数学立体几何平面向量直线方程三角函数知识点

一、平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 深化：1：若两相交平面有三个公共点，那么三点共线2：若两平面相交，则一个平面内直线与另一个平面的交点必定在两个平面的交线上。

纳入平面：不共线三点均分别在两个平面内，则两平面相等。

两直线均分别在两个平面内，则两平面相等。

二、空间中直线与直线之间的位置关系相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点，既不相交，也不平行。

2 公理4（平行的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。

这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。

5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。

（2）两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；三．线面平行1判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2直线与平面的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

（由线面平行推线线平行）四．平面与平面平行1判定定理1：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

2判定定理2：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平 面平行。

3判定定理2:如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

4判定定理3：平行于同一个平面的两个平面平行。

平面与平面平行的性质1、 平面与平面平行的性质定理1：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2、 平面与平面平行的性质定理2：如果两个平面平行，则在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。

3、 平面与平面平行的性质定理3：如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线。

P · α Lβ共面直线2五．直线与平面平行1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

LP2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

3相关定理：若直线垂直于平面，则垂直于平面内的任一条直线过一点有且只有一条直线与已知平面垂直过一点有且只有一个平面与已知直线垂直4性质定理1：垂直于同一个平面的两条直线平行性质定理2：垂直于同一直线的两个平面互相平行。

六．平面与平面垂直1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A棱l βBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理1：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

两个平面互相垂直的判定定理2：求得二面角的平面角为90两个平面互相垂直的判定定理3：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面性质定理1：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

性质定理2：两相交平面同时垂直于第三个平面，则两相交平面的交线也垂直于第三个平面。

七．相关方法汇合1. 证明线线垂直的方法：(1) 计算两直线所成的角为90（包含异面直线所成的角）。

(2) 线面垂直的性质。

(3) 向量法（0a b ⋅=（a,b 为非零向量）a b ⇒⊥）。

2．判断线面垂直的方法（1）线面垂直的定义。

（2）线面垂直的判定定理。

（3）平行性垂直平面的传递性。

（4）面面垂直的性质。

（5）面面平行的性质。

（6）面面垂直的性质。

（7）向量法（直线的方向向量与平面的法向量平行：a n λ→→=）。

3．面面垂直的判定（1）面面垂直的定义。

（2）面面垂直的判定定理。

（3）向量法（法向量垂直120n n →→⋅=）。

八．空间角1.异面直线所成的角1、通过异面直线所成角的定义，把异面直线所成的角转化成平面内的线线角。

2、求两条异面直线所成角的大小步骤如下：（1）利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或这两条同时平移到某个特殊位置，顶点选在特殊位置上；（2）证明做出的角就是所求角；（3）利用三角形来求解，异面直线所成角的范围是（0，2π] 2线面所成的角1.分类：（1）线面平行或线在面内，线面所成角为0。

（2）线面垂直，线面所成角为90。

（3）斜线和平面所成的角为0θ<<90 。

2.找角：求直线与平面所成角的过程：a.通过射影转化法，做出直线与平面所成的角；b.在三角形中求角的大小。

3.向量法:设PA 是平面α的斜线，设m PA →→=，向量n →为平面α的法向量，设PA 与平面α所成的角为θ，则sin m nm nθ→→→→⋅=⋅。

3面面所成的角---二面角 求二面角的方法：（1） 定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角。

用定义法时，要观察图形的特性（2） 三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角（3） 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角。

（4）射影法：利用面积射影公式 =s cos s θ⋅射斜，其中θ为平面角的大小。

此方法不必在图中画出平面角来。

（5）向量法：设二面角l αβ--的平面角为θ：a. 若,,PA PB P l αβ⊂⊂∈，有PA l ⊥，PB l ⊥，那么cos PA PB PA PBθ→→→→⋅=⋅。

b. 设向量m →、n →分别为平面α和平面β的法向量，则cos ,m nm n m n→→→→→→⋅〈〉=⋅，θ与,m n →→〈〉是相等还是互补，根据具体图形判断。

2.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条； (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条； (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个； (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条； (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个； (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个. 3.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形. (4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： (i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； (ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； (iii)垂线段比任何一条斜线段都短.向量一向量相关概念（1）向量——既有大小又有方向的量。

（）向量的模——有向线段的长度，2||a →（）单位向量，3100||||a a aa →→→→==（）零向量，4000→→=||（）相等的向量长度相等方向相同5⇔⎧⎨⎩=→→a b在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

b a b b a →→→→→→≠⇔=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图：OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+的一组基底。

（9）向量的坐标表示i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示。

()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121 ()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式二 平面向量的数量积（）··叫做向量与的数量积（或内积）。

1a b a b a b →→→→→→=||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b →→∈0数量积的几何意义：a b a b a b →→→→→·等于与在的方向上的射影的乘积。

||||cos θ （2）数量积的运算法则 ①··a b b a →→→→=②··()a b c a c b c →→→→→→→+=+()()③·，·，a b x y x y x x y y →→==+11221212 注意：数量积不满足结合律····()()a b c a b c →→→→→→≠ ()()（）重要性质：设，，，31122a x y b x y →→== ①⊥···a b a b x x y y →→→→⇔=⇔+=001212 ②∥··或··a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→⇔==-|||||||| ⇔=≠→→→a b b λλ（，惟一确定）0 ⇔-=x y x y 12210 ③，··a a x y a b a b →→→→→→==+≤221212||||||||④···cos ||||θ==+++→→→→a ba b x x y y x y x y121212122222［练习］（）已知正方形，边长为，，，，则11ABCD AB a BC b AC c →=→=→=→→→||a b c →→→++=答案：22()()（）若向量，，，，当时与共线且方向相同214a x b x x a b →→→→===答案：2（）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么3603a b a b o→→→→+=||答案：13 三．线段的定比分点()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→P P P P P P P P 12121200→><所成的比（，在线段内，，在外），且λλx x x y y y P P P x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12121212121122λλλλ，为中点时，()()()如：，，，，，，∆ABC A x y B x y C x y 112233则重心的坐标是，∆ABC G x x x y y y 12312333++++⎛⎝ ⎫⎭⎪※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？直线方程.1.直线的倾斜角[)（）直线的倾斜角，，，102212112l απααπ∈==--≠≠⎛⎝ ⎫⎭⎪k y y x x x x tan （）到的到角公式：41122112l l tan θ=--k k k k l l 1221121与的夹角公式：tan θ=--k k k k 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式()()()P x y P x y a k 1112221，，，是上两点，直线的方向向量，l l →= 直线方程：()点斜式：（存在）y y k x x k -=-00 斜截式：y kx b =+ 截距式：x a yb+=1 一般式：（、不同时为零）Ax By C A B ++=0 3. ⑴两条直线平行：1l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l .A B A B A C A C 1221122112=≠⎫⎬⎭⇔l l ∥ k k l 1212=⇒l ∥（反之不一定成立）⑵两条直线垂直：A A B B 1212120+=⇔l l ⊥ k k 12121·⊥=-⇒l l两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l4. 直线的交角：5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.2. 定比分点坐标分式。