2018年6月浙江省学业水平考试
数学试题
一、选择题
1. 已知集合{1,2}A =，{2,3}B =，则A B =I （ ）
A.{1}
B.{2}
C.{1,2}
D.{1,2,3} 2. 函数2log (1)y x =+的定义域是（ ）
A.(1,)-+∞
B.[1,)-+∞
C.(0,)+∞
D.[0,)+∞ 3. 设R α∈，则sin(
)2
π
α-=（ ）
A.sin α
B.sin α-
C.cos α
D.cos α-
4. 将一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ）
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍
5. 双曲线
22
1169
x y -=的焦点坐标是（ ） A.(5,0)-，(5,0) B.(0,5)-，(0,5)
C.
(
，
D.(0,
，
6. 已知向量(,1)a x =r ，(2,3)b =-r
，若//a b r r ，则实数x 的值是（ ）
A.23-
B.23
C.32-
D.3
2 7. 设实数x ，y 满足0
230
x y x y -≥??
+-≤?，则x y +的最大值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
8. 在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45B =o
，30C =o
，1c =，则b =（ ）
A.
B.
9. 已知直线l ，m 和平面α，m α?，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 10. 要得到函数()sin(2
)4
f x x π
=-
的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ）
A.向右平移
8π个单位 B.向左平移8π
个单位 C.向右平移4π个单位 D.向左平移4
π
个单位
11. 若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则βα-的值（ ）
A.与m 有关，且与n 有关
B.与m 有关，但与n 无关
C.与m 无关，且与n 无关
D.与m 无关，但与n 有关
12. 在如图所示的几何体中，正方形DCEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，N ，
6AB =，2AD DC ==，23BC =，则该几何体的正视图为（ ）
A. B.
C. D.
13. 在如图所示的几何体中，正方形DCEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，
//AB DC ，6AB =，2AD DC ==，23BC =，二面角E AB C --的正切值为（ ）
A.33
B.32
C.1
D.
23
3 14. 如图，A ，B 分别为椭圆22
:1(0)x y C a b a b
+=>>的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，E 为线段AB 的中点，H 为O 在AB 上的射影，若OE 平分HOA ∠，则该椭圆的离心
率为（ ）
A.1 3
B.
3
3 C.
2
3 D.
6
3
15.三棱柱各面所在平面将空间分为（）
A.14部分
B.18部分
C.21部分
D.24部分
16.函数
2
()
()
x n
m
f x e
-
=（其中e为自然对数的底数）的图象如图所示，则（）
A.0
m>，01
n
<< B.0
m>，10
n
-<<
C.0
m<，01
n
<< D.0
m<，10
n
-<<
17.数列{}
n
a是公差不为0的等差数列，
n
S为其前n项和.若对任意的n N*
∈，有
3
n
S S
≥，
则6
5
a
a
的值不可能为（）
A.
4
3 B.
3
2 C.
5
3D.
2
18.已知x，y是正实数，则下列式子中能使x y
>恒成立的是（）
A.
21
x y
y x
+>+
B.
11
2
x y
y x
+>+
C.
21
x y
y x
->-
D.
11
2
x y
y x
->-
二、填空题
19.圆22
(3)1
x y
-+=的圆心坐标是_______，半径长为_______.
20.如图，设边长为4的正方形为第1个正方形，将其各边相邻的中点相连，得到第2个正方形，再将第2个正方形各边相邻的中点相连，得到第3个正方形，依此类推，则第6个
正方形的面积为______.
21. 已知lg lg lg()a b a b -=-，则实数a 的取值范围是_______.
22. 已知动点P 在直线:22l x y +=上，过点P 作互相垂直的直线PA ，PB 分别交x 轴、
y 轴于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，
O 为坐标原点，则OM OP ?u u u u r u u u r
的最小值为_______.
三、解答题 23. 已知函数13()sin cos 22
f x x x =
+，x R ∈. （Ⅰ）求()6
f π
的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合.
24.
25. 如图，直线l 不与坐标轴垂直，且与抛物线2
:C y x =有且只有一个公共点P .
（Ⅰ）当点P 的坐标为(1,1)时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与y 轴的交点为R ，过点R 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点.当2
RA RB RP ?=时，求点P 的坐标.
26. 设函数2()3()f x ax x a =-+，其中a R ∈. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的值域；
（Ⅱ）若对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，求实数a 的取值范围.
2018年6月浙江省学业水平考试
数学试题答案
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）
19． (3,0)；1. 20. 1221.[4,)+∞22. 25
三、解答题 27.
已知函数1()sin 2f x x x =
+，x R ∈. （Ⅰ）求()6
f π
的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合. 答案：
（Ⅰ）1；
（Ⅱ）max ()1f x =，{|2,}6
x x k k Z π
π=+∈.
解答：
（Ⅰ）113()sin cos 16
262644f π
ππ=
+=+=.
（Ⅱ）因为()cos sin sin
cos sin()3
33f x x x x π
π
π
=+=+，所以，函数()f x 的最大值为1，
当23
2
x k π
π
π+
=+
，即2()6
x k k Z π
π=+
∈时，()f x 取到最大值，所以，取到最大值时
x 的集合为{|2,}6
x x k k Z π
π=+
∈.
28. 如图，直线l 不与坐标轴垂直，且与抛物线2
:C y x =有且只有一个公共点P .
（Ⅰ）当点P 的坐标为(1,1)时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与y 轴的交点为R ，过点R 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点.当2
RA RB RP ?=时，求点P 的坐标. 答案：
（Ⅰ）210x y -+=； （Ⅱ）1
1(,)42
±. 解答：
（Ⅰ）设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为1(1)y k x -=-，联立方程组
2
1(1)y k x y x -=-??=?，消去x ，得2
10ky y k -+-=，由已知可得14(1)0k k ?=--=，解得1
2
k =
，故，所求直线l 的方程为210x y -+=. （Ⅱ）设点P 的坐标为2
(,)t t ，直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为2
()y t k x t -=-，
联立方程组22()y t k x t y x
?-=-??=??，消去x ，得22
0ky y t kt -+-=，由已知可得
214()0k t kt ?=--=，得1(0)2k t t =
≠，所以，点R 的纵坐标22
t
t kt -=，从而，点R 的纵坐标为(0,)2t ，由m l ⊥可知，直线m 的斜率为2t -，所以，直线m 的方程为22
t
y tx =-+.
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线m 的方程代入2
y x =，得2
222
4(21)04
t t x t x -++=，
所以2242
(21)4410t t t ?=+-=+>，12116
x x =
，又2
114RA t =+，2214RB t =+，24214RP t t =+，由2
RA RB RP ?=，得242121(14)4
t x x t t +=+，
即
24211(14)164t t t +=+，解得12t =±，所以，点P 的坐标为11(,)42
±. 29. 设函数2()3()f x ax x a =-+，其中a R ∈. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的值域；
（Ⅱ）若对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，求实数a 的取值范围. 答案： （Ⅰ）21
(,
]4
-∞； （Ⅱ）[1,0]-. 解答：
（Ⅰ）当1a =时，2251,0
()1,0
x x x f x x x x ?---≤?=?-+->??，
（ⅰ）当0x ≤时，2521()()24f x x =-++
，此时21
()(,]4f x ∈-∞；
（ⅱ）当0x >时，213()()24f x x =---，此时3
()(,]4
f x ∈-∞-，
由（ⅰ）（ⅱ），得()f x 的值域为21
(,]4
-∞.
（Ⅱ）因为对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，所以()1
(1)1
f a f a ≥-??
+≥-?，即
222
341
3(1)(21)1a a a a a ?-≥-??+-+≥-??
，解得10a -≤≤. 下面证明，当[1,0]a ∈-，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，
（ⅰ）当0a x ≤≤时，2
2
()f x x ax a =-+-，2
()(0)1f a f a ==-≥-，故
()min{(),(0)}1f x f a f ≥≥-成立；
（ⅱ）当01x a ≤≤+时，2
2
()5f x x ax a =---，(1)1f a +≥-，(0)1f ≥-，故
()min{(1),(0)}1f x f a f ≥+≥-成立.
由此，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-. 所以，实数a 的取值范围为[1,0]-.