微积分第八章二重积分习题解答

第五次课一．（上册）回顾一元定积分的定义，牛顿-莱布尼兹公式（很重要，要掌握）二．二重积分的定义 几何意义（了解）, 课本65页三．二重积分的性质（课本68页）四．二重积分的计算（重点） 课本70页（注：最主要的是确定积分的上限限）1. 直角坐标系下计算二重积分（X 型， Y 型，如何选择）2. 极坐标系下计算二重积分一．选择题1．设D 是以(0,0),(1,0),(1,2),(0,1)O A B C 为顶点的梯形所围成的有界闭区域，(,)f x y 是域D 上的连续函数，则二重积分(,)Df x y dxdy =⎰⎰ （ B ）（A ）1101(,)xdx f x y dy +⎰⎰（B ）110(,)xdx f x y dy +⎰⎰（C ）11211(,)(,)y dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰（D ）112111(,)(,)y dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰2．二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 的另一种积分次序是 （ A ）（A ）⎰⎰402),(ydx y x f dy （B ）⎰⎰40),(ydx y x f dy （C ）⎰⎰4022),(x dx y x f dy （D ）⎰⎰402),(ydx y x f dy3．设f 是连续函数，而D ：122≤+y x 且0>y ，则dxdy y x f D)(22⎰⎰+= （ A ）（A ）⎰1)(dr r rf π （B ）⎰1)(dr r f π （C ）2⎰1)(dr r rf π （D ）2⎰1)(dr r f π二．填空题1．若积分区域D 是2214x y ≤+≤，则=3D dxdy π⎰⎰2．改换积分的次序⎰⎰⎰⎰-+102120),(),(xxdy y x f dx dy y x f dx =三．计算题1．设区域D 由22,y x y x ==所围成，求2()Dx y d +σ⎰⎰解：原式＝241122200)[)]22x x x dx x y dy x x dx +=+-⎰⎰＝54142033()22140x x x x dx -+-=⎰2．设D 是由直线2x =，y x =及1xy =所围成的平面区域，求22Dx dxdy y⎰⎰解：原式＝222312119()4xxx dx dy x x dx y=-+=⎰⎰⎰ 解：原式＝111200111(1)()266xdx x y dy x x dx ---=-+=⎰⎰⎰3.计算（课本81页 例题13）4. （课本81页 例题12）.:222a y x D ≤+120(,)yydy f x y dx -⎰⎰,d d 22⎰⎰--Dy x y x e。

第八章 多元函数积分学一、二重积分的概念与性质1．定义设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k nk k kd f σηξ∆∑=→1,lim存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而k nk d d ≤≤=1max ） 则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二重积分 记以()⎰⎰Dd y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。

如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。

2．几何意义当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。

当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()[]σd y x f y x f D⎰⎰-,,123．基本性质 （1）()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）（2）()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12,,,D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ 其中21UDD D =，除公共边界外，1D 与2D 不重叠。

（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则()()⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ,,（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤DMS d y x f mS σ, 其中S 为区域D 的面积。

习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i iξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I xy σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I xy σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zO x 面均对称，故yOz 面和zO x 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积； (2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D = ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nni i i i i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .n ni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

二重积分习题答案精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第八章二重积分习题答案练习题8.11.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y =20d πθ⎰⎰=22201()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题8.21.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd yx D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 222222(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习 题 八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；(3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx y d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0； (5) ln Dx y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 2441004(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰； （2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)220)ady x y dx +⎰；(2)21;xxdx ⎰⎰解：(1)4422320)248aaa a dy x y dx d r dr πππθ+==⋅=⎰⎰⎰.(2) 2sin 31244cos 600001sin 3cos x x dx d r dr d πθπθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011c o s 111(c o s )[(c o s )(c o s )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰531cos cos 4()3530πθθ--=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：(1)22x y De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDyd σx⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；(4)Dσ其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解：(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2)23112222221ln(1)ln(1)[ln(1)]221Dr r xy d d r rdr r dr rππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)Dσ3cos 22222022cos 12()230R R d R r d ππθππθθθ--==--⎰⎰⎰ 3333221(s i n )33R R R d πππθθ-=--=⎰. 4. 求由曲面z =x 2+y 2与z =所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：212220()]().6DV x y d d r r rdr ππσθ=+=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.22201()2a aaax yx x aaa xe dx edy eedx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰所以2()211lim ().22a x y a a a De edxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰复习题8（A ）1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 244004(,)(,).yy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序：(1)d d 10(,)yy f x y x ⎰;(2)d d 20(,)a x x y y ⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．解：(1)211d (,)d d (,)d x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰.(2) 200d (,)d d (,)d aaa a x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分：(1) e d x y Dσ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2D xy x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x３围成；(4) d d 22()Dx y x y +⎰⎰，D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin Dy σy ⎰⎰，D 由22y x π=与y =x 围成； (6)d (4)Dx y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；解: (1) 1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2)5322224211121129d d ()()2253151xDx x xy x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.(3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰. (5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)322200(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3RDR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=.4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰．解：由第四节例2以及2y =e x -是偶函数，可知2e d x x +∞--∞=⎰.6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线ey x 1=．(1) 求由曲线y =ln x ，直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．解：(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e yyyy y ye e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.（B ）1. 交换积分次序：(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰； （2）0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰；(3) 224(,)x x f x y dy -⎰；(4) 110(,)dx f x y dy ⎰.解：(1) 3111(,)(,)x xydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.。

第八章习题解答1.利用积分性质求下列函数在给定区间上的二重积分。

()()(){}()()()()13241321431,,,,50,21,53,21432,21320,211,1321321=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅++=≤≤≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰S S S d y x f d y x f d y x f d y x f y x y x R y x y x y x y x f R R R Rσσσσ解：()()(){}()22144,2,32,4,2=⋅=⋅=≤≤≤≤==⎰⎰R RS d y x f x y x y x R y x f σ解：2. 估计下列不定积分()()(){}(){}()()624624624,32,10,32,10,,21≤++≤⇒⋅≤++≤⋅∴≤++≤≤≤≤≤=≤≤≤≤=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσσd y x S d y x S y x y x y x R y x y x R d y x I RR RR R中在解：()()(){}(){}()()()202020,10,10,10,10,,2≤+≤⇒⋅≤+≤⋅∴≤+≤≤≤≤≤=≤≤≤≤=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσσd y x xy S d y x xy S y x xy y x y x R y x y x R d y x xy I RR RR R中在解：3. 利用对称性确定下列积分值。

()()(){}(){}()()022,0,4,0,4,,212323222223=+=∴+≥≤+=≥≤+=+=⎰⎰⎰⎰σσd x y y I y x y y x y x y x R x y x y x R d x y y I RR轴对称关于中在解：()(){}(){}0,20,22,20,22,,2222==∴≤≤≤≤-=≤≤≤≤-==⎰⎰⎰⎰σσd xy I x xy y x y x R y x y x R d xy I RR轴对称关于中在解：4计算下列积分。

第八章二重积分习题参考答案（2012）练习8.11.二重积分定义中,极限过程为什么不取0σ∆→{}12(max ,,...,)n σσσσ∆=∆∆∆,即最大区域面积趋于零来描述“对D 的无限细分”？答：n 无限增大，精细的分割是指分割后每个小区域的任意两点的距离很小，这样(,)k k k f ξησ∆才接近实际值；直线上小区间长度很短就能保证其内任意两点距离很小，而平面上，小区域面积很小和其内任意两点距离很小却不是一回事，比如非常扁的长条面积虽小，但两头的点的距离却很大；定义的里0d →必有0σ∆→，但0σ∆→，不一定0d →，故不取0σ∆→来描述“对D 的无限细分”.2.有人说：“二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰的几何意义是以(,)z f x y =为曲顶,以D 为底的曲顶柱体的体积.”是否正确？为什么？答：不正确，二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰的几何意义包含三种情形而不是这一种情况.3.比较下列二重积分的大小： （1）2322()():(2)(1) 2.DDx y d x y d D x y σσ++-+-≤⎰⎰⎰⎰与（2）2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ++⎰⎰⎰⎰与:(1,),(1,1),(2,0)D A B C 顶点为0的三角形闭区域.解：（1）在D 内显然有1x y +≥,所以在D 内有23()()x y x y +≤+故23()()DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰.xx y +（2）由已知可得BC 的直线方程为2,x y +=从而D 内有12, 0ln()1x y x y ≤+≤≤+< 所以2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.4.利用二重积分性质估计下列积分值： （1）(1),:01,02;DI x y d D x y σ=++≤≤≤≤⎰⎰ （2）2222(9),: 4.DI x y d D x y σ=+++≤⎰⎰解:（1）由于114(,)x y x y D ≤++≤∈ 所以(1)4DDDd x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1)4(2D D D DS x y d S S D σ≤++≤=⎰⎰为面积）21)8Dx y d σ≤++≤⎰⎰（.（2） 因为229913(,)x y x y D ≤++≤∈所以229(9)134D D D DS x y d S S σπ≤++≤=⎰⎰2236(9)52Dx y d πσπ≤++≤⎰⎰.5.判断二重积分22ln()DI x y d σ=+⎰⎰值的符号，: 1.D x y +≤解: 因为(,)x y D ∈有1x y +≤，所以2()1x y +≤22121x y xy +≤-≤即 所以22()0In x y +≤于是22()0DIn x y d σ+≤⎰⎰ 故I 取负号.练习8.21.若(,)f x y 在:,D a x b c y d ≤≤≤≤上两个二次积分都存在,则它们必定相等,即(,)(,)b dd baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰对否？为什么？xxyx解：对. 因为根据定理1有(,)(,)bdacDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(,)(,)d bcaDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰，所以等式成立.2. 交换下列二次积分次序： （1）2211(,)x dx f x y dy ⎰⎰； 解：由已知的二次积分得积分区域2:12,1D x y x ≤≤≤≤推出D 由2,1,2y x y x ===围成；写成y 型区域:142D y x ≤≤≤≤故2211(,)x dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰241),(ydx y x f dy .（2）10(,)y dy f x y dx ⎰ 解：由已知得积分区域D 为： y x y y ≤≤≤≤，10 推出D 由2,y x y x ==围成； 写成x 型区域 2:01,D x x y x ≤≤≤≤故1(,)ydy f x y dx =⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=21(,)xxdx f x y dy ⎰⎰.（3）211(,)yydy f x y dx ⎰⎰解：由已知得积分区域D 为： y x yy ≤≤≤≤121，推出D 由1,,2y y x y x===围成； 将D 写成x 型区域y xyx=12y =x1D :111,22x y x≤≤≤≤ 2D ：12,2x x y ≤≤≤≤故211(,)y ydy f x y dx ⎰⎰=12112(,)xdx f x y dy ⎰⎰+221(,)xdx f x y dy ⎰⎰.（4）1220010(,)(,).x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰ 解：由已知得积分区域D 由1D 和2D 构成1D : 01,0x y x ≤≤≤≤2D : 12,02x y x ≤≤≤≤-推出D 由,0,2y x y x y ==+=围成; 写成y 型区域 :012D y y x y ≤≤≤≤-， 故12201(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-yydx y x f dy 210),(.3.计算下列二重积分：（1）323(3)Dx x y y d σ++⎰⎰，其中D 是矩形闭区域x y ≤≤≤≤01，01；解：1132332300(3)(3)Dx x y y d dx x x y y dy σ++=++⎰⎰⎰⎰24132100(3)24y y x y xdx =++⎰ 132031()24x x dx =++⎰43111()1424x x x =++=.（2）223/2(1)Dyd x y σ++⎰⎰，其中D 是矩形闭区域x y ≤≤≤≤01，01； 解：3322112222(1)(1)Dyy d dx dy xy x y σ=++++⎰⎰⎰⎰=32112220011[]2(1)dy dx x y ++⎰⎰x31122220011[(1)]2(1)d x y dx x y =++++⎰⎰121221001[(2)(1)]2x y dx -=⋅-⋅++⎰ 11221220[(2)(1)]x x dx --=-+-+⎰=11-⎰⎰（利用第六章公式）1100ln(ln(x x =+-ln(1ln(1=-+2)ln(1=-.（3）cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是三顶点分别为,πππ(0,0),(,0)和()的三角形闭区域；解：由已知推出D 由,0,y x y x π===围成；:0,0D x y x π≤≤≤≤cos()cos()xDx x y d dx x x y dy πσ+=+⎰⎰⎰⎰=00[sin()]xx x y dx π+⎰(sin 2sin )x x x dx π=-⎰sin 2sin x xdx x xdx ππ=-⎰⎰01(cos 2)cos 2xd x xd x ππ=-+⎰⎰ 00001(cos 2cos 2)cos cos 2x x xdx x x xdx ππππ=-++-⎰⎰0011(cos 2cos 22)sin 22xd x x πππππ=-+--⎰ 322πππ=--=-.（4）2Dxy dxdy ⎰⎰，其中D 是由22(0)2py px x p ==>,围成的闭区域.解：D 为：2,,22y pp y p x p -≤≤≤≤ x22222p y pp pDxy dxdy dy xy dx -=⎰⎰⎰⎰=22222p y p px y dy -⎰=2422()88pp p y y dy p --⎰ 22621()88pp p y y dy p-=-⎰ 237502122838721p p p y y p p =⋅⋅-⋅⋅=. 4.将下列二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为极坐标形式的二次积分：（1）222:D x y a +≤； 解： 因为222:D x y a +≤将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y a +=得222(r a x y a =+=的极坐标方程)极坐标系下:020D r a θπ≤≤≤≤， 所以200(,)(cos ,sin )aDf x y dxdy d f r r rdr πθθθ=⎰⎰⎰⎰（2）22:2.D x y x +≤解： 因为22:2D x y x +≤，即22(1)1x y -+≤ 将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)极坐标系下:02cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤，所以2cos 202(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.xx2px2a =5.将下列二次积分转化为极坐标系下的二次积分： （1）2200()Rdx f x y dy +⎰；解：已知:0,0D x R y ≤≤≤≤为推出D 由222,0,0x y R y x +===围成； 极坐标系下:002D r R πθ≤≤≤≤，22()Rdx f x y dy +⎰2200()Rd f r rdr πθ=⎰⎰.（2）200(,).Rdy f x y dx ⎰解：已知D为：02,0y R x ≤≤≤≤ 推出D 由222x y Ry +=即222(),0x y R R x +-==将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y Ry +=得222sin (2r R x y Ry θ=+=的极坐标方程)极坐标系下:002sin 2D r R πθθ≤≤≤≤，20(,)Rdy f x y dx ⎰2sin 200(cos ,sin )R d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰.6.利用极坐标计算下列二重积分： （1）{}22(4)(,)|4Dx y d D x y x y σ--+≤⎰⎰，=解： 22:4D x y +≤极坐标系下:0202D r θπ≤≤≤≤，22(4)(4cos sin )(4cos sin )DDx y d r r rdrd d r r rdrπσθθθθθθ--=--=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰332222200(2cos sin )33r r rd πθθθ=--⎰ 2088(8cos sin )33d πθθθ=--⎰xxx2R 422()y R R -=2208816sin cos 1633πππθθπ=-+=.（2）22:1,0,0DD x y x y σ+≤≥≥， 解：22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 极坐标系下:0012D r πθ≤≤≤≤，200Dd πσθ=⎰⎰2d πθ=⎰⎰02π=⎰2200()44r t ππ===⎰⎰111()44ππ==-⎰⎰⎰21101(arcsin 42t π=-⎰121[(1)]422t ππ=+-⎰()(1)(2)42428ππππππ==-=-. （3）22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=以及坐标轴所围成的在第一象限的区域； 解： 222:2,0,0D x y x y +≤≥≥极坐标系下:0022D r πθ≤≤≤≤，22222ln(1)ln(1)Dx y d d r rdr πσθ++=+⎰⎰⎰⎰220ln(1)2r rdr π=+⎰2220ln(1)4r dr π=+⎰2220ln(1)(1)4r d r π=++⎰521ln (1)4tdt r t π=+=⎰x1=x45511(ln )4t t dt π=-⎰(5ln 54)4π=-.（4）222222sin(),:4,0,0.Dx y dxdy D x y x y ππ+≤+≤≥≥⎰⎰解： 2222:4,0,0D x y x y ππ≤+≤≥≥极坐标系下:022D r πθππ≤≤≤≤，22222sin()sin Dx y dxdy d r rdr πππθ+=⎰⎰⎰⎰ 222()(s i n )d r r d r πππθ=⋅⎰⎰ 22222sin sin 24r rdr r dr ππππππ==⎰⎰2222(cos )(cos cos 4)44r ππππππ=-=-.练习8.3（不作要求）1. 用二重积分变换计算： （1）22(),:;Dx y dxdy D x y x y ++≤+⎰⎰解： 22x y x y +≤+由，得22211()()22x y -+-≤令11,,22u x v y =-=-作变换11,,22x u y v =+=+101001J ==≠ 在变换下D 变成221:2D u v '+≤11()()(1)22DD D x y dxdy u v J dudv u v dudv ''+=+++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰:0202D r θπ'≤≤≤≤=，20()cos sin 1)Dx y dxdy d r r rdr πθθθ+=++⎰⎰⎰20[(cos sin )d πθθθ=+⎰x22001sin )124d d ππθθθθ=++⎰⎰220cos )1242ππθπθθ=-+=.（2）222222(),:1,0,0.Dx y x y dxdy D a b a b ++≤>>⎰⎰解：令,,x y u v a b== 作变换,,x au y bv ==000a J ab b==≠ 在变换下D 变成22:1D u v '+≤ 222222()()DD xy dxdy a u b v abdudv '+=+⎰⎰⎰⎰:0201D r θπ'≤≤≤≤，21222222220()(cos sin )Dx y dxdy d a r b r abrdr πθθθ+=+⎰⎰⎰⎰ 21222230(cos sin )d a b abr dr πθθθ=+⎰⎰42222210(cos sin )4rab a b d πθθθ=+⎰22222200(cos sin )4ab a d b d ππθθθθ=+⎰⎰2222001cos 21cos 2()422ab a d b d ππθθθθ+-=+⎰⎰222222011[(sin 2)(sin 2)42222ab a b ππππθθθθ=++-22()4ab a b π=+. 2. 用二重积分求由直线,(0),x y m x y n m n +=+=<<,(0)y ax y bx a b ==<< 所围成的区域D 的面积S . 解： 令 ,,yu x y v x=+= 作变换,.11u uv x y v v==++x122211(1)0(1)1(1)u v v uJ v u v vv -++==≠+++在变换下D 变成:D m u n a v b '≤≤≤≤221()[](1)(1)n b m a DD D u S dxdy J dudv dudv udu dv v v ''====⋅++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2221()()()()212(1)(1)n b ma ub a n m v a b --=⋅-=+++.习题八 1. 填空题（1）设D 是第II 象限内的一个有界闭区域，且01y <<记32312,DDI yx d I y x d σσ==⎰⎰⎰⎰1323,DI y x d σ=⎰⎰则123I I I 、、的大小顺序为 . 答案：312I I I <<分析：因为01y <<,所以122y y y <<；而30x <，于是133232y x yx y x <<，故312I I I <<.（2）若D 是由直线1x y +=与两坐标轴围成的三角形区域，且1()()Df x dxdy x dx ϕ=⎰⎰⎰，则()x ϕ= .xax n答案： ()(1)()x x f x ϕ=-分析：因为1100()()xDf x dxdy dx f x dy -=⎰⎰⎰⎰1100()(1)()f x x dx x dx ϕ=-=⎰⎰所以()(1)()x x f x ϕ=-（3）设D 由(0)01y kx k y x =>==、、围成的有界闭区域，且21,15Dxy dxdy =⎰⎰则k = . 答案： 1k =分析：311220003kxkxDy xy dxdy dx xy dy xdx ==⎰⎰⎰⎰⎰3353141001,3351515k k x k x dx ====⎰ 31(0)k k =>，所以 1k =.（4）设()00(,)(,)(0)aa x ady f x y dx dx f x y dy a ϕ-=>⎰⎰⎰,则()x ϕ= .答案：()x ϕ=分析：因为0,y a x ≤≤-≤推出D 为222x y a +=的上半圆；换积分次序有:,0D a x a y -≤≤≤≤()(,)(,)(,)aaa x aady f x y dx dx f x y dy dx f x y dy ϕ--==⎰⎰⎰⎰所以()x ϕ=（5）设{}(,)10D x y x y x =+≤≥且,按先y 后x 的积分次序写二次积分()Dx y dxdy +⎰⎰= (结果中被积函数不含绝对值符号).答案：10110100()()xx dx x y dy dx x y dy ---++⎰⎰⎰⎰ 分析：由12D D D =1:01,10,D x x y ≤≤-≤≤ 2:01,01,D x y x ≤≤≤≤-有10110100()()()xx Dx y dxdy dx x y dy dx x y dy --+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 若322111()00()(,)(,)x y x y dx f x y dy dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰⎰⎰,则12((),())y y ϕϕ= .答案：12((),())y y ϕϕ=分析：因为3223113200(,)(,)([0,1])x x x x dx f x y dy dx f x y dy x x x =-∈≤⎰⎰⎰⎰(,)Df x y dxdy =-⎰⎰由已知推出D 由32,y x y x ==围成；换积分次序有:01,D y x ≤≤≤原二次积分1100(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx =-=⎰⎰211()()(,)y y dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰故 12((),())y y ϕϕ=.(7) 若{}222(,)D x y x y a =+≤(0)a >,Dπ=，则a = .答案：a = 分析：因为:020D r a θπ≤≤≤≤，2Dd πθ=⎰⎰322222320001122()[()]2[()()]2233ad a r a r a πθπππ=⋅--=-⋅-==⎰⎰33231,32a a ==， 所以a =. （8）已知22222()():(0)DF t f x y dxdy D x y t t =++≤>⎰⎰,则()F t '= .答案：2()2()F t tf t π'=分析： 由积分区域222x y t +≤和被积函数22()f x y +的形式知用极坐标计算 :02,0D r t θπ≤≤≤≤222()()()DDF t f x y dxdy f r rdrd θ=+=⎰⎰⎰⎰222220()()[()]2()t t td f r rdr d f r rdr f r rdr ππθθπ==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰得 2()2()F t tf t π'=.2. 选择题 （1）估计积分22||||101100cos cos x y I dxdy x y +≤=++⎰⎰的值，则正确的是（ ）. A. 11.042I << B. 1.04 1.96I << C. 1.962I << D. 2 2.14I << 答案：C分析：由已知有1410102002D S =⋅⋅⋅=,根据二重积分中值定理有22200(,)100cos cos D I f S ξηξη=⋅=++ (,)D ξη∈ 又220cos cos 2ξη<+<, 得 200200102100I << 即1.962I <<， 故选C .（2） 设区域12:11,22;:01,02,D x y D x y -≤≤-≤≤≤≤≤≤又1222322312(),(),D D I x y d I x y d σσ=+=+⎰⎰⎰⎰则正确的是（ ）.A. 124I I >B. 124I I <C ．124I I = D. 122I I = 答案： C分析：因为2D 与1D 在第一象限重合，1D 关于x 轴、y 轴都对称，被积函数关于y 、x 都是偶函数，x所以124I I =，故选C .（3）设22:1,0,0,D x y x y +≤≥≥则Dxydxdy ⎰⎰=（ ）.A. 100dx ⎰ B. 00C. 100dx ⎰ D. 110dx xydy ⎰⎰答案： C分析：因为:01,0D x y ≤≤≤≤所以100Dxydxdy dx =⎰⎰⎰,故选C . （4）cos 200(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰=（ ）.A. 1100(,)dx f x y dy ⎰⎰ B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 100(,)dx f x y dy ⎰ D. 1(,)dy f x y dx ⎰答案： C分析：已知:00cos 2D r πθθ≤≤≤≤由cos r θ=有2cos r r θ=得22x y x +=即22211()()22x y -+=，推出D 为22211()()22x y -+=的上半圆；所以:010D x y ≤≤≤≤于是cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰10(,)dx f x y dy ⎰， 故选C.（5）设(,)f x y 是所给积分区域上的连续函数，则下列等式成立的是（ ）.A. (,)(,)bddba c c a dx f x y dy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰ B. (,)(,)bddba c c a dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰ C. ()()()()(,)(,)bg x g x ba x x a dx f x y dy dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰⎰⎰D. ()()()()(,)(,)b g x b g x a x a x dx f x y dy dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰⎰⎰ 答案：B分析：正确的是(,)(,)bdd ba ccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰, 故选B .（6）1100(,)xdx f x y dy -=⎰⎰（ ）.A. 1100(,)x dy f x y dx -⎰⎰B. 1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰ C. 1100(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 1100(,)ydy f x y dx -⎰⎰ 答案：D分析：已知:0101D x y x ≤≤≤≤-,推出D 由1,0,0x y y x +===围成；换积分次序有:0101D y x y ≤≤≤≤- 所以1100(,)xdx f x y dy -=⎰⎰110(,)ydy f x y dx -⎰⎰, 故选D .（7）圆1r =之外和圆r θ=之内的公共部分的面积S =（ ）. A．/60d rdr πθθ⎰B. /6d rdr πθθ⎰C. /602d rdr πθθ⎰D. /62d rdr πθθ⎰答案：C分析： 由1r =有21r =得221x y +=2cos r r θθ=由有22222(x y x x y +=+=得即 12DD S d d σσ==⎰⎰⎰⎰, 1D 是D 在x 轴上方部分22221x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩交点：11(),()2222- 故有1sin ,26πθθ==1:016D r πθθ≤≤≤≤于是S=1/60122D d d rdr πθσθ=⎰⎰⎰, 故选C .（8）当D 是由（ ）围成的区域时，112Ddxdy =⎰⎰.A. 0x =，0y =及220x y +-=B. 1x =,2x =及3y =,4y =C. 11,22x y == D. 1,1x y x y +=-= 答案：D分析：1111122222A I S ∆==⋅⋅⋅=, 111(21)(43)222B I S ==-⋅-=矩,211111[()]22222C I S ==--=矩, 11144111222D I S ∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=即112D DI dxdy ==⎰⎰ 故选D . (9)下列结论中不成立的有（ ）.A. (,)0Dd f x y dxdy =⎰⎰B. (,)0D f x y dxdy x ∂=∂⎰⎰ C.(,)0Df x y dxdy y ∂=∂⎰⎰ D. 111000(,)(,)dv f u v du f u x du x∂=∂⎰⎰⎰答案：D分析：因为(,)Df x y d x d y=⎰⎰常数，所以(,)0Dd f x y dxdy =⎰⎰，(,)0D f x y dxdy x ∂=∂⎰⎰，(,)0Df x y dxdy y ∂=∂⎰⎰均成立， 故选D .(10)设12(,)()()f x y f x f y =且11()()F x f x '=，22()()F y f y '=，则11(,)dx f x y dy ⎰⎰=（ ）.A. (1,1)(0,0)f f -B. 1212(1)(1)(0)(0)F F F F ⋅-⋅C. 111200()()F x dx F y dy ⋅⎰⎰D. 12121212(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(0)F F F F F F F F ⋅-⋅-⋅+⋅ 答案：D 分析：1111120(,)()()dx f x y dy dx f x f y dy =⋅⎰⎰⎰⎰11120(())(())f x dx f y dy =⋅⎰⎰111020[()][()]F x F y =⋅1122[(1)(0)][(1)(0)]F F F F =-⋅-12121212(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(0)F F F F F F F F =⋅-⋅-⋅+⋅, 故选D .(11) 100(,)xdx f x y dy =⎰⎰（ ）；A. 100(,)xdy f x y dx ⎰⎰ B. 10(,)x dy f x y dx ⎰⎰ C. 110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ D. 100(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 答案：C分析：已知:010D x y x ≤≤≤≤, 推出D 由,0,1y x y x ===围成；交换积分次序:011D y y x ≤≤≤≤1(,)x dx f x y dy ⎰⎰=110(,)ydy f x y dx ⎰⎰, 故选C .(12) 设22:14D x y ≤+≤,则Ddxdy =⎰⎰（ ）；A. πB. 3πC. 4πD. 15π 答案：B分析：因为22213D Ddxdy S πππ==⋅-⋅=⎰⎰， 故选B .(13)设12D D D = ，而1D 是以(0,0),(2,1),(2,0)为顶点的三角形区域,2D 是以(0,0),(2,0),(21-，）为顶点的三角形区域，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）；A. 0B. 1(,)D f x y dxdy ⎰⎰+ 2(,)D f x y dxdy ⎰⎰C. 2(,)D f x y dxdy ⎰⎰ D. 1(,)D f x y dxdy ⎰⎰答案：B分析： 由已知显然有12D D S S =,但被积函数只是记号(,)f x y 不是具体解析式,而12D D D = ，所以(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰,故选B .（14）若D 是以(1,1),(1,1),(11---，）为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ ）；A. 21cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B. 21D xydxdy ⎰⎰C. 41(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D. 41cos sin D x ydxdy ⎰⎰答案：A分析：设1234D D D D D = (如图)12:D D 图形关于y 轴对称，被积函数中cos sin x y关于x 是偶函数，xy 关于x 是奇函数；34:D D 图形关于x 轴对称，被积函数关于y 是奇函数；1234(cos sin )(cos sin )(cos sin )DD D D D xy x y dxdy xy x y dxdy xy x y dxdy+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112cos sin 002cos sin D D x ydxdy x ydxdy =++=⎰⎰⎰⎰, 故选A .（15）若已知00()dx xf y dy ππ⎰⎰=1,则0()f x dx π=⎰（ ）；A. 1πB.21π C. 22π D. 不能确定 答案： C分析：因为2000000()()[()]()[()]2x dx xf y dy xdx f y dy f y dy ππππππ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 2()12f y dy ππ==⎰, 所以22()()f y dy f x dx πππ==⎰⎰, 故选C（16）设平面区域22:1D x y +≤,0y ≥,且DI f dxdy =⎰⎰的被积函数在D 上连续,则在极坐标下,I =（ ）；A. 10()rf r dr π⎰ B. 102()rf r dr π⎰ C. 102()f r dr π⎰ D. 10()f r dr π⎰ 答案： A 分析：:001D r θπ≤≤≤≤1()DI f dxdy d f r rdr πθ==⎰⎰⎰⎰1100()()()f r rdr rf r dr πθπ=⋅=⎰⎰, 故选A .（17）若{(,)2D xy x y x =≤≤,则在极坐标下(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）； A. /4100(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰ B. /21/40(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰⎰ C. /42cos 00(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰ D. /22cos /4(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰答案：D分析：由已知22222(1)1y x y x x y =+=-+=有得推出D 由222x y x +=即22(1)1,x y y x -+==围成； 将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:02cos 42D r ππθθ≤≤≤≤(,)Df x y dxdy =⎰⎰/22cos /4(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰, 故选D .（18）二重积分I 在极坐标系下为100(cos ,sin )I d f r r rdr πθθθ=⎰⎰,则在直角坐标系下I =（ ）；A. 100(,)dx f x y dy ⎰B. 102(,)dx f x y dy ⎰C. 110(,)dx f x y dy -⎰D. 1(,)dy f x y dx ⎰答案： C分析：由已知的:001D r θπ≤≤≤≤推出D 为单位圆221x y +=的上半圆部分，所以直角坐标系下:110D x y -≤≤≤≤110(,)I dx f x y dy -=⎰, 故选C .(19) 设31()DI ln x y d σ=+⎰⎰,32()DI x y d σ=+⎰⎰,33sin ()DI x y d σ=+⎰⎰,D 是由0x =，0y =，12x y +=与1x y +=围成的区域,则（ ）；123321132312....A I I I B I I I C I I I D I I I <<<<<<<<答案： C分析：由已知的D 可知112x y ≤+≤,1ln 2lnln()ln102x y -=≤+≤= 3()0ln x y +≤非正,3()0x y +>,3sin ()0x y +>而sin()x y x y +<+,于是333()sin ()()ln x y x y x y +<+<+ 所以132I I I <<, 故选C . (20) 设sin (,)xf x y x=，则(,)f x y 在由0y =,y x =及1x =围成的平面区域D 上的平均值为（ ）.A. 22cos1-B. 1sin1-C. cos11-D. 1 答案：A分析：由已知有:010D x y x ≤≤≤≤10011sin (,)(,)1112xDDxf f x y dxdy dx dy S xξη==⋅⋅⎰⎰⎰⎰11002sin 2cos 22cos1xdx x ==-=-⎰, 故选A . 3.利用二重积分性质估计下列积分值： （1）2222(49),:4DI x y d D x y σ=+++≤⎰⎰；解：由22(,)49f x y x y =++，22:4D x y +≤ 显然有(0,0)9m f ==最大值在边界2222x y +=上取得，即求22(,)49f x y x y =++ 满足2222x y +=的最值，方法①：将224y x =-代入有222()4(4)9325f x x x x =+-+=-+()60f x x '=-=令得唯一驻点 0x =，()6f x ''=-，(0)60f ''=-< 0x =是极大值点也就是最大值点，(0)25M f ==方法②：令2222(,,)49(4)F x y x y x y λλ=++++-2222084200x y F x x F y y F x y λλλ+-'=+==⎧⎪'=+=⎨⎪'=⎩解得0x =，2y =±；0y =，2x =± 可能的极值点(0,2),(0,2),(2,0),(2,0)--检验可得(0,2)(0,2)25f f -==为最大值，即25M = 于是2294925(,)x y x y D ≤++≤∈所以 229(49)25D D DS x y d S σ≤++≤⎰⎰, 4D S π=即 2236(49)100Dx y d πσπ≤++≤⎰⎰ 故 36100I ππ≤≤.（2）22221(),:1DI ln x y d D x y eσ=+≤+≤⎰⎰；解：因为2211(,)x y x y D e≤+≤∈所以2211ln ln()ln10x y e-=≤+≤=22()0D DS In x y d σ-≤+≤⎰⎰ 2211(1)D S eπππ=⋅-=- 221(1)()0DIn x y d e πσ--≤+≤⎰⎰ 所以1(1)0I e π-≤≤.（3）22sin sin ,:0,0.DI x yd D x y σππ=≤≤≤≤⎰⎰解：由:0,0D x y ππ≤≤≤≤ 有22220sin sin sin sin 122x y ππ≤≤=于是2220sin sin D Dx yd S σπ≤≤=⎰⎰ 所以20I π≤≤.4.化二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰为二次积分（两种积分次序都要）：（1）{}(,)|||1,|1D x y x y =≤≤； 解：:11,11D x y -≤≤-≤≤1111(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ--=⎰⎰⎰⎰ （先对y 积分，后对x 积分）1111(,)dy f x y dx --=⎰⎰. （先对x 积分，后对y 积分）（2）D 是由0x =，1y =及y x =围成的区域； 解：将D 表示成x 型：1,10≤≤≤≤y x x(,)Df x y d σ⎰⎰11(,)xdx f x y dy =⎰⎰ （先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：y x y ≤≤≤≤0,10(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)ydy f x y dx =⎰⎰. （先对x 积分，后对y 积分）（3）D 是由0y =，ln y x =及x e =围成的区域. 解：将D 表示成x 型：1,0ln x e y x ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)eInxdx f x y dy =⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：01,y y e x e ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰10(,)y eedy f x y dx =⎰⎰ （先对x 积分，后对y 积分）5.交换下列二次积分次序： （1）1120(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；解：积分区域为：10,12x x y x ≤≤≤≤-换成y 型： 11:0,02D y x y ≤≤≤≤ 21:1,012D y x y ≤≤≤≤-1120(,)xxdx f x y dy -⎰⎰120(,)ydy f x y dx =⎰⎰+11102(,)ydy f x y dx -⎰⎰.（2）122001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰；解：第一项积分的积分区域1:01,0D x y ≤≤≤≤ 第二项积分的积分区域2:12,02D x y x ≤≤≤≤-22222(1)1y x y x x y =+=-+=由有即，22y x x =-=-+将两区域合并成区域D 并表示成y 型：:01,12D y x y ≤≤≤≤-1221(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰1201(,)ydy f x y dx -=⎰⎰.（3）2122002(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰⎰；解：第一项积分的积分区域为 211:0202D x y x ≤≤≤≤，,第二项积分的积分区域为 2:20D x y ≤≤≤≤228y x y =+=由得，212y x =将两区域合并成区域D 并表示成y 型：: 02,D y x ≤≤≤21222(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰⎰2(,)dy f x y dx =⎰.（4）10(,).dx f x y dy ⎰解：积分区域:01,D x y ≤≤≤≤222211()24y x y x x y =+=-+=由得即，y =将D 表示成y 型域要分成三个区域123D D D 、、：211:1,12D y y x ≤≤≤≤2211:0,22D y y x ≤≤≤≤=31:0,12D y x ≤≤≤≤10(,)dx f x y dy⎰22111122102(,)(,)(,)yy dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx =++⎰⎰⎰⎰.6.计算下列二重积分：（1）(6)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y x =,5y x =及1x =围成的区域；解：:015D x x y x ≤≤≤≤ (x 型)(6)Dx y dxdy +⎰⎰150(6)xxdx x y dy =+⎰⎰⎰⋅+=1052)26(dx y xy xx 3763767613102=⋅==⎰x dx x . （2）x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由1x y +≤所确定的闭区域；解：将D 表示成x 型分为：1:1011D x x y x -≤≤--≤≤+，2:01,11D x x y x ≤≤-≤≤-x yDe d σ+⎰⎰12x y x y D D e dxdy e dxdy ++=+⎰⎰⎰⎰ 01111101xxx y x y xx dx e dy dx e dy +-++----=+⎰⎰⎰⎰1111110x y xx yxx x e edx e e dx +-----=+⎰⎰0111111()()x x x x x x e e e dx e e e dx +-----=-+-⎰⎰ 0112112111x x e dx e dx e dx edx +----=--+⎰⎰⎰⎰111111()()22e e e e e e e e=----+=-. （3）22()Dx y x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线2y =,y x =及2y x =所围成的闭区域；解：:022yD y x y ≤≤≤≤(y 型)22()Dxy x d σ+-⎰⎰22220()y ydy x y x dx =+-⎰⎰232220()32y y x x y x dy =+-⎰ 232193()248y y dy =-⎰ 432019113()24486y y =-=. （4）22y Dx e dxdy -⎰⎰，其中D 由直线y x =,1y =及y 轴所围成；解：:01,0D y x y ≤≤≤≤ (y 型)22y Dx edxdy -⎰⎰2120yy dy x edx -=⎰⎰231003y yx edy -=⋅⎰ 213013y e y dy -=⋅⎰2122016y e y dy -=⋅⎰ 21016t y tte dt=-=⎰111()6t t te e dt --=--⎰110111()663t e e e--=-+=-. （5）cos Dxdxdy x⎰⎰，其中D 由曲线2y x =与y x =所围成. 解;2:01,D x x y x ≤≤≤≤ (x 型)cos Dxdxdy x ⎰⎰221100cos cos ()x x x x x x dx dy y dx x x ==⎰⎰⎰ 120cos ()xx x dx x =-⎰10(cos cos )x x x dx =-⎰ 1111000sin sin sin1(sin sin )x xd x x x xdx =-=--⎰⎰10sin1(sin1cos )1cos1x =-+=-.7.将下列二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分：（1）22:14D x y ≤+≤； 解：:02,12D r θπ≤≤≤≤(,)Df x y dxdy ⎰⎰221(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰（2）22:(1)(1) 1.D x y -+-≤解：由22221112210x y x y x y -+-=+--+=（）（）得将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++=r =cos sin θθ=+或由22221112210x y x y x y -+-≤+--+≤（）（）得将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++≤222(cos sin )(cos sin )2sin cos 0r r θθθθθθ-+++-≤ 2[(cos sin )]sin 2r θθθ-+≤，(cos sin )r θθ-+≤cos sin cos sin r θθθθ+≤≤+故极坐标系下:0,2D πθ≤≤cos sin cos sin r θθθθ+≤≤+(,)Df x y dxdy⎰⎰cos sin 20cos sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθθθ++=⎰⎰8.将下列二次积分转化为极坐标系下的二次积分： （1）20x dx f dy ⎰；解：由已知的:02D x x y ≤≤≤推出D由,,2y x y x ==围成，tan 14y x x x πθθ====，tan 3y x πθθ==== 2cos 22sec (2x r r x θθ====由，有，得的极坐标方程)所以极坐标系下:02sec 43D r ππθθ≤≤≤≤故22sec 3004()x dx f dy d f r rdr πθπθ=⎰⎰⎰.（2）2100(,).x dx f x y dy ⎰⎰解：由已知的2:010D x y x ≤≤≤≤推出D 由2,0,1y x y x ===围成， 将cos ,sin x r y r θθ== 代入2,1y x x ==得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)sec (1r x θ==的极坐标方程)所以极坐标系下1:00sec 4D r πθθ≤≤≤≤2:00sec tan 4D r πθθθ≤≤≤≤故21sec sec tan 440(,)(cos ,sin )(cos ,sin )x dx f x y dy d f r r rdr d f r r rdrππθθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰sec sec tan 40[(cos ,sin )(cos ,sin )]f r r rdr f r r rdr d πθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰2sec 040ec tan [(cos ,sin )(cos ,sin )]s f r r rdr f r r rdr d πθθθθθθθθ=+⎰⎰⎰sec 40sec tan [(cos ,sin )]f r r rdr d πθθθθθθ=⎰⎰sec 40sec tan (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθθ=⎰⎰9.利用极坐标计算下列二重积分： （1）22,:DD x y x +≤；解：由2222211()()22x y x x y +≤-+≤有 将cos ,sin x r y r θθ== 代入22x y x +=得22cos (r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤cos 0Dd rdr πθπθ=⎰⎰２－２5cos 222)r d πθπθ-=⎰3222cos 5d ππθθ-=⎰2204(1sin )sin 5d πθθ=-⎰ 2304sin 8(sin )5315πθθ=-=. （2）1222()Dx y dxdy -+⎰⎰,D ：y x =与2y x =所围成的闭区域.解：将cos ,sin x r y r θθ== 代入2y x =得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)所以极坐标系下:00sec tan 4D r πθθθ≤≤≤≤1sec tan 22421()Dx y dxdy d rdr rπθθθ-+=⎰⎰⎰⎰4sec tan d πθθθ=⎰4sec 1πθ==.10.利用适当的坐标系计算下列二重积分： （1）22Dx d yσ⎰⎰,其中D 是由直线2x =,y x =及曲线1xy =所围成的闭区域； 解：1:12,D x y x x≤≤≤≤ (x 型)2221221x x Dx x d dx dy y y σ=⎰⎰⎰⎰22111()xxx dx y =-⎰2211()x x dx x =-+⎰=42232119()()424x x x x dx -=-=⎰. （2）22()Dx y d σ+⎰⎰,其中D 是由直线y x =,y x a =+,y a =,3(0)y a a =>所围成的区域；解：:3,D a y a y a x y ≤≤-≤≤(y 型)22()Dx y d σ+⎰⎰=322()a y ay ady x y dx -+⎰⎰332()3a y y y ay aax y xdy --=+⎰33321{[()]}3aa y y a ay dy =--+⎰443333411()1434343a aa aaay y a y aa -=-+=.（3）Dσ⎰⎰,其中D 是由圆周22x y Rx +=所围成的区域.解： 由22222()()22R R x y Rx x y +≤-+≤有 将cos ,sin x r y r θθ== 代入22x y Rx +=得22cos (r R x y Rx θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r R ππθθ-≤≤≤≤Dσ⎰⎰22cos 0R d ππθθ-=⎰⎰22cos 20R d ππθθ-=⎰⎰22cos 2201()2R d R r ππθθ-=--⎰⎰ 223222cos 012()23R R r d ππθθ-=--⎰ 223331(sin )3R R d ππθθ-=--⎰ 23302133R d R πθπ==⎰. 11.用二重积分求由24x y y =-及4x y +=所围成的平面图形的面积. 解：由224(2)4x y y x y =-=--+有241,44x y y y y x y ⎧=-==⎨+=⎩得 2:14,44D y y x y y ≤≤-≤≤-(y 型)24414y y yDS d dy dx σ--==⎰⎰⎰⎰421(44)y y y dy =--+⎰23424119(54)(54)232y y y y dy y =--=--=⎰.12.计算2110.x y I dy e dx ⎰⎰＝解：由已知的:01,1D y y x ≤≤≤≤推出D 由,0,1y x y x ===围成， 将D 表示成x 型：01,0x y x ≤≤≤≤221110xx x yI dy e dx dx e dy ==⎰⎰⎰⎰2211000()x xx e y dx e xdx =⋅=⋅⎰⎰ 221210111(1)222x x e dx e e ===-⎰. 13．求由曲面22z x y =+、三坐标平面和平面1x y +=所围成的立体体积. 解：因为 22()DV x y dxdy =+⎰⎰而:01,01D x y x ≤≤≤≤-所以 112200()xV dx x y dy -=+⎰⎰312100()3x y x y dx -=+⎰12301[(1)(1)]3x x x dx =-+-⎰ 123011(6431)36x x x dx =--+=⎰. *14.计算1(0,0).ln b ax x I dx a b x->>⎰＝ 解：这题是求定积分，但积分难以进行. 注意到ln ln yb a byb aax x x x dy xx-==⎰，因此I 可化为二次积分. 111000()ln b ab b y y a a x x I dx x dy dx dx x dy x-===⎰⎰⎰⎰⎰ 交换二次积分次序：111001()1bbyy aaI dy x dx x dy y +==⋅+⎰⎰⎰ 11ln 1ln(1)ln(1)ln11bb aab dy y b a y a +==+=+-+=++⎰. *15.设(,)f x y 连续,且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰,其中D 是由20,,y y x ==1x =所围成的区域，求(,)f x y .解：将(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰两边同时二重积分(,)[(,)]DDDDf x y dxdy xydxdy f u v dudv dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,)DDDxydxdy f u v dudv dxdy =+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,)D DDxydxdy S f u v dudv =+⋅⎰⎰⎰⎰(1)(,)D DDS f x y dxdy xydxdy -=⎰⎰⎰⎰。