当前位置：文档之家 › 【推荐】2017-2018北京西城161高三上期中数学试题及答案解析

【推荐】2017-2018北京西城161高三上期中数学试题及答案解析

  • 格式：doc
  • 大小：3.56 MB
  • 文档页数：17

北京一六一中学2017届高三年级第一学期期中考试 理科数学试题 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知全集，集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意得， ，所以。选：A。 2.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）． A. 直线、直线 B. 圆、圆 C. 直线、圆 D. 圆、直线 【答案】D 【解析】 由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；

由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线。选D。

3.设，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】

由条件得，所以

。选A。 4.若非零平面向量，满足，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由得，，所以，整理得，所以。选D。 5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） A. ①和② B. ③和① C. ④和③ D. ④和② 【答案】D 【解析】

在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②。选D。

6.如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）．

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意得，小明从街道的E处出发到F处最短路程有条，再从F处到G处最短路程有条，故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为条。选B。 7.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】

∵抛物线方程为， ∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为。 如图，设，，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线的定义可得，∴。

将代入得， ∴点的坐标为。

∴直线AB的方程为，即， 将代入直线AB的方程整理得，解得或（舍去）， ∴，∴。 在中，，

∴,

∴。选C。 点睛：与抛物线有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，特别是与焦点弦有关的问题更是这样，“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．

8.经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格低于均衡价格时，需求量大于供应量，价格会上升为；当产品价格高于均衡价格时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格．能正确表示上述供求关系的图形是（ ）．

A.

B. C.

D. 【答案】B 【解析】 因为当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，故可排除A、D； 且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除C，选B。

点睛：本题属于识图的问题，解题的关键是读懂题意、看准图形，解答本题时容易出错，其中的原因就是对图形和题意的不理解。解题时要注意到纵轴表示自变量，而用横轴来表示因变量，故分析时应由y轴分析x轴，并借助排除法求解． 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为__________． 【答案】 【解析】 依题意可得圆心到直线的距离相等，所以圆心在于这两条直线平行且与这两直线距离相等的直线上。而圆心在直线上，所以圆心是直线和的交点，而半

径长为直线到直线的距离，所以圆方程为 10.的展开式中，的系数是__________．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】

二项式展开式的通项为，

令得。 故的系数为。 答案： 11.双曲线的右焦点坐标为__________，过右焦点且平行于该双曲线渐近线的直线方程是__________． 【答案】 (1). (2). 或 【解析】 由题意知，，所以双曲线的右焦点坐标为；

又双曲线的渐近线方程为，故过右焦点且平行于该双曲线渐近线的直线方程为，即或. 答案：(1). (2). 或。

12.函数的图象如图所示，则__________，__________．

【答案】 (1). (2). 【解析】 由图象知函数的周期，所以，。

因为点在函数图象上，故，。 又，所以。 答案：(1). (2). 13.已知若函数只有一个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】

因为只有一个零点， 所以方程只有一个实数根，

设, 则两函数的图象只有一个公共点。 画出函数y=f(x)的图象(图中红线部分)和直线y=k(x−1)(图中蓝线部分)， 其中直线y=k(x−1)经过定点(1,0)，斜率为k.

因为当0结合图象可得当两图象只有一个公共点时，斜率应满足或。故的取值范围为。 答案：. 点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点： （1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理； （2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解； （3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线y=k(x−1)经过定点(1,0)等。 14.已知点，若曲线上存在两点，，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：

①；②；③． 其中，是型曲线的有__________． 【答案】①③ 【解析】

对于①，由条件知点在直线外，且点到直线的距离为。则在直线上必存在两点

，使得为正三角形，且。故①是型曲线。 对于②，曲线表示圆在第二象限内的部分。曲线与两坐标轴的交点分别为，此时弧长，最长的弦长为，，故不可能是正三角形，所以②不是型曲线。

对于③，曲线表示双曲线在第四象限的部分，若上存在两点，使得为正三角形，根据对称性可得两点连线的斜率为1，设直线的方程为,由题意知，点A到直线BC的距离为直线被曲线所截弦长的倍，列方程可解得（舍去）。所以③是型曲线。

点睛：本题是新定义问题，考查学生的阅读理解和即时应用的能力，此类问题的综合性较强，涉及的内容较多，运算量较大。解题的关键是读懂题目的意思，并且能够把所要解决的问题进行转化，利用代数运算或借助于图形的直观性去解决。 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知为锐角，且． （I）求的值． （Ⅱ）求的值．

【答案】（1）（2） 【解析】 试题分析：（1）由两角和的正切公式及条件得到关于的方程，解方程即可；（2）化简得

，由可得，结合可求得。

试题解析：（Ⅰ）∵， ∴， ∴．

（Ⅱ）． ∵， ∴． ∵，

∴， 又为锐角， ∴，

∴．

16.某单位有车牌尾号为的汽车和尾号为的汽车，两车分属于两个独立业务部分．对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，车日出车频率，车日出车频率．该地区汽车限行规定如下： 车尾号 和 和 和 和 和 限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五

现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且，两车出车相互独立． （I）求该单位在星期一恰好出车一台的概率． （II）设表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）先确定事件：星期一恰好出车A,不出车B; 星期一恰好出车B,不出车A;两者相互对立，故概率为（2）先确定随机变量取值为0，1，2，3，再分别求各个概率：先求，再求，然后列表得分布列，根据公式求数学期望 试题解析：解：（1）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，，由已知可得，设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，

则 ，最后求

所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. （2）的取值为0，1，2，3，则

∴的分布为 0 1 2 3

0.08 0.32 0.42 0.18

考点：古典概型概率，数学期望 【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

17.如下图，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一点．

（I）求证：． （II）若，分别是，的中点，求证：∥平面．

（III）若二面角的大小为，求线段的长

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）. 【解析】 试题分析： （1）∵平面，∴．又，所以面．从而（2）欲证线面平行，转证即可，（3））以为原点， ， ， 分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系． 求出法向量，带入公式即可. 试题解析： （I）∵平面， 面， ∴．

合集下载

北京西城14中2018届高三上期中数学真题卷(解析版)

北京西城14中2018届高三上期中数学真题卷(解析版)

北京市第十四中学2017-2018学年度第一学期高三数学（文科）期中试卷 2017年11月一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 集合，，且，则的子集共有（）．A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】∵集合，，∴，∴集合的子集中有，，，共个．故选．2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由该几何体的三视图可知：该几何体是一个直三棱柱，底面是腰长为的等腰直角三角形，棱柱的高为，所以该几何体的表面积．故选．3. 有辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过的汽车数量为（）．A. 辆B. 辆C. 辆D. 辆【答案】B【解析】根据频率分布直方图得，时速超过的频率是：，因此，时速超过的汽车数量为：．故选．4. 设，是实数，则“”是“”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，则，故不充分；若，则，而，故不必要，故选D. 考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.视频5. 若双曲线的一条渐近线方程是，则此双曲线的离心率为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为，∴，，∴双曲线的离心率是．故答案为：A.点睛：本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．6. 定义运算，则函数的图象是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】依据题设中定义的运算可得，依据该函数的解析式可推断函数的图象是答案A，故应选答案A.点睛：本题新定义一种新的运算，依据该运算的定义这一信息，求解时应先求出该函数的解析式，然后再与题设中提供的四个选择支进行比对，从而选出正确的答案，使得问题获解.借助题设中提供的新定义的运算信息建立函数关系式是解答本题的关键，这也是解答本题的难点所在.7. 已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】圆的圆心，半径为，圆心到的距离为，故圆上的点到点的距离的最大值为，再由可得，以为直径的圆和圆有交点，可得，所以，故的最大值为．故选．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。

2017-2018北京西城13中高一上学期中(缺小题解析)

2017-2018北京西城13中高一上学期中(缺小题解析)

北京市第十三中学2017-2018学年第一学期 高一数学期中测试（必修1模块测试）本试卷分A 、B 两卷 A 卷 （本卷满分100分） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}|03P x x =∈<Z ≤，{}2|9M x x =∈Z ≤，则P M =I （ ）．A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤【答案】B【解析】2．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是（ ）． A． B．C． D．【答案】C【解析】3．已知函数()lg(2)f x x =-，那么()f x 的定义域是（ ）．A ．RB ．{2|x x >且3}x ≠C ．{}2|x x ≠D ．{}2|x x >【答案】D 【解析】4．给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③241y x x =-+，④12x y +=，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（ ）．A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④【答案】C 【解析】5．已知函数21,0()2,0x x f x x x ⎧+=⎨->⎩≤，若()10f a =，则a 的值是（ ）．A ．3B ． 3-C ．3±D ．5-【答案】B 【解析】6．已知ln2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）．A ．a b -B ．a bC ．abD ．a b +【答案】B 【解析】7． 在同一坐标系中，函数2xy =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象之间的关系是（ ）．A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称 【答案】A【解析】8．下列大小关系正确的是（ ）．A ．20.440.43log 0.3<<B ．20.440.4log 0.33<<C ．20.44log 0.30.43<<D ． 0.424log 0.330.4<< 【答案】C 【解析】9．根据表格中的数据， 可以判定函数()e 2x f x x =--的一个零点所在的区间为（ ）．A ．(1,0)-B D ．(1,2)【答案】D 【解析】10．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）．A．B．xC．xD．x【答案】A 【解析】第Ⅱ卷（共60分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 11．124936-⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是__________． 【答案】67【解析】 12．已知幂函数的图象经过点12,8⎛⎫⎪⎝⎭，则函数的解析式()f x =__________．【答案】3x - 【解析】13． 已知函数2()24(3)5f x mx m x =+-+是在区间(,3)-∞上的减函数，在区间(3,)+∞上的增函数，则m 的值是__________． 【答案】34【解析】14．已知函数1()2x f x a +=-（0a >且1a ≠）恒过定点P ，那么点P 的坐标为__________． 【答案】(1,1)-- 【解析】15．已知函数3log y x =的图象上有两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且线段AB 的中点在x 轴上，则12x x ⋅=__________．【答案】1【解析】16．国家规定个人稿费纳税办法为：稿费不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元那部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税． 某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为__________元． 【答案】3800【解析】三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设全集为R ，集合{}|17A x x =<≤，{}2|12200B x x x =-+<．（1）求集合A B U ． （2）求()A B R I ð． 【答案】见解析．【解析】（1）∵{}{}|(2)(10)0|210B x x x x x =--<=<<， {}|17A x x =<≤，∴{}|110A B x x =<U ≤， （2）∵{|1A x x =<R ð或7}x ≥， ∴{}()|710A B x x =<R I ≤ð． 18．（本小题满分10分） 已知函数()1xf x x =+． （1）求((2))f f 的值．（2）判断函数在(1,)-+∞上的单调性，并用定义加以证明． 【答案】见解析． 【解析】（1）∵()1xf x x =+， ∴2(2)3f =， ∴22[(2)]35f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）()f x 在(1,)-+∞上单增，证明：任取两个实数值1x 、2(1,)x ∈-+∞且12x x <， 则2121212112()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=++++， ∵121x x -<<，∴210x x ->，110x +>，210x +>， 212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>++ ，即21()()f x f x >， ∴()f x 在(1,)-+∞上单增． 19．（本小题满分10分）设函数()log (2)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）． （1）若(2)1f =，求函数()f x 的零点．（2）若1a >，()f x 在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（Ⅰ）∵(2)1f =， ∴log 42a =得到24a =， ∵0a >， ∴2a =，令2()log (2)10f x x =+-=，即2log (2)1x +=， ∴22x +=即0x =， ∴函数的零点为0x =．（2）∵1a >，∴函数()f x 在区间[0,1]上单调递增， ∴min ()log 21a f x =-，max ()log 31a f x =-， ∴由题意得log 31(log 21)a a -=--， ∴log 3log 2log 62a a a +==， ∴26a =， ∵1a >，∴a =．B 卷 （本卷满分50分）一、填空题（共6道小题， 每小题4分，共24分） 1．41log 3lg 4lg 254-++=__________． 【答案】5【解析】2．已知一次函数()43f x x =+，且()87f ax b x +=+，则a b -=__________． 【答案】1 【解析】3．已知()f x 是定义在{}2,1,0,1,2--上的奇函数， 且(1)2f -=，(2)0f =，则(0)f =__________；()f x 的值域是__________． 【答案】0，{}2,0,2-【解析】4．若函数|2|y x c =+是区间(,1]-∞上的单调函数，则实数c 的取值范围是__________． 【答案】2c -≤【解析】5．设a 为常数，函数2()43f x x x =-+． 若()f x a +为偶函数，则a =__________． 【答案】2 【解析】6．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，若00[()]f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，{}|[()]B x f f x x ==， 那么：（1）函数2()2g x x =-的“不动点”为__________． （2）集合A 与集合B 的关系是__________． 【答案】（1）2或1-．（2）A B ⊆．【解析】二、解答题（共3道小题，共26分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 7．（本小题满分8分）已知函数31()log 1xf x x+=-． （1）求函数的定义域． （2）判断()f x 的奇偶性．（3）判断()f x 的单调性（只写出结论即可），并求当1425x -≤≤时，函数()f x 的值域．【答案】见解析． 【解析】解：（1）由10(1)(1)0111xx x x x+>⇔+->⇔-<<-， ∴此函数定义域为{}|11x x -<<．（2）∵1333111()log log log ()111x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭， ∴()f x 为奇函数．（3）∵()f x 在区间14,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴函数的值域为14,25ff ⎡⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即[1,2]-为所求． 8．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+， 其中2a ≤．（1）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值． （2）若()f x 在区间[0,1]上的最小值是2，求a 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）法一 因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴为直线22ax -=． 由212a-=，解得0a =， 法二 因为函数()f x 的图象关于1x =对称， 所以必有(0)(2)f f =成立 所以有20a -=，解得0a =．（2）函数()f x 的图象的对称轴为直线22ax -=． 当2012a-<<，即02a <<时， 因为()f x 在区间20,2a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间2,12a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为22222a a f -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2222a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此方程无解；当21122a a-=-≥，即0a ≤时， 因为()f x 在区间[0,1]上单调递减， 所以在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+， 令(1)2a -+=，解得3a =-．综上，3a =-． 9．（本小题满分8分）对于区间[,]()a b a b <，若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数()y f x =，[,]x a b ∈的值域是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“保值”区间．（1）求函数2y x =的所有“保值”区间．（2）函数2(0)y x m m =+≠是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】见解析．【解析】解：（Ⅰ）因为函数2y x =的值域是[0,)+∞，且2y x =在[,]a b 的值域是[,]a b ， 所以[,][0,)a b ⊆+∞， 所以0a ≥，从而函数2y x =在区间[,]a b 上单调递增， 故有22a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得0,10,1a a b b ==⎧⎨==⎩或或．【注意有文字】又a b <，所以01a b =⎧⎨=⎩．所以函数2y x =的“保值”区间为[0,1]．（2）若函数2(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，则有： ①若0a b <≤，此时函数2y x m =+在区间[,]a b 上单调递减，所以 22a m b b m a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去m 得22a b b a -=-，整理得()(1)0a b a b -++=．因为a b <，所以10a b ++=，即1a b =--． 又01b b b⎧⎨--<⎩≤， 所以102b -<≤．因为22213110242m b a b b b b ⎛⎫⎛⎫=-+=---=-+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，所以314m -<-≤．②若0b a >≥，此时函数2y x m =+在区间[,]a b 上单调递增，所以22a m a b m b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去m 得22a b a b -=-，整理得()(1)0a b a b -+-=．因为a b <，所以10a b +-=，即1b a =-． 又01a a a⎧⎨<-⎩≥，所以102a <≤．因为221110242m a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+=--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，所以104m <<． 综合①、②得，函数2(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，此时m 的取值范围是311,0,44⎡⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U ．。

北京市西城区156中学2017_2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)

北京市西城区156中学2017_2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京156中学2017—2018学年度第一学期高一数学期中测试一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1.1.设集合，，则等于（）A. B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合A，然后再求出．【详解】∵，，∴．故选．【点睛】本题考查不等式的解法和集合交集的求法，考查运算能力，属于容易题．2.2.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：函数为奇函数，不合题意；函数是偶函数，但是在区间上单调递减，不合题意；函数为非奇非偶函数。

故选C。

考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性。

3.3.下列函数中，与函数相同的函数是（）A. B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：选项A、B、D中定义域与值域均不相同，只有选项C正确．故答案选C．考点：函数的三要素．4.4.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. B.C.D.【答案】A【解析】因x>0时f(x)=x2+.所以f(1)=1+1=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.故选D.视频5.5.函数与的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为,所以排除B，C；又因为对于D:由直线y=x+a可知a>1,而由对数函数的图象可知0<a<1,故应选A。

考点：一次函数与对数函数的图像.点评：掌握对数函数的图像与底数a的大小关系是研究此类问题的依据.当a>1时，对数函数是增函数；0<a<1时，对数函数是减函数.6.6.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数的图象开口向上，且对称轴为，要使得在上是减函数，则，解得，故选A．考点：二次函数的性质．7.7.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断出所给出的三个数的范围，然后通过比较大小得到结论．【详解】由指数函数的单调性可得，由对数函数的性质得，所以．故选．【点睛】由于题中给出的三个数的类型不同，比较大小时可借助中间量进行，即先判断出每个数所在的范围，根据范围再进行大小的比较．本题主要考查指数函数、对数函数单调性的运用．8.8.函数的零点个数为（）A. B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断出函数的单调性，再根据函数零点的存在性定理进行判断即可得到结论．【详解】∵的定义域为，∴．又函数和在上单调递增，∴在上单调递增．又，，由零点存在性定理知函数在上有唯一零点．故选．【点睛】对函数零点个数的判断方法：(1)结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；(2)利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．9.9.若函数在上是增函数，则（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】∵是偶函数，∴，∵在单调递减，，∴，∴，故选．10.10.一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．图1图2根据图有以下四个说法：①在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加；②在整个跑道中，最长的直线路程不超过；③大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；④在图的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹．其中，所有正确说法的序号是（）。

2017-2018北京西城31中高三上期中【理】数学解析版

2017-2018北京西城31中高三上期中【理】数学解析版

北京三十一中学2017-2018学年度第一学期高三第一学段数学（理科）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案） 1．已知集合{}1,1,2A =-，{}|10B x x =+≥，则A B =（ ）．A ．{}1,1,2-B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}2【答案】A【解析】∵集合{}1,1,2A =-， 集合{}{}|10|1B x x x x =+=-≥≥， ∴集合{}1,1,2A B =-．故选A ．2．下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是（ ）．A ．()f xB ．()ln f x x =C ．()2x f x =D ．()tan f x x =【答案】C【解析】A 项，()f x =[0,)+∞；B 项，()ln f x x =的值域是R ；C 项，()2x f x =的值域是(0,)+∞；D 项，()tan f x x =的值域是R ． 故选C ．3．在ABC △中，若tan 2A =-，则cos A =（ ）．AB ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意可知，sin tan 20cos AA A==-<， 即sin 2cos A A =-， 又22sin cos 1A A +=，所以21cos 5A =，A 为钝角，所以cos A = 故选B ．4．函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数1xy a a =-（0a >且1a ≠）的图象可以看成把函数x y a =的图象向下平移1a个单位得到的．当1a >时，函数1xy a a =-在R 上是增函数，且图象过点(1,0)-，故排除A ，B ； 当01a <<时，函数1xy a a=-在R 上是减函数，且图象过点(1,0)-，故排除C ．故选D ．5．若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“2a a >”等价于“0a <或1a >”， 所以“2a a >”是“1a >”的必要不充分条件． 故选B ．6．将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）．A ．πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．1πsin 220y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度可得到πsin 10y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数1πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．故选C ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0)O ，(0,1)A ，(1,2)B -，(,0)C m ，若OB AC ∥，则实数m 的值为（ ）．A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C【解析】由已知可得(1,2)OB =-，(,1)AC m =-， 因为OB AC ∥， 所以21m -=-， 解得12m =． 故选C ．8．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则（ ）．A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,π)上的单调递增 【答案】C【解析】已知函数π()sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是4π，所以2π4πω=，可得12ω=．则1π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．A 项，因为π1(0)sin 062f ==≠，所以函数()f x 的图象不关于原点对称，故A 项错误；B 项，因为π5π1sin 1362f ⎛⎫==≠± ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象不关于直线π3x =对称，故B 错误； C 项，函数()f x 图象上所有的点向右平移π3个单位长度后得到1ππ1sin sin 2362y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，关于原点对称，故C 项正确；D 项，当0πx <<时，1ππ2π,2663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令π1ππ6262x <+<，得2π03x <<， 令π1π2π2263x <+<，得2ππ3x <<，所以函数()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 项错误．故选C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上） 9．若()f x ()f x 定义域__________．【答案】1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，则 12210log (21)0x x +>⎧⎪⎨+>⎪⎩， 解得102x -<<，故()f x 的定义域为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．已知2log 5a =，23b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 【答案】a b c >>【解析】22log 5log 42a =>=，2log 3(1,2)b =∈，33log 2log 31c =<=， 故a b c >>．11．曲线sin (0π)y x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 【答案】2【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积 π0πsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰．12．若sin()y x ωϕ=+的图象如图π0,||2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭，则ω=__________，ϕ=__________．【答案】12；π6【解析】由图象可知2πππ433T =+=，所以2π4πT ω==，故12ω=． 1()sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为2ππsin 133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，π2π6k ϕ=+，k ∈Z ． 又π||2ϕ<，故π6ϕ=．13．已知向量a ，b 满足(,1)a x =，(1,1)b =-，(2)4b a b ⋅+=，则x =__________，a 与a b -的夹角为__________． 【答案】1【解析】已知(,1)a x =，(1,1)b =-，则2(2,3)a b x +=-， 由于(2)4b a b ⋅+=，所以(2)34x --+=，解得1x =．14．数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，1n =，2，3，），且1a ，2a ，3a 成公比不为1的等比数列，则c =__________，{}n a 的通项公式__________． 【答案】2；22n a n n =-+ 【解析】∵12a =，1n n a a cn +=+， ∴212a a c c =+=+，32223a a c c =+=+， ∵1a ，2a ，3a 成公比不为1的等比数列，∴2213a a a =，即2(2)2(22)c c +=+， 解得0c =（舍去）或2c =． ∴12n n a a n +=+，即12n n a a n +-=， 则121321()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-2242(1)n =++++-22(1)2(1)2n n +-=+⨯- 22n n =-+， 故数列{}n a 的通项公式为22n a n n =-+．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分13分） 已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=-．（1）求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（2）求sin2cos2αα+的值．【答案】见解析．【解析】（1）∵tan 2α=-，∴πtan tanπtan 12114tan π41tan 1(2)31tan tan 4ααααα++-+⎛⎫+====- ⎪---⎝⎭-+． （2）由π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=-，得sin α，cos α=， ∴22437sin2cos22sin cos cos sin 555αααααα+=+-=--=-．16．（本题满分13分）已知函数2π()26sin cos 2cos 14f x x x x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求()f x 的最小正周期．（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】见解析．【解析】（1）∵1sin cos sin22x x x =，21cos (1cos2)2x x =+，∴2π()26sin cos 2cos 14f x x x x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭sin2cos23sin2(1cos2)1x x x x =--+-++2sin22cos2x x =-π24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）∵π02x ≤≤，∴ππ3π2444x --≤≤，∴当0x =时，πsin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值；当3π8x =时，πsin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，∴当3π8x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最大值，max 3π()8f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭当0x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最小值，min ()(0)2f x f ==-．17．（本题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，32b c =，ABC S =△． （1）求b 的值． （2）求sin B 的值． 【答案】见解析．【解析】（1）∵60A =︒，ABC S =△，∴11sin6022bc bc ︒==，整理得：6bc =， 又∵32b c =， ∴2b =，3c =．（2）∵2b =，3c =，60A =︒，∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2222367a =+-=，解得a =， 由正弦定理得：sin sin a b A B =2sin B=，解得sin B =． 18．（本题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，(1)()n n S na n n n +=--∈N ． （1）求n a 的表达式．（2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．【答案】见解析．【解析】（1）当2n ≥时11(1)2(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----， ∴12(2)n n a a n --=≥，∴数列{}n a 是以11a =为首项，以2为公差的等差数列， ∴21n a n =-．（2）数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则12231111n n n T a a a a a a +=+++1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+． 19．（本小题满分13分）已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程． （2）求()f x 的单调区间．（3）若()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析． 【解析】（1）∵1a =，∴2()42ln f x x x x =-+，22242()24x x f x x x x-+'=-+=（其中0x >），∴(1)3f =-，(1)0f '=，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3y =-． （2）∵2()2(1)2ln f x x a x a x =-++（其中0a >）， ∴2()22(1)af x x a x'=-++ 222(1)2x a x ax-++=2(1)()x x a x --=（其中0x >），由()0f x '=，得1x a =，21x =； ①当01a <<时，在(0,)x a ∈和(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， 在(,1)x a ∈时，()0f x '<，∴()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ②当1a =时，在(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴()f x 的单调增区间是(0,)+∞；③当1a >时，在(0,1)x ∈和(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，在(1,)x a ∈时，()0f x '<， ∴()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a ．综上所述，当01a <<时，()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ；当1a =时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；当1a >时，()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a ．（3）由（2）知：当01a <≤时，()f x 在区间[1,e]上是增函数，最大值是(e)f ；当1a >时，()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，最大值只能在区间的端点处取到， 即有(1)12(1)210f a a =-+=--≤， ∴12a -≥，且22(e)e 2(1)e 2e 2e 2(e 1)0f a a a =-++=---≤，整理得2e 2e2e 2a --≥．综上，a 的取值范围是2e 2e ,2e 2⎡⎫-+∞⎪⎢-⎣⎭．20．（本小题满分14分）已知函数321()1()3f x x ax a =-+∈R ．（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直，求a 的值． （2）若0a >，函数()y f x =在区间2(,3)a a -上存在极值，求a 的取值范围． （3）若2a >，求证：函数()y f x =在(0,2)上恰有一个零点． 【答案】见解析．【解析】（1）2()2f x x ax '=-，(1)12f a '=-，∵曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直， ∴(1)121f a '=-=-， ∴1a =．（2）令()0f x '=，即(2)0x x a -=，得0x =或2x a =．∵0a >，所以0x =不在区间2(,3)a a -内，要使函数在区间2(,3)a a -上存在极值， 只需223a a a <<-． 解得3a >．（3）证明：令()0f x '=，得0x =或2x a =， ∵2a >， ∴24a >，∴()0f x '<在(0,2)上恒成立，函数()f x 在(0,2)内单调递减， 又∵(0)10f =>，1112(2)03af -=<， ∴()f x 在(0,2)上恰有一个零点．。