8.2 二重积分的计算方法(利用极坐标计算)

解 (1)先去掉绝对值符号 如图 先去掉绝对值符号,如图 先去掉绝对值符号
y
y =x2
∫∫ D
D 1 1
先对y积分简单 先对 积分简单 y x2 dσ
1
2
1
D D2 D1 D2
O
1 1
+ ∫∫ ( x2 y)dσ = ∫∫ ( y x )dσ
D2
1 2
1 x2
x
= ∫ dx ∫ 2 ( y x )dy + ∫ dx ∫
∫0 dx ∫0
a
a
a
x
f ( y )dy = ∫ dy ∫ f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
= ∫ f ( y ) x dy = ∫ (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
= ∫ (a x ) f ( x )dx
0
证毕. 证毕
计算二重积分
D = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}. 解 设D1 = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x},
r = (θ) θ
(1,1)
1
1
y= x
x
y
∫0
1
dx ∫ sin y 2dy
x
1
(1,1)
= ∫0 dy∫0 sin y dx
2
1
y
y= x
= ∫ (sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y
o
= ∫ y sin y 2dy
0
0 1

四面体的体积.
解 由二重积分的几何意义，所求立体
z6
2x 3y z 6
的体积为 V (6 2x 3 y)d
3
2(1 x )
D
dx 3 (6 2x 3 y)dy
0
0

2
A oB
y
x3
6 1 ×底面积×高
y
3
B
D
:
0 0

x y

3 2(1
及2x 3 y z 6截得的立体的体积.
z
解 V 6 2x 3 ydxdy
Dxy

1
0
dy
1
0

6

2
x

3
y

dx

1 0
6
x

x
2

3
xy

1
dy
0
o
1y

1
0

6

1

3
y

dy
x1

5
y

3 2
y2
1
0

7 2
.
19
例8 计算由平面 2x 3 y z 6 和三个坐标面所围成的
4
三、 无界区域上的反常二重积分
引例 设D为整个xoy平面，计算 e d x2 y2 D
解 设DR为中心在原点,半径为R的圆域,
显然,当R→+∞时,有DR→D,因此有
e d x2 y2 lim
e d x2 y2
D
R DR

⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤
π
y=x
4
, 0 ≤ r ≤ f (θ ) }
D
1
4
D 由直线 y = x , y = 4 , 及 x = 0 围成的平面区域。 D = D x = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 4 }
1 x = 1 ⇒ r cos θ = 1 ⇒ r = ≡ f (θ ) cos θ 1 π ⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ } 4 cos θ
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（ 下的定积分计算不便或根本无法计算）。 下的定积分计算不便或根本无法计算）。
计算二重积分
D = { (r,θ )
( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 }
−
π
-0.5
-1
2 2 (x − 2)2 + y2 = 4 ⇒ (r cosθ − 2)2 + r 2 sin2 θ = 4 2 ⇒ r − 4r cosθ = 0 ⇒ r = 4 cosθ ≡ f (θ ) π π ∴ D = { (r , θ ) − ≤ θ ≤ ，0 ≤ r ≤ 4 cosθ }
2. 二重积分在极坐标系下的形式
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ ) ⋅ r ⋅ drdθ
D D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程 ：r = g (θ ) , 其中 g 为已知函数。 直角坐标曲线方程转换 为极坐标曲线方程：

（3）由积分表达式写出相应的二次积分

2015年4月29日星期三
d
c
dy
2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y)dx
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15
例5 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2

x2 e 0
dx

2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例7的结果, 得

故①式成立 .
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被圆柱面 x 2 y 2 2 a x 例8 求球体 所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0 由对称性可知
a
对于曲边梯形 1 ( x0 ) y 2 ( x0 )
0 z f ( x0 , y) 其面积为
S
2 ( x0 )
1 ( x0 )
f ( x0 , y)dy
2
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2015年4月29日星期三
一、利用直角坐标计算二重积分
为便于分析，设曲顶柱体的顶 z f ( x, y) 0 （1）若曲顶柱体的底为 z 1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) y a xb 区域称为X-型区域。特点： 穿 D 过D内部并且平行于y轴的直线与D o a bx 的边界最多有两个交点. 由二重积分的几何意义，二重积分的值 等于该曲顶柱体的体积.因此我们可以用这个关系考 虑二重积分的计算.
原式
D