2021年全国大学高数考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1) 22limx x →= .(2) 设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y∂=∂∂ .(3) 设L 为椭圆221,43x y +=其周长记为a ,则22(234)L xy x y ds ++=⎰ . (4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 (5) 设两两相互独立的三事件A , B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
) (1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导(3) 设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中12()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 ( )(A)12 (B)12- (C)34 (D)34- (4) 设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线 111232323x a y b z c a a b b c c ---==--- ( )(A) 相交于一点 (B) 重合 (C) 平行但不重合 (D) 异面(5) 设A B 、是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有( )(A) (|)(|)P A B P A B = (B) (|)(|)P A B P A B ≠ (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z L --==-在平面:210x y z ∏-+-=上的投影直线0L 的方程,并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分5分)求()()sin ()cos ,xx LI ey b x y dx e y ax dy =-++-⎰其中a ,b 为正常数， L 为从点A ()2a,0沿曲线O (0,0)的弧.五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y (从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m ,体积为B ,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)k k >.试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式()y =y v .六、(本题满分6分)试证：当0x >时，()()221ln 1.x x x -≥-七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎝⎭八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点P (,,)x y z ∈S ,π为S 在点P 处的切平面，(,,)x y z ρ为点O (0,0,0)到平面π的距离，求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分6分)设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1) 试证存在0(0,1)x ∈,使得在区间[]00,x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间[]0,1x 上以()y f x =为曲边的梯形面积. (2) 又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的.十、(本题满分8分)设矩阵153,10ac A b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦其行列式1,A =-又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T α=--求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分4分)设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组0k A x =有解向量α,且10k A α-≠,证明：向量组1,,,k A A ααα-是线性无关的.十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量()X,Y 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.十三、(本题满分6分)设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、(本题满分4分)设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程. 附表：t 分布表{()()}p P t n t n p ≤=2021年全国大学高数考试数学一试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】14-【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式22x→=24x →-=)221lim4x x →=2220112112lim 24x xx x →-- =-.方法2：采用洛必达法则.原式)()022limxx →''洛0x →=0x →=0x →=0x → 洛 14==-.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2x 项,()22111128x x o x =+-+()22211128x x o x =--+, 从而 原式()()2222122011111122828lim x x x o x x x o x x →+-++--+-= ()()222122014lim x x o x o x x →-++=14=-. (2)【答案】()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''++++【分析】因为1()(),,z f xy y x y f xϕϕ=++具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求z x ∂∂或z y∂∂均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法1：先求z x∂∂. 211()()()()()z y f xy y x y f xy f xy y x y x x x x x ϕϕ∂∂⎡⎤''=++=-+++⎢⎥∂∂⎣⎦, 2221()()()11()()()()()11()()()()()()()().z y f xy f xy y x y x y y x x yf xy x f xy f xy x x y y x y x x xf xy f xy yf xy x y y x y x xyf xy x y y x y ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂⎛⎫''=-+++ ⎪∂∂∂⎝⎭'''''''=-++++++'''''''=-++++++'''''=++++ 方法2：先求z y∂∂. 11()()()()()()()(),z f xy y x y f xy x x y y x y y y x xf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ∂∂⎡⎤''=++=++++⎢⎥∂∂⎣⎦''=++++ []22()()()()()().z z f xy x y y x y x y y x xyf xy x y y x y ϕϕϕϕ∂∂∂''==++++∂∂∂∂∂'''''=++++ 方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：()[][][]21()()1()()()()()()().z f xy y x y x y x y x y x f xy x y x y x x y f xy y x y x yyf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤=++ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎣⎦∂∂⎡⎤''=++⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂''=++∂∂'''''=++++ 评注：本题中,,f ϕ中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x 求导时,y 视为常数；对y 求导时,x 视为常数就可以了. (3)【答案】12a【解析】L 关于x 轴(y 轴)对称,2xy 关于y (关于x )为奇函数20Lxyds ⇒=⎰.又在L 上,22222213412(34)1212.43L L x y x y x y ds ds a +=⇒+=⇒+==⎰⎰因此, 原式222(34)12LLxyds x y ds a =++=⎰⎰.【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分(),lf x y ds ⎰,设(),f x y 在l 上连续,如果l关于y 轴对称,1l 为l 上0x ≥的部分,则有结论：()()()()12,,,,0,l lf x y ds f x y x f x y ds f x y x ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰关于为偶函数,，关于为奇函数. 类似地,如果l 关于x 轴对称,2l 为l 上0y ≥的部分,则有结论：()()()()22,,,,0,l lf x y ds f x y y f x y ds f x y y ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰关于为偶函数,，关于为奇函数. (4)【详解】因为E A λ-11...111...1 (1)1...1λλλ---⎛⎫⎪--- ⎪=⎪⎪---⎝⎭(对应元素相减)两边取行列式，11...111...1 (1)1...1E A λλλλ-------=---1...121...1............11...1n n n n λλλλλ---⋯------把第，，列加到第列11...1111 (1)()............11 (1)n λλλ-------提取第列的公因子2111...10 031()............00...1n n λλλ------行行行行行行-1()n n λλ=-令-1()0n E A n λλλ-=-=，得12(10((1)n n λλ==-重)，重)，故矩阵A 的n 个特征值是n 和0((-1)n 重)(5)【答案】14 【详解】根据加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+因为()()()P A P B P C ==，设()()()P A P B P C p ===由于,,A B C 两两相互独立，所以有2()()()P AB P A P B p p p ==⨯=， 2()()()P AC P A P C p p p ==⨯=， 2()()()P BC P B P C p p p ==⨯=，又由于ABC =∅，因此有()()0,P ABC P =∅= 所以 ()()()()()()()()P AB C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+2220p p p p p p =++---+233p p =-又9()16P AB C =，从而29()3316P A B C p p =-=，则有2933016p p --= 23016p p ⇒-+=，解得 3144p ==或p因1()()()2P A P B P C p ===<，故 14p =，即1()4P A =二、选择题 (1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()f x 的原函数()F x 可以表示为0()(),xF x f t dt C =+⎰于是()0()()().u txxF x f t dt C f u d u C =---=+=--+⎰⎰当()f x 为奇函数时，()()f u f u -=-，从而有()()()()xxF x f u du C f t dt C F x -=+=+=⎰⎰即 F (x )为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()f x x =是偶函数，但其原函数31()13F x x =+不是奇函数，可排除(B)；2()cos f x x =是周期函数，但其原函数11()sin 224F x x x =+不是周期函数，可排除(C)；()f x x =在区间(,)-∞+∞内是单调增函数，但其原函数21()2F x x =在区间(,)-∞+∞内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】( D )【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为20001()(0)(0)lim lim lim 0,0x x x xf x f f x ++++→→→-'====- 2000()(0)()(0)lim lim lim ()0,0x x x f x f x g x f xg x x x----→→→-'====-从而，(0)f '存在，且(0)0f '=，故正确选项为(D).(3)【答案】( C )【详解】由题设知，应先将()f x 从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作周期(周期2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，5111()(2)()()2222S S S S -=--=-=而12x =是()f x 的间断点，按狄利克雷定理有， 111(0)(0)113222().2224f f S -+++===(4)【答案】(A) 【解析】设3331121212:x a y b z c L a a b b c c ---==---,1112232323:x a y b z c L a a b b c c ---==---,题设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则由行列式的性质,可知 11112121222223232333333312230a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ------≠行减行，行减行, 故向量组121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---线性无关,否则由线性相关的定义知,一定存在12,k k ,使得11212122232323(,,)(,,)0k a a b b c c k a a b b c c ---+---=,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---分别为12,L L 的方向向量,由方向向量线性相关,两直线平行,可知12,L L 不平行.又由333121212x a y b z c a a b b c c ---==---得333121212111x a y b z c a a b b c c ----=-=----,即()()()312312312121212x a a a y b b b z c c c a a b b c c ---------==---. 同样由111232323x a y b z c a a b b c c ---==---,得111232323111x a y b z c a a b b c c ---+=+=+---,即 ()()()123323323232323x a a a y b b b z c c c a a b b c c -+--+--+-==---, 可见12,L L 均过点()213213213,,a a a b b b c c c ------,故两直线相交于一点,选(A). (5)【答案】C【分析】由题设条件(|)(|)P B A P B A =,知A 发生与A 不发生条件下B 发生的条件概率相等,即A 发生不发生不影响B 的发生概率,故,A B 相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑(|)P A B 与(|)P A B 是否相等,选项(C)和(D)才是事件A 与B 是否独立. 【解析】由条件概率公式及条件(|)(|),P B A P B A =知{}{}{}{}{}{}{}1P AB P AB P B P AB P A P A P A-==-, 于是有 {}{}{}{}{}1P AB P A P A P B P AB -=⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 可见 {}{}{}P AB P A P B =. 应选(C).【相关知识点】条件概率公式：{}{}{}|P AB P B A P A =.三、(本题满分5分)【解析】方法1：求直线L 在平面∏上的投影0L ：方法1：先求L 与∏的交点1N .以1,:,1x t L y t z t =+⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入平面∏的方程,得(1)2(1)101t t t t +-+--=⇒=.从而交点为1(2,1,0)N ；再过直线L 上点0(1,0,1)M 作平面∏的垂线11:112x y z L --'==-,即1,,12.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩并求L '与平面∏的交点2N ：1(1)()2(12)103t t t t +--++-=⇒=-,交点为2211(,,)333N .1N 与2N 的连接线即为所求021:421x y zL --==-. 方法2：求L 在平面∏上的投影线的最简方法是过L 作垂直于平面∏的平面0∏,所求投影线就是平面∏与0∏的交线.平面0∏过直线L 上的点(1,0,1)与不共线的向量(1,1,1)l =- (直线L 的方向向量)及(1,1,2)n =-(平面∏的法向量)平行,于是0∏的方程是111110112x y z ---=-,即3210x y z --+=. 投影线为 0210,:3210.x y z L x y z -+-=⎧⎨--+=⎩下面求0L 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面S 的方程.为此,将0L 写成参数y 的方程：2,1(1).2x y z y =⎧⎪⎨=--⎪⎩ 按参数式表示的旋转面方程得S 的参数方程为22221(2)((1))cos ,2,1(2)((1))sin .2x y y y y z y y θθ⎧=+-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+-⎪⎩消去θ得S 的方程为()222212(1)2x z y y ⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦,即2224174210.x y z y -++-=四【详解】方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式.添加从点(0,0)O 沿0y =到点()2a,0A 的有向直 线段1L , 如图，则()()1sin ()cos xx L L I ey b x y dx e y ax dy +=-++-⎰()()1sin ()cos x x L e y b x y dx e y ax dy --++-⎰利用格林公式，前一积分21()()2D DQ P I dxdy b a dxdy a b a x y π⎛⎫∂∂=-=-=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 其中D 为1L +L 所围成的半圆域，后一积分选择x 为参数，得1L :(),02,0x xx a y =⎧≤≤⎨=⎩ 可直接积分 2220()2aI bx dx a b =-=-⎰，故 23122.22I I I a b a ππ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭方法2：将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计算.()()sin ()cos x x LI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰sin cos ()x x LLe ydx e ydy b x y dx axdy =+-++⎰⎰前一积分与路径无关，所以(0,0)(2,0)sin cos sin 0x x x a Le ydx e ydy e y+==⎰对后一积分，取L 的参数方程cos sin x a a t y a t =+⎧⎨=⎩，则sin cos dx a tdtdy a tdt=-⎧⎨=⎩，t 从0到π，得 ()Lb x y dx axdy ++⎰22223320(sin sin cos sin cos cos )a b t a b t t a b t a t a t dt π=---++⎰22311222a b a b a ππ=--+从而 22323110(2)22222I a b a b a a b a ππππ⎛⎫=---+=+- ⎪⎝⎭五、(本题满分6分)【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O ,铅直向下作为Oy 轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg ,浮力的大小：F B ρ=-浮；阻力：kv -,则由牛顿第二定律得202,0,0.t t d ym mg B g kv y vdtρ===--== (*)由22,dy d y dv dv dy dv dy v v v dv dt dt dt dy dt dy===⋅==,代入(*)得y 与v 之间的微分方程10,0y dy mv mg B kv v dv ρ-=⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.分离变量得 mvdy dv mg B kv ρ=--,两边积分得 mvdy dv mg B kv ρ=--⎰⎰,2222()()()Bm m g Bm m g mv k k k k y dv mg B kv m Bm m g mg B kv k k k dv mg B kv m g Bm m k dvk mg B kv m m mg B dv dvk k mg B kv ρρρρρρρρρρ+--+=------+=--⎛⎫- ⎪=-+ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-+--⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()m mg B m k v d mg B kv k k mg B kv ρρρ-⋅-=-+----⎰ (第一类换元法) 2()ln()m m mg B v mg B kv C k kρρ-=----+.再根据初始条件0|0,y v ==即22()()ln()0ln()m mg B m mg B mg B C C mg B k kρρρρ----+=⇒=-. 故所求y 与v 函数关系为()2ln .m mg B m mg B kv y v k k mg B ρρρ-⎛⎫--=-- ⎪-⎝⎭六【详解】构造函数，利用函数的单调性，证法1：令 ()()22()1ln 1.f x x x x =---易知(1)0f =又 1()2ln 2,(1)0f x x x x f x''=-+-= 21()2ln 1,(1)20f x x f x''''=++=> 232(1)()x f x x -'''=可见，当01x <<时，()0()f x f x '''<⎧⎨''⎩；当1x <<+∞时，()0()f x f x '''>⎧⎨''⎩因此，(1)2f ''=为()f x ''的最小值，即当0x <<+∞时，()(1)20f x f ''''≥=>，所以()f x '为单调增函数. 又因为(1)0f '=，所以有01x <<时()0f x '< ；1x <<+∞时()0f x '>，所以利用函数单调性可知，1f （）为()f x 的最小值，即()(1)0f x f ≥= 所以有0x >时，()()221ln 1.x x x -≥-证法2：先对要证的不等式作适当变形，当1x =时，原不等式显然成立；当01x <<时，原不等式等价于1ln ;1x x x -≤+ 当1x <<+∞时，原不等式等价于1ln ;1x x x -≥+令 1()ln 1x f x x x -=-+则 ()()()222121()0011x f x x x x x x +'=-=>>++又因为(1)0,f =利用函数单调性可知当01x <<时，()0,f x <即1ln ;1x x x -<+当1x <<+∞时，()0,f x >即1ln ;1x x x ->+ 综上所述，当0x >时，()()221ln 1.x x x -≥-七、(本题满分6分)【分析】这是n 项和式的极限,和式极限通常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法结合到一起来求极限.当各项分母均相同是n 时,n 项和式2sin sinsin n n n n n x nnnπππ=+++是函数sin x π在[0,1]区间上的一个积分和.于是可由定积分1sin xdx π⎰求得极限lim nn x →∞.【解析】由于sinsin sin ,1,2,,11i i i n n n i n n n n i πππ≤≤=⋅⋅⋅++, 于是, 111sin sin sin11n n n i i i i i i n n n n n n iπππ===≤≤++∑∑∑. 由于 1011sin12limlim sin sin nnn n i i i i n xdx n n n ππππ→∞→∞=====∑∑⎰,10111sin112lim lim sin lim sin sin 11nn nn n n i i i i n i i n xdx n n n n n n πππππ→∞→∞→∞===⎡⎤=⋅===⎢⎥++⎣⎦∑∑∑⎰根据夹逼定理知,1sin2lim1nn i i n n iππ→∞==+∑. 【相关知识点】夹逼准则：若存在N ,当n N >时,n n n y x z ≤≤,且有lim lim n n n n y z a →+∞→+∞==,则lim n n x a →+∞=.八【分析】先写出切平面方程，然后求(,,)x y z ρ，最后将曲面积分化成二重积分. 【详解】点(,,)P x y z S ∈，S 在点P 处的法向量为{},,2n x y z =，设(,,)X Y Z 为π上任意一点，则π的方程为()()2()0x X x y Y y z Z z -+-+-=，化简得122x yX Y zZ ++= 由点到平面的公式，(0,0,0)O 到π的距离12222(,,)44x y x y z z ρ-⎛⎫===++ ⎪⎝⎭从而(,,)S Sz dS x y z ρ=⎰⎰⎰⎰ 用投影法计算此第一类曲面积分，将S 投影到xOy 平面，其投影域为{}22(,)|2D x y x y =+≤由曲面方程知,),z x y D =∈于是zz xy ∂∂==∂∂因此dS σσ==故有(,,)S Sz dS x y z ρ=⎰⎰⎰⎰ ()222200114)44D x y d d r rdr πσθ=---⎰⎰⎰极坐标3.2π=九、(本题满分6分)【解析】(1)要证0(0,1)x ∃∈,使0100()()x x f x f x dx =⎰；令1()()()x x xf x f t dt ϕ=-⎰,要证0(0,1)x ∃∈,使0()0x ϕ=.可以对()x ϕ的原函数0()()x x t dt ϕΦ=⎰使用罗尔定理：(0)0Φ=,11111111000(1)()()(())()()()0,xx x x x dx xf x dx f t dt dxxf x dx x f t dt xf x dx ϕ==Φ==-⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分部又由()f x 在[0,1]连续()x ϕ⇒在[0,1]连续,()x Φ在[0,1]连续,在(0,1)可导.根据罗尔定理,0(0,1)x ∃∈,使00()()0x x ϕ'Φ==.(2) 由()()()()()2()0x xf x f x f x xf x f x ϕ'''=++=+>,知()x ϕ在(0,1)内单调增,故(1)中的0x 是唯一的.评注：若直接对()x ϕ使用零点定理,会遇到麻烦：1(0)()0,(1)(1)0f t dt f ϕϕ=-≤=≥⎰.当()0f x ≡时,对任何的0(0,1)x ∈结论都成立；当()f x ≡0时,(0)0,ϕ<但(1)0ϕ≥,若(1)0ϕ=,则难以说明在(0,1)内存在0x .当直接对()x ϕ用零点定理遇到麻烦时,不妨对()x ϕ的原函数使用罗尔定理. 【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数()f x 满足 (1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.十【详解】根据题设，*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),Tα=-- 根据特征值和特征向量的概念，有 *0,A αλα=把1A =-代入*AA A E =中，得*,AA A E E ==-则*AA E ααα=-=-. 把*0A αλα=代入，于是*00,AA A A αλαλα== 即0A αλα-=也即011153111011a c b c a λ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，011531(1)1a c b c a λ-++-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒--+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦常数0λ乘以矩阵153(1)a c b c a -++⎡⎤⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，需用0λ乘以矩阵的每一个元素 00001(1)153(53)1(1)[(1)]1a c a c b b c a c a λλλλ-++-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+=--+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦矩阵相等，则矩阵的对应元素都相同，可得000(1)1(1)(53)1(2)(1)1a c b c a λλλ-++= ⎧⎪--+= ⎨⎪-+-=- (3)⎩因10A =-≠， A 的特征值0λ≠，*A 的特征值*0Aλλ=≠，故00λ≠由(1),(3)两式得00(1)(1)a c c a λλ-++=--+-，两边同除0λ，得 1(1)a c c a -++=--+-整理得a c =，代入(1)中，得01λ=. 再把01λ=代入(2)中得3b =- 又由1A =-，3b =-以及a c =，有153310a a A aa-=---131533110a a -+--行行121523100a a a-+列列 3113(1)23a a +--按第行展开(其中31(1)+-的指数3，1分别是1的行数和列数)3(1)2a a =--31a =-=-故 2,a c == 因此02,3,2, 1.a b c λ==-==十一、(本题满分4分)【解析】用线性无关的定义证明.设有常数011,,,,k λλλ-⋅⋅⋅使得10110.()k k A A λαλαλα--++⋅⋅⋅+=*两边左乘1k A-,则有()110110k k k A A A λαλαλα---++⋅⋅⋅+=,即 12(1)0110k k k k A A Aλαλαλα---++⋅⋅⋅+=. 上式中因0kA α=,可知()2110k k AA αα-+===,代入上式可得100.k A λα-=由题设10k A α-≠,所以00.λ=将00λ=代入()*,有1110k k A A λαλα--+⋅⋅⋅+=.两边左乘2k A-,则有 ()21110k k k A A A λαλα---+⋅⋅⋅+=,即123110k k k A A λαλα---+⋅⋅⋅+=.同样,由0k A α=,()2110k k AA αα-+==,可得110.k A λα-=由题设10k A α-≠,所以10.λ=类似地可证明210,k λλ-=⋅⋅⋅==因此向量组1,,,k A A ααα-⋅⋅⋅是线性无关的. 【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k 使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．十二【详解】离散型随机变量边缘分布律的定义：{}{},,1,2,i i i j ij jjp P X x P X x Y y p i ⋅=======∑∑ {}{},,1,2,j j i j ij iip P Y y P X x Y y p j =======∑∑(通俗点说就是在求关于X 的边缘分布时，就把对应x 的所有y 都加起来，同理求关于Y 的边缘分布时，就把对应y 的所有x 都加起来)故 {}{}1111,ii iiP Y y p P X x Y y p⋅======∑∑ 即{}{}{}11121,,P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==而由表知{}116P Y y ==，{}211,8P X x Y y ===，所以 {}{}{}11121111,,6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=又根据X Y 和相互独立，则有：{}{}{},i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== 即ij i j p p p ⋅⋅=因{}111,24P X x Y y ===，{}116P Y y ==，而{}{}{}1111,P X x Y y P X x P Y y ===== 所以{}{}{}11111,124146P X x Y y P X x P Y y =======再由边缘分布的定义有{}{}{}{}1111213,,,P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==所以 {}{}{}{}1311112,,,P X x Y y P X x P X x Y y P X x Y y ====-==-==1111424812=--= 又由独立性知{}{}{}1313,P X x Y y P X x P Y y =====所以 {}{}{}13311,112134P X x Y y P Y y P X x =======由边缘分布定义有{}{}{}31323,,P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 所以 {}{}{}23313111,,3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-= 再由1i ip ⋅=∑，所以{}{}21131144P X x P X x ==-==-= 而 {}{}{}{}2212223,,,P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+== 故 {}{}{}{}2222123,,,P X x Y y P X x P X x Y y P X x Y y ====-==-==31134848=--= 又1jjp =∑，所以{}{}{}21311111632P Y y P Y y P Y y ==-=-==--= 所以有：十三、(本题满分6分)【分析】把X Y -看成一个随机变量,根据独立正态随机变量的线性组合必然为正态分布的性质,可以知道N(0,1)X Y-,这样可以简化整题的计算.【解析】令Z X Y =-,由于,X Y 相互独立,且都服从正态分布,因此Z 也服从正态分布,且()()()0E Z E X E Y =-=,11()()()122D Z D X D Y =+=+=. 于是,(0,1)Z X Y N =-~.()()()()()()()22222()1.D X Y D ZE ZE Z D Z E Z E ZE Z-==-=+-=-而2222z z E Z z dz ze dz +∞+∞---∞==⎰2222202z z z ed e+∞+∞--⎡⎤⎛⎫==-=⎥⎪⎝⎭⎥⎦故21.D X Y π-=-【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.2.方差的定义：22()DX EX EX =-.3.随机变量函数期望的定义：若()Y g X =,则()()EY g x f x dx +∞-∞=⎰.十四、(本题满分4分)【解析】设该次考试的考生成绩为X ,则2~(,)X N μσ,设X 为从总体X 抽取的样本容量为n 的样本均值,S 为样本标准差,则在显著性水平0.05α=下建立检验假设：001:70,:70,H H μμμ==≠由于2σ未知,故用t 检验.选取检验统计量,X T ==在070μμ==时,2~(70,),~(35).X N T t σ选择拒绝域为{}R T λ=≥,其中λ满足：{}0.05P T λ≥=,即{}0.9750.975,(35) 2.0301.P T t λλ≤===由0 36,66.5,70,15,n x s μ====可算得统计量T 的值：1.42.0301t ==<.所以接受假设0:70H μ=,即在显著性水平0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1 B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()()limx af x f a b x a →-=-，则sin ()sin lim x a f x ax a→-=- （ ）（A ）sin b a （B ）cos b a （C ）sin ()b f a （D ）cos ()b f a 【答案】（B ） 【解析】由()lim,x a f x ab x a →-=-得(),()f a a f a b '==，则（2）函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x =-，由此11121111ln 1lim ()limlim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x ef x x e x e ---→-→-→-+==-+=-∞---； 111000ln 1ln(1)1lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e--→→→++==-=---； 1111111111111ln 1ln 2lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x e x f x e e x e e x e e x e ---++--→→→--→→+===---+==-∞---；112222ln 1ln 31lim ()limlim (1)(2)(1)2x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞---- 故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C ）正确。
山东省2020年普通高校招生（春季）考试数学试题1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分钟。
考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2.本次考试允许使用函数型计算机，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母选出，并填涂在答题卡上）1.已知全集U=｛a，b，c，d｝，集合M=｛a，c｝，则CM等于（）UA.∅B.｛a，c｝C.｛b，d｝D.｛a，b，c，d｝12.函数f（x）= 的定义域是（）lgxA.｛0，+∞｝C.［0,1）∪（1，+∞）B.（0,1）∪（1，+∞）D.（1，+∞）f （x -f x 1x -x123.已知二次函数f（x）的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数xx总有1，2，2 ＞0成立，则函数f（x）一定是（）A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数4.已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设AB=a，A D=b，则EF等于（）1 1（a+b） B.（a-b）A. 2 21 1C.（b-a）D.a+b2 25.在等比数列｛a ｝中，a=1，a=-2，则a 等于（）n 1 2 9 A.256B.-256C.512D.-5126 .已知直线l ：y=xsin θ +cox θ的图像如图所示，则角θ 是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角7.已知圆心为（-2,1）的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）2 222A.（x+2）+（y-1）=1B.（x+2）+（y-1）=42D.（x-2）2+（y+1）=422C.（x-2）+（y+1）=18.现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表， 则不同安排方法的种数是（）A.12B.120C.1440D.172802 189.在（x-）的二项展开式种，第4项的二项式系数是（）xA.56B.-56C.70D.-7010.直线2x+3y-6=0关于点（-1,2）对称的直线方程是（）A.3x-2y-10=0 C.2x+3y-4=0B.3x-2y-23=0 D.2x+3y-2=011.已知a∈R，若集合M=｛1，a ｝，N=｛-1,0,1｝，则“a=0”是“M N”的（）A.充分不必要条件 C.充要条件B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件212.已知函数y=ax+bx+c 的图像如图所示，2 则不等式ax+bx+c ＞0的解集是（） A.（-2,1）B.（-∞，-2）∪（1，+∞）C.［-2,1］D.（-∞，-2］∪［1，+∞）x13已知函数y=f（x）是偶函数，当x∈（0，+∞）时，y=a（0＜a＜1），则该函数在（-∞，0）上的图像大致是（）14.下列命题为真命题的是（）A.1＞0且3＞4B.1＞2或3＞52D.∀x∈R，x≥0C.∃∈R，cosx＞1215.已知点A（4,3），B（-4,2），点P在函数y=x-4x-3图像的对称轴上，若PA⊥PB，则点P的坐标是（）A.（2，-6）或（2,1）C.（2,6）或（2，-1）B.（-2，-6）或（-2,1）D.（-2,6）或（-2，-1）16.现在有5位老师，若每人随机进入两间教室中任意一间听课，则恰好全部进入同一间教室的概率是（）A. 225 B. 116C. 125D. 13217.已知椭圆的长轴长为10，焦轴为8，则该椭圆的短轴长等于（）A.3B.6C.8D.1218.已知变量x，y满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数z=2x+3y的取值范围是（）A.［0,6］B.［4,6］C.［4,10］D.［6,10］19.已知正方体ABCD-ABCD （如图所示），则下列结论正确的是（） 1 1 1 1A.BD//A 1A1B.BD//A 1D1C.BD⊥A 1C1D.BD⊥A 1C 112 2 220.在△ABC中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a+b=C+absinC ，且 2 asinBcosC+csinBcosA= A.3 b ，则tanA 等于（）2B.- 1C.3或- 1D.-3或 1333卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分。
