平面向量的加法减法与数乘运算

向量的加减法运算法则

在向量的加减法运算中，可以用向量的模量和方向来进行计算，并且有四种基本计算规则，分别是：

1、向量的加法：将两个向量在平面上以具有相同方向性的标准坐标系下把向量放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累加在一起即可得到两个向量之和。

2、向量的减法：将两个向量以相反方向放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累减在一起即可得到两个向量之差。

3、向量的乘法：将两个向量的模量乘在一起，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量之积。

4、向量的除法：将一个向量的模量除以另一个向量的模量，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量的商。

向量的加减法是数学中一个基本的操作，但是要掌握它就必须正确理解向量的含义，以及向量的模量和方向性。如果运算错误，得到的结果可能是不正确的，因此一定要仔细检查计算的准确性，以保证求得的结果是正确的。

向量知识点总结高一

一、 向量的定义和性质

1. 向量的定义

在数学中，向量是有大小和方向的量。向量用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2. 向量的性质

（1）向量的大小和方向唯一确定一个向量。

（2）同一向量的不同表示叫做向量的等价表示。

（3）向量的等价表示之间可以互相转换。

（4）向量与数的乘积可以用数的乘法来定义。

（5）向量之间可以进行加法运算和减法运算。

二、向量的基本运算

1. 加法和减法

（1）向量的加法：两个向量的和等于它们的尾部相连形成的新向量。

（2）向量的减法：两个向量的差是指把减数的向量的起点与被减数的向量的终点相连成新向量。

2.数乘

（1）向量的数乘：一个向量与一个实数相乘是指该向量的长度乘以这个实数，并且方向不变。

3.数量积（内积）

（1）数量积的定义：设两个向量a，b之间的夹角为θ，那么向量a与向量b之间的数量积为一个数abcosθ。

（2）数量积的性质：a·b=|a|·|b|cosθ。

（3）数量积的应用：计算向量的模、求向量的夹角、求向量的投影等。

4.向量积（外积） （1）向量积的定义：设有向量a，b，它们的向量积a×b是一个向量，它的大小等于|a|·|b|·sinθ，它的方向垂直于a和b所在的平面，满足右手定则。

5.混合积

（1）混合积的定义：设有三个向量a，b，c，它们的混合积为|a×b·c|。

三、向量的基本定理

1. 平行四边形法则

对于平行四边形abcd，向量a，b的和是向量a+c，且a+c=b+d。

2. 三角形法则

对于三角形abc，向量a+b+c=0。

3. 余弦定理

对于三角形abc，有c²=a²+b²-2abcosC，其中C为角c所对的边。

4. 已知（a1,b1）,(a2,b2)的数量积等于0的条件

两个向量的数量积等于0，表示这两个向量垂直。

四、向量的常用技巧

1. 向量的模

向量a的模表示为|a|，表示向量a的大小。

第五章 平面向量、复数

考试内容 等级要求

平面向量的概念

B

平面向量的加法、减法及数乘运算

B

平面向量的坐标表示

B

平面向量的数量积

C

平面向量的平行与垂直 B

平面向量的应用 A

复数的概念 B

复数的四则运算 B

复数的几何意义 A

§5.1 平面向量的概念及线性运算

考情考向分析 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算

交换律：

a＋b＝b＋a；

结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；

当λ<0时，λa与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；

(加法平行四边形)起点相同连对角；

(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．

3．向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

概念方法微思考

1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？

提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.

（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：

1）结合律：aa)()(。

2）分配律：aa)(，baba)(。

（2）向量的数量积运算法则：

1）abba••。

2）)()()(babababa•••。

3）cbcacba•••)(。

（3）平面向量的基本定理。

21,ee是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一对实数21,，满足2211eea。

（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：cos||||baba•，数量积ba•等于a的长度||a与b在a的方向上的投影cos||b的乘积。

（5）平面向量的运算法则。

1）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a+b＝1212(,)xxyy。

2）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a-b＝1212(,)xxyy。

3）设点A11(,)xy，B22(,)xy，则2121(,)ABOBOAxxyy。

4）设a＝(,),xyR，则a＝(,)xy。

5）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a•b＝1212()xxyy。

（6）两向量的夹角公式：

121222221122cosxxyyxyxy（a＝11(,)xy，b＝22(,)xy）。

（7）平面两点间的距离公式：

,ABd＝||ABABAB222121()()xxyy（A11(,)xy，B22(,)xy）。

（8）向量的平行与垂直：设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，且b0，则有：

1）a||bb＝a12210xyxy。

2）ab （a0） a·b＝012120xxyy。

（9）线段的定比分公式：

设111(,)Pxy，222(,)Pxy，(,)Pxy是线段12PP的分点，是实数，且12PPPP，则