基于能量释放率的Ⅱ型裂纹开裂分析

第２　８卷　第５期　２０１　５年１０月　石油化工高等学校学报　

ＪＯＵＲＮＡＩ　ＯＦ　ＰＥＴＲＯＣＨＥＭＩＣＡＩ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＩＥＳ　ＶＯ１．２　８　ＮＯ．５　

Ｏｃｔ．２０１５　

文章编号：１００６—３９６Ｘ（２０１５）０５—００９５—０４　基于能量释放率的Ⅱ型裂纹开裂分析　

蔡永梅，　张芳瑶，　谢禹钧　（辽宁石油化工大学机械工程学院，辽宁抚顺１１３００１）　

摘　要：　分叉开裂问题是一个新型的断裂力学问题，本文利用经典．，　一积分守恒律，对部分路径积分，分析Ⅱ　型裂纹分叉开裂时能量释放率，并指出裂纹边界分叉开裂的应力强度因子与‘，　一积分的关系。当裂尖奇异应力场的　应力集中达到一定程度时，即达到临界条件时，该应力场所在的边界将开裂，通过边界移动的能量释放率的分析定　量地给出了边界分叉开裂能量释放率数学表征及边界开裂的极限临界载荷。　关键词：　断裂韧性；　Ｊ　一积分；　裂纹分叉；　应力强度因子；　临界载荷　中图分类号：ＴＥ９０５；０３４６．１　文献标志码：Ａ　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—３９６Ｘ．２０１５．０５．０１９　

Ａｎ　Ｅｎｅｒｇｙ—Ｂａｓｅｄ　Ｆｒａｃｔｕｒｅ　Ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　Ｃｒａｃｋｉｎｇ　ｆｒｏｍ　Ｍｏｄｅ—ＩＩ　Ｃｒａｃｋ—Ｔｉｐ　Ｃａｉ　Ｙｏｎｇｍｅｉ，Ｚｈａｎｇ　Ｆａｎｇｙａｏ，Ｘｉｅ　Ｙｕｊ　ｕｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｓｈｉｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｓｈｕｎ　Ｌｉａｏｎｉｎｇ　１　１３００１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｃｒａｃｋｉｎｇ　ｂｒａｎｃｈｉｎｇ　ｉｓ　ａ　ｎｅｗ　ｔｙｐｅ　ｏｆ　ｆｒａｃｔｕｒｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃ　Ｊ　一ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｅｘｐｌｏｒｅｄ　ｕｔｉｌｉｚｉｎｇ　ａ　ｐａｒｔｉａｌ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｐａｔｈ，ｆｒｏｍ　ｗｈｉｃｈ　ａｎ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｎｅｒｇｙ　ｒｅｌｅａｓｅ　ｒａｔｅ　ｆｏｒ　ｍｏｄｅ－１Ｉ　ｃｒａｃｋ—ｂｒａｎｃｈｉｎｇ．Ｔｈｅ　ＳＩＦｓ　ｉｓ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃｒａｃｋ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｊ　一ｉｎｔｅｇｒａ１．Ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｓｔｒｅｓｓ　ｆｉｅｌｄ　ｒｅａｃｈｅｓ　ｉｔｓ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｖａｌｕｅ，ｆｒａｃｔｕｒｅ　ｗｉｌｌ　ｔａｋｅ　ｐｌａｃｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｏｆ　ｂｏｕｎｄａｒｙ．Ｔｈｅ　ｆｒａｃｔｕｒｅ　ｏｆ　ｃｒａｃｋ—ｂｒａｎｃｈｉｎｇ　ｉｓ　ｆｏｒｍｕｌｉｚｅｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｌｏａｄ　ａｌｓｏ　ｉｓ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌｌｙ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｎｅｒｇｙ　ｒｅｌｅａｓｅ　ｒａｔｅ　ｏｆ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：　Ｆｒａｃｔｕｒｅ　ｔｏｕｇｈｎｅｓｓ；Ｊ　一Ｉｎｔｅｇｒａｌ；Ｃｒａｃｋ—ｂｒａｎｃｈｉｎｇ；Ｓｔｒｅｓｓ　ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ　ｆａｃｔｏｒｓ；Ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｌｏａｄ　

裂纹折裂和分叉问题的研究起源于裂纹高速动　态扩展，后来发现扩展速度较低时也有裂纹分叉的　现象，也有实验表明裂纹的准静态扩展也有分叉问　题。裂纹扩展过程非常复杂，预测裂纹扩展方向仍　然存在很大的挑战性，部分是由于裂纹扩展具有多　级分叉现象。事实上，这一复杂问题需要进一步简　化，即使对于各向同性材料，开裂机理取决于裂纹开　裂形式和所承受载荷类型。Ｃｌａｒｋ和Ｉｒｗｉｎ、　Ｓｃｈａｒｄｉｎ等认为应当用临界应力强度因子Ｋ　或应　变能释放率Ｇ描述裂纹的分叉，而不是用裂纹高速　扩展引起的应力分布的变化检验裂纹是否分叉口。］。　这一认识在一定的程度上重新确认了应力强度　因子Ｋ或应变能释放率Ｇ在描述裂纹分又分析中　的地位和作用。然而，这些观点没有受到应有的重　视和研究。本课题的研究将在理论上验证Ｃｌａｒｋ和　Ｉｒｗｉｎ、Ｓｃｈａｒｄｉｎ提出的观点。　裂纹分又研究在理论上和工程应用上具有重要　的意义。首先可以揭示裂纹的完整扩展规律，对完　善和丰富断裂力学理论体系有积极的贡献。在工程　应用上裂纹的分叉会促成多个裂纹尖点的产生，客　观上导致各裂纹尖端的应力强度因子骤降，应力集　中程度受到很大程度的削弱，达到止裂的目的，能有　效阻止工程构件的灾难性断裂，具有优良的工程应　用价值。　

１　边界开裂的断裂韧性　对于均质、各向同性材质的弹性实体，其边界开　裂的最大能量释放率为：　

收稿日期：２Ｏ１４—０６—３Ｏ修回日期：２Ｏｌ５—０５—２Ｏ　基金项目：国家自然科学基金项目（５０７７１０５２，５０９７１０６８）；辽宁省自然基金项目（２００８２１８８）；辽宁省教育厅重点实验室项目　（Ｉ　￥２０１０１００）。　作者简介：蔡永梅（１９８１一），女，博士研究生，讲师，从事断裂力学、化工机械等研究；Ｅ－ｍａｉｌ：ｃｙｍｌｎｐｕ＠１６３．ｃｏｍ。　通信联系人：谢禹钧（１９６０一），男，博士，教授，博士生导师，从事断裂力学、结构完整性评定等研究；Ｅ—ｍａｉｌ：ｙｊｘｉｅ＠ｍａｉｌ．ｆｓｐｔｔ．Ｉｎ　Ｃｎ　９６　石油化工高等学校学报　第２８卷　：『　ＷＶ　ｍ　ｄｓ　（１）——＝＝＝Ｉ，　【ｌ　Ｊ　ａ　Ｊ　其中　表示“速度”；ｍ　是边界Ｓ上的外向单位法　矢量，叫为应变能密度。　如果令　一ｅ　—Ａ　／Ａ表示单位位移在坐标方　向上的分量，即８１＝ＣＯＳｆｆ，ｅ　２：＝＝ｓｉｎｐ，Ｏｔ为位移△与　的夹角，　为位移△与　。的夹角。若引进ｎ　一　一ｍ　表示路径Ｓ内法线单位向量，即代表边界向弹　性体内部方向移动　］。于是边界移动的能量释放　率可定义为：　

２　Ⅱ型裂纹　一积分　考虑弹性体裂纹面，泊松比　，弹性模量Ｅ。分　析中采用局部直角坐标系ｚ　，ｚ　。同时引入柱坐标　系统（ｒ，０，ｚ），其与直角坐标关系为ｚ　一ｔ＇ＣＯＳ０，Ｘ　一ｒｓｉｎ０。裂尖局部边界示意如图２所示，积分路径　ｒ从裂纹下表面到上表面，假定裂纹表面自由，在其　他边界上的载荷或位移沿着裂纹面平行或者正交方　向［８－１０１，从而更好地分析所提出的问题。　

Ｇ一一ａⅡＯ／Ｘ＝ｆ

ｗＰ　，ｌ　ｄｓ　（２）　

如果边界Ｓ上的各点均以同一个方向运动，边界开　裂二维模型如图１所示，则式（２）可由守恒积分Ｊ　一　表示，即：　Ｇ—Ｊ　ｅ　（３）　

图１　ｓ一０时边界开裂二维实体模型　Ｆｉｇ．１　Ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｒａｃｋｉｎｇ　ｗｈｅｎ　—｝Ｏ　ｆ０ｒ　ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉ０ｎａｉ　ｓｏｌｉｄｓ　

在数学和几何上，边界的开裂等价于边界的移　动。局部边界ｓ几何移动后形成一个缺口，当ｓ一０　后缺口退化成裂纹，构成了边界单裂纹开裂的几何　模型。前期的研究工作表明Ｅ６－７３，其自由边界ｓ沿　（与ｚ　方向的夹角）方向开裂的能量释放率为：　

Ｇ一　。＝Ｕ　１）ｊ　ｓａ　２）Ｉ　（４）　其中　

（Ｊｊ）｝　一。一　

ｉｍｌｗｄｙ—ｌ（叫　一Ｔ　“ｚ，，）ｄｓ　

一０　ｓｌ　５ｆ　

ｉ，　一１，２　（５）　

其中ｓ　为弹性体内任意一条积分曲线，且与Ｓ构成　闭合回路。其中（　）ｌ　一。为边界Ｓ沿ｚ　方向单位　移动的能量释放率，即能量型驱动力；（Ｊ　ｚ）１　一。为边　界Ｓ沿ｚ　方向单位移动的能量型驱动力。通过研　究该模型不仅适用于裂纹问题，也适用于压痕边界　等一般边界的开裂问题。　

图２裂尖局部边界（ｒ。一０　）　Ｆｉｇ．２　Ｔｈｅ　ｌｏｃａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｒａｃｋ　ｔｉｐ（，。—’Ｏ　）　

参考图２所示的坐标系统，其中ｚ　垂直于裂　尖，ｚ　垂直于裂纹面，将线弹性断裂力学中裂尖的　应力和位移场代入方程（５）中，由式（５）得出：　ｒ　Ｊ　ｌ—Ｉ（ｗｎｌ—Ｔ　“　）ｄｓ　（６）　

士　

ｒ　Ｊ　２一ｌ（ｗｎ　２一Ｔ　“　，２）ｄｓ　（７）　

｛　

其中ｎ１一ｃｏｓ（／－／，ｚ），ｎ　２一ｃｏｓ（ｎ，Ｙ）；应变能密度７．Ｏ　１　可由应力和应变场来计算叫一÷　ｅ　；Ｔ　为积分边　

界上的应力矢量，Ｔ　—　，；将应力、位移等各分量　带人式（６）、（７）得出：　

Ｊ　一　（８）　Ｆ－，　

Ｊ　２—０　（９）　Ｋ　为滑开型裂纹应力强度因子。也意味着应　力强度因子能够通过Ｊ　一积分来计算，即沿着裂纹　下表面任意一点到上表面任一点的积分路径来计算　．，　一积分从而得出Ｋ值［１　”］。　

３　Ⅱ型裂纹边界分叉式开裂分析　３．１裂尖处Ｉ，　积分基本特征　在Ⅱ型裂纹裂尖处存在Ｋ一控制区，裂尖处积分　路径如图２所示。．，　一积分在裂尖边界附近所处的　四个象限均为正。　。一积分在工和Ⅲ象限为正值，　在Ⅱ和Ⅳ象限为负值。当ｈ一０并且ｂ—Ｏ，裂尖边　第５期　蔡永梅等．基于能量释放率的Ⅱ型裂纹开裂分析　界区域分为四部分，裂纹边界为：ｓ一５　ｓ＋ｓ　ｓ　＋Ｓ　ｚ＋　￥２３一ｏ，在各象限内分别给出能量释放率以便于分　析裂尖的分叉行为。以．，　一积分为例，利用方程　（６）和（７）得出Ｊ　一积分：　一　（１０）　Ｊ　一——　一　川　…）　应用同一方法得出沿路径Ｓ　、Ｓ　。、Ｓ　和Ｓ　上的　Ｊ　一积分值，如表１所示，正则化的沿积分路径各Ｊ　一　积分变化如图３所示，取　一０．３分析。　表１沿路经Ｓｌｚ、Ｓ　２３、Ｓ　４　５、Ｓ　５ｌ和正则化Ｊ　一积分　Ｔａｂｌｅ　１　Ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ－ｉｎｔｅｇｒａｌｓ　ａｌｏｎｇ　ｓｌ２，　２３。Ｓ　４　５ａｎｄ　Ｓ　５１　罡　鼋　曼　罾　０／　）　图３沿积分路径．，　一积分分布规律　Ｆｉｇ．３　Ａｌｏｎｇ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｐａｔｈ．，　‘ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｒｕｌｅ　３．２　Ⅱ型裂纹开裂能量释放率　Ｊ　１（ｓ１　２）、Ｊ　（ｓ　２。）、Ｊ　１（Ｓ　）和Ｊ　ｌ（Ｓ　５１）均为正值，　如表１所示，意味着它们对裂纹边界扩展及裂纹边　界沿着　方向扩展起作用。　有着不同的行为，　Ｊ　（　）＞０表明如果边界５　沿着ｚ。方向扩展，裂　纹体将释放能量，须考虑该积分对裂纹扩展的影响。　Ｊ　（　）＜０意味着边界Ｓ。。沿着ｚ　负方向移动，裂　纹体将吸收能量，这是不可能发生，因此，这种情况　下的将不考虑Ｊ　（Ｓ　。）的影响。然而一Ｊ　（Ｓ　）＞０　意味着边界沿着ｚ　负方向移动，意味着如果边界　Ｓ　沿着ｚ　负方向移动，裂纹体将释放应变能，则必　须考虑该积分对多级裂纹分叉扩展的影响。同理，　在一Ｊ　ｚ（ｓ　）＜０这种情况下，实际中它也是不可能　发生的，也不考虑一Ｊ　（Ｓ　）的影响。　由以上分析，不难得出裂纹分叉的能量释放率，　裂尖边界能量释放率分别表示为：　Ｇ１２一（　１）ｌ　一０　ｃｏｓａ＋（　２）ｌ　ｚ—ｏ　ｓｉｎａ（１２）　Ｇ　２３一（．，１）１　一ｏ　ＣＯＳＧ　（１３）　Ｇ４５一（．，１）ｌ　４５一ｏｃｏｓａ　（１４）　Ｇ５ｌ一（Ｊ１）１　一０ｃｏｓａ＋（Ｊ　２）１　一ｏｓｉｎａ（１５）　可由方程（４）获得不同开裂形式的能量释放率，　例如准静态三叉开裂裂纹能量释放率：　Ｇ　｜＿ｂ＝２Ｊ１（ｓｌ２）ＣＯＳｆｆｌ＋２［－Ｊ１（ｓ　２３）ｃｏｓ口２＋