氦原子及类氦离子基态能量与波函数研究

类氦离子schrodinger方程直接求解的精确势谐方法类氦离子是由两个电子和一个氦核组成的三体系统，其精确解析解是无法求得的。

然而，通过使用精确势谐方法，我们可以得到类氦离子的近似解。

精确势谐方法是一种基于势能函数的展开式的方法，它将势能函数展开为一组谐函数的线性组合。

在类氦离子的情况下，我们可以将势能函数表示为：V(r1,r2) = -2/r1 - 2/r2 + 1/r12其中，r1和r2是两个电子与氦核之间的距离，r12是两个电子之间的距离。

通过将势能函数展开为谐函数的线性组合，我们可以得到类氦离子的Schrodinger方程的精确解。

具体来说，我们可以将Schrodinger方程表示为：HΨ = EΨ其中，H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。

通过将波函数表示为一组谐函数的线性组合，我们可以得到：Ψ(r1,r2) = ΣCnmψnm(r1,r2)其中，Cnm是系数，ψnm是谐函数。

将波函数代入Schrodinger方程，我们可以得到：ΣCnm(Hψnm) = EΣCnmψnm通过将哈密顿算符表示为谐函数的线性组合，我们可以得到：Hψnm = Enmψnm其中，Enm是能量。

将能量代入Schrodinger方程，我们可以得到：ΣCnmEnmψnm = EΣCnmψnm这是一个矩阵方程，我们可以通过对矩阵进行对角化来求解能量和系数。

通过这种方法，我们可以得到类氦离子的精确解。

总之，精确势谐方法是一种有效的求解类氦离子Schrodinger方程的方法。

通过将势能函数展开为谐函数的线性组合，我们可以得到精确解。

虽然这种方法需要计算大量的系数，但是它可以提供非常精确的结果。

因此，它在量子化学中得到了广泛的应用。

氦原子s态的分波分析和强径——角关联区近几年来，氦原子s态的研究受到了科学家们的关注，它是一种重要的物理系统，在外围电子态的能量分布中不断被发现新的特性和新的现象。

为了更深入地了解氦原子s态，本文将从结构、特性与行为的角度出发，研究其分波分析和强径角关联区由此而来的新物理。

首先，对于氦原子s态来说，分子结构及其立体结构决定了氦原子s态的能量结构，使得一些特征性的振动模式和轨道特征得以形成。

在电子转动状态下，分子粒子在低能量状态中形成不可能的轨道结构，这会导致分子获得更新的可能性。

同时，氦原子s态的粒子具有相同的质量和相同的能量结构，这会使得它们具有与偶极矩和强径有关的角关联。

其次，在氦原子s态中，由于存在角关联，可以在分子中发现新的物理现象。

例如，氦原子s态中的分子可以用分子阴极不可分性的轨道特征来定义，而阴极不可分性特征能够指导激发态的散射，从而有助于构建氦原子s态的结构特征。

此外，氦原子s态中的分子可以确定其激发态的强径谱。

这样一来，分子在低激发态的物理性质中会有不同的特征，使得它们的能量分布会有所不同。

此外，氦原子s态的分子动力学和化学性质也可以由强径分析来估计。

这种分析不仅可以得出分子结构的能量状态，还可以对其电子转动状态结构进行分析，从而能够获得更多关于分子的信息。

此外，分子的能量分布可以通过激发态分析技术来确定，而不同的激发态能够带来不同的特性和行为。

最后，氦原子s态的分波分析及其强径角关联区是一个重要且具有挑战性的研究课题。

目前，已经被发现的一些新的物理现象和新的现象，为我们更好地理解氦原子s态提供了诸多有用的信息。

研究这一领域的进展是有保证的，在未来的发展中，尤其是在量子化学的应用上，相信能够取得更好的成果。

总之，氦原子s态的分波分析及其强径角关联区是一个急待研究的热门课题，可以提供多种新的物理现象和新的挑战。

预计未来研究能够更深入地了解和分析氦原子s态的分子结构和物理性质，扩大研究的视野，进而更好地为量子计算和新材料的设计提供辅助指导。

参数微扰法计算类氦原子基态能量张昌莘;席伟;陆霁;李天乐;陈星源【摘要】考虑类氦原子中电子对核的屏蔽效应，建立含有屏蔽效应参数的哈密顿算符，并作变换使得哈密顿算符中微扰项势能算符满足微扰法条件。

通过参数微扰法计算类氦原子二级近似基态能量和有效核电荷，结果表明参数微扰法得到的类氦原子基态能量非常接近实验值。

参数微扰法为研究多电子原子能级和原子能级精细结构提供了一种新的方法。

%The Hamiltonian containing shielding effect parameters was established by considering the helium-like atom electron nuclear shielding effect and transformation was made to allow perturbation potential operator in Hamiltonian to meet the conditions of perturbation method .The second order approximation of ground state energy of Helium-like atom and effective nuclear charge was calculated by parameter perturbation method .The results show that the ground state energy calculated is quite close to the experimental value .It indicates that parameter perturbation provides us a new approach to study the multi-electron atomic levels and the fine structure of atomic levels .【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】4页(P441-444)【关键词】类氦原子;基态能量;参数微扰法【作者】张昌莘;席伟;陆霁;李天乐;陈星源【作者单位】广东石油化工学院物理系，广东茂名 525000;广东石油化工学院物理系，广东茂名 525000;广东石油化工学院物理系，广东茂名 525000;广东石油化工学院物理系，广东茂名 525000;广东石油化工学院物理系，广东茂名525000【正文语种】中文【中图分类】O562.1在研究类氦原子基态能量过程中，通常应用变分法和微扰法.应用变分法时，为提高计算精确度，可选取多个变分参数.如用2变分参数和4变分参数等[1-3].虽然变分参数增多,计算精确度提高, 但是计算过程复杂.应用微扰法时，选取基态波函数是两个类氢原子基态波函数的积，计算结果与实验值相差较大[4-5].究其原因一是没有考虑类氦原子中电子对核的屏蔽效应；二是没有考虑到两个电子的相互作用能不是一个很小的微扰项.所以应用微扰法计算类氦原子能量不是一个好的方法.但是在研究类氦原子能级的精细结构中常用的方法是微扰法[6-7].因此考虑类氦原子中电子对核的屏蔽效应和选取合适的微扰项，对应用微扰法研究类氦原子的能量显得非常重要.本文考虑类氦原子中电子对核的屏蔽效应，建立类氦原子哈密顿算符为含有屏蔽效应参数的哈密顿算符，并作变换使得哈密顿算符中微扰项势能算符满足微扰法条件.应用微扰法计算了类氦原子含有参数的哈密顿本征方程，得到类氦原子的有效核电荷和基态能量.结果表明参数微扰法得到类氦原子基态能量与实验值非常接近.类氦原子的核带电荷ze，原子核外有两个电子.取原子核为坐标原点，以和表示两电子的坐标和自旋.类氦原子的哈密顿算符为：式(1)中r1和r2分别是两个电子到原子核的距离，r12=||是两电子间的距离，是两个电子之间的库仑能，其中当z=2时式(1)为氦原子的哈密顿算符、z>2时式(1)为类氦原子的哈密顿算符.考虑到类氦原子中电子对核的屏蔽作用，选取1个与屏蔽效应有关的参数σ，将式(1)类氦原子的哈密顿算符改写为：令：和哈密顿算符为：式(2)中z*=z-σ是有效核电荷数.式(3)中哈密顿算符是两个有效核电荷数为z*=z-σ的类氢原子哈密顿算符与的和.式(4)中是包含两个电子之间的库仑排斥势能和两个电子分别在核电荷数为σ的库仑引力势能的算符.与相比是一个微小量，可作为对的微扰势能算符.2.1 类氦原子零级近似波函数和零级近似能量设是式(2)类氦原子哈密顿算符的本征函数，其本征方程为：1 Φ(,,s1z,s2z,σ)=EΦn(,,s1z,s2z,σ)由于哈密顿算符不含自旋变量，所以类氦原子的本征函数可以写为：式(6)本征方程简化为：根据全同粒子体系和微扰理论，类氦原子的哈密顿基态本征函数为两个电子处于1s态、有效核电荷数为z*=z-σ的类氢原子的基态波函数的乘积，即：类氦原子的零级近似能量E(0)是两个有效核电荷数为z=z-σ的类氢原子基态能量之和，即：E(0)(σ)=-=-2.2 类氦原子的能量的一级修正根据微扰论，类氦原子的能量的一级修正值为：即：E(1)(σ)应用积分公和 rne-ardr=计算式(12)，得到类氦原子的基态能量的一级修正值：E(1)(σ)=-2.3 类氦原子的能量的二级修正选取类氦原子本征方程式(8)的一级修正波函数为ψ(1)(,,σ)=[ψ100(,σ)ψ200(，σ)+ψ100(,σ)ψ200(,σ)]式(16)中：和分别是电子处于1s和2s态、有效核电荷数为z*=z-σ的类氢原子的波函数.式(16)是两个电子的交换对称波函数，且正交归一.一级修正波函数与零级近似波函数满足正交关系.根据微扰论，并应用与正交归一的关系，得到类氦原子的能量的二级修正值：把式(17)、(18)代入式(19)，应用积分公式(13)和(14)，计算得到类氦原子的能量的二级修正值：E(2)(σ)=-2.4 类氦原子基态二级近似能量和有效核电荷数由式(10)、式(15)和式(20)得到含有屏蔽效应参数σ的类氦原子基态二级近似能量为：E(σ)=E(0)(σ)+E(1)(σ)+E(2)(σ)利用求极值条件=0，得到屏蔽效应参数σ=+0.2898.有效核电荷数为：z*=z-σ=-0.2898取=27.2114ev，将屏蔽效应参数σ和有效核电荷数z*=z-σ代入式(21)，得到类氦原子基态二级近似能量.表1 是应用式(19)、(20)计算部分类氦原子的基态二级近似能量和实验值，以及相对误差δ%.从表1可知核电荷数z=4～8的类氦原子的基态能量理论值比实验值小，这表明在类氦原子哈密顿算符如果考虑核的运动，则可使得能量计算值减小.另一方面也表明对这些类氦原子应用参数微扰法只需要计算到一级修正；在一级近似情况下，利用求极值条件=0，确定一级近似的屏蔽效应参数σ，由此计算核电荷数z=4～8的类氦原子一级近似能量.类氦锂原子(z=3)应用参数微扰法计算到二级修正，类氦锂原子基态二级近似能量与实验值相对误差仅有0.20%.对于氦原子而言，基态二级近似能量比实验值大，误差达到2.00%，这与选取的一级修正波函数有关，同时表明应用参数微扰法还需要计算到三级或更高级修正.建立有屏蔽效应参数σ的类氦原子哈密顿算符，并作变换使得微扰项势能算符满足微扰法条件，应用微扰法计算类氦原子基态二级近似能量与实验值比较接近，表明研究类氦原子能量的参数微扰法优于无参数的微扰法.参数微扰法不仅可以计算类氦原子基态二级或更高级近似能量，也可以计算激发态能级.这为研究多电子原子的能级和原子能级精细结构提供了一种新方法.【相关文献】[1] 刘玉孝,赵振华,王永强，等.氦原子和类氦离子基态能量的变分计算及相对论修正[J].物理学报,2005,(54):2620.[2] 胡先权,马勇,殷霖，等.四参数法计算氦原子基态能级研究[J].原子与分子物理学报,2006,23(6):1045.[3] 黄时中，张丹丹.一类改进的多电子原子波函数[J].安徽师范大学学报：自然科学版,2013,36(1)：24-29.[4] 周世勋，陈灏.量子力学教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2009：130-205.[5] 曾谨言.量子力学教程(第二版)[M].北京：科学出版社，2008：176-226.[6] 郑乐民,徐庚武.原子结构与原子光谱[M].北京：北京大学出版社,1988：140-146.[7] 王大理,黄时中.氦原子(n1sn2p)组态精细结构的解析计算[J].原子与分子物理学报,2007,24(1):129.。

氦原子的基态
氦原子的基态是指氦原子处于能量最低的状态。

氦原子是一个双
原子的气体，由两个氦原子核和两个电子组成。

氦原子的基态是带有
两个电子的最低能级状态。

氦原子的基态能级可以通过求解氦原子的薛定谔方程来得到。

薛
定谔方程描述了电子在氦原子中的运动。

基态能级对应于最低的能量，也就是电子在氦原子中的最稳定状态。

在基态中，两个电子分布在氦
原子核周围的不同轨道上，这些轨道称为原子轨道。

在氦原子的基态中，两个电子分别占据了氦原子的1s轨道。

这意
味着这两个电子具有相反的自旋，一个是自旋向上，一个是自旋向下。

这个配置遵循了泡利不相容原理，即一个轨道上最多只能有两个电子，且自旋相反。

氦原子的基态在化学反应和物质性质中起着重要的作用。

由于氦
原子的两个电子都处于最低能量的轨道上，氦原子在化学反应中不容
易参与电子的转移或者与其他原子形成共价键。

这使得氦原子在室温
下是一个稳定的气体，不易与其他原子发生反应。

氦原子的基态还影响了氦原子在物理实验中的应用。

由于氦原子
的基态能级稳定，氦原子被广泛用于制冷和低温实验中。

在低温实验中，氦原子可以冷却其他物质，使其达到极低温度。

这对于研究凝聚
态物理和量子力学现象非常重要。

总之，氦原子的基态是氦原子处于能量最低的状态，具有两个电子占据最低能级的轨道。

基态的配置遵循了泡利不相容原理，使氦原子在化学反应中不容易参与电子的转移。

氦原子的基态能级稳定，使其在物理实验中具有重要的应用价值。

第29卷第11期大 学 物 理V o.l 29N o .112010年11月COLLEGE PHYS I CS N ov .2010收稿日期:2010-04-20;修回日期:2010-07-08作者简介:陈冠军(1980)),男,山西泽州人,太原师范学院物理系讲师,硕士研究生,主要从事原子与分子物理学领域的研究工作.氦原子基态能量的Hylleraas 变分计算陈冠军(太原师范学院物理系,山西太原 030031)摘要:本文给出了基于H ylleraas 波函数变分计算氦原子基态非相对论能量的详细过程,得到了含参数的基态能量表达式,并编写了相应的M athe m atica 程序来完成变分,计算所得的基态能量的理论值和实验数据符合得很好,误差小于0.04j .由于计算过程直观简单,在教学过程中亦可采用.关键词:氦原子;基态;H y ll eraas 方法;M athe m atica中图分类号:O 413.1 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2010)11-0014-02作为薛定谔方程无法精确求解的库仑三体系统,氦原子,特别是处于基态的氦原子(由于其特殊的对称性可以使问题简化),在量子力学教科书中常用来作为各种近似方法的例子.求解氦原子基态能量的方法有微扰法、变分法、自洽场法等,利用类氢离子波函数作为试探波函数的单参数变分法[1]和简单的自洽场计算[2]均给出氦原子的基态能量为-2.8477H artree (哈特利,1H artree U 27.211e V ),而一阶微扰计算的能量值为-2.750H artree ,均与精确的计算值[3]-2.903724375H artree 相差较远.1929年,H y lleraas [4]提出了一种包含关联坐标r 12的变分波函数,描写电子之间的关联效应,获得了较高精度的变分基态能量.由于H ylleraas 变分方法不能解析完成,且计算量大,各种量子力学教材均不采用.随着计算技术的发展,H y lleraas 1929年的工作现在借助于计算机可以在几分钟内完成.本论文给出了利用M athe m atica 编程计算氦原子基态能量的过程,将繁复的计算工作交由计算机来完成,又尽可能保留H y lleraas 方法的思想,而且还具有相当的精度,可以作为量子力学教学的有益拓展.1 薛定谔方程和变分法类氦原子的薛定谔方程为H W (r 1,r 2)=E W (r 1,r 2)(1)式中H 为非相对论的哈密顿算符,其形式为(全文采用原子单位,能量单位为哈特利)H =T +V =-1221-1222+-Z r 1-Z r 2+1r 12(2)式中前两项为动能项T ,后3项为势能项V .r 1,r 2分别为两个电子距原子核的的距离,r 12为两个电子之间的距离,Z 是原子序数.W 是波函数,是r 1和r 2的函数,即6个坐标的函数,由于氦原子基态的原子态为1s 21S ,总角动量为零,具有特殊对称性,即在同时转动r 1,r 2而保持r 1,r 2和r 12所构成的三角形形状不变的情况下,哈密顿是不变的.因此H y lleraas 注意到波函数是简并的,可以只与3个独立的变量r 1,r 2和r 12有关,另外的3个坐标(欧拉角)决定三角形的空间取向,可以是任意的.即波函数W (r 1,r 2)=W (r 1,r 2,r 12).方程(1)没有严格解,可以利用Rayle i g h-R itz 变分法求得近似解,变分法要求E 0[E (W )=Q W H W d S QW 2d S (3)即先取一包含若干参数的试探波函数W ,求得能量泛函E (W ),变分取其极小值,即得基态能量E 0.最简单的试探波函数是两个类氢1s 波函数的乘积W (r 1,r 2,r 12)=N e-F (r 1+r 2)其中N 是归一化常数,F 是变分参数.利用变分原理可以求得[1]F =Z -516U 116875,相应的基态能量是E =-(Z -5/16)2U -2.8477哈特利.与实验值相比约有2%的误差.2 H ylleraas 方法为了精确计算氦原子的基态能量,H y lleraas[4]于1929年提出了一种采用椭球坐标的H y lleraas第11期 陈冠军:氦原子基态能量的H y lleraas 变分计算15坐标s =r 1+r 2, t =r 1-r 2, u =r 12(4)来代替(r 1,r 2,r 12),把波函数写成W =W (s ,t ,u )=6ic i <i (s ,t ,u )=6n ,2l ,mc n ,2l ,m e -F s s n t 2l u m,(n ,l ,m =0,1,2,,)(5)式中F 和c i 是变分参数,由变分法来确定.本文为了简便,将F 取定,只将c i 作为变分参数.式中反对称的自旋被函数未写出,W 是对称的要求波函数中只能含有t 的偶次项.为了利用变分法,首先需要将式(3)中的积分做出,其中体积元Qd S =Q d r 1d r 2=8P 2Q r 21r 22si n H 12d r 1d r 2d H 12利用u d u =r 1r 2si n H 12d H 12Qd S =8P 2Q ]Q ]r 1r 2d r 1d r 2Q r 1+r 2|r 1-r 2|u d u再利用d r 1d r 2=12d s d t ,r 1r 2=14(s 2-t 2),最终Qd S =2P2Q ]0d sQ s 0d uQuu (s 2-t 2)d t(6)由于坐标t 可以取负值,但考虑到积分中被积函数为t 的偶函数,因此式(6)已将t 的积分范围取做0y u ,将体积元乘以2[5].为了将式(3)中的积分完成,式(2)的哈密顿算符亦需用H ylleraas 坐标表示出来,其中势能可以直接写出V =-Z r 1-Z r 2+1r 12=-4Z s s 2-t2+1u 动能项T 经过冗长的微分运算也可以写出,为了简化我们直接利用格林公式将积分作如下替换-QW 2iW d S =Q(iW )2d S -R S(W iW )#d S =Q(iW )2d S将i 进一步写成对H ylleraas 坐标的微分,式(3)中T 算符的积分即可以写成[5]M =Q W T W d S =2P 2Q ]d s Q sd u Q u 0d tu (s 2-t 2)5W5s2+5W 5t 2+5W5u 2+2s (u 2-t 2)5W 5s 5W5u+2t (s 2-u 2)5W 5t 5W5u(7)V 算符的积分L =QW V W d S =2P2Q ]d sQ sd u Qu 0[-4Z s u +(s 2-t 2)]W 2d t(8)归一化积分N =QW 2d S =2P2Q ]0d sQ s 0d u Qu 0u (s 2-t 2)W 2d t (9)代入式(3)即得到能量本征值为E =M +L N式中M ,L ,N 项均为c i 的平方项,变分原理要求5M 5c i +5L 5c i -E 5N 5c i=0, i =1,2,,由此可得关于c i 的线性齐次方程组成的方程组,方程组有解的条件是其系数行列式为零,即52M 5c i 5c j +52L 5c i 5c j -E 52N5c i 5c j=0, i ,j =1,2,,(10)该行列式的阶数等于式(5)波函数展开式中的项数,为了便于利用M a t h e m atica 编程,还需要利用式(7))式(9)将行列式的每个元写出为D ij =H ij -E N ij(11)H ij =2P 2Q ]0d sQ s 0d u Qu 0d t u (s 2-t 2)#5<i 5s 5<j 5s +5<i 5t 5<j 5t +5<i 5u 5<j5u+ s (u 2-t 2)5<i 5u 5<j 5s +5<i 5s 5<j5u + t (s 2-u 2)5<i 5u 5<j 5t +5<i 5t 5<j5u+ (-4Z su +s 2-t 2)<i <j }(12)N ij =2P2Q ]0d sQ s 0d uQuu (s 2-t 2)<i <j d t (13)3 结果和讨论利用M a the m atica 软件的符号计算功能可以方便地求积分式(12)、式(13)和解行列式方程式(10),本文里采用11项展开的H y lleraas 波函数<1=e -F s, <2=e -F ss , <3=e -F su , <4=e-F s s 2, <5=e-F s t 2, <6=e -F su2<7=e -F ssu , <8=e-F s s 2u ,<9=e-F s t 2u , <10=e -F su 3, <11=e -F s t 2u2试验计算表明基态能量对变分参数F 的变化并不敏感,这里取F =1.72.解行列式方程(10)给出11个根,其中最小的即为所求的基态能量.E 0=-2190362H artree(下转34页)34大学物理第29卷除各y i异方差的影响,使拟合出来的直线真实反映物理量间的客观规律.物理实验中,逐差法的典型运用是拉伸法测杨氏模量实验和牛顿环实验的数据处理.杨氏模量实验中,由于受金属丝弯曲和光杠杆镜面偏转角增大的共同影响,望远镜中读数的方差随着金属丝荷重的增加呈现两端大中间小的变化规律,牛顿环实验中,由于受环纹宽度和环直径平方的方差随环直径增大而增大的共同影响,环直径平方的方差也呈现两端大中间小的变化规律.这两实验数据都基本满足运用逐差法的条件,因此,通常运用逐差法而不用普通最小二乘法处理数据.总之,逐差法既不能滥用,也不可由最小二乘法取而代之,运用逐差法要注意满足条件.参考文献:[1]成正维.)元线性问题中的实验标准差[J].大学物理,2004,6:35-36.[2]朱鹤年.物理实验研究[M].北京:清华大学出版社,1994:83-103.[3]朱鹤年.再谈物理实验中的直线拟合[J].工种物理,1994,3:23-26.D iscussion about t he li near fitti ng by s uccessi ve differenti alm ethodGAO Yong-x iang(Co ll ege of Physics and E lectron i cs Eng i neer i ng,Shanx iU n i versity,T aiyuan,Shanx i030006,Ch i na)Abst ract:The characteristic o f successive differentialm ethod is analyzed.It is opened out thatwh ich is really a kind o fw eighted least square m e t h od.V arious opinions and pr oble m s for the m ethod are discussed.K ey w ords:successive d ifferentialm ethod;w eighted least square m ethod;variance;w e i g hti n g functi o n(上接15页)结果与精确的计算值[3]-21903724375H ar-tree相比误差只有0.036j.如果增加波函数展开的项数可以进一步提高计算精度,但相应的计算时间就会很长,此外,文献中还有改进精度的其它方法,比如在波函数中引入松驰参数k[5].调整Z和F的值,同样的方法也可以用来计算氦的等电子序列的基态能量;通过解与式(10)相应的矩阵方程还可以求出展开系数ci,进而得到波函数,限于篇幅这些内容都不再详述.参考文献:[1]曾谨言.量子力学(卷Ñ)[M].北京:科学出版社,1990:612-613.[2]黄时中,喻其山.双电子体系的简单自洽场计算[J].大学物理1998,17(1):7-9.[3]P eker i s C L.11S and23S states o f H eli u m[J].PhysR ev,1959,115(5):1216-1221.[4]H y ll eraas E A.N eue be rechnung de r energ i e desH eli u m si m g rundzustande,sow i e des ti e fsten ter m s von O rtho-H e li u m[J].Z Physi k,1929,54(5):347-366.[5]Be t he H A,Sa l peter E E.Q uantu m m echan i cs o f one-and t wo-electron atom s[M].Be rli n:Spri nger-V er l ag,1957:146-149.Hylleraas variati onal calculati on for ground-state energy of Heli u mCHEN Guan-jun(D epart m ent o f Physics,T aiyuan N o r m al U ni vo rs it y,T a i yuan,Shanx i030031,Chi na)Abst ract:By usi n g t h e H y lleraas-type wave function,the expression for the energy ofH e li u m in the g round state is derived i n deta i.l The variationalm ini m um o f g r ound state ener gy i s obtai n ed by t h e he l p o fM athe m atica. The t h eo retica l va l u e of ener gy is i n agree m ent w ith experi m ental data,and the relative error is less than0.04j. Th is calcu lation is easy to understand,thus it is very su itable for the teach i n g pur pose.K ey w ords:H e li u m;ground state;H ylleraas m ethod;M athe m atica。

类氦原子基态能量的哈密顿替代法研究孟丽娟;吴锋【摘要】首次将哈密顿替代法用于计算类氦原子基态能量.计算结果与单参数变分法给出的数值相同,比一阶微扰法计算的能量更接近实验值.由于计算过程简单直观,不需选取试探波函数,不受微扰项大小限制,而且近似度高,该方法可在教学中采用.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2017(036)010【总页数】3页(P21-23)【关键词】哈密顿替代法;类氦原子;基态能量【作者】孟丽娟;吴锋【作者单位】盐城工学院物理系,江苏盐城224051;盐城工学院物理系,江苏盐城224051【正文语种】中文【中图分类】O413.1类氦原子由带正电荷+Ze的原子核和核外两个电子构成，是典型的库仑三体系统.其基态能量的计算主要采用变分法和微扰法[1，2].变分法求解的关键是选取合适的试探波函数.因此大量研究通过设计试探波函数并增加其中可变参数的个数来提高计算精度.例如，文献[3]结合物理图像提出二参数变分法并计算出类氦原子的基态能量.文献[4]基于Hylleraas变分波函数得到氦原子的基态能量，随后文献[5]又通过显式考虑电子间关联效应研究了类氦原子的基态能量.与变分法不同，微扰法求解的关键是微扰项要足够小.在处理类氦原子问题时，通常将电子间的相互作用能看作微扰项，但是实际上该相互作用能并非很小，这导致基态能量计算值与实验值偏差较大.例如，氦原子的偏差超过4 eV[1].为此，文献[6]提出了参数微扰法来构建更小的微扰项.具体地讲，他们首先建立包含屏蔽参数的类氦原子哈密顿方程，然后对包含屏蔽参数的基态能量求最小值，所得类氦原子基态能量比教材中的一阶微扰法结果更加接近实验值.最近，顾樵教授提出了一种求解体系哈密顿算符本征方程的新方法[7]，不但不需选取试探波函数，而且不受微扰项大小的限制，具有很高的近似度.该方法的基本思想是把体系的哈密顿算符近似地用一个可以精确求解的形式巧妙代替，故被称为“哈密顿替代法”.本文首次将哈密顿替代法用于计算类氦原子基态能量.计算结果与单参数变分法给出的相同，比一阶微扰法计算的能量更接近实验值.设体系的哈密顿算符可以表示为其中，T为动能部分，cV0+V1 为势能部分，c为实常数.假定式中T+cV0是无微扰体系的哈密顿算符其本征方程可精确求解，满足式中Ec为的本征值，φc为相应的本征函数.为利用式(2)给出的精确解，现将体系的哈密顿算符写为假定势能V1可以作如下近似，即并记那么体系的哈密顿算符其本征方程为这里，Ec1为T+c1V0的本征值，φc1为相应的本征函数.因为式(7)和式(2)中的哈密顿算符具有相同的函数形式，所以Ec1和Ec有完全相同的函数形式；φc1和φc有完全相同的函数形式.这样只需将Ec和φc中的c替换为c1，便得到所研究体系的本征值Ec1和本征函数φc1.在原子单位中，类氦原子的哈密顿算符为式中r1和r2分别指核外两个电子与核的距离，r12为两个电子之间的距离. 鉴于不含自旋变量，自旋波函数与空间波函数可以分离[1]，所以下面计算类氦原子基态能量时只考虑空间波函数.将式(8)和式(1)比较，有现将式(8)近似地写为无微扰形式：其本征函数的精确解φc1等于两个类氢原子基态波函数的乘积，即相应的本征值为根据式(5)，为了求得Z′，先计算上式中的积分项φc1〉=φc1〉其中利用了空间波函数的交换对称性.根据Hellmann-Feynman定理，有所以式(15)中的另一积分项〈φc1|V1|φc1〉= ∬∬ e-2Z′(r1+r2)dτ1dτ2应用积分公式[8]得到将式(18)和式(21)代入式(15)，有将其代入式(14)，类氦原子的基态能量该结果比一阶微扰法的结果-(Z-5/16)2+25/256低一个常数值.使用哈密顿替代法和一阶微扰法计算的基态能量结果与实验值的比较见表1(取能量的原子单位1Hartree=27.2114 eV).哈密顿替代法的结果更接近实验值.使用哈密顿替代法研究类氦原子基态能量和本征函数，不但计算过程简单不需编程——主要计算量仅是求解式(5)中的两个积分，而且物理图像非常直观，即相当于将电子间的相互作用引入到无微扰哈密顿算符中，使得两个电子在类氦原子核中的运动等效于两个电子分别在带有效正电荷+Z′e的原子核中独立运动的叠加.注意到，哈密顿替代法的计算结果与文献[1]的单参数变分法结果及文献[6]的单参数微扰法结果相同.在单参数变分法计算中，考虑到电子产生的负电子云对核的屏蔽效应，使得类氦原子中每一个电子感受到的核电荷数变小，所以在选取试探波函数时，通过引入参数来刻画电子对核的屏蔽效应大小.在单参数微扰法中，通过使微扰项尽可能小来反应电子对核的屏蔽效应.可见，哈密顿替代法，单参数变分法和单参数微扰法是从不同角度考虑了电子对核的屏蔽效应，具有殊途同归之妙.当然，哈密顿替代法也有不适用的情况，例如式(4)右端分子积分为零时.总之，通过对同一具体问题采用不同的近似方法进行研究，能够加深对量子力学相关基本方法的理解和认识，更好地促进量子力学教学.【相关文献】[1] 曾谨言.量子力学[M].4版.北京：科学出版社，2007：364-365，469-470.[2] Griffiths D J.Introduction to Quantum Mechanics [M].New Jersey：Prentice Hall，2005：299-303.[3] 于凤军.氦原子及类氦离子基态的二参数变分法研究 [J].大学物理，2008，27(5)：1-3.[4] 陈冠军.氦原子基态能量的Hylleraas 变分计算 [J].大学物理，2010，29(11)：14-15.[5] 马二俊.类氦原子体系基态能量的双参数变分计算 [J].大学物理，2012，31(10)：18-21.[6] 张昌莘，宁土荣，陆霁.研究类氦原子基态能量的参数微扰法 [J].大学物理，2015，34(2)：32-34.[7] 顾樵.量子力学[M].北京：科学出版社，2014：422-425.[8] 钱伯初.量子力学 [M].北京：高等教育出版社，2006：309.。

在长 l=1nm 的一维势箱中运动的 he 原子，其零点能为在长为1纳米的一维势箱中运动的氦原子，其零点能为多少？
一维势箱是一个理想的模型，它被假设为无限高的势垒限制了粒子在一维空间内的运动。

对于一个粒子在势箱中的运动，其波函数必须满足边界条件。

在一维势箱中，波函数在箱子的两端必须为零。

对于氦原子的情况，我们可以使用薛定谔方程来求解其波函数和能量。

由于氦原子是一个带有两个电子的原子，因此我们需要考虑电子间相互作用的影响。

在这里，我们可以采用平均场近似，将两个电子的相互作用看作是一个平均的电场。

根据薛定谔方程的解析解，我们可以得到氦原子在一维势箱中的基态波函数为：
$psi(x) = sqrt{frac{2}{L}}sin(frac{pi x}{L})$ 其中，L为势箱的长度。

对于氦原子的能量，我们可以使用以下公式来计算：
$E = frac{hbar^2pi^2}{2mL^2}$
其中，$hbar$为普朗克常数，m为氦原子的质量。

将具体数值代入公式中，我们可以得到氦原子在长为1纳米的一维势箱中的零点能为：
$E = frac{(1.055times10^{-34}mathrm{Jcdot
s})^2times(pi)^2}{2times(6.645times10^{-27}mathrm{kg})times (10^{-9}mathrm{m})^2}$
$= 6.69times10^{-20}mathrm{J}$
因此，氦原子在长为1纳米的一维势箱中的零点能为6.69×10^-20 J。