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习题详解-第8章二重积分

习题8-1

1. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)D

m x y d μσ=??.

2. 试比较下列二重积分的大小：

(1) 2()D

x y d σ+??与3()D

x y d σ+??，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；

(2)

ln()D

x y d σ+??与2

ln()D

x y d σ+?

?????，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.

解：(1)在D 内，()()23

01x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()D

x y d x y d σσ+≥+????.

(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2

ln()[ln()]D

x y d x y d σσ+≥+????

习题8-2

1. 画出积分区域，并计算下列二重积分：

(1) ()D

x y d σ+??，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；

(2) (32)D

x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；

(3) 22()D

x y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域； (4) 2

D x

y d σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；

(5) ln D

x y d σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；

(6)

22D

x d σy ??其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 1

()()20.D

x y d dx x y dy xdx σ---+=+==????? (2) 2

200

(32)(32)[3(2)(2)]x D

x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-????

2232022

20[224]4.33

0x x dx x x x =-++=-++=?

(3) 32

002193()()()248y

y D

y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-?????

43219113.9686

0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.D

x yd σ=??

(5) 4420104

1ln ln (ln ln )2(1)2110e D

e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-?????.

(6) 1222241113

122222119()()124642

x x D x x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=??????. 2. 将二重积分(,)D

f x y d σ??化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：

(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；

(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；

(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1

y x

=所围成的闭区域；

(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1

2120

(,)(,)(,).x

x y y

dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=????

(2) 2

441

004

(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =??

(3) 12

1111

(,)(,)(,).x

dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=??????

(4) 21111

(,)(,).x

dx f x y dy dy f x y dx -=???

3. 交换下列二次积分的积分次序：

(1) 10

(,)y

dy f x y dx ??；（2）22

(,)y

dy f x y dx ??；

(3) ln 1

(,)e x

dx f x y dy ??

； (4) 12330

(,)(,)y y

dy f x y dx dy f x y dx -+????

解：(1) 111

(,)(,)y x

dy f x y dx dx f x y dy =????.

(2) 22240

2(,)(,).y x y

dy f x y dx dx f x y dy =????

(3) ln 1

(,)(,)y e x

dx f x y dy dy f x y dx =??

(4) 1

233230

(,)(,)(,)y

dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=??

??.

4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.

解：11100037

(623)(62).22

V dx x y dy x dx =--=--=???

5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.

解：3111222

000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=???

习题8-3

1. 画出积分区域，把二重积分(,)D

f x y d σ??化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D

是：

(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；

(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20

(,)(cos ,sin ).a

f x y d d f r r rdr πσθθθ=??

(2) 2cos 20

(,)(cos ,sin ).D

f x y d d f r r rdr π

πσθθθ-=??

(3) 22

(,)(cos ,sin ).D

f x y d d f r r rdr πσθθθ=??

(4)

cos sin 0

(,)(cos ,sin ).D

f x y d d f r r rdr πθθ

σθθθ+=???

2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： (1)

220

()a

a y dy x y dx -+?

；

(2)

220

dx x y dx +?

解：(1)

442

()248

a y a

a a dy x y dx d r dr πππθ-+==?=

???

. (2) 22sin 3122244cos 6000

01sin 3cos x x dx x y dx d r dr d π

θπ

θθθθθ

+==????? 2444

66400011cos 111(cos )[(cos )(cos )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθ

θ-=-=--??? 532(21)

1cos cos 4().3530

θθ--+=--

+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：

(1)22

x y D

e d σ+??,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；

(2) 2

2ln(1)D

y d σ++??,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭

区域；

(3)

arctan D

d σx ??，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一

象限内的闭区域；

(4)

222D

R x y d σ--其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.

解：(1) 2

221001

12(1).20x

y r r D

e d d e rdr e e πσθππ+==?=-????

(2)

222

01ln(1)ln(1)[ln(1)]22

01D

r r x y d d r rdr r dr r π

πσθ++=+=+-

+?????

(1)[ln 22](2ln 21)4

1r r r dr r

ππ+-=-=-+?. (3) 222244

010133arctan arctan(tan ).32264D

y d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=?==?=??????

(4)

R x y d σ--3

cos 2

222220

2cos 12()230R R d R r rdr R r d π

πθ

ππθθθ--=-=--??

? 3

3332

21(sin )33

R R R d π

ππθθ-=--=?.

4. 求由曲面z =x 2+y 2与22z x y =+所围成的立体体积.

解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：

222220

[()]().6

V x y x y d d r r rdr π

πσθ=++=-=

????

习题8-4

1. 计算反常二重积分()x y D

e dx dy -+??，其中D ：x ≥0,y ≥x .

2. 计算反常二重积分222

()

dx dy

x y +??

，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.

2220

1()2

a a

a x y x x a a

a x

e dx e dy e e dx e e ---------=-=-

+-?

?? 所以2()21

lim ().2

x y a

a a D

e dxdy e e --+--→+∞

-=-+-=??

2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-??，得222211lim 2().2()2R D

dxdy x y R ππ→+∞=-=+??

复习题8

（A ）

1. 将二重积分d d (,)D

f x y x y ??化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：

(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;

(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 1

(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=????

(2) 242400

(,)(,).x

y x

dx f x y dy dy f x y dx =??

2. 交换下列两次积分的次序： (1)d d 1

0(,)y

y f x y x ??

;

(2)d d 2

220

(,)a ax x x f x y y -??

;

(3)d d +d d 12

(,)(,)x

x f x y y x f x y y -????．

解：(1) 21

d (,)d d (,)d y x y

y f x y x x f x y y =?

??.

(2) 2

2200

d (,)d d (,)d a

ax x a

a a y a a y x f x y y y f x y x -+---=??

(3)

d (,)d +d (,)d d (,)d x

y y

x f x y y x f x y y y f x y x --=?

?????

3. 计算下列二重积分：

(1) e d x y D

σ+??， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;

(2) d d 2

D x

y x y ??,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；

(3) d d (1)D

x x y -??,D 由y =x 和y =x ３

围成； (4) d d 2

2()D

y x y +??，D :︱x ︱+︱y ︱≤1;

(5) d 1

sin D

y σy ??，D 由2

x π=与y =x 围成； (6)

d (4)D

x y σ--??，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；

解: (1) 1

1111211

1e d ()()()1

x y x y x x x x D

dx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--?????.

(2) 532

121129d d ()()225315

x x x

y x y dx x ydy x x dx ==-=-=????

(3) 311

2430011117(1)d d (1)()325460x x D

x x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-?????.

(4)

1122

220

()d d 4()x

x y x y dx x y dy -+=+????

33241

141212

4(2)4()3332333

0x x x x x x dx x =--

+=--+=?. (5) 22

2200sin 12sin d (sin sin )y y D

y y dy dx y y y dy y y πππσπ==-?????

2sin (cos )1(cos sin )10

ydy yd y y y y π

ππ

πππ

-=-??

. (6)

222

(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3

R x y d r r rdr R d π

πσθθθθθθ--=--=-+???

22[2(sin cos )]430

R R R πθθθπ=--=.

4. 已知反常二重积分e d 2

y D

x σ-??收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一

象限所围成的区域．

解：设22

49(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则

22220

0015555e

d ()236144144144

a a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==

?=--=-?????. 所以2

e d lim

e d 144

y y

a D

D x x σσ--→+∞

==????. 5. 计算e d 2

x x +∞

--∞

?．

解：由第四节例2以及2

y =e x -

是偶函数，可知2

e d x x +∞

--∞

=?.

6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．

解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：

2220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=????.

7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线e

y x 1

=．

(1) 求由曲线y =ln x ，直线e

y x 1

=和y =0所围成的平面图形D 的面积；

(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．

解：(1) 1ln (ln )1222

1e e e e

e S xdx x x x =-=--=-?.

(2) 221

013()()222

0y y e y

y y y

e e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-??

（B ）

1. 交换积分次序：

(1) 31

(,)x

dx f x y dy -??；（2）0

(,)y dy f x y dx --??

；

(3) 2

4(,)x x f x y dy -?

；

(4) 1

(,)dx f x y dy ?.

-(2) 0110

1(,)(,)y

dy f x y dx dx f x y dy ---=

(3) 2

4240

(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+?

??.

(4) 2

112

(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+???

2. 计算积分2

x x

dx dy x y +??.

解：222sin sin 1

44cos cos 222

00000cos cos x

x x r dx dy d rdr d dr x y r πθπθ

θθθθθθ==+?????? 40sin ln 24(ln cos )cos 2

d π

πθθθθ==-=?.

3. 计算积分1

01y

y dy dx x y ++??

解：111

114cos 4cos cos 22

000sin sin [sin ]111y

y r dy dx d rdr d dr dr x y r r ππθ

θθθθθθθ==-++++??

??? 4

4001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d π

θθθθθθ=-?=+??

令cos t θ=,

则

原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222

dt dt t t t t t =+=+=+++

ln 213ln 213ln ln 22242224

ππ=

+--=-. 4. 设函数f (x )在区间0,1????上连续，且1

()f x dx A =?，求1

()()x

dx f x f y dy ??. 解：设1

'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=?，则.

()()()[(1)()](1)()()(())x

dx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-?

????

21()111

(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)22220F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--

1[(1)(0)]22

A A F F =-=. 5. 计算2D

x y d σ??，其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2－

y 2=1所围成的闭区域.

解：1

220

22(13D

x yd dy ydx y y σ==

+????

122222011122(1)(1)(1)1)33515

0y d y y =++=?+=?. 6. 计算2

y x

dx e dy ??.

解：2222222240000211

(1)220y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-?????.

7. 证明211()()d ()()d 1b x b

n n a a a

dx x y f y y b y f y y n ---=--???，其中n 为大于1的正整数.

证：22()()d ()()b x b b

n n a

dx x y f y y dy x y f y dx ---=-????

()()1

n b y

x y f y dy n -=--?

11()()d 1b

n a

b y f y y n -=

--?

大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.

第二节二重积分的计算法 ? 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 ? 二、二重积分在极坐标系中的计算法 ? 三、小结思考题练习题一、二重积分在直角坐标系中的计算法 a < x <^h 9 (p t (x) V y V (pAx). —型] 其中函数?（劝、02（兀）在区间［“,6上连续? 如果积分区域为: 1 1 J =

的值等于以。为底，以曲面z = f(x,y)为曲顶柱体的体积. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, SR cy=fdyr 2> f(x,y)dx. 兴切(丿) y =?(x) y =^(x) A(x (J

X 型区域的特点:穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y 型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 n 勿 +u ? D D 、 D 2 D 、例1 改变积分f(x y y)dy 的次序 . 解

例2改变积分 ’/（X 』）心的次序. 解积分区域如图 2 J = 2-x X 、 ?= \ 2x - 5^ ? ■ 7 0.9 1 \ * ?5 3 原式=』dy J 二缶 f f(x,y)dx. 例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (? >0) 的次序. f(x^y)dx +他(：丹八3)必+f"dy0gy)必. x 2 =>x =a ± x a 2 -y 2 =\ 2ax —::2

第八章答案

一、单项选择题 1---5 BAD AA 6---10 D CCC A 11---14 BACB 二、填空题 1.9 2.1(1)e π-- 3.π 4.43π- 5.1 6.4(1)e π- 7.2 3 8.52+e 9. 1ln 22 10. 42 a π 11. 1-e 12. ππ+3 13.32 14.2(1)e - 15. 1 10 d (,)d x x f x y y ? ? 16.210 d (,)d x x x f x y y ?? 17.4(1)e π- 18.1 (1)e π-- 19.4 20. 2π 21.24 22.143π 23.2 4 R π 24.2 25.()10d ,d y e e y f x y x ?? 26.(1)e π- 27.1 28.π 29.1 3 30.4 π 三、计算题 1.求 (2)d D x y σ+??，其中D 是由两坐标轴和直线2x y +=所围成的闭区域. 解 (画图)，原式= 2 20 (2)x dx x y dy -+? ? 2 220 () x xy y dx -=+? 2 (42)x dx =-?2 2 84x =-= 2.求 (34)D x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴和直线1x y +=所围成的闭区域. 解 (画图)，原式= 1100 (34)x dx x y dy -+?? 1 210 (32) x xy y dx -=+? 1 2 0(2)x x dx =--?23107 2()236 x x =-+= 3.求 2 ()d d ,D y x x y -?? 其中D 是由抛物线2y x =及直线1y =所围成的闭区域. 解 (画图)，原式21 121d ()d x x y x y -=-??12 411122x x dx -??=-+ ???? 35 1 21() 35 x x =+-+8 15 = 4.求 22 ()d D x y σ+?? ，其中D 表示圆环区域}21),{(22≤+≤y x y x . 解：原式= r r x d d 2 1 3 20 ? ? π =1 2424r π =23π.

9山东专升本高等数学第九章二重积分.

第九章二重积分【考试要求】 1．理解二重积分的概念、性质及其几何意义． 2．掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法．【考试内容】一、二重积分的相关概念 1．二重积分的定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域 ?σ1，?σ2，，?σn，其中?σi表示第i个小区域，也表示它的面积．在每个?σi上任取一点 n(ξiη,i)，作乘积f(ξi,ηi?)σi i（i=1,2, ,n），并作和∑f(ξ,η)?σii i=1．如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作??f(x,y)dσ，即 D n iii??f(x,y)dσ=lim∑f(ξ,η)?σ Dλ→0． i=1 其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，∑f(ξ,η)?σii i=1ni叫做积分和．说明：在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作 ??f(x,y)dxdy，其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素． D 2．二重积分的几何意义一般地，如果被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处f(x,y)≥0，的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在f(x,y)在D的若干部分区域上是正的， D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差． 3．二重积分的性质（1）设α、β为常数，则

第八章二重积分习题答案

第八章二重积分习题答案练习题8.1 1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d D x y 解：d D x y =200 d π θ?? =2220 01()2d a r π θ=--?? 332012236 a d a ππ θ==? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy = ??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题8.2 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =2 22 (1)84x dx --=? 3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28 (2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积

解： 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习题八一．判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.（√） 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? （×）二．填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 112 ，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤. 112 3.二重积分 10 (,)y dy f x y dx ?? 交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y =0 .0 5. 交换积分次序 1 d (,)y f x y dx ? = 2 1 1 (,)(,)x dx f x y dy f x y dy +?? . 2 1 1 (,)(,)x dx f x y dy f x y dy +?? 6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。则22 1D dxdy x y ++?? =_ln 2πln 2π 三. 选择题 1.设1ln D I =??（x y +）d d x y ，2D I =??（x y +）2d d x y ，3D I =??（x y +）d d x y ，其中D 是由直线0x =，0y =，12 x y +=，1x y +=所围成的区域，则1I ，2I ，3I 的大小顺序为（ B ）. A 321I I I << B 123I I I << C 132I I I << D 312I I I <<

第九章二重积分习题课

第九章二重积分习题课高等数学课讲教案主讲人课题第九章重积分习题课目的任务使学生进一步理解本章的知识要点，熟练重积分的计算。重点难点本章知识要点的进一步理解，重积分计算的熟练掌握。教学方法讲授法使用教具提问作业备课时间年月日上课时间年月日查阅抽查一、本章内容小结 1. 二重积分的定义及其几何意义 1) 重积分的定义: 2) 说明: n * 二重积分是和式的极限值，故是一个数，这个数只与被积函数 f(,,,),,,iii,1i 及积分区域有关，与积分变量的字母无关，即有 f(x,y) f(x,y)d,,f(s,t)d,,,,,DD * 和式的极限若存在，则与区域D如何划分及点如何选无关，为此常选方便(,,,)ii计算的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割区域，则，此时二重d,,dxdy 积分 f(x,y)d,,f(x,y)dxdy,,,,DD

D * 若函数在有界闭区域上连续，则函数在上的二重积分总存在，称 f(x,y)f(x,y) D函数在上可积。 f(x,y) 3) 重积分的几何意义. 2. 二重积分的性质: 注意性质所适用的条件，中值定理的几何意义 3. 二重积分的计算法: 二重积分的计算法采用累次积分，即把二重积分化为二次积分，通过两次定积分的计算即求得二重积分值，分以下两种情况。 y,x,1) 在直角坐标系下:将区域划分为型或型计算. 2) 在极坐标系下:将区域按照与极点的位置来划分并计算. * 两种坐标系的适用范围、面积元素、表达式及变量替换对照表如下: 直角坐标极坐标积分区域矩形、三角形或任意形圆形、环形、扇形 dxdyrdrd,面积元素 x,rcos,y,rsin,变量替换 f(x,y)dxdyf(rcos,,rsin,)rdrd,积分表达式 ,,,,DD * 计算二重积分关键步骤是确定累次积分的上、下限，而上、下限的确定关键在于正确画出积分区域草图和正确运用不等式表示积分区域，把不等式小的一端列为积分下限，大的一端为积分上限。注意:先一次积分的上、下限一般是后面积分变量的函数，且最后一次积分的上、下限应是常数。 d,,rdrd,* 若在极坐标系中要注意，不能丢:正确写出积分区域的边界曲线在r 极坐标系下的方程;选正确公式。 4. 二重积分的应用:

二重积分习题答案

二重积分习题答案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

第八章二重积分习题答案练习题 1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d D x y 解：d D x y =200 d π θ?? =222 01()2r d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =222(1)84 x dx --=?

3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习题八一．判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.（√） 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? （×）二．填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 1 12 ，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤. 112 3.二重积分10 (,)y dy f x y dx ??交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y = 0.0 5.交换积分次序

二重积分习题答案

第八章二重积分习题答案练习题8.1 1.设D ： 0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算 d x y 1.D ??2D 解：σd y x D 341(--??= 22 1 21 1212(1[(1]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =2 22(1)84 x dx --=? 3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.

解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 2222 2 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 1.D ??2.1.2. 3.二重积分0 (,)dy f x y dx ?? 交换积分次序后为 (,)x dx f x y dy ?? . (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y = 0.0 5.交换积分次序 1 d (,)y f x y dx ? = 2 1 1 (,)(,)x dx f x y dy f x y dy +?? .

2 1 1 (,)(,)x dx f x y dy f x y dy +?? 6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。则22 1D dxdy x y ++?? =_ln 2πln2π 三. 选择题 1. 20x =，）. 2.3. ）. 4.设D 是由22x y a +≤所确定的区域，当a =（ B ）时D π= A 1 B C . D 四计算二重积分

高等数学(同济五版)第九章重积分理解练习知识题册

第九章重积分第一节作业一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2；（B ）I 1〈I 2；（C ）I 1=I 2；（D ）I 1=4I 2。答：（）三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ

第二节作业一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则

?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ? ? ? ? ?????? +----=1 10 221 102 2 101 02210 102210 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设答：（） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 22222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设答：（）三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的由直线其中求

二重积分的计算方法

第二节二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定；假定积分区域可用不等式表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. f x y d D (,)σ?? f x y (,)≥0D a x b x y x ≤≤≤≤??12()()?1()x ?2()x [,]a b f x y d D (,)σ?? D z f x y =(,)

在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对 , 后对的二次积分也常记作 [,]a b x 0yoz x x =0[(),()]??1020x x z f x y =(,)0A x f x y dy x x ()(,)()() 0010 20= ??? [,]a b x yoz A x f x y dy x x ()(,)()()= ???1 2V A x a dx f x y dy dx b x x a b ==????? ? ?????()(,)()() ?? 12dx dy y x f d y x f b a x x D ??????? ? ??????=)(2)(1),(),(??σx ),(y x f y ),(y x f )(1x ?)(2x ?x x a b y x

第09篇二重积分(习题)

第九章二重积分习题9-1 1、设??+= 1 322 1)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ; 又??+= 2 322 2)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D , 试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明: (1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即 ),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=??D d y x f σ; (2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即 ),(),(y x f y x f =-时,有 ????=1),(2),(D D d y x f d y x f σ σ,其中1D 为D 在 0≥x 的部分. 并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2 2 2 R y x y x D ≤+=. (I)??D d xy σ4 ; (II)??--D d y x R y σ2 2 2 ; (III)??++D d y x x y σ2 231cos . 解：令??= D d y x f I σ),(,??=1 ),(1 D d y x f I σ,其中1 D 为D 在0≥x 的部分, (1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0

第八章二重积分习题答案

第八章二重积分习题答案练习题 1.设D ：0y ≤0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d D x y 解：d D x y =20 r d π θ?? =222 01()2d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =2 22 (1)84x dx --=? 3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28 (2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 22 22220 (4)(4)48D V x y d d r rdr d π π σθθπ=--=-==????? 习题八

高等数学习题详解-第8章-二重积分

习题8-1 1. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)D m x y d μσ=??. 2. 试比较下列二重积分的大小： (1) 2()D x y d σ+??与3()D x y d σ+??，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成； (2) ln()D x y d σ+??与2 ln()D x y d σ+??????，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域. 解：(1)在D 内，()()23 01x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()D D x y d x y d σσ+≥+????. (2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]D D x y d x y d σσ+≥+???? 习题8-2 1. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1) ()D x y d σ+??，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤； (2) (32)D x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域； (3) 2 2()D x y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域； (4) 2D x y d σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2 +y 2 ≤4,x ≥0； (5) ln D x y d σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ； (6) 22D x d σy ??其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 1 1 1 1 1 1 ()()20.D x y d dx x y dy xdx σ---+=+==????? (2) 2 22 200 (32)(32)[3(2)(2)]x D x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-???? ? 2232022 20[224]4.33 0x x dx x x x =-++=-++=? (3) 32 2 2 2 2 2 2 002193()()( )248y y D y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-????? 43219113.9686 0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.D x yd σ=?? (5) 4420104 1ln ln (ln ln )2(1)2110e D e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-?????. (6) 1222241113 11 122222 119()()124642 x x D x x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=?? ????.

二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中积分限的确定摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1

第八章多元函数积分学.

第八章多元函数积分学基本课题：8. 1 二重积分的概念与性质目的要求：理解二重积分的概念与性质重点：二重积分的性质难点：8. 1 二重积分的概念教学方法：讲授与讨论结合教学手段：电子课件、黑板教参：《高等数学》(人大理工类本科教材) 教学环节及组织：复习并引入新课一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域： ?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n . 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为： f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和：i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1. 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.

定义设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 ?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n . 其中?σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的面积. 在每个?σ i 上任取一点(ξ i , ηi ), 作和 i i i n i f σηξ?=∑),(1 . 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作σd y x f D ??),(, 即 i i i n i D f d y x f σηξσλ?==→∑??),(lim ),(1 0. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素: 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域?σi 的边长为?x i 和?y i , 则?σi =?x i ?y i , 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d σ 记作dxdy , 而把二重积分记作 dxdy y x f D ??),( 其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素. 二重积分的存在性: 当f (x , y )在闭区域D 上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f (x , y )在D 上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f (x , y )在闭区域D 上连续, 所以f (x , y )在D 上的二重积分都是存在的. 二重积分的几何意义: 如果f (x , y )≥0, 被积函数f (x , y )可解释为曲顶柱体的在点(x , y )处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f (x , y )是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.

归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法摘要：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算前言二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有

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第八章多元函数积分法（复习）一、二重积分（一）二重积分的概念 ( ,)D f x y d σ??0 1 l i m (,)n i i i i f λξησ→==? ∑ 二重积分和定积分一样，都来自非均匀分布量求和的需要，它们的差异在于：定积分研究的是非均匀分布在区间上的量，而二重积分是研究非均匀分布在平面区域上的量.从解决问题的方法来看，二重积分和定积分是一样的，概括地讲，就是：分割、近似、求和、取极限.即首先对区域进行分割，在每个微小的区域上把非均匀看作均匀求得近似值，然后累加起来得到总量的近似值，再通过取极限使这个近似值转化为精确值.这就是重积分（定积分）定义的原始模型，也是解决有关重积分（定积分）实际问题的方法和步骤. 当0),(≥y x f 时,??D dxdy y x f ),(的几何意义为以曲面(,)z f x y =（即被积函数）为顶、区域D 为底、母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积. （二）二重积分的性质１．运算性质： ????=D D d y x f k d y x kf σσ),(),( ??????±=±D D D d y x f d y x f d y x f y x f σσσ),(),()],(),([212 1 ２．对积分区域的可加性 ??????+=1 2 ),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ ( 21 D D D +=) 3．积分中值定理 ()(),,D f x y d f σξησ=??, D ∈),(ηξ （三）二重积分的计算１、直角坐标系中的计算法（１）当积分区域D 为X 型区域:)()(,21x y y x y b x a ≤≤≤≤(图8.2)时,有 21()() (,)(,)b y x a y x D f x y dxdy dx f x y dy =??? ? （先y 后x ）（２）若积分区域D 为Y 型区域:)()(,21y x x y x d y c ≤≤≤≤(图8.4),有公式 21()() (,)(,)d x y c x y D f x y dxdy dy f x y dx =??? ? （先x 后y ）以上两种区域称为简单区域,其边界与平行于y 轴(x 轴)的直线最多交于两点或者平行于坐标轴（这样在对某一变量积分时，可使每一部分边界曲线方程以这一变量作为因变量表出时，都是单值函数）。而对于由光滑曲线围成的一般区域总可分割成这两种区域的并。 D ?σi Z=f (x,y ) y z (ξi ,ηi ) 图8.1 o x

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