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第五次课一．（上册）回顾一元定积分的定义，牛顿-莱布尼兹公式（很重要，要掌握）二．二重积分的定义 几何意义（了解）, 课本65页三．二重积分的性质（课本68页）四．二重积分的计算（重点） 课本70页（注：最主要的是确定积分的上限限）1. 直角坐标系下计算二重积分（X 型， Y 型，如何选择）2. 极坐标系下计算二重积分一．选择题1．设D 是以(0,0),(1,0),(1,2),(0,1)O A B C 为顶点的梯形所围成的有界闭区域，(,)f x y 是域D 上的连续函数，则二重积分(,)Df x y dxdy =⎰⎰ （ B ）（A ）1101(,)xdx f x y dy +⎰⎰（B ）110(,)xdx f x y dy +⎰⎰（C ）11211(,)(,)y dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰（D ）112111(,)(,)y dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰2．二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 的另一种积分次序是 （ A ）（A ）⎰⎰402),(ydx y x f dy （B ）⎰⎰40),(ydx y x f dy （C ）⎰⎰4022),(x dx y x f dy （D ）⎰⎰402),(ydx y x f dy3．设f 是连续函数，而D ：122≤+y x 且0>y ，则dxdy y x f D)(22⎰⎰+= （ A ）（A ）⎰1)(dr r rf π （B ）⎰1)(dr r f π （C ）2⎰1)(dr r rf π （D ）2⎰1)(dr r f π二．填空题1．若积分区域D 是2214x y ≤+≤，则=3D dxdy π⎰⎰2．改换积分的次序⎰⎰⎰⎰-+102120),(),(xxdy y x f dx dy y x f dx =三．计算题1．设区域D 由22,y x y x ==所围成，求2()Dx y d +σ⎰⎰解：原式＝241122200)[)]22x x x dx x y dy x x dx +=+-⎰⎰＝54142033()22140x x x x dx -+-=⎰2．设D 是由直线2x =，y x =及1xy =所围成的平面区域，求22Dx dxdy y⎰⎰解：原式＝222312119()4xxx dx dy x x dx y=-+=⎰⎰⎰ 解：原式＝111200111(1)()266xdx x y dy x x dx ---=-+=⎰⎰⎰3.计算（课本81页 例题13）4. （课本81页 例题12）.:222a y x D ≤+120(,)yydy f x y dx -⎰⎰,d d 22⎰⎰--Dy x y x e。
第八章 多元函数积分学一、二重积分的概念与性质1．定义设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k nk k kd f σηξ∆∑=→1,lim存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而k nk d d ≤≤=1max ） 则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二重积分 记以()⎰⎰Dd y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。
如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。
2．几何意义当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。
当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()[]σd y x f y x f D⎰⎰-,,123．基本性质 （1）()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）（2）()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12,,,D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ 其中21UDD D =，除公共边界外，1D 与2D 不重叠。
（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则()()⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ,,（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤DMS d y x f mS σ, 其中S 为区域D 的面积。
习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i iξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I xy σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I xy σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zO x 面均对称，故yOz 面和zO x 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积； (2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D = ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nni i i i i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .n ni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。
第八章习题解答练习3． 解：(1)在D 内显然有1x y +≥,所以在D 内有23()()x y x y +≤+ 故23()()DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰. (2)由已知可得BC 的直线方程为2,x y +=从而D 内有12, 0ln()1x y x y ≤+≤≤+< 所以2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.4．解: (1)114(,)x y x y D ≤++≤∈由于所以(1)4DDDd x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1)4(2D D D DS x y d S S D σ≤++≤=⎰⎰为面积）21)8Dx y d σ≤++≤⎰⎰（.(2) 因为229913(,)x y x y D ≤++≤∈所以229(9)134D D D DS xy d S S σπ≤++≤=⎰⎰2236(9)52Dx y d πσπ≤++≤⎰⎰.5. 因为(,)x y D ∈有1x y +≤，所以2()1x y +≤22121x y xy +≤-≤即所以22()0In x y +≤于是22()0DIn xy d σ+≤⎰⎰ 故I 取负号.练习1. 对.因为根据定理1有 所以等式成立.2. (1)由已知的二次积分得积分区域2:12,1D x y x ≤≤≤≤ 推出D 由2,1,2y x y x ===围成；yxx y +=1y =xx写成y型区域:142D y x ≤≤≤≤故2211(,)x dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰241),(ydx y x f dy .（2）由已知得积分区域D 为：y x y y ≤≤≤≤，10推出D 由2,y x y x ==围成； 写成x 型区域2:01,D x x y x ≤≤≤≤故1(,)ydy f x y dx =⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=21(,)xxdx f x y dy ⎰⎰.（3）由已知得积分区域D 为：y x yy ≤≤≤≤121，推出D 由1,,2y y x y x===围成； 将D 写成x 型区域1D :111,22x y x≤≤≤≤ 2D ：12,2x x y ≤≤≤≤故211(,)y ydy f x y dx ⎰⎰=12112(,)xdx f x y dy ⎰⎰+221(,)xdx f x y dy ⎰⎰.（4）由已知得积分区域D 由1D 和2D 构成1D : 01,0x y x ≤≤≤≤ 2D : 12,02x y x ≤≤≤≤-推出D 由,0,2y x y x y ==+=围成; 写成y 型区域:012D y y x y ≤≤≤≤-，故 12201(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-yydx y x f dy 210),(.3. (1)113233230(3)(3)Dx x y y d dx x x y y dy σ++=++⎰⎰⎰⎰x2x1xx=2y =2xx431011()1424x x x =++=.(2)3322112222(1)(1)Dyy d dx dy xy x y σ=++++⎰⎰⎰⎰=32112220011[]2(1)dy dx x y ++⎰⎰=110-⎰⎰（利用第六章公式）2)ln(1=-.(3)由已知推出D 由,0,y x y x π===围成；=[sin()]xx x y dx π+⎰322πππ=--=-. (4)D 为：2,,22y pp y p x p -≤≤≤≤ =222222py ppp x y dy -⎰=2422()88pp p y y dy p --⎰ 237502122838721p p p y y p p =⋅⋅-⋅⋅=. 4.(1) 因为222:D x y a +≤极坐标系下:020D r a θπ≤≤≤≤，所以20(,)(cos ,sin )aDf x y dxdy d f r r rdr πθθθ=⎰⎰⎰⎰(2)因为22:2D x y x +≤，即22(1)1x y -+≤ 将cos ,sin x r y r θθ==代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)xxyx 2p y -22y px=极坐标系下:02cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤，所以2cos 202(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.5. (1)已知:0,0D x R y ≤≤≤≤为推出D 由222,0,0x y R y x +===围成； 极坐标系下:002D r R πθ≤≤≤≤，22()Rd f r rdr πθ=⎰⎰.(2)已知D为：02,0y R x ≤≤≤≤推出D 由222x y Ry +=即222(),0x y R R x +-==围成； 将cos ,sin x r y r θθ==代入222x y Ry +=得222sin (2r R x y Ry θ=+=的极坐标方程)极坐标系下:002sin 2D r R πθθ≤≤≤≤，20(,)Rdy f x y dx ⎰2sin 200(cos ,sin )R d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰.6. (1)22:4D x y +≤极坐标系下:0202D r θπ≤≤≤≤，2208816sin cos 1633πππθθπ=-+=.(2)22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 极坐标系下:0012D r πθ≤≤≤≤，()(1)(2)42428ππππππ==-=-. (3) 222:2,0,0D x y x y +≤≥≥极坐标系下:0022D r πθ≤≤≤≤，5511(ln )4t t dt π=-⎰(5ln 54)4π=-.(4) 2222:4,0,0D x y x y ππ≤+≤≥≥x极坐标系下:022D r πθππ≤≤≤≤，2222(cos )(cos cos 4)44r ππππππ=-=-.练习8.31. (1) 22x y x y +≤+由，得22211()()22x y -+-≤ 令11,,22u x v y =-=-作变换11,,22x u y v =+=+ 101001J ==≠ 在变换下D 变成221:2D u v '+≤原积分20cos sin 1)d r r rdr πθθθ=++⎰220(sin cos )1242ππθπθθ=-+=.（2）令,,x yu v a b== 作变换,,x au y bv == 000a J ab b==≠ 在变换下D 变成22:1D u v '+≤原积分212222220(cos sin )d a r b r abrdr πθθθ=+⎰⎰22()4ab a b π=+. 2. 令 ,,y u x y v x =+= 作变换,,11u uvx y v v==++ 在变换下D 变成:D m u n a v b '≤≤≤≤2221()()()()212(1)(1)n b ma ub a n m v a b --=⋅-=+++. 习题81. 填空题 （1）312I I I <<因为01y <<,所以122y y y <<；而30x <，于是133232y x yx y x <<，故312I I I <<.(2)()(1)()x x f x ϕ=- 所以()(1)()x x f x ϕ=-. (3)1k =31(0)k k =>，所以 1k =.(4)()x ϕ=因为0,y a x ≤≤≤≤推出D 为222x y a +=的上半圆；换积分次序有:,0D a x a y -≤≤≤≤所以()x ϕ=(5)11101()()xx dx x y dy dx x y dy ---++⎰⎰⎰⎰由12D D D =有11101()()()xx Dx y dxdy dx x y dy dx x y dy --+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(6)12((),())y y ϕϕ= 因为322311320(,)(,)([0,1])x x xxdx f x y dy dx f x y dy x x x =-∈≤⎰⎰⎰⎰由已知推出D 由32,y x y x ==围成；换积分次序有:01,D y x ≤≤≤所以原二次积分21111()()(,)(,)(,)y y dyf x y dx dy f x y dx dy f x y dx ϕϕ=-==⎰⎰⎰⎰故12((),())y y ϕϕ=.(7)a =因为:020D r a θπ≤≤≤≤，a33231,32a a ==，所以a =. (8)2()2()F t tf t π'=由积分区域222x y t +≤和被积函数22()f x y +的形式知用极坐标计算2()2()F t tf t π'=.2. 选择题 (1) C由已知有1410102002D S =⋅⋅⋅=, 据二重积分中值定理有22200(,)100cos cos D I f S ξηξη=⋅=++(,)D ξη∈又220coscos 2ξη<+<,得200200102100I << 即1.962I <<，故选C . (2) C因为2D 与1D 在第一象限重合，1D 关于x 轴、y 轴都对称，关于y 、x 都是偶函数，所以124I I =，故选C .(3) C因为:01,0D x y ≤≤≤≤1Dxydxdy dx =⎰⎰⎰, 故选C .(4) C已知:00cos 2D r πθθ≤≤≤≤ 由cos r θ=有2cos r r θ=得22x y x +=即22211()()22x y -+=，推出D 为22211()()22x y -+=的上半圆；所以:010D x y ≤≤≤≤于是cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰1(,)dx f x y dy ⎰， 故选C .(5) B正确的是(,)(,)b d d baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰, 故选B .(6) D已知:0101D x y x ≤≤≤≤-,推出D 由1,0,0x y y x +===围成；换积分次序有:0101D y x y ≤≤≤≤-所以1100(,)xdx f x y dy -=⎰⎰110(,)y dy f x y dx -⎰⎰, 故选D .(7) C由1r =有21r =得221x y +=12DD S d d σσ==⎰⎰⎰⎰,1D 是D 在x 轴上方部分22221x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩交点：11)22- 故有1sin ,26πθθ== 于是S=1/6122D d d rdr πθσθ=⎰⎰⎰, 故选C .(8) A .B .C11212A I S ∆==⋅⋅=,(21)(43)1B I S ==-⋅-=矩, 211[()]122C I S ==--=矩,1441122D I S ∆==⋅⋅⋅=, 故选A .B .C .(9) A .B .C 因为(,)Df x y dxdy =⎰⎰常数，所以(,)0Ddf x y dxdy =⎰⎰，(,)0Df x y dxdy x ∂=∂⎰⎰ (,)0Df x y dxdy y ∂=∂⎰⎰， 故选A .B .C . (10) C .D12121212(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(0)F F F F F F F F =⋅-⋅-⋅+⋅, 故选C .D .(11) C 已知:010D x y x ≤≤≤≤,推出D 由,0,1y x y x ===围成；换积分次序:011D y y x ≤≤≤≤1(,)x dx f x y dy ⎰⎰=110(,)ydy f x y dx ⎰⎰, 故选C .(12) B 因为22213D Ddxdy S πππ==⋅-⋅=⎰⎰， 故选B . (13) B由已知显然有12D D S S =,但被积函数只是记号(,)f x y 不是具体解析式,而12D D D =,所以(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰,故选B .(14) A 设1234D D D D D = (如图)12:D D 图形关于y 轴对称，被积函数中cos sin x y 关于xxy 关于x 是奇函数；34:D D 图形关于x 轴对称，被积函数关于y 是奇函数；1234(cos sin )(cos sin )(cos sin )DD D D D xy x y dxdy xy x y dxdy xy x y dxdy+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112cos sin 002cos sin D D x ydxdy x ydxdy =++=⎰⎰⎰⎰, 故选A .(15) C 因为200()()[()]()[()]2x dx xf y dy xdx f y dy f y dy ππππππ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰2()12f y dy ππ==⎰,所以22()()f y dy f x dx πππ==⎰⎰, 故选C .(16) A1100()()()f r rdr rf r dr πθπ=⋅=⎰⎰, 故选A . (17) D 由已知22222(1)1y x y x x y =+=-+=有得推出D 由222x y x +=即22(1)1,x y y x -+==围成； 将cos ,sin x r y r θθ==代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:02cos 42D r ππθθ≤≤≤≤(,)Df x y dxdy =⎰⎰/22cos /4(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰, 故选D .(18) C由已知的:001D r θπ≤≤≤≤推出D 为单位圆221x y +=的上半圆部分，所以直角坐标系下:110D x y -≤≤≤≤11(,)I dx f x y dy -=⎰, 故选C .(19) C 由已知的D 可知112x y ≤+≤,1ln 2ln ln()ln102x y -=≤+≤= 3()0ln x y +≤非正,3()0x y +>,3sin ()0x y +>而sin()x y x y +<+,于是333()sin ()()ln x y x y x y +<+<+所以132I I I <<, 故选C . (20) A由已知有:010D x y x ≤≤≤≤11002sin 2cos 22cos1xdx x ==-=-⎰, 故选A . 3. (1)由22(,)49f x y x y =++，22:4D x y +≤显然有(0,0)9m f ==最大值在边界2222x y +=上取得，即求22(,)49f x y x y =++满足2222x y +=的最值，将224y x =-代入有222()4(4)9325f x x x x =+-+=-+()60f x x '=-=令得唯一驻点 0x =，()6f x ''=-，(0)60f ''=-< 0x =是极大值点也就是最大值点，(0)25M f ==于是2294925(,)x y x y D ≤++≤∈ 所以229(49)25D D D S x y d S σ≤++≤⎰⎰,4D S π= 即2236(49)100Dxy d πσπ≤++≤⎰⎰故36100I ππ≤≤.(2) 因为2211(,)x y x y D e ≤+≤∈ 所以2211ln ln()ln10x y e-=≤+≤=221(1)()0DIn x y d e πσ--≤+≤⎰⎰所以1(1)0I e π-≤≤.(3) 由:0,0D x y ππ≤≤≤≤ 有22220sin sin sinsin 122x y ππ≤≤=于是2220sinsin D Dx yd S σπ≤≤=⎰⎰所以20I π≤≤.4．(1) 由:11,11D x y -≤≤-≤≤ 有1111(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ--=⎰⎰⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）1111(,)dy f x y dx --=⎰⎰.（先对x 积分，后对y 积分）(2) 将D 表示成x 型：1,10≤≤≤≤y x x(,)Df x y d σ⎰⎰11(,)xdx f x y dy =⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：y x y ≤≤≤≤0,10(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)ydy f x y dx =⎰⎰. （先对x 积分，后对y 积分）(3) 将D 表示成x 型：1,0x e y Inx ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)e Inxdx f x y dy =⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：01,y y e x e ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)yee dyf x y dx =⎰⎰（先对x 积分，后对y 积分）5.(1)积分区域为：x y x x -≤≤≤≤1,210 换成y 型：y x y D ≤≤≤≤0,210:11120(,)xxdx f x y dy -⎰⎰120(,)ydy f x y dx =⎰⎰+11102(,)ydy f x y dx -⎰⎰.(2) 第一项积分的积分区域1:01,0D x y ≤≤≤≤第二项积分的积分区域x y x D -≤≤≤≤20,21:222222(1)1y x y x x y =+=-+=由有即，22y x x =-=-+将两区域合并成区域D 并表示成y 型：1221(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰1201(,)ydy f x y dx -=⎰⎰.(3) 第一项积分的积分区域为211:0202D x y x ≤≤≤≤，,第二项积分的积分区域为2:20D x y ≤≤≤≤228y x y =+=由得，212y x =将两区域合并成区域D 并表示成y 型：21222(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰⎰2(,)dy f x y dx =⎰.(4) 积分区域:01,D x y ≤≤≤≤222211()24y x y x x y =+=-+=由得即，y =将D 表示成y 型域要分成三个区域123D D D 、、：1(,)dx f x y dy⎰221111112221122(,)(,)(,)yy dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.6.（1）:015D x x y x ≤≤≤≤ (x 型)3763767613102=⋅==⎰x dx x . (2)将D 表示成x 型分为：111111()()22e e e e e e e e=----+=-. (3) :022yD y x y ≤≤≤≤(y 型)432019113()24486y y =-=. (4):01,0D y x y ≤≤≤≤(y 型)110111()663t e e e--=-+=-. (5)2:01,D x x y x ≤≤≤≤(x 型)10sin1(sin1cos )1cos1x =-+=-.7. (1) :02,12D r θπ≤≤≤≤(2)由22221112210x y x y x y -+-=+--+=（）（）得 将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++=或由22221112210x y x y x y -+-≤+--+≤（）（）得 将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++≤2[(cos sin )]sin 2r θθθ-+≤，(cos sin )r θθ-+≤故极坐标系下:0,2D πθ≤≤cos sin cos sin r θθθθ+≤≤+8．(1) 由已知的:02D x x y ≤≤≤推出D 由,,2y x y x ===围成，tan 14y x x x πθθ====，tan 3y x πθθ==== 2cos 22sec (2x r r x θθ====由，有，得的极坐标方程)所以极坐标系下:02sec 43D r ππθθ≤≤≤≤故22sec 304()xdx f dy d f r rdr πθπθ=⎰⎰⎰.(2) 由已知的2:010D x y x ≤≤≤≤推出D 由2,0,1y x y x ===围成， 将cos ,sin x r y r θθ==代入2,1y x x ==得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)sec (1r x θ==的极坐标方程)所以极坐标系下1:00sec 4D r πθθ≤≤≤≤故21sec sec tan 440(,)(cos ,sin )(cos ,sin )x dx f x y dy d f r r rdr d f r r rdrππθθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰sec sec tan 4000[(cos ,sin )(cos ,sin )]f r r rdr f r r rdr d πθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰故21sec 40sec tan (,)(cos ,sin )x dx f x y dy d f r r rdr πθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰.9. (1)22:D x y x +≤,由2222211()()22x y x x y +≤-+≤有将cos ,sin x r y r θθ==代入22x y x +=得22cos (r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤2304sin 8(sin )5315πθθ=-=. (2) 将cos ,sin x r y r θθ==代入2y x =得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)所以极坐标系下:00sec tan 4D r πθθθ≤≤≤≤4sec tan d πθθθ=⎰4sec 1πθ==.10. (1)1:12,D x y x x≤≤≤≤(x 型) 2211()x x dx x =-+⎰=42232119()()424x x x x dx -=-=⎰. (2) :3,D a y a y a x y ≤≤-≤≤(y 型)2y x =y22()Dxy d σ+⎰⎰=322()a y ay ady x y dx -+⎰⎰443333411()1434343a aa aa ay y a y aa -=-+=.(3) 由22222()()22R R x y Rx x y +≤-+≤有 将cos ,sin x r y r θθ==代入22x y Rx +=得22cos (r R x y Rx θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r R ππθθ-≤≤≤≤23302133R d R πθπ==⎰.11.由224(2)4x y yx y =-=--+有2:14,44D y y x y y ≤≤-≤≤-(y 型)23424119(54)(54)232y y y y dy y =--=--=⎰.12．由已知的:01,1D y y x ≤≤≤≤推出D 由,0,1y x y x ===围成， 将D 表示成x 型：01,0x y x ≤≤≤≤221210111(1)222x x e dx e e ===-⎰. 13 .因为 22()DV x y dxdy =+⎰⎰ 而:01,01D x y x ≤≤≤≤- 所以 11220()x V dx x y dy -=+⎰⎰123011(6431)36x x x dx =--+=⎰. *14 .这题是求定积分，但积分难以进行. 注意到ln ln yb a byb aax x x x dy xx-==⎰，因此I 可化为二次积分.交换二次积分次序：11ln 1ln(1)ln(1)ln11bb aab dy y b a y a +==+=+-+=++⎰. *15 .将(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰两边同时二重积分而312100133D x S x dx ===⎰ 所以11(,)18D DDf x y dxdy xydxdy S ==-⎰⎰⎰⎰ 1(,)8Df u v dudv =⎰⎰即，所以1(,)8f x y xy =+.*16 .12D D D ={}21(,)(,),D x y x y D y x =∈≤，{}22(,)(,),D x y x y D y x =∈≥表示成不等式：21:11,0D x y x -≤≤≤≤53102462(2)5315x x x =-+=. *17 .12D D D ={}1(,)(,),D x y x y D x y π=∈+≥,{}2(,)(,),D x y x y D x y π=∈+≤表示成不等式：1:0,D x x y πππ≤≤-≤≤[cos()cos ](cos cos )2x dx x dx ππππππ=+---=⎰⎰.*18 .因为yx yedx +⎰,y x yedy +⎰都积不出来，所以在直角坐标系下积分无法计算；但注意到11()y x x yyxeef y++==，故用极坐标系来计算.将cos ,sin x r y θθ==代入1x y +=得1(1cos sin r x y θθ=+=+的极坐标方程)所以极坐标系下1:0,02cos sin D r πθθθ≤≤≤≤+sin cos sin 211(1)22e e θπθθ+==-. *19 . 由已知的12D D D =1:12,D x y x ≤≤≤≤，2:24,2D x y ≤≤≤≤推出D由,2y x y y ===围成，将D 表示成y 型：212,y y x y ≤≤≤≤224242(1)(1)ππππ=---=+.*20 .D 用直线y x =分割有12D D D ={}1(,)(,),0D x y x y D x y =∈-≤,{}2(,)(,),0D x y x y D x y =∈-≥表示成不等式：15:,0144D r ππθ≤≤≤≤11[cos()sin()sin()cos()]344344ππππππππ=-+++++-+-=*21 .由22222(1)1x x y y x y =+=+-=有即 显然y型域易算:02,2D y x ≤≤-≤≤而2⎰2=⎰令1sin ,sin 1,cos y t y t dy tdt -==+= 所以Dydxdy ⎰⎰42π=-.*22 . 由22221131()()222x y x y x y +=++-+-=得 令12x u -=，12y v -=有2232u v +=12x u =+，12y v =+，则 dx du dy dv ==()Dx y dxdy +⎰⎰11()22D u v dudv '=+++⎰⎰(1)D u v dudv '=++⎰⎰D '为2232u v +≤极坐标系下:02,0D r θπ'≤≤≤≤所以()Dx y dxdy +⎰⎰20cos sin 1)d r r rdr πθθθ=++⎰注意到,0cos 20=⎰θθπd .0sin 20=⎰θθπd故原积分2033.42d πθπ==⎰*23 .因为()f u 连续，所以必有()F u 存在且()()F u f u '=，由已知有3:11,1D x x y -≤≤≤≤ 因为226(1)()F x F x x +-+为x 的偶函数， 所以226[(1)()]x F x F x x +-+为x 的奇函数. 故2222[1()]055DI x yf x y dxdy =++=-+=-⎰⎰. *24 .12D D D ={}1(,)(,),D x y x y D y x =∈≥,{}2(,)(,),D x y x y D x y =∈≥表示成不等式：1:0,0D y x y π≤≤≤≤ (y 型)2:0,0D x y x π≤≤≤≤ (x 型)*25.由二重积分中值定理得而222:D x y r +≤，所以2D S r π= 故21lim (,)r Df x y dxdy r π+→⎰⎰221lim (,)r r f rπξηπ+→=⋅⋅ 因为0r +→时区域D 趋于一点，所以(,)(0,0)ξη→又已知(,)f x y 在D 上连续，且(0,0)0f = 所以21lim (,)r Df x y dxdy r π+→⎰⎰(,)(0,0)lim(,)(0,0)0f f ξηξη→===.*26 .因为2()202x tt u x dt edu --⎰⎰2()22x x t u tdt e du --=-⎰⎰交换二次积分次序：:0,02xD u t u ≤≤≤≤ 所以2222++()2()20244lim lim 11xtxt u ut u x x x x x dt e dudu e dtee----→→---=--⎰⎰⎰⎰而+0x →时，2241~4x x e---+0x →时，220()()20()0x uut u t u du edt e dt du ----→=⎰⎰⎰⎰故原式2+()20200lim ()0()4xut u x du e dtx --→-=--⎰⎰ 或对于2()22x x t edt --⎰：令2x v t =-，则 2xt v =+，dt dv =2()22x x t edt --⎰=202v xedv --⎰22x v e dv --=-⎰于是原式2+20lim ()0xv x e dv x--→=⎰2+401lim 2x x e -→=-12=-. *27 .因为()0f x >，所以对于任意λ都有将上式展开得 2[()2]0()Df x dxdy f x λλ++≥⎰⎰而2222()DDdxdy dxdy b a λλλ==-⎰⎰⎰⎰ 因此221[]2()()0()DDdxdy b a f x dxdy f x λλ+-+≥⎰⎰⎰⎰( 对λ恒成立) 不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故21()()()bb aadx f x dx b a f x ≥-⎰⎰.*28 .设:,D a x b a y b ≤≤≤≤显然对于任意λ都有 将上式展开得222[()][2()()]()0DDDg x dxdy f x g x dxdy f x dxdy λλ++≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (对λ恒成立)不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故222[()()]()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⋅⎰⎰⎰.*29.方法1）2[()][()][()]bb baaaf x dx f x dx f y dy =⋅⎰⎰⎰而221()()[()()]2f x f y f x f y ≤+ 所以2[()]baf x dx ⎰()()Df x f y dxdy =⎰⎰2()()bab a f x dx =-⎰.方法2）因为2[()()]0f x f y -≥，所以2[()()]0D f x f y dxdy -≥⎰⎰:,D a x b a y b ≤≤≤≤即故22[()]()()bbaaf x dx b a f x dx ≤-⎰⎰.方法3）设:,D a x b a y b ≤≤≤≤显然对于任意λ都有 将上式展开得22[()2()]0Df x f x dxdy λλ++≥⎰⎰ 即22()[2()]()0DDDdxdy f x dxdy f x dxdy λλ++≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (对λ恒成立) 不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故22[()]()()bbaaf x dx b a f x dx ≤-⎰⎰.注：还可利用 *28题结论：22222[()][()1]()1()()b b b b b a a a a a f x dx f x dx f x dx dx b a f x dx =⋅≤⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰.。
