6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

点P是直线1 2 上的一点.当1 = 2 时，点P的坐标是什么？
当堂检测
1.已知=(3,
Ԧ
2)，=(0，-1)，求-2Ԧ +4, 4+3的坐标.
Ԧ
2.当为何值时， =(2,
Ԧ
3)与 =(, -6)共线?
3.若点 −2， − 3 ， 2, 2 ， －1, 3 ， −7， − 4.5 ，则AB与
P的坐标为( ，) ，则
1 +2
，
2
+
= 1 2.
2
=

例9 设P是线段1 2 上的一点，点1 ，2 的坐标分别是(1 ，1 )，(2 ，2 ) .
（2）当P是线段1 2 的一个三等分点时，求点P的坐标.
问题4：如图，线段1 2 的端点1 ，2 的坐标分别是(1 ，1 ) ，(2 ，2 ) ，
典型例题
例9 设P是线段1 2 上的一点，点1 ，2 的坐标分别是(1 ，1 )，(2 ，2 ) .
（1）当P是线段1 2 的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段1 2 的一个三等分点时，求点P的坐标.
中点坐标公式：若点1 ，2 的坐标分别为(1 ，1 )，(2 ，2 ) ，线段1 2 的中点
4.平面向量的数乘运算
问题1： 已知 Ԧ = ( ，) ，怎样计算的坐标？
Ԧ
新知探究
Ԧ = (Ԧi + Ԧj) = Ԧi + Ԧj，
即
Ԧ = ( ， .
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
例6 已知 Ԧ = (2 ， 1 ， = (−3 ， 4)，求3Ԧ + 4的坐标.
CD是否共线?
4.求线段AB的−1, 2)，(3, 6);

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
|素养目标·定方向|
素养目标
学法指导
1．理解数乘向量的坐标 数乘运算的结果仍然是向量，所以数 运算和法则.(数学运算) 乘运算的结果也仍然是坐标.通过坐 2．理解用坐标表示向量 标的计算来处理向量的共线问题，体 共线的条件.(数据分析) 现了向量代数与几何的完美结合.
知识点3 中点坐标公式
若 P1，P2 的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的
中点 P 的坐标为(x，y)，则xy＝＝xy11＋＋22 xy22，，
此公式为线段
P1P2 的中点坐标公式.
[知识解读] 两个向量共线条件的三种表示方法 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). (1)当b≠0时，a＝λb. 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系. (2)x1y2－x2y1＝0． 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参 数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的 特点和程序化的特征.
2．利用向量平行的条件求参数值的思路 (1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
【对点练习 2】 若 a＝( 3，cos α)，b＝(3，sin α)， π
且 a∥b，则锐角 α＝__3___.
[解析] ∵a＝( 3，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b， ∴ 3sin α－3cos α＝0，即 tan α＝ 3， 又 0<α<π2，故 α＝π3.
∴e1∥e2；D 中 e1＝4e2，∴e1∥e2，故选 B．
题型二 向量平行(共线)的判定
典例 2 (2)已知 a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当 λ 为何值时， λa－b 与 a＋2b 平行？平行时，它们是同向还是反向？

[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)

所以1 + 1 + 2 = −21 + 2 ，即 1 + 2 1 = − 1 − 2 ．
知识应用
例3
已知1 ，2 是平面内两个不共线的非零向量， = 21 + 2 ， = －1 + 2 ，
= －21 + 2 ，且，，三点共线．若1 = (2,1)，2 = (2, －2)，求向量
,
3
3
或
1 +22 1 +22
,
3
3
1 +22 1 +22
,
3
3
．
．
知识应用
问题5
当 = 时，点的坐标是什么？
【答案】设点的坐标为 , ，由于 = ，
所以 − 1 , − 1 = 2 − , 2 − ，
由此可得： − 1 = (2 − )， − 1 = (2 − )，
你能证明上述结论么?
【答案】即＝，因此与（ ≠ ）共线．
②如果1 ＝0，1 ≠ 0，则有2 ＝0，

2
设＝ 1 ，同样有(1 , 1 )＝(2 , 2 )，即＝，因此与（ ≠ ）共线．
③类似的，如果1 ＝0，1 ＝0，则有＝，因此与（ ≠ ）共线．
4－3＝4(2,1)－3(－3,4)＝(8,4)－(－9,12)＝(17, －8)．
知识应用
例2
平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)．
（1）求满足＝＋的实数，的值．
（2)若向量＋与2－平行，求实数的值．
【解析】（1）＝＋＝(－1,2)＋(4,1)＝(4－, 2＋)，
（2）当点是线段的一个三等分点时，求点的坐标．
【解析】