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2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质学案苏教版选修1_1

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- 1 - 2.5圆锥曲线的共同性质 圆锥曲线的共同性质 抛物线可以看成平面内到定点(焦点)F的距离与定直线(准线)l的比值等于1(离心率)的动点的轨迹． 问题1：当比值大于0小于1时轨迹是什么？ 提示：椭圆． 问题2：当比值大于1时轨迹是什么？ 提示：双曲线．

圆锥曲线的共同定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹． 当0＜e＜1时，它表示椭圆； 当e＞1时，它表示双曲线； 当e＝1时，它表示抛物线． 其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.

圆锥曲线的准线

在圆锥曲线的定义中，定点F是焦点，定直线l是准线，而且知道抛物线只有一个焦点和一条准线． 问题：椭圆和双曲线有几个焦点、几条准线？ 提示：椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线．

椭圆、双曲线和抛物线的准线方程 曲线方程 准线方程 曲线方程 准线方程 x2a2＋y2b2＝ 1(a＞b＞0) x＝±a2c y2a2＋x2b2＝1

(a＞b＞0) y＝±a2c

x2a2－y2b2＝1 x＝±a2c y2a2－x2b2＝1 y＝±a2c - 2 -

(a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) y2＝2px (p＞0) x＝－p2 x2＝2py (p＞0) y＝－p2

y2＝－2px (p＞0) x＝p2 x2＝－2py (p＞0) y＝p2

1．关于圆锥曲线共同特征的认识 (1)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数e的点的集合(或轨迹)，只是当01时为双曲线． (2)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线． 2．圆锥曲线共同特征的应用

设F为圆锥曲线的焦点，A为曲线上任意一点，d为点A到定直线的距离，由AFd＝e变形

可得d＝AFe.由这个变形可以实现由AF到d的转化，借助d则可以解决一些最值问题．

[对应学生用书P36] 利用圆锥曲线的定义求轨迹 [例1] 已知动点M(x，y)到点F(2,0)与到定直线x＝8的距离之比为12，求点M的轨迹． [思路点拨] 该题有两种解法，一种是利用直译法直接代入化简，另一种是用圆锥曲线的统一定义来求．

[精解详析] 法一：由题意得x－2＋y2|x－8|＝12， 整理得x216＋y212＝1. 法二：由圆锥曲线的统一定义知，M点的轨迹是一椭圆．c＝2，a2c＝8，则a2＝16，∴a＝- 3 -

4，∴e＝24＝12，与已知条件相符， ∴椭圆中心在原点，焦点(±2,0)，准线x＝±8，b2＝12， 其方程为x216＋y212＝1. [一点通] (1)解决此类题目有两种方法： ①直接列方程，代入后化简整理即得方程． ②根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程． (2)当题目中给出的条件直观上看不符合圆锥曲线定义时，要进行适当的变形，通过推导找出与之相关的距离问题进行验证，通过点与点、点与线间距离的转化去寻找解题途径，对于这种轨迹问题，一般都要通过定义解决．

1．平面内的动点P(x，y)(y>0)到点F(0,2)的距离与到x轴的距离之差为2，求动点P的轨迹． 解：如图，作PM⊥x轴于M，延长PM交直线y＝－2于N. ∵PF－PM＝2.∴PF＝PM＋2. 又∵PN＝PM＋2，∴PF＝PN. ∴P到定点F与到定直线y＝－2的距离相等． 由抛物线的定义知，P的轨迹是以F为焦点以y＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y. ∴动点P的轨迹是抛物线． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4,0)，直线l：x＝－2，动点M到F1的距离是它到定直线l距离d的2倍．设动点M的轨迹曲线为E. (1)求曲线E的轨迹方程； (2)设点F2(4,0)，若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F1，F2到m的距离分别为d1，d2，试判断d1d2是否为常数，并说明理由．

解：(1)由题意，设点M(x，y)， 则有MF1＝x＋2＋y2， 点M(x，y)到直线l的距离d＝|x－(－2)|＝|x＋2|， 故x＋2＋y2＝2|x＋2|， 化简得x2－y2＝8. 故动点M的轨迹方程为x2－y2＝8. - 4 -

(2)d1d2是常数，证明如下： 若切线m斜率不存在，则切线方程为x＝±22， 此时d1d2＝(c＋a)·(c－a)＝b2＝8. 当切线m斜率存在时，设切线m：y＝kx＋t， 代入x2－y2＝8，整理得：x2－(kx＋t)2＝8， 即(1－k2)x2－2tkx－(t2＋8)＝0. Δ＝(－2tk)2＋4(1－k2)(t2＋8)＝0， 化简得t2＝8k2－8.

又由kx－y＋t＝0，d1＝|－4k＋t|k2＋1，d2＝|4k＋t|k2＋1，

d1d2＝|16k2－t2|k2＋1＝|16k2－k2－k2＋1＝8,8为常数．

综上，对任意切线m，d1d2是常数.

最值问题 [例2] 若点P的坐标是(－1，－3)，F为椭圆x216＋y212＝1的右焦点，点Q在椭圆上移动，当QF＋12PQ取得最小值时，求点Q的坐标，并求出最小值． [思路点拨] 利用定义把QF转化成到准线的距离，然后再求它与12PQ的和的最小值． [精解详析] 在x216＋y212＝1中a＝4，b＝2 3，c＝2， ∴e＝12，椭圆的右准线l：x＝8， 过点Q作QQ′⊥l于Q′， 则QFQQ′＝e.

∴QF＝12QQ′. ∴QF＋12PQ＝12QQ′＋12PQ＝12(QQ′＋PQ)． 要使QQ′＋PQ最小，由图可知P、Q、Q′三点共线，所以由P向准线l作垂线，与椭圆的交点即为QF＋12PQ最小时的点Q， ∴Q的纵坐标为－3，代入椭圆得：Q的横坐标为x＝2. - 5 -

∴Q为(2，－3)，此时QF＋12PQ＝92. [一点通] 利用圆锥曲线的定义通过把到焦点的距离转化为到准线的距离，或把到准线的距离转化为到焦点的距离，从而求得距离问题的最值是这一部分的常见题型，应熟练掌握．

3．已知双曲线x29－y216＝1的右焦点为F，点A(9,2)，M为双曲线的动点，求MA＋35MF的最小值． 解：双曲线离心率e＝53，由圆锥曲线的共同性质知MFd＝e(d为点M到右准线l的距离)，

右准线l的方程为x＝95，而AM＋35MF＝MA＋35de＝MA＋d. 显然当AM⊥l时，AM＋d最小， 而AM＋d的最小值为A到l的距离为9－95＝365.

即MA＋53MF的最小值为365. 4．已知定点A(－2，3)，点F为椭圆x216＋y212＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标． 解：∵a＝4，b＝23，∴c＝a2－b2＝2.

∴离心率e＝12.A点在椭圆内，设M到右准线距离为d，则MFd＝e，即MF＝ed＝12d，右准线l：x＝8. ∴AM＋2MF＝AM＋d. ∵A点在椭圆内，∴过A作AK⊥l(l为右准线)于K，交椭圆于点M0. 则A、M、K三点共线，即M与M0重合时，AM＋d最小为AK，其值为8－(－2)＝10. 故AM＋2MF的最小值为10，此时M点坐标为(23，3).

圆锥曲线的准线、离心率的应用 [例3] 求椭圆x216＋y225＝1的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线，且离心率互为倒数的双曲线方程． [思路点拨] 由方程确定a，c，从而求e与准线，由椭圆的准线、离心率，再确定双曲线的实轴长、虚轴长，从而求出双曲线的方程． - 6 -

[精解详析] 由x216＋y225＝1知a＝5，b＝4，c＝3，e＝ca＝35，准线方程为y＝±253. 设双曲线虚半轴长为b′，实半轴长为a′，半焦距为c′，离心率为e′. 则e′＝1e＝53，又∵a2c＝a′2c′＝253.

解得：a′＝1259，c′＝62527，b′2＝250 000729. 双曲线方程为81y215 625－729x2250 000＝1. [一点通] 在圆锥曲线中，a，b，c，e，p是确定图形形状的特征量，把握它们之间的内在联系是解决此类问题的关键．

5．过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为________． 解析：设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2

和d，圆的半径为R，d＝d1＋d22，R＝AB2＝FA＋FB2＝ed1＋d22.由题意知R＞d，则e＞1，故圆锥曲线为双曲线． 答案：双曲线

6．(天津高考)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________． 解析：抛物线y2＝8x的准线x＝－2过双曲线的一个焦点，所以c＝2，又离心率为2，所

以a＝1，b＝c2－a2＝3，所以该双曲线的方程为x2－y23＝1.

答案：x2－y23＝1

1．圆锥曲线的准线： 在求解圆锥曲线的准线时，应根据曲线的方程先化为其对应的标准形式，通过标准形式确定好曲线的焦点在坐标轴的位置，求出相应的量a、c或p，然后写出其准线． 2．圆锥曲线的判断： 要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是： (1)如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义． (2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义．

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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质作业苏教版选修1-1(2021年整理)

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质作业苏教版选修1-1(2021年整理)

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2.5 圆锥曲线的共同性质［基础达标］1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－错误!＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由圆锥曲线的共同性质得MFd＝e＝错误!＝2，d为点M到右准线x＝1的距离，则d＝2，所以MF＝4。

答案：42．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝1(a>b>0),右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2,若d2＝错误!d1，则椭圆C的离心率为________．解析:依题意,d2＝错误!－c＝错误!.又BF＝错误!＝a,所以d1＝错误!.由已知可得错误!＝错误!·错误!,所以错误!c2＝ab，即6c4＝a2(a2－c2)，整理可得a2＝3c2，所以离心率e＝错误!＝错误!。

答案:错误!3．已知椭圆错误!＋错误!＝1上一点P到右准线的距离为10,则点P到它的左焦点的距离为________．解析：设F1，F2分别为椭圆的左，右焦点,P到左准线的距离为d1,P到右准线的距离为d2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，错误!＝错误!＝错误!,解得PF2＝6，又PF1＋PF2＝2a＝10,解得PF1＝4,故P到它的左焦点距离为4.答案:44．如果双曲线错误!－错误!＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．解析：由双曲线方程可知a＝2,b＝2,c＝错误!，e＝错误!，设F1,F2分别为双曲线的左，右焦点，设P点坐标为（x,y)，由已知条件知P点在右支上，且PF2＝ex－a＝2，解得x＝错误!。

2018年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义课件9 苏教版选修2-1

2018年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义课件9 苏教版选修2-1


线 l:x=a2的 距 离 的 比 是 常 数 c(a> c> 0),求 点 P 的 轨 迹 .
c
a
轨迹方x程 2 为y2：1 a2 a2c2
探究二： 若变为 0<a<c, 则点P的轨迹为？
轨迹方ax程 22 为 c2y2a： 2 1
思考： 圆锥曲线可以统一定义为？
圆锥曲线可以统一定义为:
l
l
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2px ( p , 0 )
2
y2 2px
(
p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2py ( 0 , p ) y p
l
2
2
l x2 2py (0， p ) y p
2
2
例2 求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
（1）x 2 y 2 1 25 9
课题：圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义
复习回顾
1、椭圆的定义：
平面内到两定点 F1，F2 距离之和等于常数 2a （2a>F1F2）的点的轨迹。
表达式 PF1+PF2=2a（2a>F1F2）
2 、双曲线的定义：
平面内到两定点 F1，F2距离之差的绝对值等于 常数 2a （2a<F1F2）的点的轨迹：
a2－ cx＝ ax－ c2＋ y2
探究一：
在推导椭圆的标准方程时，我们 曾经得到这样一个式子:
a2cxa (xc)2y2
将其变形为
(xc)2 y2 a2 x
c a
c
你能解释这个式子的几何意义吗?
例题
例 1 已 知 点 P (x,y)到 定 点 F (c,0)的 距 离 与 它 到 定 直
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质作业 苏教版选修1-1

2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质作业 苏教版选修1-1

2.5 圆锥曲线的共同性质[基础达标]1．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由圆锥曲线的共同性质得MF d ＝e ＝42＝2，d 为点M 到右准线x ＝1的距离，则d ＝2，所以MF ＝4.答案：42．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F,右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2,若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c .又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bc a .由已知可得b 2c ＝6·bc a，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.答案：333．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到右准线的距离为10，则点P 到它的左焦点的距离为________．解析：设F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，PF 2d 2＝c a ＝35，解得PF 2＝6，又PF 1＋PF 2＝2a ＝10，解得PF 1＝4，故P 到它的左焦点距离为4.答案：4 4．如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．解析：由双曲线方程可知a ＝2，b ＝2，c ＝6，e ＝62，设F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点，设P 点坐标为(x ，y )，由已知条件知P 点在右支上，且PF 2＝ex －a ＝2，解得x ＝463.答案：4635．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y 2＝4x 的准线重合，则此双曲线方程为________．解析：由题意得c a ＝3，a 2c ＝1，得a ＝3，c ＝3，则b 2＝6，所以此双曲线方程为x 23－y 26＝1.答案：x 23－y 26＝16．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c (c为半焦距)的点，且F 1F 2＝F 2P ，则椭圆的离心率是________．解析：如图有P (a 2c，3c )，设右准线交x 轴于H 点，∵F 2P ＝F 1F 2＝2c ，且PH ＝3c ， 故∠PF 2H ＝60°，∴F 2H ＝c ，OH ＝a 2c ＝2c ⇒e 2＝12⇒e ＝22或－22(舍)．答案：227．设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过点F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．解：设M 为弦AB 的中点(即以AB 为直径的圆的圆心)，A 1，B 1，M 1分别是A 、M 、B 在准线l 上的射影(如图)．由圆锥曲线的统一定义得AB ＝AF ＋BF ＝e (AA 1＋BB 1)＝2eMM 1.∵0<e <1，∴AB <2MM 1，即AB2<MM 1.∴以AB 为直径的圆与椭圆的左准线相离．8．在椭圆x 225＋y 29＝1上求一点P ，使它到左焦点F 1的距离是它到右焦点F 2距离的2倍，试求点P 的坐标．解：由题意可设P 点坐标为(x 0，y 0)，由椭圆的方程x 225＋y 29＝1，可得a ＝5，b ＝3，c ＝4，离心率e ＝45.所以PF 1＝a ＋ex 0＝5＋45x 0，PF 2＝a －ex 0＝5－45x 0.又PF 1＝2PF 2，解得x 0＝2512，代入椭圆方程得y 0＝±1194，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2512，±1194.[能力提升] 1．已知椭圆x 225＋y 216＝1外一点A (5,6)，l 为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点P 到l的距离为d ，则PA ＋35d 的最小值为________．解析：如图，设F 为椭圆的左焦点，可知其坐标为F (－3,0)，根据圆锥曲线的统一定义有：PF d ＝e ＝35，即PF ＝35d ， 所以PA ＋35d ＝PA ＋PF ，可知当P ，F ，A 三点共线且P 在线段AF 上时，PA ＋PF 最小，最小值AF ＝10.故PA ＋35d 的最小值为10.答案：102．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．解析：如图，BF ＝b 2＋c 2＝a ，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由BF →＝2FD →，得OF DD 1＝BF BD ＝23，所以DD 1＝32OF ＝32c ，即x D ＝3c 2，由圆锥曲线的统一定义得FD ＝e (a 2c －3c 2)＝a －3c22a；又由BF ＝2FD ，得a ＝2a －3c 2a，整理得3c 2＝a 2.解得e ＝－33(舍去)或e ＝33. 答案：333．已知A ，B 为椭圆x 2a 2＋25y 29a 2＝1上的两点，F 2是椭圆右焦点，若AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点M 到椭圆的左准线的距离为32，试确定椭圆的方程．解：由椭圆的方程可得b ＝35a ，则c ＝45a ，e ＝45，两准线间的距离为52a ，设A ，B 两点到右准线的距离分别是d A ，d B ，则AF 2d A ＝BF 2d B ＝45，∴AF 2＋BF 2＝45(d A ＋d B )＝85a ，∴d A ＋d B ＝2a ，则AB 的中点M 到椭圆右准线的距离为a ，于是M 到左准线的距离为52a －a ＝32，解得a ＝1，故椭圆方程为x 2＋25y 29＝1.4．(创新题)已知椭圆x 225＋y 29＝1上不同的三点A (x 1，y 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，95，C (x 2，y 2)与焦点F (4,0)的距离成等差数列．(1)求证：x 1＋x 2＝8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率．解：(1)证明：由已知得a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝45.因为AF ＝a －ex 1＝5－45x 1，CF ＝a －ex 2＝5－45x 2，BF ＝5－45×4＝95，且AF ＋CF ＝2BF ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 2＝185，即x 1＋x 2＝8.(2)因为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)在椭圆上，所以x 2125＋y 219＝1，①x 2225＋y 229＝1.② 由①－②得y 21－y 22＝－925(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－7225(x 1－x 2)．又因为线段AC 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫4，y 1＋y 22，所以线段AC 的垂直平分线的方程为 y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －4)．③又因为点T 在x 轴上，则设点T 的坐标为(x 0,0)，代入③得x 0－4＝y 21－y 22x 1－x 2，所以x 0－4＝－3625.所以直线BT 的斜率k ＝－95x 0－4＝54.故直线BT 的斜率为54.本文档仅供文库使用。

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义课件苏教版选修2_1

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义课件苏教版选修2_1

② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
(2)由题意知，椭圆的右准线为 x＝245，过 M 点作右准线的 垂线，垂足为 M′(如(1)图所示)，由椭圆第二定义知， MMMA′＝e＝45，即54MA＝MM′.所以 MB＋54MA＝MB＋MM′. 易知，当 B，M，M′三点共线时，MB＋MM′有最小值， 最小值为 BM′＝245－2＝147.当 y＝2 时，有2x52＋292＝1，解得
所以点 A(4，0)为椭圆的右焦点， 则左焦点为 F(－4，0)． 则 MA＋MF＝2a＝10，即 MA＋MB＝10－MF＋MB. 因为|MB－MF|≤BF＝ （－4－2）2＋（0－2）2 ＝ 2 10， 所以－2 10≤MB－MF≤2 10，故 10－2 10≤MA＋ MB≤10＋2 10.即 MA＋MB 的最大值为 10＋2 10，最小 值为 10－2 10.
解：
由已知易得点 B 在抛物线内，p2＝1，准线方程 x＝－1， 如图，过 B 作 C′B⊥准线 l 于 C′，直线 BC′交抛物线于 A′， 则 A′B＋A′C′为满足题设的最小值．因为 C′B∥x 轴，B 坐 标为( 3，2)， 所以 A′点坐标为(x，2)． 又因点 A′在抛物线上，所以 A′(1，2)即为所求 A 点，此时 最小值为 BC′＝ 3＋1.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。