）原式＝22223339222462224x y x y x y x y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （2）原式＝()()2241616256x x x -+=-；（3）原式＝()2222222244421717x xy xy y x xy y x xy y +----+=-+-；（4）原式＝()()22222232464y yz z y z y yz z -+--=--+. 14.【解析】解：223(1)5(1)(1)2(1)a a a a +-+-+-()()()22232151221210a a a a a a =++--+-+=+当3,=231016a =⨯+=时原式. 15.【解析】解：∵()2222x y x y xy +=++，且2225,7x y x y +=+=∴27252xy =+，∴12xy =， ∵()2222252121x y x y xy -=+-=-⨯= ∴1x y -=± ∵,x y >即0x y -> ∴1x y -=.【高效练习B 】一.选择题1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )． ①()()2552ab x x ab -++ ②()()ax y ax y --- ③()()ab c ab c --- ④()()m n m n +-- A.4个B.3个C.2个D.1个2. 若214x kx ++是完全平方式，则k 值是（ ） A. 2± B. 1± C. 4± D. 1 3.下面计算()()77a b a b -++---正确的是( )．A.原式＝(－7＋a ＋b )[－7－(a ＋b )]＝－27－()2a b + B.原式＝(－7＋a ＋b )[－7－(a ＋b )]＝27＋()2a b + C.原式＝[－(7－a －b )][－(7＋a ＋b )]＝27－()2a b + D.原式＝[－(7＋a )＋b ][－(7＋a )－b ]＝()227a b +- 4．(a ＋3)(2a ＋9)(a －3)的计算结果是( )．A.4a ＋81B.－4a －81C. 4a －81D.81－4a5．下列式子不能成立的有( )个．①()()22x y y x -=- ②()22224a b a b -=- ③()()()32a b b a a b -=-- ④()()()()x y x y x y x y +-=---+ ⑤()22112x x x -+=-- A.1B.2C.3D.46．计算2)22(b a -的结果与下面计算结果一样的是( )．A.2)(21b a -B.ab b a -+2)(21C.ab b a +-2)(41D.ab b a -+2)(41二.填空题7．多项式28x x k -+是一个完全平方式，则k ＝______．8. 已知15a a +=，则221a a +的结果是_______. 9. 若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中m ，k 为常数，则m ＋k ＝_______.10. 如果1ab =，那()()22_________n n n n a b a b --+=.11．对于任意的正整数n ，能整除代数式()()()()313133n n n n +---+的最小正整数是_______.12. 如果()()221221a b a b +++-＝63，那么a ＋b 的值为_______. 三.解答题 13.计算下列各值.22(1)10199+ ()()()2222(2)224m m m +-+(3)()()a b c a b c +--+ 2(4)(321)x y -+14. 已知 21x x =+，求下列代数式的值：(1)553x x -+； (2)221x x+ 15. 已知：()26,90,a b ab c a -=+-+=求a b c ++的值.【高效练习B 答案与解析】一.选择题 1. 【答案】B ；【解析】①，②，③可用平方差公式. 2. 【答案】B ；【解析】2221112224x x x kx ⎛⎫⎛⎫±⨯+=±+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以k ＝±1. 3. 【答案】C ； 4. 【答案】C ；【解析】(a ＋3)(2a ＋9)(a －3)＝224(9)(9)81a a a -+=-. 5. 【答案】B ；【解析】②，③不成立. 6. 【答案】D ；【解析】22221()()224424a b a b ab a b ab -=+-=+-.二.填空题 7. 【答案】16；【解析】2228244x x k x x -+=-⨯+，∴k ＝16. 8. 【答案】23； 【解析】21()25,a a +=222211225,23a a a a ++=+=. 9. 【答案】－3；【解析】()22223211314x x x x x --=-+--=--，m ＝1，k ＝－4. 10.【答案】－4；【解析】原式()()()22n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b =-++---=⋅- ()444nn n a b ab =-=-=-. 11.【答案】10；【解析】利用平方差公式化简得10()21n -，故能被10整除. 12.【答案】±4；【解析】()()2212a b a b +++-()2221a b a=+-.三.解答题 13.【解析】解：（1）原式＝()()2210011001=100002001100002001=20002++-+++-+ （2）原式＝()()()22222484441632256m m m m m -+=-=-+（3）原式＝()222222a b c a b c bc --=--+（4）原式＝()()222(321)3212322322x y x y x y x y -+=++-⨯⨯+⨯-⨯229412641x y xy x y =+-+-+14.【解析】解：（1）()()()2523343111x x x x x x x x x x =⋅=+⋅=+=+++ ()2231213153x x x x x =++=+++=+ ∴55353536x x x x -+=+-+=（2）已知两边同除以x ，得111,1x x xx=+-=即∴22211()21x x x x -=+-= ∴2213x x+=.15.【解析】解：∵6,a b -=∴6a b =+ ∵()290,ab c a +-+= ∴()()2690,b b c a ++-+= ∴()()2230,b c a ++-= ∴3,b c a =-=第 21 页 共 21 页 ∴()363,3a c =-+== ∴()3333a b c ++=+-+=.。

专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。

中考复习——乘法公式一、选择题1、（1+y）（1-y）=（）．A. 1+y2B. -1-y2C. 1-y2D. -1+y2答案：C解答：（1+y）（1-y）=12-y2=1-y2，选C.2、下列运算正确的是（）．A. a12÷a3=a4B. （3a2）3=9a6C. 2a·3a=6a2D. （a-b）2=a2-ab+b2答案：C解答：A选项：a12÷a3=a9，故A错误．B选项：（3a2）3=27a6，故B错误．C选项：2a·3a=6a2，故C正确．D选项：（a-b）2=a2-2ab+b2，故D错误．选C.3、下列运算正确的是（）．A. （a+b）（a-2b）=a2-2b2B. （a-12）2=a2-14C. -2（3a-1）=-6a+1D. （a+3）（a-3）=a2-9答案：D解答：A选项：原式=a2-2ab+ab-2b2=a2-ab-2b2，故A错误；B选项：原式=a2-a+14，根据完全平方公式可以做出判断，故B错误；C选项：原式=-6a+2，根据乘法分配律可以做出判断，故C错误；D选项：原式=a2-9，故D正确．选D.4、下列运算正确的是（）．A. 2x+3x=5x2B. （-2x）3=-6x3C. 2x3·3x2=6x5D. （3x+2）（2-3x）=9x2-4答案：C解答：A选项：2x+3x=5x，故A错误；B选项：（-2x）3=-8x3，故B错误；C选项：2x3·3x2=6x5，故C正确；D选项：（3x+2）（2-3x）=-9x2+4，故D错误．选C.5、下列运算正确的是（）．A. 4m-m=4B. （a2）3=a5C. （x+y）2=x2+y2D. -（t-1）=1-t 答案：D解答：A选项：4m-m=3m，故A错误；B选项：（a2）3=a6，故B错误；C选项：（x+y）2=x2+2xy+y2，故C错误；D选项：-（t-1）=1-t，故D正确．选D.6、下列运算正确的是（）．A. （2a2b）2=2a4b2B. （-a）2=a2C. （a+b）2=a2+b2D. a3a4=a12答案：B解答：A选项：原式=4a4b2，故A错误；B选项：原式=a2，故B正确；C选项：原式=a2+2ab+b2，故C错误；D选项：原式=a7，故D错误．选B.7、下列计算正确的是（）．A. x2+x=x3B. （-3x）2=6x2C. 8x4÷2x2=4x2D. （x-2y）（x+2y）=x2-2y2答案：C解答：A选项：x2+x≠x3，故A错误；B选项：（-3x）2=9x2≠6x2，故B错误；C选项：8x4÷2x2=4x2，故C正确；D选项：（x-2y）（x+2y）=x2-4y2≠x2-2y2，故D错误．选C.8、选择计算（-4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（）．A. 运用多项式乘多项式法则B. 运用平方差公式C. 运用单项式乘多项式法则D. 运用完全平方公式答案：B解答：选择计算（-4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式．选B.9、下列计算正确的是（）．A. a2·a3=a6B. a8÷a2=a4C. a2+a2=2a2D. （a+3）2=a2+9答案：C解答：A选项：a2·a3=a5，故A错误；B选项：a8÷a2=a6，故B错误；C选项：a2+a2=2a2，故C正确；D选项：（a+3）2=a2+6a+9，故D错误；选C.10、下列运算，正确的是（）．A. 2x+3y=5xyB. （x-3）2=x2-9C. （xy2）2=x2y4D. x6÷x3=x2答案：C解答：A选项：2x+3y，无法合并，故A错误；B选项：（x-3）2=x2-6x+9，故B错误；C选项：（xy2）2=x2y4，故C正确；D选项：x6÷x3=x3，故D错误．选C.11、下列计算正确的是（）．A. B. （-2a2b）3=-6a2b3C. （a-b）2=a2-b2D.24aa b-+·2a ba++=a-2答案：D解答：A选项：，故A错误；B选项：（-2a2b）3=（-2）3（a2）3b3=-8a6b3，故B错误；C选项：（a-b）2=a2-2ab+b2，故C错误；D选项：24aa b-+·2a ba++=()()22a aa b+-+·2a ba++=a-2，故D正确．选D.12、下列运算不正确的是（）．A. xy+x-y-1=（x-1）（y+1）B. x2+y2+z2+xy+yz+zx=12（x+y+z）2C. （x+y）（x2-xy+y2）=x3+y3D. （x-y）3=x3-3x2y+3xy2-y3答案：B解答：A选项：xy+x-y-1=x（y+1）-（y+1）=（x-1）（y+1），A正确，不符合题意；B选项：x2+y2+z2+xy+yz+zx=12[（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意；C选项：（x+y）（x2-xy+y2）=x3+y3，C正确，不符合题意；D选项：（x-y）3=x3-3x2y+3xy2-y3，D正确，不符合题意．选B.13、下列计算正确的是（）．A. （x+y）2=x2+y2B. 2x2y+3xy2=5x3y3C. （-2a2b）3=-8a6b3D. （-x）5÷x2=x3答案：C解答：A选项：原式=x2+2xy+y2，不符合题意；B选项：原式不能合并，不符合题意；C选项：原式=-8a6b3，符合题意；D选项：原式=-x5÷x2=-x3，不符合题意．选C.14、如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）．A. x2-2x+1=（x-1）2B. x2-1=（x+1）（x-1）C. x2+2x+1=（x+1）2D. x2-x=x（x-1）答案：B解答：第一个图形空白部分的面积是x2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．则x2-1=（x+1）（x-1）．选B.15、下列运算一定正确的是（）．A. 2a+2a=2a2B. a2·a3=a6C. （2a2）3=6a6D. （a+b）（a-b）=a2-b2答案：D解答：2a+2a=4a，A错误；a2·a3=a5，B错误；（2a2）3=8a6，C错误；选D.16、若()()2291111k--=8×10×12，则k=（）．A. 12B. 10C. 8D. 6答案：B解答：利用平方差公式可得，8101012k⨯⨯⨯=8×10×12，可求k为10．选B.17、化简（x-3）2-x（x-6）的结果为（）．A. 6x-9B. -12x+9C. 9D. 3x+9答案：C解答：原式=x2-6x+9-x2+6x=9．选C.18、4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1=2S2，则a、b满足（）．A. 2a=5bB. 2a=3bC. a=3bD. a=2b答案：D解答：S1=12b（a+b）×2+12ab×2+（a-b）2=a2+2b2，S2=（a+b）2-S1=（a+b）2-（a2+2b2）=2ab-b2，∵S1=2S2，∴a2+2b2=2（2ab-b2），整理，得（a-2b）2=0，∴a-2b=0，∴a=2b．选D.19、已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（）．A. b＞0，b2-ac≤0B. b＜0，b2-ac≤0C. b ＞0，b 2-ac ≥0D. b ＜0，b 2-ac ≥0答案：D解答：∵a -2b +c =0，a +2b +c ＜0， ∴a +c =2b ，b =2a c+， ∴a +2b +c =（a +c ）+2b =4b ＜0， ∴b ＜0， ∴b 2-ac =（2a c +）2-ac =2224a ac c ++-ac=2224a ac c -+=（2a c -）2≥0 即b ＜0，b 2-ac ≥0． 选D. 二、填空题20、计算：（a -1）2=______． 答案：a 2-2a +1解答：根据差的完全平方公式展开得：（a -1）2=a 2-2a +1． 故答案为a 2-2a +1．21、计算：（a +3）2=______． 答案：a 2+6a +9解答：（a +3）2=a 2+6a +9． 故答案为：a 2+6a +9． 22、计算：（2-x ）2=______． 答案：4-4x +x 2解答：（2-x ）2=22-2×2x +x 2=4-4x +x 2． 故答案为：4-4x +x 2．23、已知a =7-3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为______．答案：49解答：∵a=7-3b，∴a+3b=7，∵a2+6ab+9b2=（a+3b）2，∴a2+6ab+9b2=72=49．故答案为：49．24、化简x2-（x+2）（x-2）的结果是______．答案：4解答：x2-（x+2）（x-2）=x2-x2+4=4．25、化简：（）（）=______．答案：1解答：原式=22-2=4-3=1．26、若a=b+2，则代数式a2-2ab+b2的值为______．答案：4解答：∵a=b+2，∴a-b=2，∴a2-2ab+b2=（a-b）2=22=4．27、若x2+ax+4=（x-2）2，则a=______．答案：-4解答：∵x2+ax+4=（x-2）2，∴a=-4．故答案为：-4．28）-1）的结果等于______．答案：2解答：由平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）可知：）-1）=2-12=3-1=2．29、已知a+b=3，a2+b2=5，则ab的值是______．答案：2解答：∵a+b=3，∴（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，∵a2+b2=5，∴ab=（9-5）÷2=2．故答案为：2．30、若x、y、z为实数，且2421x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩，则代数式x2-3y2+z2的最大值是______．答案：26解答：①②2421x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩①②，①-②得：y=1+z，则y=1+z代入①得：x=2-z，则x2-3y2+z2=（2-z）2-3（1+z）2+z2=-z2-10z+1=-（z+5）2+26，当z=5时，x2-3y2+z2的最大值是26，故答案且：26．31、2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为______．答案：27解答：由题意可得在图1中：a 2+b 2=15，（b -a ）2=3， 图2中大正方形的面积为：（a +b ）2， ∵（b -a ）2=3，a 2-2ab +b 2=3， ∴15-2ab =3， 2ab =12，∴（a +b ）2=a 2+2ab +b 2=15+12=27， 故答案为：27． 三、解答题32、化简：（a +b ）2-b （2a +b ）． 答案：a 2．解答：原式=a 2+2ab +b 2-2ab -b 2 =a 2． 33、计算：（1）（x +y ）2+x （x -2y ）．（2）（1-3m m +）÷22969m m m -++．答案：（1）2x 2+y 2． （2）33m -． 解答：（1）原式=x 2+2xy +y 2+x 2-2xy =2x 2+y 2．（2）原式=（333m m m m +-++）·()()()2333m m m ++-=33m +·33m m +- =33m -． 34、计算：（1）（a +b ）2+a （a -2b ）．（2）m -1+2269m m --+223m m ++． 答案：（1）2a 2+b 2．（2）2413m m m +++． 解答：（1）（a +b ）2+a （a -2b ） =a 2+2ab +b 2+a 2-2ab =2a 2+b 2．（2）m -1+2269m m --+223m m ++ =()()133m m m -+++23m ++223m m ++ =2232223m m m m +-++++ =2413m m m +++．。

初高中衔接知识专题乘法公式
先来看今天的知识点：
乘法公式：
1. 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b
2.
2. 立方和公式： (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b
3.
3. 立方差公式： (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.
4. 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
5. 完全立方公式：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
这些公式可以用多项式乘多项式的方法，通过计算获得，亲爱的同学，你可以把这些公式作为练习，自己计算一下.
记忆这些公式时，要注意以下几点：
第一：要注意公式中有负号时，负号所处的位置.
第二：完全平方公式展开后，每一项的次数都是2，如果某一项里面有两个字母，它的系数也是2，如： 2ab；如果某一项是单独一个字母的平方，它的系数是1，如： a2.
完全立方公式与此类似.
有“负号”的那个完全立方公式，展开后，如果某一项含有b的奇数次方，这一项的符号就是“负号”. 如： -3a2b，因为它含有b的一次方，所以它的符号是“负号”.
千万不要小看上面的这两道例题哦，它们不但经常会出现在初中的一些探究题中，而且可以作为最基本的模型，在高中的好多知识模块中都能用到. 亲爱的同学，你一定要好好琢磨这两道例题的特点和解法，最好能自己再做一遍.。

4、已知 中不含x3的项，求a的值。
5、已知 ，求 的值。
=6
6、若多项式 加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方，请你尽可能多的写出这个单项式。
7、设 ，
求① 的值。② 的值。
知识点4.平方差公式：a2－b2=______________
知识点5.完全平方公式：①(a＋b)2=______________②(a－b)2=______________
知识点6.完全平方公式的常用变形(应用):①(a+b)(a-b)=a2－b2
②a2+b2=(a+b)2-2ab③a2+b2=(a-b)2+2ab④(a-b)2=(a+b)2-4ab
（3） （4）
（A）（1）（2）（3）（B）（1）（2）（4）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（3）（4）
4、无论x、y取何值时， 的值都是（A）
（A）正数（B）负数（C）零（D）非负数
5、如果一个多项式与 的积是 ，则这个多项式是（C）
（A） （B）
（C） （D）
6、若（x+a）（x+b）中不含x的一次项，那么a、b一定是（B）
8．①已知a2+b2+c2=18,ab+bc+ac=13,则(a+b+c)2=________
②已知a2+b2+c2=18，a+b+c=6，则ab+bc+ac=__________
③a-b=5,b-c=2,则a2+b2+c2-ab-bc-ac=__________
初一练习卷
一、填空
1、 =-1 ，则 =2
5.①求(2x+2)(x2-3x)展开式中x2的系数。

学员编号：年级：八年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题乘法公式授课日期及时段教学目的1.理解平方差公式、完全平方公式的意义以及它们与多项式乘法的关系.2.会初步选择、运用平方差公式与完全平方公式进行简单计算重难点平方差公式、完全平方公式的推导和应用，灵活应用平方差公式、完全平方公式。

【考纲说明】了解乘法公式（a+b）（a-b）= 、的几何背景，并能进行简单计算。

【趣味链接】某学校学生实践基地有一块边长为30米的正方形实验田，现要在实验田中开设一块边长为5米的正方形观测台，现要在实验田播种，请问正方形实验田的播种面积是多少平方米？【知识梳理】1、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b22、完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b23、公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz【经典例题】【例1】（2011江苏无锡）分解因式2x2− 4x + 2的最终结果是（）A．2x(x− 2) B．2(x2− 2x + 1) C．2(x− 1)2 D．(2x− 2)2 【例2】（2011河北）下列分解因式正确的是（）A.B．2a-4b+2=2（a-2b）C．D．【例3】（2012安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（）A. B. C.D.【例4】（2012南昌）已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（）A． 10 B． 6C． 5 D． 3【例5】（2011山东枣庄）若，且，则．【例6】已知，，求的值。

蒙迪尔国际教育咨询电话：83737513乘法公式一、知识梳理1.平方差公式：a-b a b二a2-b22 2 22.完全平方公式：a_b a b _2ab23.x a x b]=x a b x ab2 23 34.立方和（差）公式：a b a b - ab = a ba「b ii a2b2ab 二a3_b32 2 2 25.三数和平方公式：（a+b+c）=a +b +c +2ab+2ac + 2bc2 2 2 3336.欧拉公式： a b c a b c- ab - ac - be = a b c - 3abc二、例题讲解2 2例1、要使等式（P *q ）+ M =（p -q ）成立，代数式M应为__________________ 。

2 2例2、（1）如果x+6xy+ky是一个完全平方公式的展开式，那么常数k= ________ 2 2（2）如果x +kx r^9y是一个完全平方式的展开式，那么常数k= ________ 。

2 2例3、已知a,b 满足a F=3，ab=2,则a b二-------------------“22 2芦a—b=3,ab=2,贝V a +b = _______ ,(a+b)= ________ .右m 丄=3,求m2 2禾廿! m _ 1例4、已知mm * m 的值。

蒙迪尔国际教育咨询电话：83737513例5、试说明不论a,b取任何有理数，代数式a2• b2-2a -4b 5的值总是非负数。

4 , 4 2 ,2 , ,a b a b b-aab“例6、计算'人八 A 丿的结果是________________ 例7、用乘法公式计算：（1）20142-2013 2015(2)2 3 1 32 1 33 1 川332 1 1例&如果（2a+2b+1 ）（2a+2b-1 ）=63,那么a+b的值为多少?例9、已知a =2013x 2012,b =2013x 2013,c =2013x 2014,则a2 b2 c2 -ab -be-ac =例10、若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”4 =22 - 02,12 =42 -22,20 £-42，因此4,12,20这三个数都是神秘数。

中考数学总复习《乘法公式》专项提升练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、平方差公式1．计算：(1)(3x+5)(3x−5)；(2)(12x+13)(12x−13)；(3)(2x+y)(2x−y)．2．利用乘法公式计算：（1）5002﹣499×501．（2）5023×49133．已知m=√5+1，n=√5−1．求值：(1)m2+n2；(2)nm +mn．4．（1）先化简，再求值：(2x+1)(2x−1)−5x(x−1)+(x−1)2，其中x=−13；（2）计算：20222−2021×2023−992．5．如图，有一个边长为2a(a>10)米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘．(1)求改造后的长方形池塘的面积；(2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明．6．如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔．（1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示）（2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积．二、完全平方公式 10．运用完全平方公式计算：（1）(4m +n)2；（2）(y −12)2．11．解方程：（3x −1）2=（2−5x ）2．12．(a −2b +c )213．计算：(7+4√3)(7−4√3)−(√3−1)2．14．放学时，王老师布置了一道因式分解题：(x ＋y )2＋4(x －y )2－4(x 2－y 2)，小明思考了半天，没有得出答案．请你帮小明解决这个问题．15．回答下列问题(1)若x 2+1x 2=4，则(x +1x )2=________，(x −1x )2=________．(2)若a +1a =5，则a 2+1a 2=________；(3)若a 2−6a +1=0，求2a 2+2a 2的值．16．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也是正方形，它的边长为b （a ＞b ）连结AF 、CF 、AC ,若a +b =10，ab =20，求阴影部分的面积．17．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；(2)解决问题：如果a+b=10，ab=12求a2+b2的值；(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为(8−x)和(x−2)，且(8−x)2+(x−2)2=20，求这个长方形的面积．18．为了纪念革命英雄夏明翰，衡阳市政府计划将一块长为(2a+b)米，宽为(a+b)米的长方形（如图所示）地块用于宣传革命英雄事迹，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座夏明翰雕像．(1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？(2)若a+b=5，ab=6请求出绿化面积．19．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示．(1)请直接写出(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系________．(2)若xy=−3，x−y=4求x+y的值．(3)如图3，线段AB=10，C点是AB上的一点，分别以AC、BC为边长在AB的异侧做正方形ACDE和正方形CBGF，连接AF；若两个正方形的面积S1+S2=32，求阴影部分△ACF面积．20．如图①，正方形ABCD是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b 的正方形拼成的．(1)利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出(a+b)2、a2+b2、ab之间的关系式，这个关系式是；(2)若m满足(2024−m)2+(m−2023)2=4047，请利用（1）中的数量关系，求(2024−m)(m−2023)的值；(3)若将正方形EFGH的边FG、GH分别与图①中的PG、MG重叠，如图②所示，已知PF= 8，NH=32求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．参考答案1．解：（1）原式=5002−(500−1)×(500+1)=5002−(5002−1)=5002−5002+1=1；（2）原式=(50+23)×(50−23)=2500−49=249959．2．解：（1）(3x +5)(3x −5)=(3x)2−52=9x 2−25；（2）(12x +13)(12x −13) =(12x)2−(13)2 =14x 2−19； （3）(2x +y )(2x −y )=(2x)2−y 2=4x 2−y 2．3．（1）解：∵m =√5+1 n =√5−1∵m 2+n 2=(√5+1)2+(√5−1)2=5+2√5+1+5−2√5+1=6+6=12；（2）解：由题意知=12（√5+1）(√5−1)=124=3．4．解：（1）原式=4x 2−1−5x 2+5x +x 2−2x +1=3x ．当x =−13时，原式=3×(−13)=−1． （2）原式=20222−(2022−1)×(2022+1)−(100−1)2=20222−20222+1−10000+200−1=−98005．解：（1）由题可得，改造后池塘的长为（2a +3）m ，宽为（2a -3）m∵改造后的面积为：(2a−3)(2a+3)=(4a2−9)m2．（2）原来的面积为：2a×2a=4a2（m2）∵4a2−(4a2−9)=9＞0∵改造后的长方形池塘的面积与原来相比变小了．6．解：（1）2a•a﹣2b2＝2（a2﹣b2）；（2）当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b）＝2（15.7+4.3）（15.7﹣4.3）＝456．7．（1）解：1√14−√13＝√14+√13(√14+√13)(√14−√13)＝√14+√13(√14)2−(√13)2＝√14+√1314−13＝√14+√13（2）解：(1√2+1+1√3+√2+1√4+√3+⋯+1√2021+√2020)×(√2021+1)＝（√2-1+√3-√2+√4-√3+……+√2021-√2020）×（√2021+1）＝（√2021-1）×（√2021+1）＝2021-1＝2020（3）解：34−√13−6√13−√7−23+√7＝（4+√13）-（√13+√7）-（3-√7）＝4+√13-√13-√7-3+√7＝18．（1）解：S阴影=S边长为a的正方形−S边长为b的正方形，即S阴影=a2−b2．故答案为：a2−b2．（2）观察图形可知，阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是a−b，长是a+b，面积是(a+b)(a−b)．故答案为：a−b a+b(a+b)(a−b)．（3）图1和图2表示的面积相等，可得a2−b2=(a+b)(a−b)．故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)．（4）①20222−2021×2023=20222−(2022−1)(2022+1)=20222−(20222−1)=1②(2m+n+p)(2m+n−p)=[(2m+n)+p][(2m+n)−p]=(2m+n)2−p2=4m2+4mn+n2−p29．（1）解：图1中阴影部分的面积为a2−b2，图2中的阴影部分的面积为(a+b)(a−b)∵图1和图2中两阴影部分的面积相等∵上述操作能验证的等式是a2−b2=(a+b)(a−b)故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)；（2）解：①∵9a2−b2=36∵(3a+b)(3a−b)=36∵3a+b=9∵3a−b=4故答案为：4；②(1−122)⋅(1−132)⋅(1−142)⋅(1−152)⋅⋅⋅(1−120222)=(1+12)×(1−12)×(1+13)×(1−13)×(1+14)×(1−14)×⋯×(1+12022)(1−12022)=32×12×43×23×54×34×⋯×20232022×20212022=12×(32×23)×(43×34)×⋯×(20212022×20222021)×20232022=12×1×20232022=20234044．10．解：（1）(4m+n)2=(4m)2+2⋅(4m)⋅n+n2=16m 2+8mn +n 2；（2）(y −12)2=y 2−2⋅y ⋅12+(12)2=y 2−y +14． 11．解：∵（3x −1）2=（2−5x ）2∵3x −1=±（2−5x ）解得x =12或x =38．12．解：原式=(a −2b)2+2c(a −2b)+c 2=a 2−4ab +4b 2+2ac −4bc +c 2=a 2+4b 2+c 2−4ab +2ac −4bc ．13．解：原式=49−48−(3−2√3+1)=2√3−314．解：把(x ＋y )，(x －y )看作完全平方公式里的a ，b .解：设x ＋y ＝a ，x －y ＝b则原式＝a 2＋4b 2－4ab ＝(a －2b )2＝[(x ＋y )－2(x －y )]2＝(3y －x )2.故答案为(3y －x )2.15．（1）解：∵x 2+1x 2=4∵(x +1x )2=x 2+2x ⋅1x +1x 2=x 2+2+1x 2=6，(x −1x )2=x 2−2x ⋅1x +1x 2=x 2−2+1x 2=2故答案为：6；2；（2）解：∵a +1a =5 ∵(a +1a )2=a 2+2+1a 2=25∵a 2+1a 2=(a +1a )2−2=23 故答案为：23；（3）解∵a 2−6a +1=0∵a ≠0∵a −6+1a =0∵a +1a =6∵(a+1a )2=a2+2+1a2=36∵a2+1a2=(a+1a)2−2=34∵2a2+2a2=2(a2+1a2)=68．16．解：∵两个正方形的面积=a2+b2=(a+b)2−2ab=100−40=60 ，SΔADC=12a2SΔFGC=12(a+b)⋅b∵阴影部分的面积为：60−12a2−12(a+b)⋅b=60−12a2−12ab−12b2=60−12(a2+b2)−12ab=60−12×60−12×20=20.17．（1）解：（1）用大正方形面积公式求得图形的面积为：（a+b）2；用两个小正方形面积加两个长方形面积和求出图形的面积为：a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）解：（2）∵a+b＝10ab＝12∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76；（3）解：（3）设8﹣x＝a x﹣2＝b∵长方形的两邻边分别是8﹣x x﹣2∴a+b＝8﹣x+x﹣2＝6∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20∴ab＝8∴这个长方形的面积＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．18．解：（1）根据题意可得绿化的面积为：(2a+b)(a+b)−a2=2a2+2ab+ab+b2−a2=a2+3ab+b2；（2）∵a+b=5∵a2+3ab+b2=a2+2ab+b2+ab=(a+b)2+ab=52+6=31(平方米)．19．（1）解：由图2各部分的面积关系得：(a+b)2−(a−b)2=4ab故答案为：(a+b)2−(a−b)2=4ab；（2）由（1）题结果可得(x+y)2=(x−y)2+4xy=16−12=4∵x+y=±√4=±2∵x+y的值为±2；（3）设AC=x,BC=y则x2+y2=32 x+y=10∵2xy=(x+y)2−(x2+y2)=102−32=68∵xy=682=34∵S△ACF=12AC×CF=12×34=17∵阴影部分△ACF面积为17．20．解：（1）（a+b）2=a2+b2+2ab（2）设2024−m=a m−2023=b则(2024−m)(m−2023)=ab a+b=1由已知得：a2+b2=4047(a+b)2＝a2+b2+2ab∵12=4047+2ab∵ab=−2023∵(2024−m)(m−2023)=−2023（3）设正方形EFGH的边长为x，则PG=x−8NG=32−x∵S阴=S正方形APGM+2S长方形PBNG+S正方形CQGN∵S阴=(x−8)2+2(x−8)(32−x)+(32−x)2∵(a+b)2＝a2+b2+2ab=[(x−8)+(32−x)]2=242=576∵S阴。

环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义讲义编号： 副校长/组长签字： 签字日期：【考纲说明】1、理解同底数幂乘除、幂的乘方与积的乘方的性质，能正确地运用性质及法则解决一些实际问题。

2、正确理解整式乘法法则，能灵活进行单项式和多相式的运算。

【趣味链接】杨辉三角右图为杨辉三角系数表，它的作用是指导你按规律写出形如（a+b ）n （n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，试试看能填出（a+b ）4 展开式中所缺的系数吗？(a+b)=a+b (a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3则（a+b ）4=a 4+_______a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4【知识梳理】1、同底数幂的乘法：mnm na a a+⋅=（m,n 是整数），同底数幂相乘，底数不变，指数相加.同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 ()mnpm m pa a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数2、 幂的乘方法则：)m nmna a=（（m,n 是整数），幂的乘方，底数不变，指数相乘。

12 1 1 1 11 1 3 3...()......m m nmn m m m m m m m m n a n ma a a a a a a a+++===个个()n m n m a a 与的区别：()nm n m m n a n a a m a 表示个相乘，而表示个相乘。

3、积的乘方法则：)n n n ab a b =（（n 是正整数），积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所有得幂相乘。

().().()...()(....)(....)n n n n ab n a n bab a b ab ab ab a a a b b b ===个个个（1）公式可以逆用，()n n n a b ab =，()mn m n a a =（m ，n 是正整数），例如：153555511333113(3),3(3),5(5)===（2）底数为三个或三个以上的因数时，也可以运用此法则，即()n n n n abc a b c =（n 是正整数） （3）当运用积的乘方法则计算时，若底数互为倒数，则可适当变形。

整式的乘除知识点及题型复习整式的乘除是初中数学中的重要内容，它不仅是后续学习分式、二次根式等知识的基础，还在实际生活中有着广泛的应用。

接下来，我们就对整式的乘除的知识点及常见题型进行一次全面的复习。

一、整式乘法的知识点1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：＄a^m×a^n ＝a^｛m+n}＄（＄m$、＄n$都是正整数）例如：＄2^3×2^4 ＝ 2^｛3+4} ＝ 2^7$2、幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（＄m$、＄n$都是正整数）比如：＄（3^2)＾3 ＝ 3^｛2×3} ＝ 3^6$3、积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即：＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$（＄n$为正整数）例如：＄（2×3)＾2 ＝ 2^2×3^2 ＝ 36$4、单项式乘以单项式系数与系数相乘，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

比如：＄3x^2y × 5xy^2 ＝（3×5)×（x^2×x)×（y×y^2) ＝ 15x^3y^3$5、单项式乘以多项式用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：＄m(a ＋b ＋ c) ＝ ma ＋ mb ＋ mc$例如：＄2x(x ＋ 2y 3z) ＝ 2x^2 ＋ 4xy 6xz$6、多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：＄（a ＋ b)（m ＋ n) ＝ am ＋ an ＋ bm ＋ bn$比如：＄（x ＋ 2)（x 3) ＝ x^2 3x ＋ 2x 6 ＝ x^2 x 6$二、整式除法的知识点1、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即：＄a^m÷a^n ＝ a^｛m n}＄（＄a≠0$，＄m$、＄n$都是正整数，且$m ＞ n$）例如：＄6^5÷6^3 ＝ 6^｛5 3} ＝ 6^2$2、单项式除以单项式系数与系数相除，同底数幂分别相除，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

乘法公式考点培优练习考点直击 1.乘法公式是由多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论：① 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.(a +b )(a −b )=a²−b²②完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减去)它们的积的2倍.(a ±b )²=a²±2ab +b²2.对乘法公式的理解，重在突出代数推理思想的应用，在课本的基础上，常用的乘法公式还有：①(a −b )(a²+ab +b²)=a³−b³;②(a +b )(a²−ab +b²)=a³+b³;③(a +b )³=a³+3a²b +3ab²+b³④(a −b )³=a³−3a²b +3ab²−b³;(a +b +c )²=a²+b²+c²+2ac +2bc +2ab⑥(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac) =a³+b³+c³-3abc;⑦ (a −b )(a n−1+a n−2b +a n−3b 2+⋯+ab n−2+b n−1)=a n −b n ;⑧ (a +b )(a 2n −a 2n−1b +a 2n−2b 2−⋯−ab 2n−1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1.例题精讲例1 南山植物园中现有A ，B 两个园区，已知A 园区为长方形，长为(x+y)米,宽为(x-y)米;B 园区为正方形,边长为(x+3y)米.(1)请用代数式表示 A ，B 两园区的面积之和并化简；(2)现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加(11x-y)米，宽减少(x-2y)米，整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米.①求x,y 的值;②若 A 园区全部种植C 种花，B 园区全部种植D 种花，且C ，D 两种花投入的费用与吸引游客的收益如表：求整改后A ，B 两园区旅游的净收益之和.(净收益=收益-投入)【思路点拨】(1)根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A ，B 两园区的面积，再相加即可求解；(2)①根据等量关系：整改后A 区的长比宽多350米，整改后两园区的周长之和为980米，列出方程组求出x ，y 的值；② 代入数值得到整改后A ，B 两园区的面积之和，再根据净收益=收益—投入，列式计算即可求解.举一反三1 (湖北中考)如图所示，图1是一个边长为a 的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为(a-1)的正方形，记图1、图2中阴影部分的面积分别为S ₁，S ₂，则 S 1S 2可化简为 .举一反三2 有相邻的两块长方形土地，大小如图所示( (a⟩100,单位：m)，出售土地的价格有如下两种不同方式：方式一：左边大的长方形土地x万元，/m²,，右边小的长方形土地y万元/m²;万元/m².方式二：全部土地x+y2(1)分别求出按两种方式出售全部的土地的收入是多少万元.(2)比较按两种方式出售全部土地的收入的大小关系.举一反三3 某公园计划砌一个形状如图1的喷水池，后来有人建议改为图2的形状，且外圆的直径不变，请你比较两种方案，确定哪一种方案砌各圆形水池的周边需用的材料多.(友情提示：比较两种方案中各圆形水池周长的和)举一反三4 某全民健身中心游泳场设计方案如图所示，A 区为成人泳区，B 区为儿童泳区，其余地区为草坪.(1)游泳区和草坪的面积各是多少?(2)如果游泳场需要有不少于一半的草坪，那么这个设计方案符合要求吗?例2 (广东中考)阅读材料：把形如ax²+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫作配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a²±2ab+b²=(a±b)².例如：(x−1)2+3,(x−2)2+2x,(12x−2)2+34x2是x²−2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出x²−4x+2三种不同形式的配方；(2) 将a²+ab+b²配方(至少两种形式)；(3) 已知a²+b²+c²−ab−3b−2c+4=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)(2)考查对完全平方公式的应用能力，由题中所给的已知材料可得x²−4x+2和a²+ab+b²的配方也可分别写成“余项”是常数项、一次项、二次项的三种不同形式；(3)通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值.举一反三5 (南通中考)已知A=2a²−a+2,B=2,C=a²−2a+4,其中a>1.(1) 求证: A−B>0;(2)试比较A，B，C三者之间的大小关系，并说明理由.举一反三6 (安徽中考)老师在黑板上写出三个算式：5²−3²=8×2,9²−7²=8×4,15²−3²=8×27,王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11²−5²=8×12,15²−7²=8×22.(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；(2)用文字写出反映上述算式的规律；(3)证明这个规律的正确性.举一反三7 (沈阳中考)认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式,如:(a +b)¹=a+b,(a+b)²=a²+2ab+b²,(a+b)³=(a+b)²(a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3,⋯下面我们依次对(a+b)”展开式的各项系数进一步研究，发现当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)多项式(a+b)ⁿ的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数.(2)结合上述材料，推断出多项式( (a+b)ⁿ(n取正整数)的展开式的各项系数之和 S(结果用含字母n 的代数式表示).例3 (肇庆中考)(1)计算: (a+b)(a²−ab+b²);(2)若x+y=1,xy=−1,求x³+y³的值.【思路点拨】(1)用多项式的乘法法则将多项式展开，再合并同类项即可得解；(2)用立方和公式直接计算.举一反三8 (通辽中考)若关于x的二次三项式x2+ax+14是完全平方式，则实数a 的值是 . 举一反三9(广西中考)观察下列等式：1+2+3+4+⋯+n=12n(n+1);1+3+6+10+⋯+12n(n+1)=16n(n+1)(n+2);1+4+10+20+⋯+16n(n+1)(n+2)=124n(n+1)(n+2)(n+3);则1+5+15+35+⋯+124n(n+1)(n+2)(n+3)=¯举一反三 10 (西藏中考)先化简，再求值：( (m+n)²+(m+n)(m−3n)−(2m+n)(2m−n);；其中m=√2,n=1.过关检测基础夯实1.(娄底中考)下列运算正确的是 ( )A.a²⋅a³=a⁶B.(a+b)²=a²+b²C.(−2a)³=−8a³D.a²+a²=a⁴2.(牡丹江中考)下列运算正确的是 ( )A.a²⋅a⁵=a¹⁰B.(a−2)²=a²−4C.a⁶÷a²=a³D.(−a²)⁴=a⁸3.(连云港中考)计算( (x+2)²的结果为x²+□x+4,则“□”中的数为 ( )A. —2B. 2C. -4D.44.(玉溪中考)若x²+6x+k是完全平方式，则k= ( )A.9B. -9C.±9D. ±35.(枣庄中考)若a+b=3,a²+b²=7,则ab=.6.(湖州中考)利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：( (a+b)²=a²+2ab+b².你根据图乙能得到的数学公式是 .7.(湘潭中考)多项式x²+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 (任写一个符合条件的即可).8.(温州中考)(1) 计算: √4−|−2|+(√6)0−(−1);(2) 化简: (x−1)²−x(x+7).9.(无锡中考)计算：(1)√9−(−2)2+(−0.1)0;(2)(x+1)²−(x+2)(x−2).能力拓展10.(遵义中考)如图,从边长为(a+1) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a—1)cm的正方形(a>1)，再将剩余部分沿虚线剪开拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是 ( )A.2cm²B.2acm²C.4acm²D.(a²−1)cm²11.(乌鲁木齐中考)图1是边长为(a+b)的正方形，将图 1中的阴影部分拼成图 2 的形状，由此能验证的式子是 ( )A.(a+b)(a−b)=a²−b²B.(a+b)²−(a²+b²)=2abC.(a+b)²−(a−b)²=4abD.(a−b)²+2ab=a²+b²12.(杭州中考)设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P= .13.(宁波中考)用长、宽分别为a，b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”正方形，如图所示.利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式: .14.(南充中考)若x²+mx+1=(x+n)²,且m>0,则n的值是 .15.(黄石中考)若x²+2xy+y²−a(x+y)+25是完全平方式，求a 的值.16.(兰州中考)化简:a(1—2a)+2(a+1)·(a-1).17.(大庆中考)已知: x²−y²=12,x+y=3,求2x²−2xy的值.18.(江西中考)(1)计算:((a+1)(a-1)-(a-2)²;(2)解不等式: x−1≥x−22+3.综合创新19.若(x+a)(x+b)+(x+b)·(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,则a，b，c的关系可以写成( )A. a<b<cB.(a−b)²+(b−c)²=0C. c<a<bD. a=b≠c20.若√x√x =−2,则x²−1x2的值为 .21.(衢州中考)有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式a²+2ab+b²=(a+b)²,对于方案一，小明是这样验证的：a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.方案二：方案三：22.(临汾中考)阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：(2a+ b)(a+b)=2a²+3ab+b²就可以用图 1或图 2等图形的面积表示.(1)请写出图3所表示的代数恒等式：;(2)试画一个几何图形，使它的面积表示恒等式(a+b)(a+3b)=a²+ 4ab+3b²;(3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形.2 乘法公式的各种变化【例题精讲】1. (1)(x+y)(x-y)+(x+3y)²=x²- y²+x²+6xy+9y²=2x²+6xy+8y²(平方米) (2) ① x =30 y = 10②57 600元解析:(2)①(x+y)+(11x--y)=x+y+11x-y=12x(米),(x--y)--(x-2y)=x-y-x+2y=y(米),依题意有{12x−y=350,2(12x+y)+4(x+3y)=980,解得{x=30,y=10.②12xy=12×30×10=3 600(平方米), (x+3y)²=x²+6xy+9y²=900+1 800+900=3 600(平方米),(18-12)×3600+ (26−16)×3600=6×3600+10×3 600=57 600(元).2. (1)x²−4x+2=(x−2)²−2x²−4x+- 2=(x+√2)2−(2√2+4)xx2−4x+6/ =(√2x−√2)2−x2 (2)a²+ab+b²=(a+b)²−aba²+ab+b²=(a+12b)2+34b2 (3)4解析：(3)a²+b²+c²−ab−3b−2c+4=(a2−ab+14b2)+(34b2−3b+3)+(c2−2c+1)=(a2−ab+14b2)+3 4(b2−4b+4)+(c2−2c+1)=(a−12b)2+34(b−2)2+(c−1)2=0,从而有 a一12b=0,b−2=0,c−1=0,即a=1,b=2,c=1,∴a+b+c=4.3.(1) 原式=a³−a²b+ab²+a²b−ab²+b³=a³+b³(2)x³+y³=(x+y)(x²−xy+y²)=(x+y)[(x+y)²−3xy],∵x+y=1,xy=−1,∴x³+y³=1×[1²−3×(−1)]=4.【举一反三】1.a+1a−1解析: S1S2=a2−1(a−1)2=(a−1)(a+1)(a−1)2=a+1a−1.2.(1) 方式一收入:xa(a+100)+100y(a- 100)=a²x+100ax+100ay−10000y;方式二收入：x+y2[a(a+100)+100.(a−100)]=12a2x+100ax−5000x+12a2y+100ay−5000y. (2)方式一、二的收入的差为(a²x+100ax+100ay=10000y)−(12a2x+100ax−5000x+)12a2y+100ay−5000y)=12a2x+5000x−12a2y−5000y=x−y2(a2+10000),①当x>y时,方式一的收入大于方式二的收入；②当x=y时，方式一的收入等于方式二的收入；③当x<y时，方式一的收入小于方式二的收入.3. 在图 1 中,周长为2×2πr=4πr;在图 2中，周长为2πr+2π⋅r2+2π⋅r3+2π.r6=2π⋅(r+r2+r3+r6)=4πr,∴两种方案各圆形水池的周边需要的材料一样多.4.(1)根据题意得A区的面积为4a ·3a=12a²,B区的面积为(3a2)2π=9a24π,则游泳区的面积为12a2+9a24π.草坪面积为(a+4a+5a)(32a+3a+32a)−(12a2+9a24π)=48a2−9a24π.(2) 根据题意得12a2+9a24π≥12(48a2−9a24π),整理得 12a² - 27a28π≤0,即3a2(32−9π)8≤0,∵32−9π>0，显然此不等式不成立，则这个方案不符合要求.5.(1) 证明: A−B=(2a²−a+2)−2=2a²-a=a(2a-1),∵a>1,∴2a-1> 0,a(2a−1)>0,∴(2a²−a+2)−2>0,∴A-B>0;(2) A>C>B 理由：A−C=(2a²−a+2)−(a²−2a+4)=a²+a--2=(a--1)(a+2),∵a>1,∴a-1>0,a+2>0,∴(a-1)(a+2)>0,∴A-C>0,即A>C. C-B=(a²- 2a+4)−2=a²−2a+2=(a−1)²+1,:a>1,∴(a−1)²>0,∴(a−1)²+1>0.∴C-B>0,即C>B.则A>C>B.C.(1)11²−9²=8×513²−11²(2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数(3)证明：设m，n 为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1,则( (2m+1)²−(2n+1)²=4(m--n)(m+n+1).当m,n 同是奇数或偶数时，(m--n)一定为偶数，所以4(m-n)一定是8的倍数;当m,n一奇一偶时，则(m+n+1)一定为偶数，所以4(m+n+1)一定是8的倍数.所以任意两奇数的平方差是8的倍数.7.(1) 多项式(a+b)"的展开式是一个n次(n+1)项式，第三项的系数为n(n−1)2(2) S=2"解析:(1)∵当n=1时,多项式((a+b)¹的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为0=1×02;当n=2时,多项式(a+b)²的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为1=2×12;当n=3时，多项式(a+b)³的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为3=3×2 2;当n=4时,多项式(a+b)⁴的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为6=4×32,⋯多项式(a+b)"的展开式是一个n次(n+1)项式，第三项的系数为n(n−1)2.(2)∵当n=1时，多项式(a+b)¹展开式的各项系数之和为1+1=2=2¹;当n=2时,多项式(a+b)²展开式的各项系数之和为1+2+1=4=2²;当n=3时,多项式(a+b)³展开式的各项系数之和为1+3+3+1= 8=2³;;当n=4时,多项式(a+b)⁴展开式的各项系数之和为1+4+6+4+1=16=2⁴…∴多项式(a+b)"展开式的各项系数之和为S=2".8.±19.1120n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)解析: :1+2+3+4+⋯+n=11×2n(n+1)=12n(n+1);1+3+6+10+⋯+1 2n(n+1)=12×3n(n+1)(n+2)=16n(n+1)(n+2);1+4+10+20+⋯+16n(n+1)(n+2)=16×4n(n+1).(n+2)(n+3)=124n(n+1)(n+2).(n+3),∴1+5+15+35+⋯+124n(n+1)(n+2)(n+3)=124×5n(n+1).(n+2)(n+3)(n+4)=1120n(n+1).(n+2)(n+3)(n+4).10. 原式: =m²+2mn+n²+m²−3mn+mn−3n²−4m²+n²=−2m²−n².当m=√2,n=1时，原式：=−2×(√2)2−1²=−4−1=−5.【过关检测】1. C 解析: a²⋅a³=a⁵,A4错误；(a+b)²=a²+2ab+b²,B 错误; a²+a²=2a²,D错误.2. D 解析:( a²⋅a⁵=a⁷,A错误；(a−2)²=a²−4a+4,B错误; a⁶÷a²=a⁴,C错误.3. D 解析: (x+2)²=x²+4x+4.4. A 解析: ∴x²+6x+k是完全平方式，∴(x+3)²=x²+6x+k,即x²+6x+9=x²+6x+k,∴k=9.5. 1 解析:( (a+b)²=a²+b²+2ab=3²=9.∵a²+b²=7,∴2ab=2, ab=1.6.(a−b)²=a²−2ab+b²7.2x 解析: ∵x²+1+2x=(x+1)²,∴添加的单项式可以是2x.8.(1)2 (2)-9x+1解析:(1) 原式=2-2+1+1=2;(2)原式=x²−2x+1−x²−7x=−9x+1.9.(1) 0 (2) 2x+5解析:(1) 原式=3-4+1=0;(2) 原式= x²+2x+1−x²+4=2x+5.10. C 解析:如图,矩形 ABCD 的面积 = S正方形EFGH —2a+1−(a²−2a+1)=4a(cm²).11. B 解析: ∴AB=√a2+b2,∴S圆锥侧=(a+b)2−(a2+b2)=4⋅12ab=2ab.12.−34解析：方法一：(x+y)²=x²+2xy+y²=1²=1,(x−y)²=x²−2xy+y²=2²=4,两式相减得4xy=-3,解得xy=−34,则P=−34.方法二：由题可得{x+y=1,x−y=2,解得{x=32,y=−12,∴P=xy=−34.13.(a+b)²−(a−b)²=4ab解析：大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积.14. 1 解析: ∵x²+mx+1=(x+n)²=x²+2nx+n²,∴m=2n,n²=1,∵m>0.∴n=1.15.±10 解析:原式=(x+y)²−a(x+y)+5²,∵原式为完全平方式,∴-a(x+y)=±2×5(x+y),角解得a=±10.16. a-2 解析:原式= =a−2a²+2(a²−1)=a−2a²+2a²−2=a−2.17. 28 解析: :x²−y²=12,∴(x+y)(x−y)=12,∵x+y=3 ①,∴x-y=4 ②,①+②得2x=7,∴2x²−2xy=2x(x−y)=7×4=28.18.(1) 4a-5 (2)x≥6解析:(1)原式=a²−1−a²+4a−4=4a--5;(2) 去分母得2x--2≥x--2+6,移项合并得x≥6.19. B 解析:原式=3x²+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac),∵(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,∴3x²+2(a+b+c)x+(ab+bc+ ac)=[√3x+√33(a+b+c)]2,∴ab+bc+ac=13(a+b+c)2=13(a2+b2+c²+2ab+2ac+2bc),∴ab+bc+ac= a²+b²+c²,∴2(ab+bc+ac)=2(a²+b²+c²),即(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b=c.20.−24√2解析：平方得(√x√x )2=(−2)²=4,展开后得x+1x−2=4,∴x+1x=6,∴x+1x+2=8,即(√x+√x)2=8,∴√x√x =2√2或−2√2(舍去), ∴x2−1x2=(x+1x)(x−1x)=(x+1x)(√x√x)(√x√x)=−24√2.21.a²+ab+(a+b)b=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²a2+[a+(a+b)]b2+[a+(a+b)]b2=a2+ab+12b2+ab+12b2=a2+2ab+b²=(a+b)²2.(1)(2a+b)(a+2b)=2a²+5ab+2b²(3)恒等式为(a+2b)(a+b)=a²+3ab+2b²,，与它对应的几何图形如图所。

初升高数学乘法公式试题讲解 乘法是数学中的基本运算之一，它常常出现在我们的日常生活和学习中。

在初中阶段，学生将深入学习乘法，并掌握乘法公式的使用。

本文将以初升高数学乘法公式试题为例，对其进行详细讲解。

1、基础乘法概念 乘法是指将两个或多个数相乘的运算方法。

在乘法中，将被乘数与乘数相乘，得到的积是乘法的结果。

乘法的结果由乘数、被乘数和积三者构成。

2、常见乘法公式在初升高数学中，常见的乘法公式有以下几种：2.1 两位数乘一位数的乘法：例如，计算32 × 5的结果。

解题步骤如下： - 将被乘数32与乘数5的个位数相乘，得到10，写在十位上； - 将被乘数32与乘数5的十位数相乘，得到160，写在百位上； - 将两次乘法的结果相加，得到最终结果160 + 10 = 170。

因此，32 × 5 = 170。

2.2 两位数乘两位数的乘法：例如，计算24 × 36的结果。

解题步骤如下： - 将被乘数24与乘数36的个位数相乘，得到144，写在个位上； - 将被乘数24的十位数与乘数36的个位数相乘，并乘以10，得到240，写在十位上； - 将被乘数24与乘数36的十位数相乘，并乘以10的平方，得到720，写在百位上； - 将被乘数24的十位数与乘数36的十位数相乘，并乘以100，得到7200，写在千位上； - 将以上四个乘法的结果相加，得到最终结果7200 + 720 + 240 + 144 = 7984。

因此，24 × 36 = 7984。

2.3 乘法公式（a + b） × c的运算：例如，计算(2 + 3) × 4的结果。

解题步骤如下：- 先将括号内的加法运算得到结果5； - 将结果5与乘数4相乘，得到20。

因此，(2 + 3) × 4 = 20。

3、乘法公式的应用 乘法公式不仅用于基本计算，还常常应用于解决实际问题。

下面举例说明：3.1 《数学竞赛试题》 在一场数学竞赛中，小明解决了5道选择题，每题得3分；解决了4道填空题，每题得5分；解决了2道解答题，每题得8分。