2014专题突破——排列组合与概率应关注的三个问题

排列组合与概率中几种常见问题

一、有关涂色问题

1区域的涂色常见处理方法

（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法

（2）根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

（3）根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

例：如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？

分析：依题意至少要用3种颜色

当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，

区域3与5必须同色，故有34A种；

当用四种颜色时，若区域2与4同色，

则区域3与5不同色，有44A种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A种，故用四种颜色时共有244A种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A+244A=24+224=72

变式练习：1如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻

的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )

A．72种 B．48种

C．24种 D．12种

答案 A

解析 按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类．一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)

2如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 ( )

A．72种 B．96种

C．108种 D．120种

解析 (1)若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A44＝72种涂色法；若1,3同色，有C14C13A22＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．

3如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要

求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法为( )

A．96 B．84 C．60 D．48 2

4 3 1

5

答案 B

解析 可依次种A、B、C、D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C与A所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法，由分类加法计数原理，不同的种法种数为36＋48＝84.

2点的涂色问题常见处理方法

1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。

例：如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一

条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方

法总数．

思维启迪：染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．

解 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．

当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．

方法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色．

第一步，S点染色，有5种方法；

第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；

第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；

第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．

方法三 按所用颜色种数分类．

第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；

第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；

第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．

由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为

A55＋2×A45＋A35＝420(种)．

探究提高 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．

(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．

变式练习：如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求

每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的

涂色方法共有( )

A．288种 B．264种

C．240种 D．168种

答案 B

解析 分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有2种方法，故有A34×2＝48(种)方法；

第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有3C13种方法，故共有A34·3C13＝216(种)方法．

由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法.

二、有关正方体中排列组合与概率问题

1异面直线对问题

例：对正方体的8个顶点作两两连线,其中成异面直线的有多少对

解析：方法一：正方体任意两条对角线必相交；包含一条对角线的有，(6+6)*4=48对；不含任何一条对角线的，即都位于6个面上的，两条面对角线的有5*12/2=30对，一条面对角线和一条边的有6*12=72，两条边的有4*12/2=24，所以共有48+30+72+24=174对异面直线。

方法二：总共有8*7/2=28条连线，总共有28*27/2=378对，共顶点的有(7*6/2)*8=168对，共面心的有6对，共体心的有4*3/2=6对，平行的有1*12/2+3*12/2=24对，剩下的都是异面的，共有378-168-6-6-24=174对异面直线。

方法三：转化为三棱锥问题

有48C-12=58个三棱锥，故有583=174对

变式练习：1正方体六个表面的中心所确定的直线中，异面直线共有多少对？

解 根据图形结构的对称性，对每一条边，与其异面的边有4个，共有12×42＝24对异面直线；每一条边与相对顶点连线中的1条异面，共有12对异面直线．综上，共有24＋12＝36对异面直线．

2正方体八个顶点中任取两个连成一条直线，在这些直线中任取两条不同直线，则这两条不同直线异面且垂直的概率等于__________。

解析: 正方体八个顶点中任取两个连成一条直线共有28C=28条直线，在这些直线中任取两条不同直线共有228C=378种取法；异面且垂直的直线有多少种情况可以用四面体的个数来找:正四面体有两个，构成异面且垂直的直线有23=6种，直角四面体8个，构成异面且垂直的直线有38=24；其余四面体48C-12-8-2=70-22=48个，构成异面且垂直的直线有481=48种；所以异面且垂直的情况共有78种，故所求事件的概率P=37878=6313。

2有关正八面体问题

例：考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )

A.751 B. 752 C. 753 D. 754

解析: 甲从正方体6个面的中心中任意选两个点有26C种方法，乙从这6个点中任意选两个点连成直线有26C种方法，故事件总数为26C26C=1515(种)如图四边形BCDE,CFEA,ABFD均为平行四边形。甲从BC与DE,BE与CD中选一个有12C种方法(若甲选BC，则乙只能选DE，而乙也可能选BC，此时甲选DE) 则所得的两条直线相互平行但不重合的选法共有312C12C种方法.故P=151543754答案选D FCEDBA

点评:本题主要考查等可能事件的概率，组合等基础知识以及空间想象能力分析，解决实际问题的能力。

变式练习：1正方体6个面的中心，从这6个点中任意选两个点可连成15条直线，对于其中两条直线垂直，我们称它们构成“钻角”。若甲从这15条直线中任取一条，乙再从剩下的14条直线中任取一条，试问他们所选直线构成“钻角”的概率为( )

A．359 B。3511 C，3513 D。3517 D1C1A1HMGNFEDCBA

解析:总实验的结果数为1514=210，如图可知MN平面ETGH,FH平面MENG,EG平面FNHM, 构成“钻角”的情况有632=36，四边形EFGH,MENG,FNHM都是正方形，构成“钻角”的情况有532=30，在第一种情况中重复的次数是232=12，所以事件中包含的结果为54.所求事件的概率为P=210123036359，答案选A。等基础知识

点评:本题主要考查等可能事件的概率，空间中线面垂直，线线垂直以及空间想象能力分析，

解决实际问题的能力。注意重复的“钻角”次数。

2由正方体的八个顶点确定的三角形，从中任取一个是直角三角形的个数是____.从中任取一个是直角非等腰三角形的概率是____.

解：正方体的八个顶点中任取三个点为顶点的三角形的个数为38C个，除了互不相邻的三个顶点构成的三角形为等边三角形，其他的都是直角三角形，而互不相邻的三个顶点构成的三角形个数为8个，故直角三角形的个数为38856848C个。6个表面中的三角形为等腰直角,这样的三角形有634C=24，所以直角非等腰三角形有48-24=24故从中任取一个是直角非等腰三角形的概率是735624

直接法：四点共面的12个面中，每个矩形有4个直角三角形，六个对角面中的三角形为直角非等腰三角形，这样的三角形有634C=24。以后同上。

评注：6个表面中的三角形为等腰直角，六个对角面中的三角形为直角非等腰三角形。

三、有关数字问题

常见处理方法：（1）直接法 （2）间接法

例：若从1,2,3，„，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 ( )

A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

答案 D

解析 满足题设的取法可分为三类：