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《数值计算方法》试题集及答案 (2)

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.

. 《数值计算方法》复习试题

一、填空题：

1、410141014A，则A的LU分解为 A。

答案：15561415014115401411A

3、1)3(,2)2(,1)1(fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1， )2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL

4、近似值*0.231x关于真值229.0x有( 2 )位有效数字；

5、设)(xf可微,求方程)(xfx的牛顿迭代格式是( )；

答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx

6、对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f( 1 ),]4,3,2,1,0[f( 0 )；

7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( 12nab )；

10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )；

11、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。 .

. 12、 为了使计算 32)1(6)1(41310xxxy 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11,))64(3(10xtttty ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为 199920012 。

13、 用二分法求方程01)(3xxxf在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

14、 求解方程组042.01532121xxxx的高斯—塞德尔迭代格式为 20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M= 121 。

15、 设46)2(,16)1(,0)0(fff,则)(1xl )2()(1xxxl ，)(xf的二次牛顿插值多项式为 )1(716)(2xxxxN 。

16、 求积公式baknkkxfAxxf)(d)(0的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12n )次代数精度。

21、如果用二分法求方程043xx在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。

22、已知31)1()1()1(2110)(233xcxbxaxxxxS是三次样条函数，则

a=( 3 )，b=（ 3 ），c=（ 1 ）。

23、)(,),(),(10xlxlxln是以整数点nxxx,,,10为节点的Lagrange插值基函数，则

nkkxl0)(( 1 )，nkkjkxlx0)((jx )，当2n时)()3(204xlxxkknkk( 324xx )。

24、

25、区间ba,上的三次样条插值函数)(xS在ba,上具有直到_____2_____阶的连续导数。

26、改变函数fxxx()1 (x1)的形式，使计算结果较精确

xxxf11 。

27、若用二分法求方程0xf在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 .

. 次。

28、写出求解方程组24.016.12121xxxx的Gauss-Seidel迭代公式

,1,0,4.026.111112211kxxxxkkkk，迭代矩阵为 64.006.10，此迭代法是否收敛 收敛 。

31、设A5443,则A 9 。

32、设矩阵482257136A的ALU，则U 4820161002U 。

33、若4321()fxxx，则差商2481632[,,,,]f 3 。

34、线性方程组121015112103x的最小二乘解为 11 。

36、设矩阵321204135A分解为ALU，则U 32141003321002 。

二、单项选择题：

1、 Jacobi迭代法解方程组bxA的必要条件是（ C ）。

A．A的各阶顺序主子式不为零 B． 1)(A

C． niaii,,2,1,0 D． 1A

2、设700150322A，则)(A为( C )．

A． 2 B． 5 C． 7 D． 3

4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是( B )。

A． 对称阵 B． 正定矩阵 .

. C． 任意阵 D． 各阶顺序主子式均不为零

5、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值

C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值

6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A． 6 B． 5 C． 4 D． 7

7、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。

A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入

8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。

A．控制舍入误差 B． 减小方法误差

C．防止计算时溢出 D． 简化计算

9、用1+3x近似表示31x所产生的误差是( D )误差。

A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断

10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。

A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。

A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2

12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。

A． 3 B． 4 C． 5 D． 2

13、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1

14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，则f(x)=0的根是.

. ( B )。

(A) y=(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=(x)交点的横坐标

(C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=(x)的交点

15、用列主元消去法解线性方程组134092143321321321xxxxxxxxx，第1次消元，选择主元为( A ) 。

(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9

16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

(B) )!1()()()()()1(nfxPxfxRnnn

(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

(D) )()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn

18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

0)()()D(0)()()C(0)()()B(0)()()A(0000xfxfxfxfxfxfxfxf

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

(A)11:,1112kkxxxx迭代公式

(B)21211:,11kkxxxx迭代公式

(C)3/12123)1(:,1kkxxxx迭代公式 .

. (D)11:,122123kkkkxxxxxx迭代公式

21、解方程组bAx的简单迭代格式gBxxkk)()1(收敛的充要条件是（ ）。

（1）1)(A, (2) 1)(B, (3) 1)(A, (4) 1)(B

23、有下列数表

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5

f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2

4.25

所确定的插值多项式的次数是（

）。

（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次

25、取31732.计算431()x，下列方法中哪种最好？（ ）

(A)28163； (B)2423()； (C) 216423()； (D) 41631()。

27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ ）

ix１ 1.5 ２ 2.5 ３

3.5

()ifx-1 0.5 2.5 5.0 8.0

11.5

(A)5；

(B)4； (C) 3； (D) 2。

29、计算3的Newton迭代格式为( )

(A) 132kkkxxx；(B)1322kkkxxx；(C) 122kkkxxx；(D) 133kkkxxx。

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数值计算方法习题答案（第二版）（绪论）

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数值计算⽅法习题答案（第⼆版）（绪论）

数值分析

（p11页）4 试证：对任给初值x 0,

0)a >的⽜顿迭代公式

112(),0,1

,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成⽴下列关系式：

2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......k k k x k x x k x k +-=

-=≥=

证明： （1

）(21122k k k k k k x a x x x x +-??-=+==? ??

（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+

-= +=+212121

6 证明：

若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤-110218， ⽽()k k k k k x x x x x 28882182

1-=-???? ??+=-+ n

n k k x x 21221102

15.22104185

.28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：

此题的相对误差限通常有两种解法.

①根据本章中所给出的定理：

（设x 的近似数*x 可表⽰为m n a a a x 10......021*?±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--?≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第⼀个⾮零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.0102

21111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为

025.0102

21122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：

00025.0102

21333=??≤--x e x ②第⼆种⽅法直接根据相对误差限的定义式求解

对于7.21=x ，0183.01<-e x

∴其相对误差限为00678.07

.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有

《数值计算方法》课后题答案(湖南大学-曾金平)

《数值计算方法》课后题答案(湖南大学-曾金平)

习题一

1．设x>0相对误差为2%，求x，4x的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：

(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfx得

（1）()fxx时

11()()'()()*2%1%22xxxxxx；

（2）4()fxx时

444()()'()4()4*2%8%xxxxxx

2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1x；（2）12.10x；（3）12.100x。

解：由教材9P关于1212.mnxaaabbb型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5

3．用十进制四位浮点数计算

（1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）

哪个较精确？

解：（1）31.97+2.456+0.1352

21((0.3197100.245610)0.1352)flfl

=2(0.3443100.1352)fl

=0.3457210

（2）31.97+（2.456+0.1352）

21(0.319710(0.245610))flfl

= 21(0.3197100.259110)fl

=0.3456210

易见31.97+2.456+0.1352=0.210，故（2）的计算结果较精确。

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？

解：设该正方形的边长为x，面积为2()fxx，由(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfx

解得(())()()'()fxfxxxfx=2(())(())22fxxfxxx=0.5%

5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？

数值计算方法总结计划试卷试题集及答案

数值计算方法总结计划试卷试题集及答案

一、选择题（每题2分，共20分）

1.数值计算的基本思想是（）。

A.精确求解

B.近似求解

C.解析表达

D.图像显示

2.下列哪种方法不属于数值计算方法？（）

A.有限差分法

B.有限元法

C.插值法

D.微积分

3.在数值计算中，为避免数值计算误差，通常采用（）方法。

A.精确计算

B.误差分析

C.误差校正

D.舍入运算

4.下列哪种数值方法适用于求解偏微分方程？（）

A.欧拉法

B.龙格-库塔法

C.有限差分法

D.牛顿法

5.下列哪种方法不属于求解线性方程组的数值方法？（） A.高斯消元法

B.追赶法

C.迭代法

D.矩阵分解法

二、填空题（每题2分，共20分）

6.数值计算方法是利用计算机求解科学和工程问题的_______方法。

7.数值计算的主要目的是将_______问题转化为_______问题。

8.在数值计算中，通常需要对实际问题进行_______，以简化计算过程。

9.有限差分法的核心思想是将偏微分方程转化为_______方程。

10.牛顿法是一种_______方法，适用于求解非线性方程组。

三、判断题（每题2分，共20分）

11.数值计算方法只能解决线性问题。（）

12.在数值计算中，误差只能通过增加计算精度来减小。（）

13.迭代法求解线性方程组时，需要预先知道方程组的解。（）

14.数值计算方法在实际应用中具有较高的可靠性。（）

15.有限元法适用于求解所有类型的偏微分方程。（）

四、简答题（每题10分，共30分）

16.请简要说明数值计算的基本思想及其应用范围。

17.请简要介绍有限差分法的原理及应用。

18.请简要说明牛顿法求解非线性方程组的原理。 五、计算题（每题10分，共50分）

2x+3yz=1

4xy+5z=2

-x+2y+z=3

y'=-y+e^x，初始条件y(0)=1

答案：

一、选择题

1.B

2.D

3.B

4.C

5.A

二、填空题

6.近似

7.连续离散

北理工数值计算方法试题及答案

北理工数值计算方法试题及答案

数值试题

1 数值计算方法试题一

一、 填空题（每空1分，共17分）

1、如果用二分法求方程043xx在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2、迭代格式)2(21kkkxxx局部收敛的充分条件是取值在（ ）。

3、已知31)1()1()1(2110)(233xcxbxaxxxxS是三次样条函数，则

a=( )，b=（ ），c=（ ）。

4、)(,),(),(10xlxlxln是以整数点nxxx,,,10为节点的Lagrange插值基函数，则

nkkxl0)(( )，nkkjkxlx0)(( )，当2n时)()3(204xlxxkknkk( )。

5、设1326)(247xxxxf和节点,,2,1,0,2/kkxk则],,,[10nxxxf

和07f 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

7、0)(kkx是区间]1,0[上权函数xx)(的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0x，则104)(dxxx 。

8、给定方程组221121bxaxbaxx，a为实数，当a满足

，且20时，SOR迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()yfxyyxy的改进欧拉法)],(),([2),(]0[111]0[1nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy是

阶方法。

10、设11001aaaaA，当a（ ）时，必有分解式TLLA，数值试题

2 其中L为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(ilii满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。