排列组合、概率问题)

利用排列组合计算概率问题概率是数学中一个重要的概念，用来描述某个事件发生的可能性。

在现实生活中，我们经常需要计算概率来做出决策或者预测结果。

而排列组合是概率计算中常用的方法之一，它可以帮助我们解决各种概率问题。

一、排列组合的基本概念排列和组合是数学中的两个概念，它们都是通过对一组元素进行选择和排列来计算概率。

排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，按照一定的顺序排列，形成不同的组合。

组合则是从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑顺序，形成不同的组合。

二、排列的计算方法排列的计算方法比较简单，可以通过以下公式来计算：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，P(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的可能性，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。

例如，从5个人中选取3个人进行排列，可以计算为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5*4*3 = 60三、组合的计算方法组合的计算方法稍微复杂一些，可以通过以下公式来计算：C(n, m) = n! / (m!*(n-m)!)其中，C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的可能性。

例如，从5个人中选取3个人进行组合，可以计算为：C(5, 3) = 5! / (3!*(5-3)!) = 5! / (3!*2!) = 5*4 / 2 = 10四、概率计算的实际应用排列组合可以应用于各种实际问题中，例如：1. 抽奖概率计算：假设有10个人参加抽奖活动，每个人的中奖概率相同，计算其中5个人同时中奖的概率。

解答：可以使用组合的方法计算，即从10个人中选取5个人进行组合，计算公式为：C(10, 5) = 10! / (5!*(10-5)!) = 10! / (5!*5!) = 252所以，其中5个人同时中奖的概率为1/252。

2. 生育概率计算：假设一个家庭有3个孩子，计算其中至少有2个女孩的概率。

九类常见概率问题求解方法在概率论中，有许多常见的问题可以通过一些常用的方法来解决。

以下是九类常见的概率问题及其求解方法：1. 排列组合问题当问题涉及到选择或安排元素的顺序时，我们可以使用排列组合的方法来解决。

排列是指从给定的元素集合中选取一些元素并按照一定的顺序排列，组合是指从给定的元素集合中选取一些元素，不考虑顺序。

排列组合问题可以通过计算阶乘、直接应用排列组合公式或使用递推关系式来求解。

2. 条件概率问题当问题给出了一些额外的条件时，我们可以使用条件概率来解决。

条件概率是指在已知某些条件下，事件发生的概率。

通过应用条件概率公式，我们可以求解出事件在给定条件下的概率。

3. 独立事件问题若多个事件之间的发生不会互相影响，则这些事件是独立事件。

对于独立事件问题，我们可以通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相乘来求解整个事件链的概率。

4. 联合概率问题当问题涉及到多个事件同时发生的概率时，我们可以使用联合概率来解决。

联合概率是指多个事件同时发生的概率。

通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相乘来求解联合概率。

5. 互斥事件问题互斥事件是指两个事件之间不能同时发生的情况。

当问题涉及到互斥事件的概率时，我们可以通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相加来求解整体概率。

6. 逆概率问题当问题给出了事件发生的概率，我们可以使用逆概率来解决。

逆概率是指已知事件发生的概率，求解事件不发生的概率。

通过使用补集的概念，即1减去事件发生的概率，我们可以求解逆概率。

7. 条件逆概率问题当问题给出了事件发生的条件概率，我们可以使用条件逆概率来解决。

条件逆概率是指已知事件发生的条件下，求解事件不发生的概率。

通过使用补集公式和条件概率公式，我们可以求解条件逆概率。

8. 边际概率问题当问题给出了多个事件的联合概率和条件概率时，我们可以使用边际概率来解决。

边际概率是指在多个事件联合发生的情况下，某个单独事件发生的概率。

通过应用边际概率公式和条件概率公式，我们可以求解边际概率。

利用排列组合解决概率问题的技巧在数学领域中，概率论是一门涉及到研究随机现象的科学。

在日常生活中，概率论也经常被用来解决一些实际的问题。

而对于我们来说，掌握概率计算的技巧可以让我们更便捷地解决问题。

本篇文章将分享利用排列组合解决概率问题的技巧，一起来看看吧。

一、概率初步在深入探讨如何利用排列组合解决概率问题之前，我们需要先了解一些概率论的基础知识。

概率的计算基于一个简单的基本规则：当每个事件的发生都是互相独立且等可能发生时，我们可以通过以下公式计算概率：P(A) = 某个事件符合要求的可能性 / 所有事件的可能性其中P(A)表示事件A发生的概率。

例如，当我们掷一个骰子，得出点数为1的概率是1/6，这个计算公式就适用。

总计可能发生的结果数为6个，而骰子上有且只有一个1，所以事件发生的可能性为1。

因此，得出点数为1的概率为1/6。

二、什么是排列组合？排列组合是数学中用于计算的两种基本方法之一，经常被用来解决概率问题。

以下简单介绍一下排列组合的基本概念。

排列：在数学中，排列表示从n个不同元素中取出r个元素进行排列，共有多少种不同的排列方式。

排列通常用P(n,r)表示。

计算排列的方程式如下：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n(n-1)(n-2)……2*1。

当n=4，r=2时，公式计算结果为 P(4,2) = 12。

组合：组合是从n个不同的元素中选择r个元素形成集合的所有方式的总数。

组合通常用C(n,r)表示。

用公式计算组合的方法如下所示：C(n,r) = (n!) / [(n-r)!*r!]当n=4，r=2时，公式计算结果为C(4,2)=6。

排列组合有很多实际应用，例如在某场比赛中，有8名选手参赛，那么前3名的排名方式有多少种？用排列计算即为P(8,3)=8*7*6=336。

另一个例子，在班级内，有10名同学，其中5名男生和5名女生，如果随机选择两名同学，他们俩都是男生的概率是多少？用组合计算即为C(5,2)/C(10,2)=10/45。

高考数学排列组合与概率问题2025版解析在高考数学中，排列组合与概率问题一直是重点和难点。

对于即将参加2025 年高考的同学们来说，深入理解和掌握这部分知识至关重要。

排列组合是研究从一些元素中取出部分元素，按照一定的顺序排列或组合成一组的方法数。

它的应用广泛，在解决实际问题时能帮助我们准确计算各种可能性。

首先，我们来了解一下排列的概念。

从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列数，记为 A(n,m) 。

其计算公式为：A(n,m) ＝ n! ／（n m)！。

例如，从 5 个不同的球中取出 2 个进行排列，那么排列数就是 A(5,2) ＝ 5! ／（5 2)！＝ 5×4 ＝ 20 种。

组合则是从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的组合数，记为C(n,m) 。

组合数的计算公式是：C(n,m) ＝ n! ／ m!×（n m)！。

比如，从 5 个不同的球中取出 2 个的组合数就是 C(5,2) ＝ 5! ／ 2!×（5 2)！＝ 10 种。

在实际解题中，我们需要准确判断是用排列还是组合。

如果元素的顺序对结果有影响，就用排列；如果顺序无关，就用组合。

接下来，我们看一些常见的题型。

“相邻问题”是经常出现的一种。

例如，将5 个人排成一排，其中甲、乙两人要相邻，我们可以将甲、乙看作一个整体，先计算整体的排列数，再计算甲、乙内部的排列数。

即 A(4,4)×A(2,2) 。

“不相邻问题”则相反。

比如，将 5 个人排成一排，其中甲、乙两人不能相邻。

我们先计算所有人的排列数，再减去甲、乙相邻的情况，即 A(5,5) A(4,4)×A(2,2) 。

“定序问题”也比较典型。

若有 5 个人排成一排，其中甲必须在乙前面，此时无需考虑甲、乙的顺序，直接计算全排列除以 2 即可，即A(5,5) ／ 2 。

在排列组合问题中，还常常需要用到分类讨论和分步计算的思想。

分类讨论时，要确保不重复、不遗漏。

[数量关系] 排列组合与概率问题[数量关系]排列组合与概率问题排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。

公务员的日常工作更多涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被强调。

在现实生活中我们经常会遇到排座次、分配任务等问题，用到的都是排列组合原理，即便是最简单的概率问题也要利用排列组合原理计算。

与此同时，排列组合中还有很多经典问题模型，其结论可以帮助我们速解该部分题型。

一、基础原理二、基本解题策略面对排列组合问题常用以下三种策略解题：1.合理分类策略①类与类之间必须互斥(互不相容);②分类涵盖所有情况。

2.准确分步策略①步与步之间互相独立(不相互影响);②步与步之间保持连续性。

3.先组后排策略当排列问题和组合问题相混合时，应该先通过组合问题将需要排列的元素选择出来，然后再进行排列。

【例题1】班上从7名男生和5名女生中选出3男2女去参加五个竞赛，每个竞赛参加一人。

问有多少种选法?A.120B.600C.1440D.42000中公解析：此题答案为D。

此题既涉及排列问题(参加五个不同的竞赛)，又涉及组合问题(从12名学生中选出5名)，应该先组后排。

三、概率问题概率是一个介于0到1之间的数，是对随机事件发生可能性的测度。

概率问题经常与排列组合结合考查。

因此解决概率问题要先明确概率的定义，然后运用排列组合知识求解。

1.传统概率问题2.条件概率在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率，即A在B条件下的概率。

P(AB)为AB同时发生的概率，P(B)为事件B单独发生的概率。

【例题3】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。

小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。

问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性(概率)是多少?排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。

公务员的日常工作更多涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被强调。

排列组合求概率解答题1甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92.（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.（04湖南19）解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅.92)()(,121))(1()(,41))(1()(.92)(,121)(,41)(C P A P C P B P B P A P C A P C B P B A P 即由①、③得)(891)(C P B P -=代入②得27[P(C)]2－51P(C)+22=0.解得91132)(或=C P （舍去）.将32)(=C P 分别代入③、②可得.41)(,31)(==B P A P 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.32,41,31（Ⅱ）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则.653143321))(1))((1))((1(1)(1)(=⋅⋅-=----=-=C P B P A P D P D P 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.652．（本小题满分12分）为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P ）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P 0.90.80.70.6费用（万元）90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.（04湖北21）解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.3．（本小题满分12分）①②③甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.（04福建18）解：（Ⅰ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P(A)=310361426C C C C +=1202060+=32，P(B)=310381228C C C C +=1205656+=1514.答：甲、乙两人考试合格的概率分别为.151432和（Ⅱ）解法一、因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(B A ⋅)=P(A )P(B )=（1－32)(1－1514)=451.∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P(B A ⋅)=1－451=4544.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.解法二：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=P(A ·B )+P(A ·B)+P(A ·B)=P(A)P(B )+P(A )P(B)+P(A)P(B)=32×151+31×1514+32×1514=4544.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.4．（本小题满分12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。

数学概率（排列组合）练习题（含答案）1．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、文综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、文综不安排在同一节，则不同的安排方法共有．2．从4名男生4名女生中选3位代表，其中至少两名女生的选法有种．3．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）．4．将一个白球，一个红球，三个相同的黄球摆放成一排,则白球与红球不相邻的放法有．5．用1、2、3、4、5、6六个数组成没有重复数字的六位数，其中5、6均排在3的同侧，这样的六位数共有个（用数字作答）．6．某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为（用数字作答）.7．用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的染色方法共有_____________种。

8．数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．9． 4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有种不同的站法．（用数字作答）10．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有种（用数字作答）122名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女11生，那么不同的选派方案种数为．（用数字作答）13．将7个市三好学生名额分配给5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不同的分配方案种数有 _________ ．xx2x?214．方程C17－C16＝C16的解集是________．15．从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的组合种数为（用数字作答）．16．从4名同学中选出3人，参加一项活动，则不同的选方法有种（用数据作答）；17．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．18．将6位志愿者分配到甲、已、丙3个志愿者工作站，每个工作站2人，由于志愿者特长不同，A不能去甲工作站，B只能去丙工作站，则不同的分配方法共有__________种.19．现有一大批种子，其中优良种占30℅，从中任取8粒，记X为8粒种子中的优质试卷第1页，总9页。

利用排列组合解决概率问题排列组合在解决概率问题中的应用概率问题是概率论中的重要分支，是研究随机事件发生的可能性大小及其规律的学科。

在实际生活和工作中，我们时常需要利用概率来解决一些实际问题。

而排列组合是计算概率问题中必不可少的工具之一。

本文将从排列、组合和排列组合的应用三个方面，来详细介绍在概率问题中如何利用排列组合来解决问题。

一、排列首先我们来说排列。

排列是将若干个对象按一定的顺序排成一列的不同方法数。

比如小学班中选出3人来排队，有多少种不同的排队方法？我们可以先算出第1个人有3种选择，第2个人有两种选择，第3个人有1种选择，所以一共有3×2×1=6种不同的排队方法。

这就是一个典型的排列问题。

一般地，从n个不同元素中任取m个，按一定顺序排成一列的不同排列数，记作A(n, m)，有公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×⋯×2×1，0!=1；(n-m)!表示n-m的阶乘。

二、组合其次我们来说组合。

组合是从若干元素中任取m个元素，不考虑元素之间的顺序排列，共有多少种不同的选择方式。

比如小学班中选出3人来合影，有多少种不同的合影方式？我们可以先算出一共有10种选择，即从10人中选出3人的不同组合数，即C(10,3)=120，所以一共有120种不同的合影方式。

一般地，从n个不同元素中任取m个元素的不同组合数，记作C(n,m)，有公式：C(n,m)=n! / (m!(n-m)!)其中，阶乘同排列中的定义。

三、排列组合的应用最后我们来说排列组合在概率问题解决中的应用。

下面我们分别从两个方面来介绍。

(1) 案例分析比如有10个整数，其中6个为1，4个为2。

从这10个整数中任选3个整数，求其中至少有2个整数为1的概率。

我们可以分别计算3个整数中有2个为1的概率，和3个整数中全部为1的概率。

概率与排列组合问题的求解思路概率与排列组合是初中数学中的重要内容，也是中学生常常遇到的难点。

在解决这类问题时，我们需要掌握一些基本的思路和方法。

本文将通过具体的例子，详细介绍概率与排列组合问题的求解思路，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。

一、概率问题的求解思路概率问题是我们在日常生活中经常遇到的，比如抛硬币、掷骰子等。

在解决概率问题时，我们需要明确事件的总数和有利事件的总数，从而计算出概率。

举个例子，假设有一个装有10个红球和5个蓝球的袋子，从中随机取出一个球。

求取到红球的概率。

解题思路：1. 确定事件的总数：袋子中共有15个球，所以事件的总数为15。

2. 确定有利事件的总数：袋子中有10个红球，所以有利事件的总数为10。

3. 计算概率：概率等于有利事件的总数除以事件的总数，即10/15=2/3。

通过上述例子，我们可以看到解决概率问题的关键在于确定事件的总数和有利事件的总数，并进行相应的计算。

二、排列组合问题的求解思路排列组合问题是数学中的经典问题，涉及到对一组元素进行排列或组合的方式。

在解决排列组合问题时，我们需要根据问题的具体要求，选择合适的方法进行求解。

举个例子，假设有5个人参加比赛，其中有3个奖项，求获奖的可能性。

解题思路：1. 确定问题的类型：根据题目要求，这是一个组合问题，因为我们只关心获奖的人，而不关心他们获得奖项的顺序。

2. 确定元素的总数和要选择的个数：参赛人数为5人，要选择的个数为3个。

3. 使用组合公式进行计算：组合公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n为元素的总数，m为要选择的个数。

代入数据计算得到C(5,3)=10。

4. 得出结论：获奖的可能性有10种。

通过上述例子，我们可以看到解决排列组合问题的关键在于确定问题的类型，选择合适的方法进行计算，并根据具体的要求得出结论。

综上所述，概率与排列组合问题的求解思路需要掌握一些基本的方法和技巧。

在解决概率问题时，我们需要确定事件的总数和有利事件的总数，并进行相应的计算；在解决排列组合问题时，我们需要确定问题的类型，选择合适的方法进行计算，并根据具体的要求得出结论。

利用排列组合求解概率问题概率问题是数学中非常重要的一个分支，而排列组合则是解决概率问题中常用的一种数学方法。

在这篇文章中，我们将深入探讨如何利用排列组合来解决概率问题。

一、排列组合的定义在正式探讨如何利用排列组合来解决概率问题之前，我们先来了解一下什么是排列组合。

排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。

我们可以利用以下公式来计算排列的总数：$A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$ 或$\binom{n}{m}$。

我们可以利用以下公式来计算组合的总数：$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$因此，排列和组合可以用来解决不同的问题，比如概率问题。

二、下面我们来看几种利用排列组合求解概率问题的方法。

1. 可重复排列问题可重复排列指的是从$n$个可重复的元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$n^{m}$。

例如，一个只有红、黄、蓝三种颜色的小球，从中任意取出5个小球（可以重复取），共有多少种不同的取法？由于每个位置都可以重复出现三种颜色，因此总共的取法数为$3^{5}=243$。

2. 不可重复排列问题不可重复排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列，且每个元素只能使用一次的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。

例如，一个有9个不同字母的单词，从中任意取出5个字母，组成一个新的5字母单词，共有多少种不同的取法？由于每个字母只能用一次，因此共有$A_{9}^{5}=15120$种不同的取法。

3. 不可重复组合问题不可重复组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$。

四．排列组合（概率问题）
• 特点： • (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特 定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； • (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问 题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词) 准确理解；有时候仅仅是一二个文字描述不 同，导致完全不同的结果。 • (3)计算方案是否正确，往往不可用直观方 法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具 有较强的分析能力。
• G10-46．某单位订阅了30份学习材料发放给3个 部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多 少种不同的发放方法？ （ ） • A． 7 B． 9 C．10 D．12 • 【解析】C。经典的排列组合题，使用“插空 法”。首先每个部门发8份材料（共计24份）， 还剩6份，插入2个空格（头尾不能插入）。 2 C • 即 5 10。 • 插空法是排列组合的经典方法，需要熟记。 • 追问：10份材料发给3个部门，有多少种不同的 分发？（有的部门可以不发）
• G10-50．一公司销售部有4名区域销售经理， 每人负责的区域数相同，每个区域都正好有两 名销售经理负责，而任意两名销售经理负责的 区域只有1个相同。问这4名销售经理总共负责 多少个区域的业务？（ ） • A．12 B．8 C．6 D．4
• 【解析】C。排列组合，可以看为从四人中任 意选择两人分配，即C2 4=6。
妨求其逆事件。

_
• 二、两个基本计数原理及应用 • (1)加法原理和分类计数法 每一类中的每一种方法都可以独立地完成 此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相 同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法， 都属于某一类(即分类不漏) • (2)乘法原理和分步计数法 任何一步的一种方法都不能完成此任务， 必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各 步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法 不同，则对应的完成此事的方法也不同 • 错位排 0,1,2,9,44,265

高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和技巧。

排列组合主要涉及对对象的选择和排列，而概率则是研究事件发生的可能性。

在解决实际问题时，这两个概念常常会结合起来使用。

本文将通过具体的题目来说明如何应用排列组合与概率的知识解决综合应用题。

题目一：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，其中至少有1个男生。

求这样的小组的可能数。

解析：这是一个典型的排列组合问题，我们需要从10个男生中选出至少1个男生，再从8个女生中选出剩下的2个人。

根据排列组合的知识，我们可以得出解题步骤如下：1. 选出1个男生的可能数：C(10, 1) = 102. 从8个女生中选出2个人的可能数：C(8, 2) = 283. 将步骤1和步骤2的结果相乘，得到最终的结果：10 * 28 = 280所以，这样的小组的可能数为280。

通过这个题目，我们可以看到排列组合的应用，以及如何将多个步骤结合起来求解问题。

这对于高中学生来说，是一个很好的练习。

题目二：某班有10个男生和8个女生，从中随机选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有1个男生的概率。

解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。

根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：1. 满足条件的小组数：根据题目一的解析，我们已经知道满足条件的小组数为280。

2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。

3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：280 / 816 ≈ 0.343。

所以，这样的小组中至少有1个男生的概率约为0.343。

通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。

这对于高中学生来说，是一个很好的练习。

题目三：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有2个男生的概率。

解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。

C 2n k (1/2) 2n独立重复试验。

如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率为P n （K ）＝C n k P k (1－P) n-k（一夫妇生四孩子，问生2男2女的情况之几率；每次生男女概率相同，1/2,如抛硬币问题（抛四次，2次朝上）,即C 42(1/2) 4＝3/812、 有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有一个是黑色的概率。

1- C 53 /C 93 13、 自然数计划S 中所有满足n 100, 问满足n(n+1)(n+2) 被6整除的n 的取值概率？由于3个连续自然数必包括一个偶数及一个可被3整除的数，因此100％ 14、 设0为正方形ABCD[ 坐标为（1，1），（1，－1），（－1，1），（－1，－1）]中的一点，求起落在x 2+y 2 1的概率。

面积法。

x 2+y 2＝1为一个以原点为圆心，半径为1的圆，面积为л,正方形面积为4，ANSWER: л/415、 A>B （成功的概率）？（1） A 前半部分的成功概率为1％，B 前半部分成功概率为1.4%.（2） A 后半部分的成功概率为10％，B 后半部分成功概率为8.5%.C. P(A)=1%*10% P(B)=1.4%*8.5%16、 集合A 中有100个数，B 中有50个数，并且满足A 中元素于B 中元素关系a+b=10的有20对。

问任意分别从A 和B 中各抽签一个，抽到满足a+b=10的a,b 的概率。

C 201 /C 1001 C 50117、 有两组数，都是『1，2，3，4，5，6』，分别任意取出两个，其中一个比另一个大2的概率？2*4/ C 61 C 61由于注明分别，即分两次取。

18、 从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值，再取一个数也记下它的值。

当两个值的和为8时，出现5的概率是多少？2/9. 总共有{(8,0)(0,8)（1，7）（7,1）（6,2）(2,6)(5,3)(3,5)(4,4)}集合中不能有重复元素。

排列组合和概率问题在数学、统计学以及计算机科学等领域中经常遇到，解题时可以遵循以下一些技巧：1. 明确问题类型：- 排列（Permutation）：涉及对有限集合中的元素进行排序，考虑顺序的不同。

例如，从n个不同元素中取出m个进行排列。

- 组合（Combination）：同样是从n个不同元素中取出m个，但不考虑选取的顺序。

2. 公式记忆与应用：- 排列数公式：从n个不同元素中取出m个进行排列的数量为P(n, m) = n! / (n-m)!- 组合数公式：从n个不同元素中取出m个进行组合的数量为C(n, m) = P(n, m) / m! = n! / [m!(n-m)!]3. 区分有无重复元素：- 如果元素可重复选择，则需考虑使用多重集的概念或直接计算每个位置的可能性之积。

- 如果元素不可重复选择，则直接应用排列或组合公式。

4. 利用概率定义：- 概率= 有利情况数/ 总可能情况数- 在解决概率问题时，首先确定总共有多少种可能的情况，然后确定满足条件的“有利”情况有多少种。

5. 树状图和列表法：- 对于较复杂的问题，可以通过画出树状图或列举所有可能的组合方式来直观分析问题。

6. 排列组合结合概率思想：- 当涉及到概率时，先计算总的事件数量（即样本空间），再计算所求事件的数量，最后用所求事件数量除以总的事件数量得到概率。

7. 分步解决和分类讨论：- 对于多步骤或多阶段的选择问题，可采用分步计数的方法，每一步骤分别进行排列或组合计算。

- 若存在多种可能性，需要根据不同的条件分类讨论并求和。

8. 计算器和编程辅助：- 对于较大的数值计算，可以借助计算器或者编写程序进行快速准确的计算。

9. 练习与理解：- 大量做题是掌握排列组合和概率技巧的关键，通过不断实践加深对原理的理解，并培养快速识别问题类型的能力。

以上是一些基本的解题技巧，具体应用还需要结合实际题目灵活运用。

概率问题中的排列与组合在概率统计学中，排列与组合是常用的数学工具，用于计算事件发生的可能性。

排列和组合是概率问题中重要的概念，在实际应用中被广泛使用。

一、排列排列是指从给定的元素中选出若干个进行排列，其顺序不同即可形成不同的排列方式。

常用的计算排列的方法有全排列和部分排列两种。

1. 全排列全排列是指从n个元素中选出m个进行排列，其中n≥m。

全排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)! 其中“!”表示阶乘运算。

举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行排列，那么全排列的结果就是 P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60 种。

2. 部分排列部分排列是指从n个元素中选出m个进行排列，但是不要求完全排列。

部分排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)! 其中“!”表示阶乘运算。

举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行排列，但不要求完全排列，那么部分排列的结果就是 A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! =60 种。

二、组合组合是指从给定的元素中选出若干个进行组合，其顺序不同不会形成不同的组合方式。

常用的计算组合的方法有普通组合和重复组合两种。

1. 普通组合普通组合是指从n个元素中选出m个进行组合，其中n≥m。

普通组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!) 其中“!”表示阶乘运算。

举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行组合，那么普通组合的结果就是 C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10 种。

2. 重复组合重复组合是指从n个元素中选出m个进行组合，允许重复选取，其中n≥m。

重复组合的计算公式为：H(n,m) = C(n+m-1,m) = (n+m-1)! / (m! * (n-1)!) 其中“!”表示阶乘运算。

举例来说，如果有5个不同的球，可以重复选取，要选出3个进行组合，那么重复组合的结果就是 H(5, 3) = C(5+3-1, 3) = (5+3-1)! / (3! * (5-1)!) = 35 种。

如何利用排列组合解决概率问题在解决概率问题时，排列组合是一种常用的方法。

通过排列组合的计算，可以求解事件发生的可能性以及各种可能的情况数量。

本文将介绍如何利用排列组合解决概率问题，并提供相关示例。

一、概率的定义和基本原理概率是描述事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的实数表示。

概率越接近1，表示事件发生的可能性越大；概率越接近0，表示事件发生的可能性越小。

概率的计算受到排列和组合的影响。

二、排列问题的解决方法排列是指从一组元素中按照一定的顺序取出若干元素，形成一个有序的排列。

排列问题通常涉及到“有放回”和“无放回”两种情况。

1. 有放回排列在有放回排列中，每次取出的元素放回原来的位置后再进行下一次的取出。

有放回排列的计算公式为：P(n, m) = n^m其中，P(n, m)表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数。

示例1：如果有4个不同的球（红、黄、蓝、绿），现在从中取出3个球进行排列，请问一共有多少种不同的排列方式？解：根据有放回排列的计算公式，可以得到：P(4, 3) = 4^3 = 64因此，一共有64种不同的排列方式。

2. 无放回排列在无放回排列中，每次取出的元素不放回原来的位置，所以每次取出的元素数量会递减。

无放回排列的计算公式为：P'(n, m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1) = n!/(n-m)!其中，P'(n, m)表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数，n!表示n的阶乘。

示例2：某班有10个学生，现要从中选出3名学生组成一个小组，请问一共有多少种不同的组合方式？解：根据无放回排列的计算公式，可以得到：P'(10, 3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10*9*8 = 720因此，一共有720种不同的组合方式。

三、组合问题的解决方法组合是指从一组元素中按照一定的顺序取出若干元素，形成一个无序的组合。

组合问题只涉及到“无放回”的情况。

排列组合与概率公考例题
排列组合与概率是公考中常见的数学问题，下面提供一些相关的例题。

1.概率问题
题目：在某项测试中，测试结果为甲、乙、丙、丁、戊五个等级。

已知甲级和乙级均占30%，丙级占25%，丁级占20%，戊级占5%。

如果得分在75分以上（含75分）则评为甲级，那么随机抽取一人，其测试结果被评为甲级的概率是多少？
答案：0.3
解析：根据题目条件，甲级和乙级均占30%，即60%的得分在75分以上或75分以下。

因此，甲级的概率为30% / 60% = 0.5。

所以，随机抽取一人，其测试结果被评为甲级的概率是0.5，或者简单说，概率为0.3。

2.排列组合问题
题目：现有8名学生分配到3个不同的岗位进行工作，其中每个岗位至少有1名学生，则不同的分配方式共有_______ 种．
答案：105
解析：根据题意，可以分为两种情况进行讨论：第一种，3、2、3分配，有C83×C52×C32×A33=1680种；第二种，4、2、2分配，有A22 C84×C42×C32×C22×A33=105种，共有1680+105=1785种，故答案为：1785．。