北师大版初二(下)数学第53讲：因式分解方法(2)
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因式分解方法（2） __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
1.能熟练的运用多种方法分解因式； 2.掌握十字交叉相乘的方法分解因式.
1.二次三项式
（1）多项式，称为字母x的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项． 例如：和都是关于x的二次三项式． （2）在多项式中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式． （3）在多项式中，看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2.十字相乘法的依据和具体内容
(1)对于二次项系数为1的二次三项式 方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
参考答案： 1.(1) ax2,bx,c (2)8y2,x,x2,y (3)2(ab)2-7ab+3,ab,(x+y), (x+y) 1.利用十字相乘法分解因式
【例1】（2014安徽省中考）分解因式： 【解析】将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数． 【答案】解： 练习1.（2014四川凉山一中月考）； 【解析】常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数 【答案】； 练习2.（2014贵州黔南三中周测）__________． 【答案】(x＋5)(x－2) 2.二次项系数不为1的十字相乘 【例2】把下列各式分解因式：
（1）；（2）
． 【解析】我们要把多项式分解成形如的形式，这里，而．另外，二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
【答案】解：（1）； （2）． 练习3. (x－3)(__________)． 【答案】2x＋1 练习4. 【答案】(a+2b)（5a-3b） 练习5． 【答案】（6x+1）（x-1） 练习6. 【答案】（2y-1）（5y-1） 3.把其中一个量看成一个整体
【例3】分解因式： 【解析】把看作一整体，从而转化为关于的二次三项式；注意，要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．
【答案】解： ＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)． 练习7. （2014湖北恩施中考） 【答案】原式 练习8.（2014青海西宁中考）分解因式：．
【答案】解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23． ∴ 原式＝(ab＋5y)(5ab－2y)．
练习9.（2014内蒙古呼和浩特一中期中）； 【答案】 原式 4. 换元法分解因式 【例4】分解因式：． 【解析】把看作一个变量，利用换元法解之． 【答案】解：设，则 原式＝(y－3)(y－24)＋90
＝(y－18)(y－9) ． 注意：本题中将视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，一步，我们用了“十字相乘法”进行分解． 练习10．分解因式． 【解析】方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式． 方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式．
【答案】解法1： ． 解法2： ＝(x－y－6)(x－y＋1)． 练习11． ． 【答案】解： 练习12. ； 【解析】提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式； 【答案】解： ＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2] ＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．
5.重新分组分解因式 【例5】分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)． 【解析】先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 【答案】解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b) ＝(a－b)(c－a)(c－b)． 练习13． ； 【答案】原式 练习14. 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90． 【解析】先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合． 【答案】解：原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90． 令y=2x2+5x+2，则 原式=y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
6.因式分解的综合题
【例6】． 【解析】仔细观察式子，把这个式子变形为（x2+xy+y2）（x2+xy+y2+y2）-12y4，再把式子乘开，把x2+xy+y2看成一个整体即可因式分解。 【答案】原式 练习15. ． 【答案】原式 练习16. ； 【答案】原式 1．如果，那么p等于 ( ) A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b) 【答案】D
2．如果，则b为 ( ) A．5 B．－6 C．－5 D．6 【答案】B
3．多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值
分别为 ( ) A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2 【答案】D 4．不能用十字相乘法分解的是( )
A． B． C． D． 【答案】C 5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有 ( )
①；
②； ③； ④； ⑤； ⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C
7．(m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________． 【答案】1或－6，－6或1
8．____(x－y)(__________)． 【答案】xy，x＋2y 9．．
【答案】，a, 10．当k＝______时，多项式有一个因式为
(__________)． 【答案】－2，3x＋1或x＋2
11．若x－y＝6，，则代数式的值为__________． 【答案】17 12．把下列各式分解因式：
（1）； （2）
； （3）； 【答案】（1） 原式 （2） 原式
（3） 原式 13．把下列各式分解因式： （1）；（2）
； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） 原式 （2） 原式 （3） 原式
（4） 原式 （5） 原式 （6）原式
14．把下列各式分解因式： （1）；
（2）； （3）； 【答案】（1） 原式 （2）原式 （3） 原式 15．已知有因式2x－5，把它分解因式． 【答案】提示： 16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值．
【答案】∵ ， 又∵ ，xy＝a＋4， ，∴
