2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题A(解析版附后)一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{1,2}P =，{2,3}Q =，全集{1,2,3}U =，则()U P Q ð等于 A ．{3}B ．{2,3}C ．{2}D ．{1,3}2．圆2246110x y x y +-++=的圆心和半径分别是A ．(2,3)-B ．(2,3)-；2C ．(2,3)-；1D ．(2,3)-3．已知向量(0,1),(k ==-=a b c ，若(2)-⊥a b c ，则k =A ．B ．2C ．3-D ．14．若π1cos()123θ-=，则5πsin()12θ+＝A ．13 B C ．13-D ．5，则()f x 的定义域是 A ．[1,2)- B ．[1,)-+∞ C ．(2,)+∞ D ．[1,2)(2,)-+∞6．若双曲线221x y a-=的一条渐近线方程为3y x =，则正实数a 的值为 A ．9B ．3C ．13D ．197．若直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为 A ．3210x y +-= B ．2310x y +-= C ．3210x y ++=D ．2310x y --=8．已知(1,1,0)AB =-，(0,1,2)C -，若2CD AB = ，则点D 的坐标为A ．(2,3,2)--B ．(2,3,2)-C ．(2,1,2)-D ．(2,1,2)--9．已知平面α，β和直线m ，直线m 不在平面α，β内，若α⊥β，则“m ∥β”是“m ⊥α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．将函数πsin(2)3y x =+的图象经怎样平移后，所得的图象关于点π(,0)12-成中心对称 A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3C =，c =3b a =，则ABC△的面积为ABCD12．函数331x x y =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．13．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤-≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，则22z x y =+的最大值是AB ．4C ．9D ．1014．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若236,,a a a 成等比数列，则A ．130,0a d dS >>B ．130,0a d dS ><C ．130,0a d dS <>D ．130,0a d dS <<15．如图所示，在正三角形ABC 中，,,D E F 分别为各边的中点，,,,G H I J 分别为,,,AF AD BE DE 的中点.将ABC △沿,,DE EF DF 折成三棱锥以后，HG 与IJ 所成角的度数为A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．0︒16．已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为A ．64B ．643C ．1283D ．12817．过抛物线2(0)y mx m =>的焦点作直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，5||4PQ m =，则m = A ．8 B ．6 C ．12D ．1018．已知函数2(4)log (01)a y x bx x a a =+->≠且，若对任意0x >，恒有0y ≤，则a b 的取值范围是A ．[1，3)B ．(1，3]C ．(0，3)D ．(1，3)非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．设公比不为1的等比数列{}n a 满足12318a a a =-，且243,,a a a 成等差数列，则公比q =___________，数列{}n a 的前4项的和为___________．20．设函数()()f x x ∈R 满足2213|(),|()144||f x x f x x -≤+-≤，则(1)f =___________． 21．若半径为10的球面上有A 、B 、C 三点，且o6038=∠=ACB AB ，，则球心O 到平面ABC 的距离为___________.22．已知动点P ABCD 的边上任意一点，MN 是正方形ABCD 的外接圆O 的一条动弦，且MN PM PN ⋅的取值范围是___________.三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若222sin sin sin sin sin A B C A B +-=.（1）求角C 的大小；（2）若ABC △的面积为c =ABC △的周长.24．（本小题满分10分）如图，直线l 与椭圆C :22142x y +=交于M ，N 两点，且|MN |=2，点N 关于原点O 的对称点为P.（1）若直线MP 的斜率为12-，求此时直线MN 的斜率k 的值； （2）求点P 到直线MN 的距离的最大值.25．（本小题满分11分）已知函数2()(1)||f x x x x a =+-⋅-.（1）若0a =，解方程()3f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 在[2,2]a a +的最小值为()g a ，求()g a 的解析式.2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题A 解析版一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{1,2}P =，{2,3}Q =，全集{1,2,3}U =，则()U P Q ð等于 A ．{3}B ．{2,3}C ．{2}D ．{1,3}2．圆2246110x y x y +-++=的圆心和半径分别是A ．(2,3)-B ．(2,3)-；2C ．(2,3)-；1D ．(2,3)-3．已知向量(0,1),(k ==-=a b c ，若(2)-⊥a b c ，则k =A ．B ．2C ．3-D ．14．若π1cos()123θ-=，则5πsin()12θ+＝A ．13 B C ．13-D ．5．已知函数211)(-++=x x x f ，则)(x f 的定义域是 A ． [)2,1- B ．[)+∞-,1 C ．),2(+∞ D ．[)⋃-2,1),2(+∞6．若双曲线221x y a-=的一条渐近线方程为3y x =，则正实数a 的值为 A ．9B ．3C ．13D ．197．若直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为 A ．3210x y +-= B ．2310x y +-= C ．3210x y ++=D ．2310x y --=8．已知(1,1,0)AB =-，(0,1,2)C -，若2CD AB = ，则点D 的坐标为A ．(2,3,2)--B ．(2,3,2)-C ．(2,1,2)-D ．(2,1,2)--9．已知平面α，β和直线m ，直线m 不在平面α，β内，若α⊥β，则“m ∥β”是“m ⊥α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．将函数πsin(2)3y x =+的图象经怎样平移后，所得的图象关于点π(,0)12-成中心对称 A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3C =，c =3b a =，则ABC△的面积为ABCD12．函数331x x y =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．13．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤-≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，则22z x y =+的最大值是AB ．4C ．9D ．1014．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若236,,a a a 成等比数列，则A ．130,0a d dS >>B ．130,0a d dS ><C ．130,0a d dS <>D ．130,0a d dS <<15．如图所示，在正三角形ABC 中，,,D E F 分别为各边的中点，,,,G H I J 分别为,,,AF AD BE DE 的中点.将ABC △沿,,DE EF DF 折成三棱锥以后，HG 与IJ 所成角的度数为A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．0︒16．已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为A ．64B ．643C ．1283D ．12817．过抛物线2(0)y mx m =>的焦点作直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，5||4PQ m =，则m = A ．8 B ．6 C ．12D ．1018．已知函数2(4)log (01)a y x bx x a a =+->≠且，若对任意0x >，恒有0y ≤，则a b 的取值范围是A ．[1，3)B ．(1，3]C ．(0，3)D ．(1，3)非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．设公比不为1的等比数列{}n a 满足12318a a a =-，且243,,a a a 成等差数列，则公比q =___________，数列{}n a 的前4项的和为___________．20．设函数()()f x x ∈R 满足2213|(),|()144||f x x f x x -≤+-≤，则(1)f =___________．21．若半径为10的球面上有A 、B 、C O 到平面ABC 的距离为___________.22．已知动点P ABCD 的边上任意一点，MN 是正方形ABCD 的外接圆O 的一条动弦，且MN PM PN ⋅的取值范围是___________. 三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本小题满分10分）已知ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若222sin sin sin sin sin A B C A B +-=.（1）求角C 的大小；（2）若ABC △的面积为c =ABC △的周长.24．（本小题满分10分）如图，直线l 与椭圆C :22142x y +=交于M ，N 两点，且|MN |=2，点N 关于原点O 的对称点为P.（1）若直线MP 的斜率为12-，求此时直线MN 的斜率k 的值；（2）求点P 到直线MN 的距离的最大值. 25．（本小题满分11分）已知函数2()(1)||f x x x x a =+-⋅-. （1）若0a =，解方程()3f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 在[2,2]a a +的最小值为()g a ，求()g a 的解析式.答案。
浙江省普通高中2019年1月学业水平考试仿真模拟试题02 考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．集合{1,2,3},{2,4,5}A B ==，则A B =( ) A ．{2} B ．{6} C ．{1,3,4,5,6} D ．{1,2,3,4,5}2．设22:log 2p x >，:2q x >，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．角θ的终边经过点(4,)P y ，且sin θ=35-，则tan θ=( )A ．43-B ．43C ．34-D ．344．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A ．8桶B ．9桶C ．10桶D ．11桶5．在等差数列{}n a 中，34567450a a a a a ++++=，则28a a +等于( )A ．45B ．75C ．180D ．3606．已知过点(2)A m -,和(,4)B m 的直线与直线210x y ++=平行，则m 的值为( )A ．8-B ．0C ．2D ．107．已知向量(3,0)=a ，(0,1)=-b ，(,3)k =c ，若(2)-⊥a b c ，则k =( )A ．2B ．2-C ．32D ．32- 8．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若,l ααβ∥∥，则l β⊂C ．若,l ααβ⊥∥，则l β⊥D ．若,l ααβ⊥∥，则l β⊥9．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =( )A ．3B ．1C ．12D ．3210．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-11．若以双曲线22212x y b -=（0b >）的左、右焦点和点（1，2）为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于( )A ．12B ．1C ．2D ．212．已知函数π()2sin(2)6f x x =+，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为( )A ．π12x = B ．π4x =C ．π3x =D ．2π3x =13．已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段BC 的中点，点M 是直线1BD 上异于1,B D 的点，则平面DEM 可能经过下列点中的( )A ．AB ．1C C ．1AD ．C14．已知x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为( )A ．4B ．6C ．12D ．1615．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为( ) A ．13B ．38C ．37D ．1 16．已知22,,|sin |1,|cos |1a b a b θθ∈-≤+≤R ，则( )A ．a b +的取值范围是[1,3]-B ．a b +的取值范围是[3,1]-C ．a b -的取值范围是[1,3]-D ．a b -的取值范围是[3,1]- 17．过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为60°的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，则|MN | =( )A ．233B ．3C ．433D ．2318．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD 与BC 所成的角为( )A ．π6B ．π4 C ．π3 D ．π2非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．函数()131f x x x =-++-的定义域是__________．20．已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的半径为__________，表面积为__________．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)A -的圆C 和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上，则圆C 的标准方程为__________．22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，|1|1()()2x f x m -=+，若函数()f x 有5个零点，则实数m 的取值范围是_______．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本小题满分10分）在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足 (2)cos cos 0c a B b A --=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）已知2c =，AC 边上的高3217BD =，求ABC △的面积S 的值．24．（本小题满分10分） 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，其右顶点是(2,0)A ，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于两点,M N (,M N 不同于点A )，若0AM AN ⋅=，求证:直线l 过定点，并求出定点坐标.25．（本小题满分11分） 已知函数212()log (1)f x x =+，2()6g x x ax =-+.（Ⅰ）若()g x 为偶函数，求a 的值并写出()g x 的增区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()0g x <的解集为{|23}x x <<，当1x >时，求()1g x x -的最小值； （Ⅲ）对任意的1[1,)x ∈+∞，2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.。
2019年春学期高考文科数学仿真模拟卷三【试卷满分150分，考试时间120分钟】第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 若集合2{|1},{|ln(1)}M x N x y x x=≥==-，则M N = （ ）A. (,1)-∞B. (0,1)C. (1,2]D. (0,2]2. 已知复数满足2zi i=+，则复数z 的共轭复数为（ ） A. 12i -+ B. 2i -C. 12i +D. 12i --3. 已知点P 2(,)2a 在函数2x y =的图象上，则a 的值为（ ） A. 12-B.12C.32D.32-4. “直线（m ﹣2）x +（m +2）y ﹣3＝0与直线（m +2）x +3my +1＝0相互垂直”是“21=m ”的什么条件（ ）A. 充分必要B. 充分而不必要C. 必要而不充分D. 既不充分也不必要5. 若变量,x y 满足约束条件1,2,0,0,x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A. 0B. 1C.52D. 4 6. 下列函数中在（﹣∞，0）上单调递减的是（ ）zA. 2()(1)f x x =+B. 1()1f x x=-C. ()2x f x =-D. 12()log ()f x x =-7. 已知{}n a 为等差数列，满足19402124a a a ++=，则122019a a a +++=（ ）A. 2017B. 2018C. 2019D. 20208. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： （1）如果不超过200元，则不给予优惠；（2）如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；（3）如果超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是（ ）A. 413.7元B. 513.7元C. 546.6元D. 548.7元9. 已知自然数[]10,1∈x 执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为（ ）A.12B.49C.59D.2310. 已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()1f θ=，(0,)3πθ∈，则5cos(2)6πθ+=（ ）A. 322±B. ﹣322 C.322 D.31 11. 设函数3()1()f x ax x x R =--∈，若对于任意[1,1]x ∈-都有()0f x ≤，则实数a 的取值范围为（ ）A. （﹣∞，2]B. [0+∞）C. [0，2]D. [2,2]-12. 已知点M 坐标为()2,1，点1F 、2F 分别为双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点。
仿真模拟(二)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}答案 D解析 利用数轴可求得A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}，故选D. 2．函数y ＝2－x ＋ln(x －1)的定义域为( ) A ．(1,2] B ．[1,2] C ．(－∞，1) D ．[2，＋∞) 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x －1＞0，得1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]．故选A.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y ≥x 表示的平面区域是( )答案 C解析 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y ≥x 可知不等式组表示的平面区域为x ＋y ＝2的下方，直线y ＝x 的上方，故选C.4．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(0,1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝1 C ．(a ＋b )⊥b D ．a ∥b答案 C解析 因为|a |＝2，|b |＝1，故A 错误； a ·b ＝－1，故B 错误；(a ＋b )·b ＝(1,0)·(0,1)＝0，故C 正确； a ，b 不平行，故D 错误．故选C.5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列结论正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α∥γ，β∥γ，则α∥β C ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n 答案 B解析 对于选项A ，若m ，n ⊂β，m ∩n ＝P ，α∥β，则m ∥α，n ∥α，此时m 与n 不平行，故A 错； 对于选项B ，由平面平行的传递性可知B 正确；对于选项C ，当α⊥β，α∩β＝l ，m ∥l ，m ⊄α时，有m ∥α， 此时m ∥β或m ⊂β，故C 错；对于选项D ，位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定，故D 错．故选B. 6．不等式x ＋3>|2x －1|的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－4，23 B.⎝⎛⎭⎫－23，4C ．(－∞，4) D.⎝⎛⎭⎫－23，＋∞ 答案 B解析 不等式x ＋3>|2x －1|等价于－(x ＋3)<2x －1<x ＋3， 由此解得－23<x <4，故选B.7．命题p ：x ∈R 且满足sin 2x ＝1.命题q ：x ∈R 且满足tan x ＝1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由sin 2x ＝1，得2x ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π4＋k π，k ∈Z ；由tan x ＝1，得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的充要条件，故选C.8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，则sin(A －B )等于( )A ．－725 B.725 C ．－925 D.925答案 B解析 ∵A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＝45，sin B ＝35，∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝725.9．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝13 B ．(x ＋2)2＋y 2＝17 C ．(x ＋1)2＋y 2＝40 D ．(x －1)2＋y 2＝20答案 D解析 设圆C 的圆心坐标为(m,0)，则由|CA |＝|CB |，得(m －5)2＋4＝(m ＋1)2＋16，解得m ＝1，圆的半径为25，所以其方程为(x －1)2＋y 2＝20，故选D. 10．已知a <0，－1<b <0，则下列结论正确的是( ) A ．a >ab >ab 2 B ．ab >a >ab 2 C ．ab >ab 2>a D ．ab 2>ab >a 答案 C解析 由题意得ab －ab 2＝ab (1－b )>0， 所以ab >ab 2，ab 2－a ＝a (b ＋1)(b －1)>0， 所以ab 2>a ，故选C.11．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则这个几何体的侧面积是( )A ．(1＋2)cm 2B ．(3＋2)cm 2C ．(4＋2)cm 2D ．(5＋2)cm 2答案 C解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以侧面积为(4＋2)cm 2.故选C.12．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63 B.233 C.433 D.263答案 C解析 由题意得x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， 则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ，因为a >0，所以4a ＋13a ≥433，当且仅当a ＝36时等号成立． 所以x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433，故选C.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x －4，x ＞0，若函数y ＝f ()f (x )＋a 有四个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2,2)B ．[1,5)C ．[1,2)D ．[－2,5)答案 C解析 函数y ＝f ()f (x )＋a 有四个零点， 则f ()f (x )＋a ＝0有四个解，则方程f (x )＋a ＝－1与f (x )＋a ＝2各有两个解，作出函数f (x )的图象(图略)可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＜－a －1≤1，－3＜2－a ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＜2，1≤a ＜5，所以1≤a ＜2.故选C.14．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，若S 3＝72，则S 6等于( )A.312B.632 C ．63 D.1272答案 B解析 由题意得S 6＝S 3(1＋q 3)＝72×(1＋23)＝632，故选B.15．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100 D ．200 答案 C解析 a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100，故选C.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,1) B ．[0,2] C ．[－2,2) D ．[－1,2)答案 D解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)，故选D.17．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点且满足PF 1—→·PF 2—→＝－12c 2，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．[2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5＋12，＋∞答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1—→·PF 2—→＝(－c －x 0)(c －x 0)＋y 20＝x 20＋y 20－c 2， 所以x 20＋y 20－c 2＝－12c 2. 又x 20a 2－y 20b2＝1，所以x 20＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋y 20b 2， 所以a 2⎝⎛⎭⎫1＋y 20b 2＋y 20－c 2＝－12c 2， 整理得c 2y 20b 2＝c 22－a 2，所以c 22－a 2≥0，所以c ≥2a ，e ≥2，故选C.18．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点(点P ，Q 可以重合)，则B 1P ＋PQ 的最小值为( ) A.32 B. 2 C.3 D ．2 答案 A解析 P 在对角线AC 1上，Q 在底面ABCD 上，PQ 取最小值时P 在平面ABCD 上的射影落在AC 上，将△AB 1C 1沿AC 1翻折到△AB 1′C 1，使平面AB 1′C 1与平面ACC 1在同一平面内，B 1P ＝B 1′P ， 所以(B 1′P ＋PQ )min 为B 1′到AC 的距离B 1′Q .由题意知，△ACC 1和△AB 1′C 1为有一个角为30°的直角三角形，∠B 1′AC ＝60°，AB 1′＝3， 所以B 1′Q ＝3·sin 60°＝32.二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．若坐标原点到抛物线x ＝－m 2y 2的准线的距离为2，则m ＝________；焦点坐标为________． 答案 ±24(－2,0)解析 由y 2＝－1m 2x ，得准线方程为x ＝14m 2，∴14m 2＝2，∴m 2＝18， 即m ＝±24，∴y 2＝－8x ，∴焦点坐标为(－2,0)．20．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________. 答案 －1 007解析 由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)， 可得a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝1，该数列是周期为4的循环数列，所以S 2 017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＝504×(－2)＋1＝－1 007.21．已知向量a ＝(－5,5)，b ＝(－3,4)，则a －b 在b 方向上的投影为________． 答案 2解析 由a ＝(－5,5)，b ＝(－3,4)，则a －b ＝(－2,1)，(a －b )·b ＝(－2)×(－3)＋1×4＝10，|b |＝9＋16＝5，则a －b 在b 方向上的投影为(a －b ) ·b |b |＝105＝2.22．已知函数f (x )＝x 2＋px －q (p ，q ∈R )的值域为[－1，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜s 的解集为(t ，t ＋4)，则实数s ＝________. 答案 3解析 因为函数f (x )＝x 2＋px －q ＝⎝⎛⎭⎫x ＋p 22－p 24－q 的值域为[－1，＋∞)，所以－p24－q ＝－1，即p 2＋4q ＝4.因为不等式f (x )＜s 的解集为(t ，t ＋4)，所以方程x 2＋px －q －s ＝0的两根为x 1＝t ，x 2＝t ＋4，则x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－p )2－4(－q －s ) ＝p 2＋4q ＋4s ＝4＋4s ＝4，解得s ＝3. 三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. 所以a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32， 则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n (n ∈N *)．24．(10分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，过直线l ：x ＝2上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P 点在x轴上时，切线P A 的斜率为±22.(1)求椭圆的方程；(2)设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值． 解 (1)当P 点在x 轴上时， P (2,0)，P A ：y ＝±22(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝±22(x －2)，x2a 2＋y 2＝1，化简得⎝⎛⎭⎫1a 2＋12x 2－2x ＋1＝0， 由Δ＝0，解得a 2＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设切线方程为y ＝kx ＋m ，P (2，y 0)，A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0， 化简得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 由Δ＝0，解得m 2＝2k 2＋1，且x 1＝－2km 1＋2k 2，y 1＝m 1＋2k 2，y 0＝2k ＋m ， 则|PO |＝y 20＋4，直线PO 的方程为y ＝y 02x ，则点A 到直线PO 的距离d ＝|y 0x 1－2y 1|y 20＋4， 设△POA 的面积为S ， 则S ＝12|PO |·d ＝12|y 0x 1－2y 1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪(2k ＋m )－2km 1＋2k 2－2m 1＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k 2＋km1＋2k 2m ＝|k ＋m |. 当m ＝2k 2＋1时，S ＝|k ＋1＋2k 2|.(S －k )2＝1＋2k 2，则k 2＋2Sk －S 2＋1＝0，Δ＝8S 2－4≥0，解得S ≥22，当S ＝22时k ＝－22. 同理当m ＝－2k 2＋1时，可得S ≥22， 当S ＝22时k ＝22. 所以△POA 面积的最小值为22. 25．(11分)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)．(1)若f (0)≤1，求a 的取值范围；(2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数． 解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1，当a ≤0时，0≤1，显然成立； 当a >0时，则有|a |＋a ＝2a ≤1，所以a ≤12，所以0<a ≤12. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－(2a －1)x ，x ≥a ，x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，x <a . 对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 对于u 2＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上， 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减．综上所述，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减．(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2.①当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2， 令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x(x >0)， 因为f (x )在(0,2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2，而g (x )＝－4x在(0,2)上单调递增，所以g (x )<g (2)＝－2，所以y ＝f (x )与g (x )＝－4x在(0,2)上无交点； 当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x，即x 3－3x 2＋4＝0， 所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0，因为x ≥2，所以x ＝2，综上当a ＝2时，f (x )＋4x有一个零点x ＝2. ②当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而g (x )＝－4x在(0，a )上单调递增， 当x ＝a 时，g (x )＝－4a ，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a的大小， 因为a －a 2－⎝⎛⎭⎫－4a ＝－(a 3－a 2－4)a ＝－(a －2)(a 2＋a ＋2)a<0， 所以f (a )＝a －a 2<－4a. 结合图象不难得到当a >2时，y ＝f (x )与g (x )＝－4x有两个交点．综上所述，当a ＝2时，f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内有一个零点x ＝2； 当a >2时，f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内有两个零点．。
