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氦原子能级和光谱特点
氦原子的能级是由两个电子构成的，因此它们的能级结构比单电子原子更加复杂。
氦原子的能级结构具有以下特点：
1. 氦原子的基态为1s2电子组态，其中两个电子都在最低能级中。
除此之外，氦原子的能级结构与氢原子类似。
2. 由于有两个电子，氦原子的能级具有自旋多重度，即不同自旋状态的能级能够在相同的能量下存在。
这意味着氦原子的光谱线将比氢原子的光谱线更加复杂。
3. 氦原子的光谱中包含了许多离散的光谱线，其中一些对应于电子的跃迁，如能级的激发和退激发。
其他光谱线则由于电子的旋转和振动引起。
氦原子的能级和光谱特点对于研究物理学、化学和天文学等领域都有重要意义。
第一章原子结构与性质第一节原子结构『知识梳理』一、能层与能级〖能层〗◆含义：根据核外电子的能量不同，将核外电子分为不同的能层(电子层)。
◆能层序号及符号能层序号：一、二、三、四、五、六、七……分别用K、L、M、N、O、P、Q……表示。
总结：每层所容纳的电子数最多为2n2个。
◆能层之间的能量关系能层越高，电子的能量越高，能量的高低顺序为E(K)＜E(L)＜E(M)＜E(N)＜E(O)＜E(P)＜E(Q)。
〖能级〗◆含义：根据多电子原子的同一能层的电子的能量也可能不同，将它们分为不同能级。
◆表示方法：分别用相应能层的序数和字母s、p、d、f……等表示，如n能层的能级按能量由低到高的排列顺序为n s、n p、n d、n f……等。
◆能层、能级与最多容纳的电子数能层(n)一二三四五六七……符号K L M N O P Q……能级1s2s2p3s3p3d4s4p4d4f5s……………………最多电子数22626102610142……………………281832………………2n2由上表可知：1.能层序数等于该能层所包含的能级数，如第三能层有3个能级。
2.s、p、d、f 各能级可容纳的最多电子数分别为1、3、5、7的2倍。
3.原子核外电子的每一能层最多可容纳的电子数是2n2(n为能层的序数)。
二、基态与激发态原子光谱◆基态原子与激发态原子(1)基态原子：处于最低能量状态的原子。
(2)激发态原子：基态原子吸收能量，它的电子会跃迁到较高能级，变成激发态原子。
激发态原子跃迁到较低能级，释放能量，甚至变为基态原子。
◆光谱(1)光谱的成因及分类(2)光谱分析：在现代化学中，常利用原子光谱上的特征谱线来鉴定元素，称为光谱分析。
三、构造原理◆含义：以光谱学事实为基础，从氢开始，随核电荷数递增，新增电子填入能级的顺序称为构造原理。
◆示意图四、电子排布式将能级上所容纳的电子数标在该能级符号右上角，并按照能层从左到右的顺序排列的式子。
如氮原子的电子排布式为◆能级交错从构造原理图可以看出，从第三能层开始，不同能层的能级出现“能级交错”现象。
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较【摘要】：对于由单电子粒子组成的两体问题，如氢原子或类氢离子，其基态能量本征值以及相应的波函数是可以通过薛定谔方程解析求解的，而且也很容易求解。
但对于多电子体系，即使是像氦原子和氢分子这样最简单的多电子体系，精确求解也是十分困难的。
因此，在量子力学中往往采用近似的方法来求解这类问题。
本文将以氦原子基态能量(实验测定值为-79eV)的求解为例，通过运用变分法和微扰法两种方法进行比较来解决多电子体系的基态能量求解问题。
【关键词】：氦原子 基态能量 变分法 微扰法 【引言】：在量子力学中，体系的能级和定态波函数可以通过求解定态薛定谔方程得到。
像一维无限深势阱、一维线性谐振子及氢原子等都能精确求解，但由于体系的哈密顿算符通常比较复杂，大多问题不能精确求解， 必须采用近似方法。
本文就氦原子基态能量分别用变分法和微扰法进行计算并加以比较。
【正文】：一、变分法的基本思想 设体系的定态薛定谔方程为ˆ,0,1,2n n nH E n ψψ==⋅⋅⋅ （1-1-1） 式中ˆH 的本征值012n E E E E <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，{}nψ是ˆH 的正交归一完备的本征函数系。
我们知道在任意态ψ中能量平均值0E E <，若随意选择一系列波函数计算E ,则最小的那个E 必最接近基态的能量0E ,而与之相应的那个波函数必最接近真正的基态波函数0ψ。
这就是变分法的基本思想。
由此得到求量子体系基态近似能量和近似波函数的方法。
二、利用变分法求氦原子基态的能级和波函数 1、氦原子的哈密顿算符氦原子由带电量为2e 的原子核和两个核外电子组成，由于核的质量比电子质量大得多，可以略去电子折合质量与电子质量的差异，氦原子的哈密顿算符为222222212121222ˆ22s s s e e e Hu r u r r =-∇--∇-+ （1-2-1） 式中u 为电子质量，1r 与2r 分别为两电子到核的距离，12r 是两电子间的距离。
原子物理学四、五、六、七、八章总结第四章1、定性解释电子自旋定性解释电子自旋和和轨道运动相互作用的物理机制。
原子内价电子的自旋磁矩与电子轨道运动所产生的磁场间的相互作用，是磁相互作用。
电子自旋对轨道磁场有两个取向，导致了能级的双重分裂，这就是碱金属原子能级双重结构的由来这种作用能通常比电子与电子之间的静电库仑能小（在LS 耦合的情况下），因此是产生原子能级精细结构即多重分裂（包括双重分裂）的原因。
2、原子态55D 4的自旋和轨道角的自旋和轨道角动量动量动量量子数是多少？总角量子数是多少？总角量子数是多少？总角动量动量动量在空间有几在空间有几个取向，如何实验证实？自旋量子数：s=2轨道量子数：l=2角动量量子数：J=4总角动量在空间有9个取向。
由于J J J m J −−=,,1,⋯，共12+J 个数值，相应地就有12+J 个分立的2z 数值，即在感光片上就有12+J 个黑条，它代表了12+J 个空间取向。
所以，从感光黑条的数目，就可以求出总角动量在空间有几个取向。
3、写出碱金属原子的能级公式，说明各写出碱金属原子的能级公式，说明各量量含义含义。
22jl njl n Rhc Z E ∆−−=其中，Z：原子序数，R：里德堡常数，h：普朗克常量，c：光速，n：主量子数，jl ∆：量子数亏损。
4、朗德间隔定则德间隔定则：：在三重态中，一对相邻的能级之间的间隔与两个J 值中较大的那个成正比。
5、同科电子：n 和l 二量子数相同的电子。
6、Stark 效应效应：：原子能级在外加电场中的移位和分裂。
7、塞曼效应效应：：一条谱线在外磁场作用下一分为三，彼此间间隔相等，且间隔值为B B µ。
反常塞曼效应：光谱线在磁场中分裂的数目可以不是三个，间隔也不尽相同。
8、帕邢帕邢--巴克效应：在磁场非常强的情况下，反常塞曼效应会重新表现为正常塞曼效应，即谱线的多重分裂会重新表现为三重分裂，这是帕邢和巴克分别于1912和1913年发现的,故名帕邢-巴克效应。
第一章绪论1.1引言对氦原子基态能级的探讨一般选用微扰法及变分法，本文重点讨论变分法对氦原子基态能级的求解。
变分法是解决氦原子和类氦离子基态问题的强有力工具，到目前为止，国内外为追求高精度所选取的变分参数个数已由数百增至数千，在忽略核质量的情况下，它们的非相对论基态波函数和能量的不确定度分别达到10」〜10」°和10 19，这对于计算高精度的相对论修正和辐射修正具有非常重要的意义。
在量子力学教科书中，一般介绍的近似求解法是微扰法和变分法，而变分法中选择的尝试波函数一般是一个参数型的，例如周世勋编《量子力学》、曾谨言著《量子力学教程》等介绍的便是用一个参数型的尝试波函数变分法求氦原子体系基态能级。
1.2选题的依据和意义1.2.1选题的依据在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以精确求解的问题是很少的。
在经常遇见的许多问题中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，往往不能求得精确的解，而只能求近似解。
微扰法和变分法都是用来求问题的近似解的方法。
用微扰法求氢原子和类氢离子是比较适合的，但是遇到比氢原子稍微复杂一点的氦原子时，微扰法就不及变分法容易和求解精确。
用一参变分法即选用含一个参数的尝试波函数，这种波函数形式简单，其物理意义清晰，物理模型简单，适用于教育教学，但精确度比较低。
选用含二参数的尝试波函数，这样的模型相对于更多参数的波函数要简单，又比一参变分法求解精确度高很多，这样既有利于理解怎样用变分法求基态能级，可适用于教学，又能求得比一参法更为精确的数值，因而具有重要的物理意义。
1.2.2选题的意义氦原子是比类氢离子这种单粒子体系复杂但是相对于其他粒子要简单的粒子，研究氦原子这种简单的多粒子体系，对于研究更复杂的多粒子体系具有重要的意义。
变分法是解决氦原子和类氦原子的强有力工具，只要选择合适的试探波函数，对于提高求解能级近似值有很大的帮助。
1.3本文的主要研究内容本文主要研究氦原子的基态能级，通过应用双参数变分法，选择适当的试探波函数，求出氦原子基态能级的能量，并将计算值与试验值进行比较，再与用微扰法求出的氦原子基态能量结果进行对比，通过对比体现出用变分法求氦原子基态能级的优越性。
第二章变分法介绍2.1变分法原理A A已知量子力学中用微扰法求解问题的条件是体系的哈密顿算符H可以分为H °和AH两部分：A A AH =H° + H ，A A其中H 0的本征值与本征函数是已知的，而 H •很小。
如果这些条件不能满足，微扰法就A不能应用。
因而在遇到H •不是很小的情况下，就需要寻找另外的求解方法，量子力学中求解问题的又一种简单方便的方法一一变分法的应用不受上述条件的限制。
A设体系哈密顿算符H的本征值由小到大的顺序排列为：E°, E i, E2 厂，E n, (1) 与这些本征值对应的本征函数是：■。
，「，'二,...，'" (2)AE°和10是基态能量和基态波函数。
为简单起见，我们假定H的本征值E n是分立的，本征函数t n组成正交归一系。
于是有AH n 二 E?；n ⑶设.是任意一个归一化的波函数，将■按n展开：'■八a/-n ⑷n在屮所描写的状态中，体系能量的平均值是AH 二'* H d ⑸将(4)式代入⑸式，得__ A H 八 a m a nm,nn=送 a ； 3 E ^V d Tm,nm, n=V |a n |2E nn由于E o 是基态能量，所以E o :：: E n (n=1,2,…)，在上式中用E 。
代替E n ，则H — E ° ' |a “ |2n最后一步用了・的归一化条件'Tk I 2=1。
n(6)式和(7)式给出:AE o 「- * H'- d.这个不等式说明，用任意波函数算出H 的平均值总是大于体系基态能量，而只有当A恰好是体系的基态波函数’5时，H 的平均值才等于能量E o 。
上面讨论中曾假定是归一化的，如果‘-：不是归一化的，那么(5)式应该写为:A*H-d.H*(9)(8)式应写为A严*H 屮diE o-——: (10)0 ■- ^dAA根据波函数算出H 的平均值总是不小于E o ，我们可以选取很多的■-并算出H 的平均值，这些平均值中最小的一个最接近于 E o 。
应用(3)式有八 a m a n E n :. mn(8)2.2变分法求体系基态能量的步骤2.2.1选取一个参量的尝试波函数选取含有一个参量，的尝试波函数’「C)代入⑸式和(9)式，算出平均能量H(.)，然后由d H( ■)(11)d，求出H (•)的最小值。
所得结果就是E o的近似值 2.2.2选取两个参量的尝试波函数选取含有两个参量:、1的尝试波函数(二J代入(5)式和(9)式，算出平均能量H C , ■)，然后由d H (a B) dH P):)=°，(「)=° (12)求出H (：•, J的最小值，所得结果就是E o的近似值。
第三章氦原子基态能量的变分计算根据第二章变分法原理可知，氦原子的基态能量可由下式计算得到:AE 0 {min ' * H d }A其中，H 为哈密顿算符，屮为归一化的试探波函数。
若波函数未归一化，氦原子的基态能量可由下式计算得到:|啓*H 屮d j 氦原子有一个原子核和两个电子，它们都处于运动状态。
由于原子核的质量相对于 电子非常大，核的运动比电子的运动要慢的多，因此近似把核看成是固定的，氦原子的哈 密顿算符可写为：H —二。
2、2)-施-2eSeS(14)2® A「2 「12其中，J 是电子质量，*与“分别代表第一、第二个电子到核的距离； L 为两个电子之间的距离。
2为方便计算，米用原子单位（其中能量单位为哈特利，即— 2 13.6eV ），氦原子体a o系的非相对论哈密顿算符可写为：A1 2 2 2 2 1 H = C 2 I 2）+ （14.1）2「1 血「123.1尝试波函数的选择用变分法求近似解的关键在于选择合适的尝试波函数，尝试波函数选得好，可以 在很大程度上提高计算结果的精度。
对类氢离子，电子的基态波函数为（取原子单位，以下暂不考虑归一化常数）e 习，它(13)(13.1)E o min -------I 胖屮dw j所表示的状态有这样一个特点：电子的最概然半径为1 z,电子在半径为1 z的球壳附近分布的概率较大。
对于类氦离子，如果不考虑两个电子相互排斥作用，则基态波函数为e^1“2,二电子的最概然半径皆为1 z,但若考虑两电子的相互作用，利用单参数变分法求得基态近似波函数为[1,8]:(15)(15)式中匚=516.在这种模型下，由于排斥作用，两个电子的最概然半径增长到1 z -二.我们认为这个模型仍然比较粗糙，二电子之间的关系考虑得不够，现将试探波函数改进为如下形式：假如二电子可以区分即存在某种差别，我们设想由于二电子的径向排斥作用，电子1的最概然半径为1：且处于形式为e®的波函数描述的状态，电子2 的最概然半径为1「且处于形式为e"的波函数描述的状态，则两个电子的基态波函数可写作：才怙"乂心5 (16)1为变分参数。
:-,显然,上述说法不满足全同粒子波函数交换对称性的要求，事实上我们不能说清某个电子处于哪个状态•由于基态为1S o态,波函数的自旋部分是反对称的，空间部分要求是对称的，因此，满足交换对称性要求的波函数为：'■ (r1,r2^ A[e^：r1® e"2叨] (17)值得强调,如果:• = 1 ,则式(17)退化为单参数的.它们究竟会不会相等不是由想象而是由变分原理一一能量平均值取极小值条件来决定.在计算时，需注意以上波函数是未归一化的。
3.2氦原子能量平均值的计算A利用(14.1)式和(16)式，我们先计算严*戒山，然后计算胖也。
有：A■- *Hd二 A[e4：r1 飞)T)] _丄(、2 辽)_2_2 .丄A[e«i r2) /「2=1)0.心2IL 2 「1 「2 「12=A[e" r 2)e" 2-?)A[e ，e J ：r^:q)]d ..d ., (18.1)」」2 r .A[e1：r^r 2)eJ ：r2 }1)]^!\ 2 --)A[e J ：r ^'r 2)e J ：r2 r 1)]d.1d.2”2 r 2+ AfedefT 〉] — Afe^1叨飞丄弋 r 1)]d.1d .2‘‘ ％首先，求解(18)式中的(18.1)式，有A[e —eS ")](丄、2 _2)A[e'：r 1" e'"r 1)]d .1d .2 z 2 r 1A /_r22dr/ (： 2『-25怡《“ 92 0J"叨飞心"d -1d-2(18.1-1)-2A 2[e" ® e" % 1 [e“ ® e" T)]d k .2 r 1(18.1-2)先求解(18.1)式中的(18.1-1)式，有 」A 22[e«r1"e"「r 1)]丄上£丄)[e» ：“ rr 14：.->2) ■e^：r ^-r1)]d.1d 2「A 22[e 4 丁 1 血)e 4血 i r 1)]卜2_空)e 七用)d 1d 2r1-丄A 22[e4 丁 1 =2). e4：r^ :r1)(18.2)(18.3)16 二 2dr 1od o d2 2 2 2 2 2A r 2 dr 2 [( -. r1 -2：rj ( » 0 0|-^_-^1乂2 |-^T —23} ](2a)3(2a)2一(2P )3](20)3(20)2一(2o( )3,接着求解(18.1)式中的(18.1-2)式，有-2A 2[e 心切 飞宀切]1 [/"旳 屮込5工.心2 … 「1= -32「：2A 2上忑-；2)-e"(：r^'r1)- 2e" u )r2]仙16 二22A 2)2dJC 2r i 20 0-2^r 1)e^(：r 2'ri)dr 116 二2""T"°° _2 2 2A D{:0 IL2 21c y(2)16 二 2_ 2°° -A 2 r22:0 --2：-22 - )31e如型鼻 c「)2dr 216二2A 2二 16 兀2=一 22- 2- 2-(_：: i >')3(_：: i >')2(_：: ■ ■.-■)3A 21 丄 4(a 2+P 2) 4 〕 8(3B (G +B )6(a+P )416二22A 21一 16 厂 16^(18.1-1.1)216 二2-2'r 1)]e J ：ri "516二 A 2{ 2= _2A 1:卜e'G G 川,2e'：r= r 2)4：r2「r1)] 1r 1d 1d 2- 2 丄2 丄41_(2： )2(2 J 3(2：站)2(：「)5然后，求解(18)式中的(18.2)式，有*—)(丄八)](丄、2 一勻心心旳ed r 1)]d.1d.2z2 r 2= _2A 2jj[e 七诡)+e 如枷]&£(r 22-^)"『8电)壮❻強阴旺 (18.2-1)2 '' r 2 厅2 c r 2-2A 2[e"1e5 % 丄[e""％ .紀显r 2先求解(18.2)式中的(18.2-1)式，有[e —2)飞小 叩][2「「)][e^1叨• e£r —J ]d .g 边r 2 厅2 tr 2iA 2“2dr i f 2『-2 叽)e%" Fda 2o o=一32叫需+冷］(18.1-2.1)2 2= —32 二2：r2 卜 2C 」")2e ，：：T)r2仙2(18.2-2)」A 2e(八)][(：•2—)e 4：r 2■r i )]d-1d 2「216 二2 2= —32 二Re」A 22A 2『dr , ［（: 2r ；—2: r 2） C 2r 22- 2 十2）上心 ®"2T ）dr 20 0A 2r 12dr 1 （〉2r ； -2_汕2怡'（厂 r ，）dr 2 o o16： 2八2「2 2 2 1 2 2 1 A-：兀」A 2r 12：■ 3 -2 2 -23 _2 2 e - 2 0 |L （二-.-'）3（一八*）2（一：匚 ' ■■■■） （二 心）216二2八2「 2： 22： 2 2 22M 丨 2 .2 { _（2 ）3（2 ）2（2：） （2：）3（2：）2（2： ）'伽,亠一丄+丄一丄+叱也厶J2 1创B3 316t 30 8口3B（G +0）6（a +B ）4接着求解（18.2）式中的（18.2-2）式，有-2A 2心5旳e" T ）］丄［e"1旳e"叩疋品.2=-2A 2I i ［e^（：r 1 r 2）• e'g T）• 2e«r 1T ）心 T ）］丄 d 川 2r 2= -32"A 2.『dr 1 ［「⑺旳 e*2 F ）. 2e« f 儿回“216 216二216：22A 2『｛o-2：2 22（很亠『；）2©亠）21】：丨、 2_ 一（二-■■■'）2（二 ）16二2A 21 1IL16：川 316 ㈡ M'）6（18.2-1.1）爲A 2-0 0- 2 丄2 丄41_（^ ）2（2：）3（2：站）2（：「）5最后，求解(18)式中的(18.3)式，这里根据参考文献⑴，有^飞“⑴］丄HeSiMe'—Fdid.ri2■'r 22dr/. r i 2［e'（：r i如. Qe"1®） g q 10 0 *2 Idjrjle"1M • e'G " 2e“ ""）］1 dn0 0r2旦—丄 _rL . r 21 ）e ^r--）r 22：2「4： 3「21 _2l 2-,3）e2 2= —32 二 A，=丄e"丄e0 _（2 ） （2：）e 」：凸》r=一32叫需+冷］（18.2-2.1）+ 16二2A 2］知2 .『［e*1 ；2）- eg 切0 r 22e“ 亠,H ） •（:r 2 U］1dr 1r 12 2+ 16 二Ar2dr2占"1-2：七、尸 )2 2+ 16 二A 2r ； （::£亠卩） 4「（二'■■.-■）24〔e-2（a 刑2一心）3f 0+ 16「：2A 24e7：T r 2「）3e2 2= —32 二 2 2=16 二2 2 =16 二co= 16「：2A 2r 2dr 2（2「22丄工丄2「2 . 2 2（：..恥4-：：2 2 - 4 '■2（很亠.）（很亠.）22 22-f 县）（=16-2八召*召*）（-£-占怡+16”伞严4「（二亠”）3）詁：」仇dr2dr?2 2 =16 二A1 2 1 1|| 4 28（用亠,）34 34（：丄亠”）2|+16二2A21 2 1 1|| 4 28（用亠『'）3434（用亠『'）2]+16二2A22 2 4 1I __________ _____________ X_ _________ _____________ x _IL （J ■ ■.-■）28（二1'.-'）3（二1'.-'）34（一八 J）22 2 + 16 二A [丄沢丄+丄汽丄过4口3 4$2 4$3 4^2（a +B）3（a +B）22 2 =16 二 A-2' 2■ 3I- 3 5 I」1少30316（。
