2018年全国硕士研究生入学统一考试《数学》真题及详解

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)()f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】（D）【解析】根据导数的定义：（A）sin limlim0,x x x x x x x x→→== 可导；（B）0,x x →→==可导；（C）1cos 12limlim0,x x xx xx→→--==可导；（D）000122lim lim,x x x xx x→→→-==极限不存在，故选D。

（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（）(A)01z x y z =+-=与(B)022z x y z =+-=与2(C)1x y x y z =+-=与(D)22x y x y z =+-=与2【答案】（B）【解析】()()221,0,0,0,1,0=0z z x y =+过的已知曲面的切平面只有两个，显然与曲面相切，排除C 、D22z x y =+曲面的法向量为(2x,2y,-1),111(1,1,1),,22x y z x y +-=-==对于A选项,的法向量为可得221.z x y x y z z A B =++-=代入和中不相等，排除，故选（3）()()23121!nn n n ∞=+-=+∑（）(A)sin1cos1+(B)2sin1cos1+(C)2sin12cos1+(D)2sin13cos1+【答案】（B）【解析】00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn nn n n n n n n n ∞∞∞===++-=-+-+++∑∑∑0012=(1)(1)cos 2sin1(2)!(21)!nn n n l n n ∞∞==-+-=++∑∑故选B.（4）设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xx xxx e x N dx dx Meeπππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ--+>==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案解析一、选择题（4分×8）1.下列函数在x = 0处不可导的是 （ ）A 、 ()sin f x x x = B、()f x x = C 、()cos f x x = D、()f x = 解 选D 。

由导数定义或左右导数与导数的关系可知：00sin lim lim 0,x x x x x x x x→→==故A 选项不正确；000x x →→==，故B 选项不正确；2002sin cos 12lim lim 0x x x x x x →→-==，故C 选项不正确；20002sin 12lim lim 2x x x x x x→→→-==-，极限不存在，故D 选项正确。

2. 过点(1,0,0),(0,1,0)，且与曲面22z x y =+相切的平面为 （ ）A 、 01z x y z =+-=与B 、022z x y z =+-=与2C 、1x y x y z =+-=与D 、22x y x y z =+-=与2解 选B 。

由已知，点(1,0,0),(0,1,0)在切平面上，而选项C ，D 显然不满足，故排除C ，D 。

又曲面22z x y =+上任一点(,,)x y z 处的法向量为(2,2,1)x y -，如选项A 正确，1x y z +-=的法向量为(1,1,1)-，可得切点的11,22x y ==，代入曲面方程得12z =，而代入1x y z +-=得0z =，矛盾，故排除A 选项。

3. 023(1)(21)!nn n n +∞=+-=+∑（ ） A 、 sin1cos1+ B 、2sin1cos1+C 、2sin12cos1+D 、2sin13cos1+解 选B 。

因00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn n n n n n n n n n +∞+∞+∞===++-=-+-+++∑∑∑ 0011(1)2(1)cos12sin1(2)!(21)!n n n n n n +∞+∞===-+-=++∑∑。

( )2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1）下列函数中，在 x = 0 处不可导的是（ ）(A) f ( x ) = x sin x(B) f ( x ) = x sin(C) f ( x ) = cos x(D) f ( x ) = cos【答案】（D ）【解析】根据导数的定义：lim（A ）x →0x= limx →0x xx = 0, 可导lim（B ） x →0x= limx →0x- 1 x= 0, 可导lim = lim 2 = 0, 可导（C ） x →0 xlim（D ）x →0 x x →0 x- 1 x 2 = lim 2 x →0 x- 1x = lim 2 x →0 x, 极限不存在故选 D 。

（2）过点(1, 0, 0), (0,1, 0) ，且与曲面 z = x 2 + y 2 相切的平面为（ ）(A) z = 0与x + y - z = 1(B) z = 0与2x + 2 y - z = 2(C) x = y 与x + y - z = 1(D) x = y 与2x + 2 y - z = 2【答案】（B ）过(1, 0, 0), (0,1, 0 )的已知曲面的切平面只有两个，显然z =0 与曲面z = x 2 + y 2相切，排除C 、D【解析】曲面z = x 2 + y 2的法向量为(2x,2y,-1),对于A选项,x + y - z = 1的法向量为(1,1, -1), 可得x = 1 , y = 1,2 2 代入z = x 2 + y 2和x + y - z = 1中z 不相等，排除A ，故选B .∞-n 2n +3（3） ∑( n =0 1) = （ ） 2n +1 ! cos x -1cos x -1 x x x sin x x sin x xx⎝ ⎭n =0 n =0 ⎰ π2⎰ ⎰ π n =0 π⎰π ⎰ π ⎰ π ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭⎪ (A) sin1 + cos1(B) 2sin1+ cos1(C) 2 sin1+ 2 cos1(D) 2sin1+ 3cos1【答案】（B ）∞n2n + 3∞n2n +1∞n2∑(-1)【解析】 n =0(2n +1)! =∑(-1) (2n +1)! +∑(-1)(2n +1)!∞n1∞n2故选 B.=∑(-1)n =0(2n )! + ∑(-1) =cos l + 2 sin1 (2n +1)!π(1+ x )2π 1+ x π（4） 设 M =2 dx , N =2dx , K = 2(1cos x )dx , 则（ ）⎰-π 1+ x2⎰-πex⎰-π222(A) M > N > K(B) M > K > N(C) K > M > N(D) K > N > M【答案】（C ）π(1+ x )2π 1+ x 2+ 2xπ2xM = 【解析】2 -1+ x dx = 2-1+ x 2dx = 2(1 + -1+ x 2 )dx = π.2221+ x π1+ x π1+ x < e x (x ≠ 0) ⇒ < 1 ⇒ N = e 2 2 -π e x dx < 2 1dx = π< M - 2 2π πK = 2（1 -dx > 21dx = π= M - 22故K > M > N , 应选C 。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）下列函数中,在0x =处不可导是（ ）()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x xC f x xD f x x====【答案】D(2)过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为（A ）01z x y z =+-=与（B ）022z x y z =+-=与2（C ）1y x x y z =+-=与 （D ）22y x x y z =+-=与2【答案】B （3）23(1)(21)!nn n n ∞=+-=+∑（A ）sin1cos1+（B ）2sin1cos1+（C ）2sin12cos1+ （D ）3sin12cos1+ 【答案】B（4）设2222(1)1x M dx x ππ-+=+⎰,221x xN dx e ππ-+=⎰,22(1cos )K x dx ππ-=+⎰,则,,M N K 的大小关系为 （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >>【答案】C 【解析】（5）下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为 111()011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()011001B -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111()010001C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()010001D -⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭【答案】A全国统一服务热线：400—668—2155 精勤求学 自强不息(6) 设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则（A ）()()r A AB r A = （B ）()()r A BA r A = （C ）()max{(),()}r A B r A r B = （D ）()()T T r A B r A B =【答案】A（7）设随机变量X 的概率密度函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=- ，且2()0.6,f x dx =⎰则{0}P X <=（ ）（A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.4 （D ）0.5【答案】 A 【解析】（8）设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，据样本检测：假设：0010:,:H H μμμμ=≠则（ ）(A)如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (B) 如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H (C) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (D) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H 【答案】A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1sin 01tan lim 1tan kxx x e x →-⎛⎫=⎪+⎝⎭则k=___-2____(10) 设函数()f x 具有2阶连续导数，若曲线()f x 过点（0,0）且与曲线2xy =在点（1，2）处相切，则1()xf x dx ''=⎰_____【答案】2ln22-(11) 设(,,)F x y z xyi yzj zxk =-+则(1,1,0)rotF =_____【答案】(1,0,1)-(12)曲线S 由2221x y z ++=与0x y z ++=相交而成,求Sxyds ⎰【答案】0（13）设2阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，且满足21212()A αααα+=+则A =【答案】-1.（14）设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立，BC =∅，若11()(),()24P A P B P AC AB C ==⋃=，则()P C = ．【答案】1/4三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求不定积分21x xe e dx -⎰（16）（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析（江南博哥）1[单选题]下列函数中，在x=0处不可导的是( )．A.f(x)=|x|sin |x|B.f(x)=|x|sinC.f(x)=cos|x|D.f(x)=cos正确答案：D参考解析：2[单选题]设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且，则( )．A.当f’(x)<0时，f()<0B.当f’’(x)<0时，f()<0C.当f'(x)>0时，f()<0D.当f”(x)>0时，f()<0正确答案：D参考解析：3[单选题]( )．A.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M正确答案：C参考解析：4[单选题]设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则( )．A.C '(Q0)=0B.C’(Q0)=C(Q0)C.C’(Q0)=Q0c(Q0)D.Q0C'(Q0)=C(Q0)正确答案：D参考解析：5[单选题]( )．A.B.C.D.正确答案：A参考解析：本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等)．若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A～B．从而可知E—A～E-B，且r(E—A)=r(E—B)．设题中所给矩阵为A，各项中的矩阵分别为B1，B2，B3，B4．经验证知r(E—B1)=2，r(E-B2)=r(E—B3)=r(E-B4)=1．因此A～B1，即A相似于A项下的矩阵．6[单选题]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )．A.r(A，AB)=r(A)B.r(A，BA)=r(A)C.r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D.r(A，B)=r(A T，B T)正确答案：A参考解析：解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系：①r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；②r(A，B)≥max{r(A)，r(B)}．由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B))≤min{r(A)，r(E，B)}=r(A)．又r(A，AB)≥max{r(A)，r(AB)}，r(AB)≤r(A)，可知r(A，AB)≥r(A)．从而可得r(A，AB)=r(A)．7[单选题]设f(x)为某随机变量X的概率密度函数，f(1+x)=f(1-x)，，则P{X<0}=( )．A.0．2B.0．3C.0．4D.0．6正确答案：A参考解析：由于f(1+x)=f(1-x)，可知f(x)图形关于x=1对称．8[单选题]A.B.C.D.正确答案：B参考解析：解这道题，首先知道t—分布的定义．9[填空题]曲线y=x2+2 lnx在其拐点处的切线方程是______．参考解析：y=4x-3首先求得函数f(x)=x2+2lnx的定义域为(0，+∞)．10[填空题]______．参考解析：11[填空题]差分方程△2y x-y x=5的解为______．参考解析：yx=C·2x-512[填空题]设函数f(x)满足f(x+△x)-f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，f(0)=2，则f(1)=______．参考解析：2e由题意知f’(x)=2xf(x)，解该一阶齐次线性微分方程可得f(x)=Ce x2.又f(0)=2，得C=2．因此f(x)=2e x2，从而f(1)=2e．13[填空题]设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为线性无关的向量组，若Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α1+α3，则|A|=______．参考解析：2由于α1，α2，α3线性无关，则P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵．因此14[填空题]随机事件A，B，C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)=，则P(AC|A∪B)=______．参考解析：15[简答题]参考解析：解：16[简答题]参考解析：17[简答题]将长为2 m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．参考解析：18[简答题]参考解析：19[简答题]参考解析：20[简答题](本题满分ll分)设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；(II)求f(x1，x2，x3)的规范形．参考解析：解：(I)由f(x1，x2，x3)=0，得21[简答题](本题满分ll分)(I)求a；(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P．参考解析：22[简答题]设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=1)=P(X=-1)=，Y服从参数为A的泊松分布，令Z=XY．(I)求Coy(X，Z)；(Ⅱ)求Z的概率分布．参考解析：23[简答题]设总体X的概率密度为其中σ∈(0，+∞)为未知参数，X1，X2，…，x n为来自总体X的简单随机样本，σ的最大似然估计量为．(I)求；(Ⅱ)求E()，D()．参考解析：。

2018年全国硕士研究生入学统一考试《数学》真题三(总分150, 考试时间180分钟)一、单项选择题（每题 4 分，共 32 分）1. 下列函数不可导的是A f (x) = |x| sin |x|BC f (x) = cos |x|D该问题分值: 4答案:DA, B, C 可导, D 根据导数的定义可得2. 设函数 f(x) 在 [0, 1] 上二阶可导, 且该问题分值: 4答案:D3.A M > N > KB M > K > NC K > M > ND .N > M > K该问题分值: 4答案:C4. 设某产品的成本函数 C(Q) 可导, 其中 Q 为产量, 若产量为 Q0 时平均成本最小, 则A C ′ (Q0) = 0B C ′ (Q0) = C(Q0)C C ′ (Q0) = Q0C(Q0)D Q0C ′ (Q0) = C(Q0)该问题分值: 4答案:D5. 下列矩阵中, 与矩阵相似的为D该问题分值: 4答案:A易知题中矩阵均为 3 重特征值 1. 若矩阵相似, 则不同特征值对应矩阵λ E ? A 的秩相等, 即 E ?A 秩相等. 显然为 A6. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 记 r(X) 为矩阵 X 的秩, (X Y) 表示分块矩阵, 则A r(A AB) = r(A)B r(A BA) = r(A)C r(A B) = max{r(A), r(B)}D r(A B) = r(A T B T )该问题分值: 4答案:A7. 设随机变量X 的概率密度f(x) 满足f(1 + x) = f(1 ? x), 且A 0.2B 0.3C 0.4D 0.6该问题分值: 4答案:A8. 设 X1, X2, ··· , Xn (n ? 2) 为来自总体 X ～ N ( μ, σ 2 ) (σ > 0) 的简单随机样本, 令则。

2018年考研数学一真题及答案解析选择题(斗分)1.T^L^数中在忑=0处不可导的星()A./(z) = |z|am |z|乩f(x) = \x\siny/\^C、f(x) —cos |刎D、f(x)- cos y/\x\【答案】D2.过点(1』,0)T (O:l,0) T且与曲面二=分+诃相切的平面为()A、務=0与£十抄一二=1B、z = 0-^2^ + 2# —左=2JC= y 与JT+ y — w = 1D、迟=眇与2® -\-2y - z —2【答案】BA.sin 1 + coslB. 2 sm 1 -H cos 1C.2sliil + 2<OM1D* 2sinl 十3 cos 1【菩案】B,0'J()A, M>N>K 艮M>K>NC、K>M>ND、K>N > M【答案】C1105 •下列矩阵中f与矩阵0 1 1相似的为()0 0 1111A.011.001K-10-1B.0110■0111-1U010乂0110-1A010.001【答案】A6•设扎助胡介矩阵,记叫X)为矩阵屋的秩「(X,F)表示分块矩阵,311()A、r(A, AB) = r(A)氐r(A,BA) = r(A)J r(X,B) = max{r(4)T r(2；)}D、r(A,B)= r(A T, B T)【答案】A 了.设随机变量X的概率密席子⑵满足和+ x) = /(I -x)t且盘f (工伽=0+6 ,则P{X< 0}=()A、0.2B.03U 0.4D、0.5【答棄】A8.设总体爼駅正态分布N(比a2)「疋,星,…，耳是来自总体筍单随机样本「据此样本检验假设：臥：此=唏圧：“*如」!I ()A.如果在检验水平a = 0.05T拒绝局(那么在检验水平《= 0.01T必拒绝凤匕如果在检验水电-005下垣绝巧.那么在检验水平“ -0.01下必按旻U 如果在检验水平a = 03下接豆顷,那么在检验水平o = 03下必拒绝风D.如果苻椅嘟水平a = 0.05下捋誓比「那么7F检骗水辰=0.0L下必挎爭尿【無】D二頃空题(4分)虫叭⑷(冶拎)血=s贝壮= _____________【答案】k = -2m设函数托工)具有2阶连续导数t若曲线妙=几工)过点© 0)且与曲线® =旷在昌⑴2) 处相切，则人‘工严佃)必- ____________【答案】2(h2-l)11,设F@ 曲z) = xyl - yzj十zxk t则戸(1,1, (I) =__________【答秦】i-k12.1SL为球面护+ j/2+ z2 = 1与平面工十# + 了= 0的交统,则比xyds匸________ 【答案】-£"•设2阶矩阵A有两个不同特征值f a u a2是占的红性无关的特征向量,且:鬲足+ d?) = di + a3,则|且—____________【答案】-114■设随机事件卫与石相互独立‘ &与幅互独立,BC = 0 ,若F(A) = P(B)= 4 ,P(AC\ 4BuC) = ] f则P(C) = ______________【答棄】1三"聲答题(10分)15.求不走积分J 宀arctaiL y/e1—ldx【答案】令疔F = * ,则雷=In(庐+ 1),血二磊也「由第二换元去和分部积分公式可得原式=/ (Q + 1)" - arc tan t -丄令血=J 2t(i2+ 1) ■ arctan tdtR-jHt=+ J arctan + l)2] = *(产十l)X arctani —壬丁 (产 + l)dt=号(产+ 1) ' arctan t —+土' —t + (J=^e22arctan (e1- lp - 1(^ - 1)5 -F C止.将长为2m 的铁丝分成三段「依次围成區、正方形与正三角形’三个图形的面积之«] 是否存在最小值?若荐在「求岀最小值.【答案】设分成的三段分别为x^z, JW 有⑦+甘+芯=2及, IB 的面积为 ® 「正方形的面积为鸟=岂/ ,正三角形09面积为扬=鲁宀总S®S = 士护十善护十生以』则问题转化为在条件雷+y + z = 2,x,y,z ＞。

2018年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1） 下列函数不可导的是：()()()()sin sin cos cosA y x xB y xC y xD y====（2）22过点（1，0，0）与（0，1，0）且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222A zx y z B z x y z C y x D yx c y z =+-==+-===+-=（3）023(1)(2n 1)!nn n ∞=+-=+∑()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1sin 1cos 13sin 12cos 1A B C D ++++（4）22222222(1x)1xN= K=(11xM dx dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰），则M,N,K的大小关系为()()()()A M N K B M K N C K M N D NM K>>>>>>>>（5）下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（6）.设A ，B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，（X Y ） 表示分块矩阵，则A.()()r A AB r A =B.()()r A BA r A =C.()max{(),()}r A B r A r B =D.()()TT r A B r A B =（7）设()f x 为某分部的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，20()d 0.6f x x =⎰，则{0}p X = .A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6 （8）给定总体2(,)XN μσ，2σ已知，给定样本12,,,n X X X ，对总体均值μ进行检验，令0010:,:H H μμμμ=≠，则A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时也接受0H .二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）1sin 01tan lim ,1tan kxx x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则k =（10）()y f x =的图像过（0,0），且与x y a =相切与（1,2），求1'()xf x dx =⎰（11）(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求（12）曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成，求xydS =⎰ （13）二阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，21212()(),=A A αααα+=+则（14）A,B 独立，A,C 独立，11,()()(),()24BC P A P B P AC ABC P C φ≠===，则=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）.求不定积分2x e ⎰（16）.一根绳长2m ，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分． （1）【答案】D.【解答】选项A 和C ，函数sin sin x x x x =，cos cos x x =，可导；B 选项，00()(0)(0)lim 0x x f x f f x →→−'==−0x →=320lim 0x x x →==，可导； 对于D选项，由定义得0112(0)lim lim 2x x xf x +++→→−'===−；112(0)lim lim 2x x xf x −−−→→−'===. 因为(0)(0)f f +−''≠，所以不可导. 故选D. （2）【答案】B.【解答】设切点的坐标为220000(,,)x y x y +. 由题设可知切平面的法向量为00{2,2,1}x y =−n ，则切平面的方程为220000002()2()[()]0x x x y y y z x y −+−−−+=， 即 22000022()0x x y y z x y +−−+=.将点(1,0,0)与(0,1,0)代入上式22000220002()0,2()0,x x y y x y ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩解得000x y ==或001x y ==，将00,x y 代入方程，得0z =或222x y z +−=. 故选B. （3）【答案】B.【解答】因为，00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn n n n n n n n n n ∞∞∞===++−=−+−+++∑∑∑00(1)(1)2(2)!(21)!n nn n n n ∞∞==−−=++∑∑，而，21200(1)(1)sin ,cos (),(21)!(2)!n n n nn n x x x x x n n +∞∞==−−==−∞<<+∞+∑∑ 所以，23(1)cos12sin1(21)!nn n n ∞=+−=++∑，故选B.（4）【答案】C. 【解答】因为，πππ2222πππ22222122d (1)d 1d 11x x x M x x x x x −−−++==+=++⎰⎰⎰，11cos x + 所以，K M >. 设()e 1xf x x =−−，则()e 1xf x '=−，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x 时，()0f x '，()f x 单调递增，故(0)0f =是其最小值，即11exx +. 所以M N >，即N M K <<，故选C. （5）【答案】A.【解答】记矩阵110011,001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M 则3110011(1)0001λλλλλ−−−=−−=−=−E M ， 所以特征值为1231λλλ===，且()()2r r λ−=−=E M E M ；对于A 选项：记矩阵为A ，解得特征值均为1，且()()2r r λ−=−=E A E A ； 同理对于B 、C 、D 选项：分别记矩阵为,,B C D ，计算可得其特征值均为1，而()()()1r r r −=−=−=E B E C E D .若矩阵,T N 相似，则对应的矩阵λ−E T 和λ−E N 也相似，故秩相等. 由此可以排除选项B ，C ，D ，故选A. （6）【答案】A.【解答】选项A ，易知()()r r A AB A .由分块矩阵的乘法，可知()()=A AB A E B ，因此()min{(),()}r r r A AB A E B ，从而 ()()r r A AB A ，所以 ()()r r =A AB A ， 则选项A 正确. B 选项，令1001,0010⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()1,()2r r ==A A BA ； C 选项，令1000,0001⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()()1,()2r r r ===A B A B ；D 选项，令1001,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则T T()1,()2r r ==A B A B ；故选A. （7）【答案】A.【解答】因为(1)(1)f x f x +=−，所以()f x 的图像关于1x =对称，因此{0}{2}P X P X =.因为2()d 0.6f x x =⎰，所以{0}{2}2{0}10.60.4P X P X P X +==−=，从而{0}0.2P X =，故选A. （8）【答案】D.【解答】如右图所示，/2Z α表示标准正态分布的 上2α分位数，即图中阴影部分的面积为2α.区间/2/2(,)Z Z αα−是在显著性水平α下的接受域.若显著性水平0.05α=时接受0H ，即表示检验统计量0/X Z nμσ−=的观察值落在接受域0.0250.025(,)Z Z −内. 区间0.0050.005(,)Z Z −包含0.0250.025(,)Z Z −，因此其观察值也落在区间0.0050.005(,)Z Z −内，即落在接受域内，所以选项D 正确，B 错误；0.05α=时拒绝0H ，即Z 的观察值落在拒绝域0.0250.025(,][,)Z Z −∞−+∞内；但区间0.0050.005(,][,)Z Z −∞−+∞包含于0.0250.025(,][,)Z Z −∞−+∞，因此无法判断观察值是否落在区间0.0050.005(,][,)Z Z −∞−+∞内，选项A ，C 无法确定；故选D.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． （9）【答案】2−.【解答】2tan 11tan sin (1tan )sin 2tan 001tan 2tan lim()lim{[1()}1tan 1tan xx kx x kx x x x x x x x−++−→→−−=+++022lim 1=e e x x kx k →−−⋅=， 所以21k−=，解得2k =−. （10）【答案】2ln 22−.【解答】由题意可知，(0)0,(1)2,(1)2ln 2f f f '===，因此111100()d d ()()()d xf x x x f x xf x f x x '''''==−⎰⎰⎰10[()()]2ln 22xf x f x '=−=−.（11）【答案】(1,0,1)−.【解答】旋度(,,)(,,)x y z y z x x y z x y z PQ R xy yz xz∂∂∂∂∂∂===−−∂∂∂∂∂∂−rot ij k i jk F ， 所以(1,1,0)(1,1,0)(,,)(1,0,1)y z x =−−=−rot F .（12）【答案】3π−. 【解答】由曲线2221:0x y z l x y z ⎧++=⎨++=⎩的表达式可知，,,x y z 有轮换对称性，所以1d ()d 3llxy s xy yz zx s =++⎰⎰.又222211[()()]22xy yz zx x y z x y z ++=++−++=−，交线l 是半径为1的圆弧， 所以111d ()d 23263ll xy s s π=−=−⋅π=−⎰⎰. （13）【答案】1−.【解答】由21212()()+=+A αααα可知212()()−+=0A E αα.12,αα线性无关，因此方程2()−=0A E x 有非零解，从而20−=A E ，所以特征值λ满足方程210λ−=，即1λ=或1λ=−.又A 有两个不同的特征值，所以1(1)1=⋅−=−A . （14）【答案】14. 【解答】由条件可知，()()(),()()(),()0P AB P A P B P AC P A P C P BC ===. 由条件概率的定义可得，(()())()(())()()()()P AC AB C P ACAB ACC P AC AB C P AB C P AB P C P ABC ==+− 1()()1211()()()4()22P C P AC P A P B P C P C ===+⋅+，解得1()4P C =. 三、解答题：15～23小题，共94分．（15）【解】利用分部积分，2e arctan x x ⎰21arctan 2x =⎰2211e e 22xx x x =−⎰2211e arctan 24x x x =211e 24x x x =11222e 1[(e 1)(e 1)]d(e 1)24x x x x −=−−+−−⎰31222e 12[(e 1)2(e 1)]243x x xC =−−+−+ 31222e 11(e 1)(e 1)262x x xC =−−−−+. （16）【解】设圆的周长为x ，正三角周长为y ，正方形的周长z ，由题设2x y z ++=.则目标函数2222221π2π22344π3616x y z x z S y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，构造拉格朗日函数222(,,;)(2)4π3616x zL x y z y x y z λλ=+++++−，对参数求导并令导函数为零，则0,20,3620,1620.x yzx L L z L L x y z λλπλλ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎪⎨⎪'=+=⎪⎪⎪'=++−=⎩解得x =y =，z =此时面积和有最小值为2)S =.（17）【解】记33,,P x Q y z R z ==+=；构造平面22331,:0,y z x ∑⎧+'⎨=⎩取后侧，∑'与∑所围区域2{(,,)|013x y z x y Ω=−.由高斯公式可得，+d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑∑''++=++−++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()d d d 0(133)d d d x y z P Q R x y z yz x y z ΩΩ'''=++−=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22220331d d 33)dy z y z y z x +=++⎰⎰222233133)d d y z yz y z +=++⎰⎰220d 3)dr r r θπ=+⋅⎰2212)3)d(13)6r r =π(−+−2232)d(13)3r r π=−−−31222223)2(13)]d(13)3r r rπ=−−−−51222224[(13)(13)353r rπ=−−−1445π=.（18）（Ⅰ）【解】由题可知方程为一阶线性微分方程.当()f x x=时，由公式可得通解为，1d1d()e(e d)x xy x x x C−⎰⎰=+⎰=e(e d)x xx x C−+⎰=e[(1)e]x xx C−−+=(1)e xx C−−+，（C为任意常数）.（Ⅱ）【证】由条件课得通解为，1d1d()e[()e d]x xy x f x x C−⎰⎰=+⎰()e()e dx xf x x C−=+⎰，（C为任意常数）.因为()f x为周期函数，不妨设周期为T，则()()f x T f x+=.而()()()e()e d ex T x T x Ty x T f x T x C−++−++=++⎰()e e()e e dT x x Tf x x C−−=⋅⋅+⎰()1e e e()e dT x T xf x x C−−=⋅⋅+⎰()1e()e dx xf x x C−=+⎰.欲使()y x为周期函数，即()()y x y x T=+，只需1e TC C−=⋅，再由e0T−>，故0C=.从而()e()e dx xy x f x x−=⎰为方程对应的解，且为周期函数.（19）【证】设()e1,0xf x x x=−−>，则有e1()e10,()(0)0,1xxf x f x fx−'=−>>=>，从而1221e1e1,0xx xx−=>>.猜想0n x >，现用数学归纳法证明:1n =时，10x >，成立；假设(1,2,)n k k ==时，有0k x >，则1n k =+时有11e 1e1,0k k x x k kx x ++−=>>；因此0n x >，有下界. 再证单调性，1e 1e 1ln ln e lne n n nnx x x n n x n n x x x x +−−−=−=. 设()e 1e xxg x x =−−，0x >时，()e e e e 0x x x xg x x x '=−−=−<，所以()g x 单调递减，()(0)0g x g <=，即有e 1e xxx −<，因此1e 1ln ln10e n nx n n x n x x x +−−=<=，即数列{}n x 单调递减. 故由单调有界准则可知极限lim n n x →∞存在.不妨设lim n n x A →∞=，则e e 1A AA =−.因为()e 1e x xg x x =−−只有唯一的零点0x =，所以0A =，即lim 0n n x →∞=.（20）【解】（Ⅰ）由123(,,)0f x x x =得12323130,0,0,x x x x x x ax −+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 系数矩阵 11110210101110002r a a −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎯⎯→ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ，所以，当2a ≠时，()3r =A ，方程组有唯一解，1230x x x ===.当2a =时，()2r =A ，方程组有无穷解，21,1k k −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数. （Ⅱ）当2a ≠时，令1123223313,,,y x x x y x x y x ax =−+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩为可逆变换，此时规范形为222123y y y ++. 当2a =时，2221231232313(,,)()()(2)f x x x x x x x x x x =−+++++222123121322626x x x x x x x =++−+222323133()2()22x x x x x −+=−+， 此时规范形为2212y y +.（21）【解】（Ⅰ）由题设条件可知矩阵A 与B 等价，则秩()()r r =A B .因为 131212130130027390a ar r a +==−A ，所以 31121201101120111013a a r r a a +==−=−+B ，因此 2a =.（Ⅱ）设矩阵111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，对增广矩阵作初等变换可得， 122122106344(,)130011012111272111000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A B ，解得，11112213321122223331132233363646421,21,21x k x k x k x k x k x k x k x k x k −+−+−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪ ⎪⎝⎭P .又P 可逆，因此1231223123231231236364640113,22121211110k k k r r r r k k k k k k k k k k k −+−+−++−=−−−−−=−≠P ， 即23k k ≠.故123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪⎪⎝⎭P ，其中123,,k k k 为任意常数，且23k k ≠.（22）【解】（Ⅰ）因为随机变量X 的概率分布为1{1}{1}2P X P X ===−=， 所以，2()0,()1,()1E X E X D X ===. 因为，Y 的分布律为e {},0,1,!k P Y k k k λλ−===，所以，()E Y λ=.因为，2(,)(,)()()()Cov X Z Cov X XY E X Y E X E XY ==−，且X 与Y 相互独立， 所以，(,)Cov X Z 22()()()()()()E X E Y E X E Y D X E Y λ=−==. （Ⅱ）利用全概率公式有，{}{}P Z k P XY k ==={1}{|1}{1}{|1}P X P XY k X P X P XY k X ====+=−==−，再由X 与Y 相互独立可得{}P Z k ={1}{}{1}{}P X P Y k P X P Y k ===+=−=−1[{}{}]2P Y k P Y k ==+=−. 当0k =时，{0}{0}e P Z P Y λ−====；当k 为正整数时，1e {}{}22!kP Z k P Y k k λλ−====⋅；当k 为负整数时，1e {}{}22()!kP Z k P Y k k λλ−−===−=⋅−.综上所述，有e ,0,{}e ,1,2.2!k k P Z k k k λλλ−−⎧=⎪==⎨=±±⎪⋅⎩（23）【解】（Ⅰ）似然函数 11111()e e22niii x nx n n i L σσσσσ=−−=∑==∏， 取对数： 11ln ()ln 2ln nii L n n xσσσ==−−−∑，求导： 21d ln ()10d nii L n xσσσσ==−+=∑，解得 1nii xnσ==∑，所以σ的最大似然估计量 1ˆnii Xnσ==∑.（Ⅱ） 111ˆ()()()e d 2xn i i E E X E X x x n σσσ−+∞−∞====∑⎰e d dexxxx x σσσ−−+∞+∞==−⎰⎰e|e d xxx x σσσ−−+∞+∞=−+=⎰；2221()()()1ˆ()()ni i D X E X E X D D X n n nσ=−===∑22220111(e d )(e d )2xx x xx x n n σσσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−⎰⎰ 22220111(e d )(de )2xx xx x n n σσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−−⎰⎰ 222011(2e d )(2)xx x n nσσσσ−+∞=−=−⎰2nσ=.。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]下列函数在x=0处不可导的是（）．A.f(x)=|x|sin|x|B.f(x)=|x|sinC.f(x)=cos|x|D.f(x)=cos正确答案：D参考解析：2 [单选题]过点(1，0，0)与(0，1，0)且与曲面z=x2+y2相切的平面方程为（）．A.z=0与x+y-z=1B.z=0与2x+2y-z=2C.y=x与x+y-z=1D.y=x与2x+2y-z=2正确答案：B参考解析：已知平面过A(1，0，0)，B(0，1，0)两点，则x≠y是存在的，故排除C、D项，可得平面内一向量n1==(1，-1，0)，曲面z=x2+y2的切平面的法向量为n2=(2x，2y，-1)，由n1n2=2x-2y=0，即切点处x=y．3 [单选题]A.sin1+cos1B.2sin1+cos1C.2sin1+2cos1D.2sin1+3cos1正确答案：B参考解析：4 [单选题]，则M，N，K的大小关系为（）．A.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M正确答案：C参考解析：5 [单选题] A.B.C.D.正确答案：A 参考解析：6 [单选题]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则（）．A.r(A，AB)=r(A)B.r(A，BA)=r(A)C.r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D.r(A，B)=r(A T，B T)正确答案：A参考解析：使用反证法．7 [单选题]设f(x)为某随机变量X的概率密度函数，则P{X<0}=（）．A.0．2B.0．3C.0．4D.0．5正确答案：A参考解析：8 [单选题]设总体X～N(μ，σ2)，σ2已知，给定样本X1，X2，…，X n，对总体均值μ进行检验，令H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，则（）．A.若显著性水平α=0．05下拒绝H0，则α=0．01下必拒绝H0B.若显著性水平α=0．05下接受H0，则α=0．01下必拒绝H0C.若显著性水平α=0．05下拒绝H0，则α=0．01下接受H0D.若显著性水平α=0．05下接受H0，则α=0．01下也接受H0正确答案：D参考解析：9 [填空题]参考解析：-2【解析】10 [填空题]设函数f(x)具有二阶连续导函数，若y=f(x)过点(0，0)，且与曲线y=2x相切于点 (1，2)，则参考解析：【解析】11 [填空题]已知F(x，y，z)=xyi一yzj+xzk，则rotF(1，1，0)=_______.参考解析：【解析】12 [填空题]曲线L由x2+y2+z2=1与x+y+z=0相交而成，则参考解析：【解析】13 [填空题]二阶矩阵A有两个不同特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且A2(α1+α2)=α1+α2，则|A|=_______.参考解析：-1【解析】14 [填空题]随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC=∅，P(A)=P(B)=，P(AC|AB∪c)=，则P(C)=_______.参考解析：【解析】15 [简答题]参考解析：16 [简答题]一根绳长2m，截成三段，分别折成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面积总和最小?并求该最小值．参考解析：设圆的周长为x，正三角形的周长为y，正方形的周长为z，由题设知x+y+z=2．则目标函数为17 [简答题]参考解析：18 [简答题]已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数．(I)当f(x)=x时，求微分方程的通解；(Ⅱ)当f(x)周期为T的函数时，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．参考解析：(I)(Ⅱ)设f(x+T)=f(x)，即T是f(x)的周期．19 [简答题]参考解析：设f(x)=e x-1-x，x>0，则有20 [简答题]设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；(Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．参考解析：解：(I)由f(x1，x2，x3)=0，得21 [简答题](Ⅰ)求a；(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P．参考解析：(I)A与B等价，则r(a)=r(B)．22 [简答题]随机变量X，Y相互独立，P{X=1}=，P{X=-1}=，Y服从参数为λ的泊松分布，令Z=XY.(I)求Cov(X，Z)；(II)求Z的概率分布．参考解析：(I)23 [简答题](I)求σ的极大似然估计；(II)参考解析：解：(I)由条件可知，似然函数为(Ⅱ)。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。

1、下列函数中，在0x =处不可导的是（）（A ）()||sin ||f x x x =（B）()||sin f x x =（C ）()cos ||f x x =（D）()f x =【答案】：（D ）【分析】因为对选项（A ），2200000()(0)||sin ||||lim lim lim lim lim 0(0)x x x x x f x f x x x x x f x x x x →→→→→-'======对选项（B ），000()(0)lim lim lim lim 0(0)x x x x f x f f x →→→→-'===（无穷小乘以有界量）对选项（C ），200001||()(0)cos ||112lim lim lim lim 0(0)2x x x x x f x f x x f x x x →→→→--'=====对选项（D ），0000()(0)1||2lim lim lim lim2x x x x f x f x x x x→→→→-===不存在因此选择（D ）2、过点(1,0,0)与(0,1,0)，且与22z x y =+相切的平面方程为（）（A ）0z =与1x y z +-=（B ）0z =与222x y z +-=（C ）y x =与1x y z +-=（D ）y x =与222x y z +-=【答案】：（B ）【分析】设切点坐标为(,,)x y z ，则法向量为{2,2,1}x y -，故切平面的方程为2()2()()0x X x y Y y Z z -+---=，因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故法向量与向量{1,1,0}-垂直，因此有220x y -=，即y x =…………………………………………①将y x =带入22z x y =+中，有22z x =…………………………………………………②将点(1,0,0)带入平面方程有222220x x y z --+=……………………………………③由①②③可得0,0,0x y z ===或者1,1,2x y z ===带回2()2()()0x X x y Y y Z z -+---=中，可确定平面方程为0Z =或者222X Y Z +-=。