摭谈初中几何入门教学中学生合情推理能力的培养
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摭谈初中几何入门教学中学生合情推理能力的培养
太仓市浮桥中学蔡国飞
【内容摘要】：长期以来，初中几何教学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为平面几何就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，它的实质是“发现”。因此，在初中几何入门的数学课堂教学中，教师应该根据教材内容对学生进行合情推理能力的培养。它不仅能够提高课堂教学质量，更重要的是有助于学生创新意识的培养和创新能力的提高。
【关键词】： 初中几何教学 合情推理能力 培养策略研究
合情推理的存在：“早雾晴，晚雾阴”、“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”。这正是我们对生活中这种现象观察统计所得到的合情推理；又如法官断案，医生诊断病情等。在现实社会中，合情推理广泛存在日常生活、学习和工作中，已遍布到每一个角落。人们都在有意或无意中使用合情推理，因此学习掌握合情推理是初中几何入门教学的一个重要任务。
《数学课堂标准》中指明：学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”长期以来初中数学几何教学注重采用“形式化”的方式发展学生的演绎能力，忽视了合情推理能力的培养。科学结论（包括数学的定理、法则、公式等）的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比……即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或是错误。应当指出，数学需用要演绎推理，也需要合情推理。
在日常生活、学习和工作中，人们经常要对各种各样的事物进行判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等。由一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维形式叫做推理，当然推理有：演绎推理、合情推理等。许多老师都有这样一种困惑：认为新教材轻视了对概念的准确定义以及定理的推理论证，没有展开分析、讨论，只要求学生去识记概念、定理，讲求会用就行，这叫知其然，不知其所以然，显然不利于学生的长期发展。如：“三角形内角和定理”教材中没有
加以证明，而是让学生用剪纸拼接实验来加以说明又如教材中轴对称图形、线、底边上的中线、高线重合（三线合一）等，教材中没有加以证明，就用折纸的方法使学生确定它们的存在。这是逻辑推理的一大忌讳，不利于学生逻辑推理能力的培养，而失去了数学的严谨性。我们如果认真研读《数学课程标准》，就会消除这种误解。在课标中提出了“学生通过义务教育阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和步调的演绎推理能力，所谓合情就是从已有的知识和具体的知识和具体的事实经验出发通过观察实验、类比、联想、归纳、猜想等手段在某种情境和过程中推也可能性结论的推理，这种推理的途径是从观察、实验入手，通过类比而产生联想，或通过归纳作出猜想”。所以说新的《数学课程标准》是通过合情推理和演绎推理等多种方式去发展学生学习几何的能力。
数学家波利亚说：“数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，完成了数学理论，用最终形式表示出来，不只是仅仅由证明构成的纯粹证明性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。”由一个或几个已有的知识和经验，在某种情境和过程中推也可能性结论的推理。合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做也的探索性的判断，因而在平时的课堂教学中如何教会学生合情推理，是一个值得探讨的课题。
但长期以来，中学数学平面几何教学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，合情推理与演绎推理是相辅相成的。在证明一个定理之前，先得猜想、发现一个命题的内容，在完全作出证明之前，先得不断检验、完善、修改所得出的猜想，还得推测证明思路，你先得把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试，在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理，合情推理的实质是“发现——猜想----验证”。牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”著名的数学教育家波利亚早在1953年就大声疾呼：“让我们教猜测吧！”“先猜后证——这是大多数的发现之道。在解决问题时的合情推理的特征
是不按逻辑序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃的表现形式。因此在数学学习中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，也要重视思维的直觉性和发现性，即应重视数学合情推理能力的培养。”
在数学教学中发展学生的推理能力时，往往首先想到是几何教学代数”事实上数学的各个分支都充满了合理推理，其广泛在于“数与代数”“空间与几何”“概率与统计”“实践和综合应用”之中。
几何的入门教学是让教师头疼的事，因此大多数教师只能采用“题海战术”让学生自己慢慢去领悟，其实要提高几何入门教学的有效性，培养学生合情推理能力，教师应该在引导方法上下功夫，渗透某些数学思想，提升学生的几何领悟力，让学生感受到学习几何的乐趣。笔者就如何在初中几何入门教学中培养学生合情推理能力谈几点思考。
一、设计铺垫，启发探究
设计铺垫，启发探究，就是为了解决某个问题，巧妙地设计一组与它相关的连环问题，并且这个问题学生一般都能接受，如果深入探究的话，就会发现这很快就接近了我们要解决的那个问题。比如在学习全等三角形时，可举这样的一个例题：
已知:如图1，已知AE=AD，∠B=∠C。
求证:△BDO≌△CEO
这个例题的难度，主要是已知条件中的AE=AD，与求证的结论表面上好像很难联系起来，学生一下子找不到它们的内在联系，因此教师可设计一组如下的探究式问题，进行铺垫过渡：
（1）如图1，已知AE=AD，∠B=∠C，你可得到哪些结论？
（2）在（1）的条件下，连接AO，你还可以得到哪些结论？
这样结论开放，有助于激发学生学习的兴趣，事实上后进生在解决问题（1）时他们也兴趣盎然，因为他们也能得到
一些边相等，角相等，三角形全等的结论，有成功的体验。其中通过探究发现△ABE≌△ACD,得出结论AB＝AC,从而发现BD=CE，又进一步得出△BDO≌△CEO的结论，使学生欣喜不已，充分激发了学生的求知欲望，这比直接让学生根据已知条件说明这两个三角形全等效果好得多，第2问的设计让优等生的思维更加活跃，使知识向纵深的方向发展。
二、一图多变，分层递进
一图多变，分层递进，就是上课时要关注到不同知识基础的学生，要考虑课堂提问、例题、课堂练习的设计是否有层次性，是否有利于不同学生层次的发展。运用一图多变能使学生加深对概念的理解，有利于每个学生的发展，不管是哪一个知识层次的，都会学有所得。
又如在学习轴对称变换时，教材中为了让学生更直观的认识轴对称图形，通常把对称轴画成铅垂线，那么对称点之间的连线就是水平线，但教师如果不刻意提醒，肯定会有一部分学生习惯地认为两个对称点一定是处于水平位置，那么就会出现如右图的错误，导致知识负迁移，所以在上课时，除了讲清对称点的画法外，更应该注重一图多变，进行强化训练，达到预期的教学效果。因此可设计如下一组题：作下列各图形关于直线m的轴对称图形。
这样从画对称点到画对称线段再画对称图形，从易到难，层层递进，有助于学生抓住轴对称的本质特征，深刻理解轴对称的概念，并能正确画图，对提高他们学习几何的自信心，培养他们学习几何的兴趣起到了一定的作用。
三、逆向思维，追根溯源
逆向思维，追根溯源，就是上课时考虑逆命题的作用，即把命题的结论和已知条件对换来观察，是否有利于这个命题的破解，这是引导学生如何解题的一个行之有效的方法。
比如在学习线段的长短比较这节课的教学目标是让学生掌握线段的中点的概念, 会用中点的概念求线段的长，并能书写简单的推理过程。教材中就有一个例题：
如图，点P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分。已知线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长。
这节课是初一学生刚接触几何，线段中点概念讲完就抛出这个例题，这对绝大多数学生来讲难度太大，明显高于学生的认知起点。所以我想应该让学生知道线段CP与线段AB之间的内在联系，为了更直观地认识它们之间的数量关系，在上这节课时，让学生运用逆向思维进行思考，就是已知整条线段AB的长，求部分线段的长，让学生先解答下面的问题：
如上图，点P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分。已知线段AB的长为24cm，求线段AP，AC，CP的长。
待学生求出了AP、AC、CP的长度后，再进一步提问：你可发现线段CP与AB之间有怎样的关系？
这样先求AB再求CP，贴近学生的认知水平，课堂上学生参与度高，思维较活跃。当学生发现CP与AB的关系后再抛出上面的例题，较多学生能独立解决。这样降低知识坡度，分散教学难点，让学生由易到难，有助于学生积极思维，主动参与。
四、类比联想，深化拓展
类比联想，深化拓展，就是几个问题通过类比，发现有许多相似之处，好像是孪生姐妹，再进行联想，可以把原来的问题深化处理，拓展学生的解题思路。类比是一种重要的数学思想，是学生获得知识的有效方法，上课时要充分考虑这种思想的渗透。采用类比联想，促使学生大胆猜测，探究新知。
例如在学习角的计算时，可与线段的计算进行类比，这样学生学习角的运算就轻松了许多。举例如下：
如图2，OD是∠AOB的平分线，∠AOC：∠BOC=3：2，∠COD=200，求∠AOB的度数。
此题与可下题类比：
如图3，C是线段AB的中点，点D分线段AB和长度为3：2，已知CD=10cm，求AB的长。
这样通过类比，学生就能看出问题的本质，解决问题就会得心应手，可有效地提高学生学习几何的悟性，体验感悟几何的快乐。
五、合情推理，培养能力
在几何入门的教学中，既要重视演绎推理。又要重视合情推理。初中数学新课程标准关于《空间与图形》的教学中指出：“降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认别图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形；同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情的推理能力。”并为学生“利用直观进行思考”提供了较多的机会。学生在实际的操作过程中。要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。如：在圆的教学中，结合圆的轴对称性，发现垂直定理及推论。利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角之间的位置关系；利用直观操作发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间位置关系。
合情推理和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，这个过程中就发展了学生的合情推理能力。注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。同时也有助于学生空间观念的形成，合情推理的方法为学生的探索提供努力的方向。
