数学竞赛模拟试题五

数学竞赛模拟试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果一个数的平方等于其自身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项3. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = 1/25. 一个数列的前三项是1, 1, 2，如果每一项都是前两项之和，那么第四项是多少？B. 4C. 5D. 66. 以下哪个是勾股定理的表达式？A. a² + b² = c²B. a² - b² = c²C. a² * b² = c²D. a² / b² = c²7. 如果一个三角形的三个内角分别是40°，60°和80°，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形8. 一个数的立方根等于它自己，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 所有选项9. 以下哪个是等差数列的通项公式？A. an = a1 + (n-1)dB. an = a1 - (n-1)dC. an = a1 * (n-1)dD. an = a1 / (n-1)d10. 如果一个函数f(x) = x² + 2x + 1，那么f(-1)的值是：B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

12. 如果一个数列的前n项和为S，且S = n²，那么这个数列是________。

13. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是________。

14. 一个函数f(x) = 3x - 2，当x = 1时，函数的值是________。

美国imo数学竞赛试题及答案问题1：代数问题设\( a, b, c \) 是正实数，满足 \( a + b + c = 1 \)。

证明：\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \]问题2：几何问题在三角形 \( ABC \) 中，点 \( D \) 和 \( E \) 分别是边 \( BC \) 和 \( AC \) 上的点，使得 \( AD \) 平行于 \( BE \)。

如果\( \angle A = 60^\circ \)，证明 \( \angle ADB = \angle BEC \)。

问题3：数论问题给定一个正整数 \( n \)，证明对于所有 \( n \) 的倍数 \( k \)，\( k \) 除以 \( n \) 的余数等于 \( k \) 除以 \( n+1 \) 的余数。

问题4：组合问题有 \( 2n \) 个不同的球和 \( n \) 个相同的盒子。

证明至少有一个盒子包含至少 \( 3 \) 个球。

问题5：不等式问题证明对于所有正实数 \( x \) 和 \( y \)，以下不等式成立：\[ \sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{2xy} \geq x + y \]答案问题1：代数问题由柯西不等式，我们知道：\[ (a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right) \geq (1 + 1 + 1)^2 \]因为 \( a + b + c = 1 \)，所以：\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \]问题2：几何问题由于 \( AD \) 平行于 \( BE \)，根据相似三角形的性质，我们有\( \triangle ABD \sim \triangle CBE \)。

2014年小学五年级数学竞赛模拟试题（含答案）考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分。

满分为150分，考试时间为60分钟。

2．答题时，必须在答题卷的密封区内写明学校、班级和姓名。

3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。

4．考试结束后，上交试题卷和答题卷。

一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1．（8分）算式143×21×4×37×2的计算结果是_________．2．（8分）2012年第一季度某省出口总额为80.7亿美元，比进口总额的1.5倍还多11.1亿美元，这季度该省进口总额为_________亿美元．3．（8分）200到220之间有唯一的质数，它是_________．4．（8分）将0～5这6个数字中的4个数字填入如图的圆圈中，每条线段两端的数字作差（大减小），可以得到5个差，这5个差恰好为1﹣5，在所有满足条件的填法中，四位数的最大值是_________．5．（8分）蕾蕾去买方便面，递给老板1张面值100元的纸币，老板找完钱后对她说：“你才给我1张钱，我却给了你16张钱，还有价值5元的方便面，你真是太赚了啊！”，如果老板找给蕾蕾的钱要么是面值10元的，要么是面值5元的，那么这16张钱中有_________张是面值10元的．二、填空题II（每题10分，共50分）6．（10分）将数字1～9填入如图竖式的9个方格中，每个数字只能用一次，那么和的最大值为_________．7．（10分）魔地上有一块魔石，不断向上均匀生长，为避免它把天捅破，仙界长老决定派出植物战士吸食魔石，抑制它的生长，每名植物战士每天吸食的量相同，如果派出14名植物战士，16天后魔石就会把天捅破；如果派出15名植物战士，24天后魔石就会把天捅破，至少派出_________名植物战士，才能保证天不会被捅破．8．（10分）有10个小伙子，他们的体重和身高各不相同；对于任意两个小伙子A和B，如果A比B重，或者A比B高，则称“A不比B差”；如果一个小伙子不比其它9个人差，就称这个小伙子是“棒小伙”，那么，这10个人中最多有_________个“棒小伙”．9．（10分）军区食堂晚饭需用1000斤大米和200斤小米，军需员到米店后发现米店正在促销，“大米1元1斤，每购10斤送1斤小米（不足10斤部分不送）；小米2元一斤，每购5斤送2斤大米（不足5斤部分不送）．”军需员至少要付_________元钱才能买够晚饭需用的米．10．（10分）如图，正方形ABCD中，等腰直角三角形AEF的面积是1，长方形EFGH的面积是10，那么，正方形ABCD的面积是_________．三、填空题III（每题12分，共60分）11．（12分）定义a□b=（a+2）（b+2）﹣2：算式1×3×5×7×9×11×13﹣（1□3□5□7□9□11）的计算结果是_________．12．（12分）一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15，且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是_________．13．（12分）甲从A地出发前往B地，乙、丙两人从B地出发前往A地，甲行了50千米后，乙和丙才同时从B地出发，结果甲和乙相遇在C地，甲和丙相遇在D地，已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，C、D两地之间的距离是12千米．那么A、B两地之间的距离是_________千米．14．（12分）小俊玩掷骰子游戏，刚开始他站在起点格（如图），如果他掷出1至5点，掷出几点就前进几格，如果他掷出6点或某次前进后超出终点格，则立刻返回起点格；若小俊15．（12分）老师让同学们计算AB．C+D．E时，马小虎把D．E中的小数点看漏了，得到错误结果39.6；而马大虎把加号看成了乘号，得到错误结果36.9，那么，正确的计算结果应该是多少_________．2014年小学五年级数学竞赛模拟试题答案一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1．（8分）算式143×21×4×37×2的计算结果是888888．2．（8分）2012年第一季度某省出口总额为80.7亿美元，比进口总额的1.5倍还多11.1亿美元，这季度该省进口总额为46.4亿美元．3．（8分）200到220之间有唯一的质数，它是211．4．（8分）将0～5这6个数字中的4个数字填入如图的圆圈中，每条线段两端的数字作差（大减小），可以得到5个差，这5个差恰好为1﹣5，在所有满足条件的填法中，四位数的最大值是5034．5．（8分）蕾蕾去买方便面，递给老板1张面值100元的纸币，老板找完钱后对她说：“你才给我1张钱，我却给了你16张钱，还有价值5元的方便面，你真是太赚了啊！”，如果老板找给蕾蕾的钱要么是面值10元的，要么是面值5元的，那么这16张钱中有3张是面值10元的．二、填空题II（每题10分，共50分）6．（10分）将数字1～9填入如图竖式的9个方格中，每个数字只能用一次，那么和的最大值为3972．7．（10分）魔地上有一块魔石，不断向上均匀生长，为避免它把天捅破，仙界长老决定派出植物战士吸食魔石，抑制它的生长，每名植物战士每天吸食的量相同，如果派出14名植物战士，16天后魔石就会把天捅破；如果派出15名植物战士，24天后魔石就会把天捅破，至少派出17名植物战士，才能保证天不会被捅破．8．（10分）有10个小伙子，他们的体重和身高各不相同；对于任意两个小伙子A和B，如果A比B重，或者A比B高，则称“A不比B差”；如果一个小伙子不比其它9个人差，就称这个小伙子是“棒小伙”，那么，这10个人中最多有10个“棒小伙”．9．（10分）军区食堂晚饭需用1000斤大米和200斤小米，军需员到米店后发现米店正在促销，“大米1元1斤，每购10斤送1斤小米（不足10斤部分不送）；小米2元一斤，每购5斤送2斤大米（不足5斤部分不送）．”军需员至少要付1168元钱才能买够晚饭需用的米．元钱能买到的折扣都是斤，列方程组：折扣都是10．（10分）如图，正方形ABCD中，等腰直角三角形AEF的面积是1，长方形EFGH的面积是10，那么，正方形ABCD的面积是24.5．AF=AEEF==+的面积是：×=24.5三、填空题III（每题12分，共60分）11．（12分）定义a□b=（a+2）（b+2）﹣2：算式1×3×5×7×9×11×13﹣（1□3□5□7□9□11）的计算结果是2．12．（12分）一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15，且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是1221或2013．13．（12分）甲从A地出发前往B地，乙、丙两人从B地出发前往A地，甲行了50千米后，乙和丙才同时从B地出发，结果甲和乙相遇在C地，甲和丙相遇在D地，已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，C、D两地之间的距离是12千米．那么A、B两地之间的距离是130千米．米，则甲乙相遇时乙行了）千米，丙行了（=，解方程求出千米，则甲乙相遇时乙行了xxx=14．（12分）小俊玩掷骰子游戏，刚开始他站在起点格（如图），如果他掷出1至5点，掷出几点就前进几格，如果他掷出6点或某次前进后超出终点格，则立刻返回起点格；若小俊15．（12分）老师让同学们计算AB．C+D．E时，马小虎把D．E中的小数点看漏了，得到错误结果39.6；而马大虎把加号看成了乘号，得到错误结果36.9，那么，正确的计算结果应该是多少26.1．。

高中数学竞赛模拟试题及详细解析答案一. 选择题(本题满分30分,每题5分)1. 设()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,满足:()()223f x h x x x -=++.则()()f x h x +的表示式（ ）.A.223x x -+-B.223x x ++C. 223x x -+ D.()223x x -++2. ()()44040sin sin 60sin 60ααα+-++的值为（ ）.A.23B. 1C. 89D.983. 设,,A B C 分别在正四面体P KMN -的棱,,PK PM PN 上,已知1PA =,2PB =,3PC =.则截面ABC ∆的面积为（ ）.A.4. 已知I 是ABC ∆的内心,3,2,4BC AC AB ===,若AI mAB nAC =+uu r uu u r uu u r.则m n +的值为 （ ）.A.13B. 23C. 49D.595. 对于三位数abc ,满足()37abc a b c =++的三位数的个数共有（ ）.A.12个B. 15个C. 13个D.14 个6. 若两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点构成一正方形, 则22m n +的值（ ）. A.25 B. 7 C. 252D.72二. 填空题(本题满分30分,每题5分) 7. 己知b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====.则k =_____________.8. 设数列{}n a 的通项公式n a =.则99S =____________.9. 设P 是锐角ABC ∆内部任意一点, P 至边,,BC CA AB 的距离分别为,,PD PE PF . 则BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅的最小值是______________.10. 已知实系数方程320x ax bx c +++=的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线的离心率.则ba的取值范围是______________.11. 计算 __________.12. 函数()3261321f x x x x =+++,已知()()1,21f a f b ==.则a b +=__________.三. 解答题(本题满分80分,每题20分)13. 设n N ∈，对于满足条件:22111000n a a ++=的所有等差数列:123,,,a a a L L .试求1221n n n S a a a +++=+++L 的最大值.14. 设,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令tan ,tan ,tan A p B q C r ===. 求证(1).1qr rp pq ++< 的充分必要条件是:2A B C π++<; (2).1qr rp pq ++= 的充分必要条件是:2A B C π++=; (3).1qr rp pq ++> 的充分必要条件是:2A B C π++>.15. 己知双曲线22221x y a b -=的离心率e =2x =, 直线l 与双曲线右支及双曲线的渐近线交于,;,B C A D . (1).求双曲线的方程; (2). 求证AB CD =;(3). 如果AB BC CD ==,求证OBC ∆的面积为定值.16. 设D 是等腰ABC ∆的底边BC 的中点,P 是ABC ∆内部一点,满足PCA PBC ∠=∠.求证 0180BPD APC ∠+∠=.参考答案一. 选择题(本题满分30分,每题5分)1. 设()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,满足:()()223f x h x x x -=++.则()()f x h x +的表示式 (A)A.223x x -+-B.223x x ++C. 223x x -+ D.()223x x -++解 因为()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,()()223f x h x x x -=++,则()()()()222323f x h x x x f x h x x x ---=-+⇔+=-+-故选A .2. ()()44040sin sin 60sin 60ααα+-++的值为 (D)A.23 B. 1 C. 89 D.98解 记()()44040sin sin 60sin 60T ααα=+-++,()()()()()()()2220002202041cos 21cos 12021cos 120232cos 2cos 1202cos 1202cos 2cos 1202cos 1202T ααααααααα⎡⎤⎡⎤=-+--+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+-++⎣⎦++-++而()()000cos 2cos 1202cos 1202cos 22cos120cos 2cos 2cos 20ααααααα+-++=+=-=()()()()()220202000cos 2cos 1202cos 12021cos 21cos 24041cos 24042131cos 41cos 240cos 422αααααααα+-++⎡⎤=++-+++⎣⎦=+++= 所以 339488T =+=.故填D.3. 设,,A B C 分别在正四面体P KMN -的棱,,PK PM PN 上,已知1PA =,2PB =,3PC =.则截面ABC ∆的面积为 (C)A.解 记,,PA a PB b PC c ===,根据余弦定理得:BC CA AB ==再由海仑公式得:S =将1,2,3PA a PB b PC c ======代入,计算得S ==故选C.4. 已知I 是ABC ∆的内心,3,2,4BC AC AB ===,若AI mAB nAC =+uu r uu u r uu u r.则m n +的值为 (B)A.13 B. 23 C. 49 D.59解 在ABC ∆中,延长AI 交BC 于D .则422AB AC λ===.故1233AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r .因为3,2,1BC BD CD =⇒==,在ABD ∆中,I 分AD 的比'422AB BD λ===. 224399AI AD AB AC ==+uu r uuu r uu u r uuu r , 所以242993m n +=+=.故选B .5. 对于三位数abc ,满足()37abc a b c =++的三位数的个数共有个. (B)A.12个B. 15个C. 13个D.14 个解 因为三位数abc ,满足()37abc a b c =++,所以()1001037a b c a b c ++=++,即()()63273673443a a c a b c a c b a =+⇔=+⇔-=-所以当a b c ==时,共有9种,即111;222;333;444;555;666;777;888;999当 3,7,0374,8,145,9,2a b c a c b c a b c b a a b c ===⎧-=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎨-=⎩⎪===⎩; 即370,481,592. 当 4,0,7375,1,846,2,9a b c a c b c a b c b a a b c ===⎧-=-⎧⎪⇒-=-⇒===⎨⎨-=-⎩⎪===⎩; 即407,518,629. 所以满足()37abc a b c =++条件的三位数共有15个.故选B.6. 若两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点构成一正方形, 则22m n +的值 (A) A.25 B. 7 C.252D.72解 根据两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点能构成一正方形,则 222216925m n m n -=-⇔+=或 222216925m n m n -=-⇔+=故选A.二. 填空题(本题满分30分,每题5分) 7. 己知b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====.则1k =-或3k =.解 因为b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====,所以有 (){();;3;.b c d ak c d a bk a b c d k a b c d c a b ck a b c dk ++=⎧⎪++=⎪⇒+++=+++⎨++=⎪⎪++=⎩ 当0a b c d +++=时,1k =-;当0a b c d +++≠时,3k =.8. 设数列{}n a 的通项公式n a =.则99910S =.解 对n a 裂项分解n a ====所以1n S =,999110S ==9. 设P 是锐角ABC ∆内部任意一点, P 至边,,BC CA AB 的距离分别为,,PD PE PF .则BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅的最小值是2.解 因为 2S PD BC PE CA PF AB =⨯+⨯+⨯;BPC PA BC S S ∆⨯≥-, CPA PB CA S S ∆⨯≥-, APB PC AB S S ∆⨯≥-所以 32BPC CPA APB BC PA CA PB AB PC S S S S S ∆∆∆⨯+⨯+⨯≥---=.故2BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=≥⋅+⋅+⋅.当P 点是ABC ∆的垂心时,取得最小值是2.10. 已知实系数方程320x ax bx c +++=的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线的离心率.则b a 的取值范围是12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 解 记()32f x x ax bx c =+++,因为抛物线的离心率为1,所以()10f =,即101a b c c a b +++=⇔-=++()()()()323221111f x x ax bx c x ax bx a b x x a x a b =+++=++-++⎡⎤=-+++++⎣⎦因为()()211h x x a x a b =+++++在()0,1与()1,∞内各有一根,于是()()0010230010h a b a b h >⎧++>⎧⎪⇒⎨⎨++<<<⎩⎪⎩.由线性规划知,易得: 12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.11. 计算3=.解3=.12. 函数()3261321f x x x x =+++,已知()()1,21f a f b ==.则4a b +=-.解 ()()()332613212211f x x x x x x =+++=++++,记()3h x x x =+,则()()h x h x -=-,()h x 是奇函数.因为()()()()()()()()3322111210221121210f a a a h a f b b b h b =++++=⇒+=-=++++=⇒+=所以()()220h a h b +++=,故得2204a b a b +++=⇔+=-.三. 解答题(本题满分80分,每题20分)13. 设n N ∈，对于满足条件:22111000n a a ++=的所有等差数列:123,,,a a a L L .试求1221n n n S a a a +++=+++L 的最大值.解由柯西不等式得:()()()12111122131122501n n n n n n a a a a S a a a n n n +++++++-⎛⎫⎛⎫=+++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤=+L当113n a a +=-,22111000na a ++=,即1110,30n a a +=-=时,S 的最大值为()501n +.14. 设,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令tan ,tan ,tan A p B q C r ===. 求证 (1).1qr rp pq ++< 的充分必要条件是:2A B C π++<; (2).1qr rp pq ++= 的充分必要条件是:2A B C π++=; (3).1qr rp pq ++> 的充分必要条件是:2A B C π++>.证明 记1T qr rp pq =++-,cos cos cos S A B C =，则tan tan tan tan tan tan 1sin sin sin sin sin sin 1cos cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos T B C C A A B B C C A A BB C C A A BB C A C A B A B C A B C A B C=++-=++-++-=()()()sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos C A B C A B A B C A B C A B C+-+-++==因为,,A B C ∠∠∠均为锐角，所以cos cos cos 0S A B C =>.而302A B C π<++<. 故 ()0cos 02T A B C A B C π<⇔++>⇔++<.同理可证:02T A B C π=⇔++=; 02T A B C π>⇔++>.15. 己知双曲线22221x y a b -=的离心率e =2x =, 直线l 与双曲线右支及双曲线的渐近线交于,;,B C A D . (1).求双曲线的方程; (2). 求证AB CD =; (3). 如果AB BC CD ==,求证OBC ∆的面积为定值.解 由题设条件2c a a c ==,得1,a c ==所以双曲线的方程221x y -=. (2). 设直线l : y mx b =+,1m ≠±.11;.11A D A D b b x x y mx b y mx b m my x b y x by y m m -⎧⎧==⎪⎪=+=+⎧⎧⎪⎪-+⇒⇒⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩则AD 的中点坐标为22,11bmb m m ⎛⎫⎪--⎝⎭. 将y mx b =+代入221x y -=,得()()2221210m x bmx b ---+=.由韦达定理得BC 中点坐标也为22,11bmb m m ⎛⎫⎪--⎝⎭.从而AB CD =. (3). 设点()(),,,A a a D d d -,0,0a d >>.由AB BC CD ==得:22,33a d a d C +-⎛⎫⎪⎝⎭. 由点C 在双曲线上得222291338a d a d ad +-⎛⎫⎛⎫-=⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11133638BOC AOD S S OA OD ad ∆∆==⨯===16. 设D 是等腰ABC ∆的底边BC 的中点,P 是ABC ∆内部一点,满足PCA PBC ∠=∠.求证 0180BPD APC ∠+∠=.证明 因为AC AB =,将APC ∆旋转至AEB ∆,连,PE BE ,过B 点作BF ∥PC ,与PD 的延长线交于F .因为D 是BC 的中点,BF ∥PC ,所以BDF CDP ∆≅∆,即得 BF CP =.又,EBP FBP BE PC BF ∠=∠==,所以PBE PBF ∆≅∆,得,EPB FPB PBF ABC AEP ∠=∠∠=∠=∠,因此 在PBE ∆中,BPD APC EPB AEB ∠+∠=∠+∠EPB PEB AEP EPB AEP PBE π=∠+∠+∠=∠+∠+∠=。