高中数学立体几何知识点总结(详细)

一、空间点、线、面的位置关系1.1 点与点•点的定义：空间中的任意一点。

•点的坐标表示：a⃗=(a x,a y,a z)。

1.2 直线与直线•直线的定义：无限延伸的平面内的所有点。

•直线的方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。

1.3 直线与平面•直线的平面方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。

•直线与平面的交点表示：设直线上的点为P(x0,y0,z0)，则有Ax0+ By0+Cz0+D=0。

1.4 平面与平面•平面的定义：无限延伸的平面内的所有点。

•平面的方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。

1.5 平面与空间体•平面与空间体的交线表示：设空间体上的点为P(x0,y0,z0)，则有Ax0+By0+Cz0+D=0。

二、空间几何体2.1 柱体•柱体的定义：底面为圆形或矩形，顶面与底面平行的空间几何体。

•柱体的体积公式：V=底面积×高。

2.2 锥体•锥体的定义：底面为圆形或三角形，顶点在底面内的空间几何体。

•锥体的体积公式：V=1底面积×高。

32.3 球体•球体的定义：所有点与球心等距的空间几何体。

•球体的体积公式：V=4πR3。

32.4 空间四边形•空间四边形的定义：四个顶点在空间中的四边形。

•空间四边形的面积公式：S=12|a⃗×b⃗⃗|，其中a⃗和b⃗⃗为四边形的两条对角线。

三、空间角的计算3.1 线线角•线线角的定义：两条直线之间的夹角。

•线线角的计算公式：θ=arccos(|a⃗⃗⋅b⃗⃗||a⃗⃗||b⃗⃗|)，其中a⃗和b⃗⃗为两条直线的方向向量。

3.2 线面角•线面角的定义：直线与平面之间的夹角。

•线面角的计算公式：θ=arccos(|n⃗⃗⋅a⃗⃗||n⃗⃗||a⃗⃗|)，其中n⃗⃗为平面的法向量，a⃗为直线的方向向量。

3.3 面面角•面面角的定义：两个平面之间的夹角。

•面面角的计算公式：θ=arccos(|n⃗⃗1⋅n⃗⃗2||n⃗⃗1||n⃗⃗2|)，其中n⃗⃗1和n⃗⃗2为两个平面的法向量。

立体几何一、立体几何网络图：（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。

⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

⑿垂直于同一平面的两直线平行。

（2）线线垂直的判断：⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

（5）面面平行的判断：⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。

（6）面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

二、其他定理：（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。

立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直，那么这条直线垂直于这个平面。

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

面，那么这两个平面平行。

行。

8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

高中数学几何知识点总结一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1．平面的基本性质 1如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面⇒面，使推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（2）符号语言： 如图（1）、（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，，b P =αa ⊂,OA O A OB O B ''''∥∥则或.图（1） 图（2）3．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：（2）从是否共面的角度分类：4．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图，已知两异面直线a ，b ，经过空间任一点O ，分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，相交直线a ′，b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是. （3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ，b ，记作a ⊥b .5．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类AOB AOB ∠=∠'''180AOB AO B ∠+∠'''=︒⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线π(0,]2①按公共点个数分类：②按是否平行分类：③按直线是否在平面内分类：（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线.（1）唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （2）异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 二、直线、平面平行的判定及其性质 1．直线与平面平行的判定定理⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行2．直线与平面平行的性质定理3．平面与平面平行的判定定理，b β=⇒b P =4．平面与平面平行的性质定理证明线线平行三、直线、平面垂直的判定及其性质,a b a γβγ==⇒∥1．直线与平面垂直的定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直.记作：l ⊥α.图形表示如下：定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． 2．直线与平面垂直的判定定理⇒判断直线与平面垂直在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，3．直线与平面垂直的性质定理b P4．平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作.图形表示如下：5．平面与平面垂直的判定定理6．平面与平面垂直的性质定理αβ⊥7．直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角．．．．．．．．．α．的范围是．．．．.8．二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．．．．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.（3）二面角的范围：.1．垂直问题的转化关系=llβα⎪⎪⇒⎬⊂⎪⎪⊥⎭90π[0,]2[0,π]2．常用结论（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．（5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．（6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（7）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．四、空间向量与立体几何1．空间直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.2．空间一点M 的坐标（1）空间一点M 的坐标可以用有序实数组来表示，记作，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.（2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M 与有序实数组可建立一一对应的关系． 3．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式①设点，为空间两点，则两点间的距离. ②设点，则点与坐标原点O 之间的距离为.（2）中点公式设点为，的中点，则. 4．共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 牢记两个推论：（1）对空间任意一点O ，点P 在直线AB 上的充要条件是存在实数t ，使或（其中）.（2）如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，那么对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使，其中向量叫做直线l 的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式. 5．共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使.牢记推论：空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使；(,,)x y z (),,M x y z (,,)x y z 111(,,)A x y z 222(,,)B x y z ,AB ||AB =(),,P x y z (),,P x yz ||OP =(),,P x y z 1111,),(P x y z 2222,),(P x y z 121212222x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩(1)OP t OA tOB =-+OP xOA yOB =+1x y +=a OP OA t =+a a x y =+p a b AP xAB y AC =+或对空间任意一点O ，有.6．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量.（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底.（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.（3）不能作为基向量.7．空间向量的运算（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.（2）空间向量的坐标运算设，则，，，OP OA x AB y AC =++0123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b 112233(,,)a b a b a b ±=±±±a b 123(,,)()a a a λλλλλ=∈R a 112233a b a b a b ⋅=++a b，，. 8．直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量，根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.9．利用空间向量表示空间线面平行、垂直设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.（1）线线平行：若，则；线面平行：若，则；面面平行：若，则.（2）线线垂直：若，则；线面垂直：若，则；面面垂直：若，则.10．利用空间向量求空间角设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.（1）直线所成的角为，则，计算方法：； 112233,,()b a b a b a λλλλλ⇔=⇔===∈R a b b a 1122330a b a b a b ⊥⇔⋅=++=a b a b ==a cos ,⋅==a b a b a b l l α⊥l α(,,)x y z =α123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b 00⋅=⎧⎨⋅=⎩a b αα,l m ,l m ,αβ,αβ//l m ()λλ⇔=∈R l m l m //l α0⊥⇔⋅=l l αα//αβ()λλ⇔=∈R αβαβl m ⊥0⊥⇔⋅=l m l m l α⊥()λλ⇔=∈R l l αααβ⊥0⊥⇔⋅=αβαβ,l m ,l m ,αβ12,n n ,l m θπ02θ≤≤cos θ⋅=l m l m（2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝．如图②③，分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 11．利用空间向量求距离（1）两点间的距离设点，为空间两点，则两点间的距离.（2）点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为.l αθπ02θ≤≤11sin θ⋅=l n l n ,αβθ0πθ≤≤,〈〉ABCD 12,n n 1212⋅n n n n 111(,,)A x y z 222(,,)B x y z ,A B ||||(AB AB x ==||||||AB BO ⋅=n n。

高中数学立体几何知识点总结(全)垂直直线：两条直线的夹角为90度。

XXX.三．点与平面的位置关系点在平面上：点在平面内部；点在平面外：点在平面的一侧；点在平面上方或下方：需要指定一个方向向量，点在平面的哪一侧就取决于该方向向量与平面法向量的夹角。

四．直线与平面的位置关系直线在平面上：直线的每一点都在平面上；直线在平面内部：直线与平面没有交点；直线与平面相交：直线与平面有且只有一个交点；直线平行于平面：直线与平面没有交点，且方向向量与平面法向量垂直。

改写后：一、空间几何体的三视图空间几何体的三视图包括正视图、侧视图和俯视图。

其中，正视图是指从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和长度；侧视图是指从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和宽度；俯视图是指从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，反映了物体的长度和宽度。

在三视图中，长对正，高平齐，宽相等是反映长、宽、高特点的简洁表述。

二、空间几何体的直观图斜二测画法是一种用于绘制空间几何体直观图的方法。

基本步骤包括建立适当的直角坐标系xOy，建立斜坐标系x'O'y'，并画出对应图形。

在直观图中，已知图形平行于X轴的线段画成平行于X'轴，长度不变；已知图形平行于Y轴的线段画成平行于Y'轴，长度变为原来的一半。

直观图与原图形的面积关系是直观图面积为原图形面积的四分之一。

三、空间几何体的表面积与体积圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别为2πrl、πrl和πr(l+R)，其中r表示底面半径，l表示母线长度，R表示上底面半径。

圆柱、圆锥、圆台的体积分别为Sh、S/3h和S(h/3)，其中S为底面积，h为高度。

球的表面积和体积分别为4πR²和(4/3)πR³。

四、点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质包括三条公理，分别是公理1、公理2和公理3.直线与直线的位置关系有相交、平行和垂直；点与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、在平面外部、在平面上方或下方；直线与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、相交和平行。

高中数学立体几何知识点总结大全数学立体几何知识点1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念;会求异面直线所成的'角和异面直线间的距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些?④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，(垂直是相交的一种特殊情况)(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。

尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。

(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→(5)二面角。

二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形;②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。

高中数学立体几何知识点数学知识点1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

立体几何知识点总结1、 多面体（棱柱、棱锥）的结构特征（1）棱柱：①定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱；四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体。

②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形； Ⅱ、两底面是全等多边形；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。

（2）棱锥：①定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥；正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质：Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形POH Rt ∆，POB Rt ∆，PBH Rt ∆，BOH Rt ∆实现边，高，斜高间的换算棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是正多边形侧棱垂直于底面侧棱不垂直于底面AB CD OHP2、旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征（2）性质：① 任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫 小圆）② 球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且22d R r -=，其中R 为球半径，r 为截面半径，d 为球心的到截面的距离。

3、柱体、锥体、球体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（C 底为底面周长，h 为高，h '为棱锥的斜高或圆锥的母线）直棱柱、圆柱的侧面积 S C h =⋅侧底；正棱锥、圆锥的侧面积12S C h '=⋅侧底 （3）柱体、锥体的体积公式V S h =⋅柱底， 13V S h =⋅锥底（4）球体的表面积和体积公式：34=3V R π球 ； 24S R π=球面（5）球面距离（注意识别经度和纬度）球面上,A B 两点的球面距离AB R α=⋅,其中α为劣弧AB 所对的球心角AOB ∠的弧度数.4、空间几何体的三视图空间中的点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：（1）、平行于同一直线的两直线平行。

第一章 立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表 lR r S π)(+=圆台侧面积 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱13V Sh =锥'1()3V S S h =台 2V Sh r h π==圆柱h r V 231π=圆锥 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.11 2 三个公理：（1符号表示为A ∈LB ∈L => l α⊂ A ∈αB ∈α（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理（3公理 L A · α C · B · A · α2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

高中数学立体几何总结立体几何是高中数学中一个重要的内容，大致内容包括立体几何基本概念、体积、体积计算公式、侧棱、正三棱柱、正四棱锥、正八棱锷、台面等等。

（一）立体几何基本概念1、三视图：即从三个不同的视角把物体有条不紊的绘出来的文字图形，可以根据它来确定物体的三维形状。

2、几何体：是由把平面图形几何关系组合而成的任何在空间中由一致点构成的物体。

3、棱：即立体几何中各几何体的侧面所围成的线段或面称为棱，如正三棱柱的侧棱。

（二）体积1、体积的定义：体积是立体图形的面积之和，反映物体内部空间的容积大小。

2、体积的计算公式：几何体的体积可用面积的乘积公式计算，比如正三棱柱的体积的表示公式：V=ah；正四棱锥的体积的表示公式：V=1/3bh；正八棱锷的表示公式为：V=1/3πr²h。

（三）正三棱柱1、正三棱柱，是一种方形底面，面积相同的三角柱体，它有三个直角，等边的三个棱，以及一个正方形的底部。

2、侧棱：正三棱柱的侧棱可以分别表示为a，b，c三条线段，表示a=b=c，它们在同一平面且互相垂直。

3、体积计算：正三棱柱的体积可以用面积乘积公式来计算：V=ah；其中，a表示正三棱柱的侧棱，h表示高度。

（四）正四棱锥1、正四棱锥是由正方形底面、顶面和棱构成的三角锥体，它有四个直角棱，棱之间相互垂直，底面和顶面也相互垂直。

2、侧棱：正四棱锥的侧棱只有一条，用a表示，它的四条边都要等于。

（五）正八棱锷1、正八棱锷是一种八个棱组成的几何体，其四条边中有三条边为互相垂直的折线，其余五条边为圆形弧线。

2、侧棱：正八棱锷有八个侧棱，用a1，a2，a3…a8表示，但它们互相之间不相等，作用上也不是等距的。

（六）台面1、台面，又称台体，是由一个小三角形共同构成的平面图形。

当该平面图形在三维空间中展开时，可以形成一个台体，它由三个等高的并列棱构成。

2、台体体积计算：台体的体积可以由其三角面积和三边长共同确定，台体的体积公式为：V=1/3(A1+A2+A3)H；其中，A1，A2，A3表示三个三角面积，H表示高度。

立体几何一、平面的根本性质公理1 假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内.公理2 假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同始终线上的三个点，有且只有一个平面.依据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线及直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有多数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面及平面相交—有一条公共直线(多数个公共点)平行—没有公共点三、异面直线的断定证明两条直线是异面直线通常采纳反证法.有时也可用定理“平面内一点及平面外一点的连线，及平面内不经过该点的直线是异面直线〞.四、线面平行及垂直的断定(1)两直线平行的断定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即假设a∥αβ，α∩β,那么a∥b.③平行于同始终线的两直线平行，即假设a∥∥c,那么a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b⑤两平行平面及同一个平面相交，那么两条交线平行，即假设α∥β,α∩γ,β∩γ,那么a∥b⑥假如一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线及这两个平面的交线平行，即假设α∩β∥α∥β，那么a∥b.(2)两直线垂直的断定1.定义：假设两直线成90°角，那么这两直线相互垂直.∥⊥b,那么a⊥c⊥α⊂α，a⊥b.∥α⊥α,那么a⊥b.5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即假设α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β,β∩γ,γ∩α，那么a⊥⊥⊥a.(3)直线及平面平行的断定①定义：假设一条直线和平面没有公共点，那么这直线及这个平面平行.②⊄α⊂α，a∥b,那么a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即假设α∥β⊂α，那么l∥β.④α⊥β⊥β，l⊄α，那么l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，假如它们及这个平面的间隔相等，那么过这两个点的直线及这个平面平行，即假设A∉α，B∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，那么∥α.⑥两个平行平面外的一条直线及其中一个平面平行，也及另一个平面平行，即假设α∥β⊄α，a⊄β，a∥α，那么α∥β.⑦假如一条直线及一个平面垂直，那么平面外及这条直线垂直的直线及该平面平行，即假设a⊥αα，b⊥a，那么b∥α.⑧假如两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即假设a∥∥α∥α(或b⊂α)(4)直线及平面垂直的断定①定义：假设一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直.②⊂α，n⊂α，m∩⊥⊥n,那么l⊥α.③∥⊥α,那么l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即假设α∥β⊥β，那么l⊥α.⑤假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即假设α⊥β∩β=α，l⊂β，l⊥a,那么l⊥α.⑥假如两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，即假设α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,那么a⊥γ.(5)两平面平行的断定①定义：假如两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即假设⊂α，a∩∥β∥β,那么α∥β.③α⊥a,β⊥a,那么α∥β.④α∥β,β∥γ,那么α∥γ.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行，即假设⊂α⊂β∩∥∥d,那么α∥β.(6)两平面垂直的断定①定义：两个平面相交，假如所成的二面角是直二面角，那么这两个平面相互垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，即假设l⊥β⊂α，那么α⊥β.③α∥β，α⊥γ，那么β⊥γ.五、直线在平面内的断定(1)利用公理1：始终线上不重合的两点在平面内，那么这条直线在平面内.(2)假设两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即假设α⊥β∈α，⊥β，那么⊂α.(3)过一点和一条直线垂直的全部直线，都在过此点而垂直于直线的平面内，即假设A∈⊥b，A∈α⊥α，那么a⊂α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而及该平面平行的平面内，即假设P∉α，P∈β，β∥α，P∈∥α，那么a⊂β.(5)假如一条直线及一个平面平行，那么过这个平面内一点及这条直线平行的直线必在这个平面内，即假设a∥α∈α，A∈∥a,那么b⊂α.六、存在性和唯一性定理(1)过直线外一点及这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点及平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点及这个平面平行的平面有且只有一个；(4)及两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点及直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且及该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而及另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条相互垂直的异面直线中的一条而及另一条垂直的平面有且只有一个.七、射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不及射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上全部的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面及射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不及射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；()相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；()垂线段比任何一条斜线段都短.八、空间中的各种角1、等角定理及其推论定理：假设一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向一样，那么这两个角相等.推论：假设两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.2、异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间随意一点O，分别引直线a′∥′∥b,那么a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①依据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.3、直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.()垂线及平面所成的角直线垂直于平面，那么它们所成的角是直角.()一条直线和平面平行，或在平面内，那么它们所成的角是0°的角.(2)取值范围0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线及平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.4、二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.5、假设两个平面相交，那么以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上随意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.②二面角的平面角具有以下性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即⊥平面.()从二面角的平面角的一边上随意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.()二面角的平面角所在的平面及二面角的两个面都垂直，即平面⊥α，平面⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法()垂面法(4)求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′·α其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的间隔公式求二面角的大小.空间的各种间隔点到平面的间隔(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的间隔叫做这个点到这个平面的间隔 .(2)求点面间隔常用的方法：1)干脆利用定义求①找到(或作出)表示间隔的线段；②抓住线段(所求间隔 )所在三角形解之.2)利用两平面相互垂直的性质.即假如点在平面的垂面上，那么点到两平面交线的间隔就是所求的点面间隔 .3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和点构成三棱锥；②求出1·h，求出h即为所此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由3求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面间隔 .难点在于如何构造相宜的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的间隔转化为(平行)直线及平面的间隔来求.直线和平面的间隔(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上随意一点到平面的间隔，叫做这条直线和平面的间隔 .(2)求线面间隔常用的方法①干脆利用定义求证(或连或作)某线段为间隔，然后通过解三角形计算之.②将线面间隔 转化为点面间隔 ，然后运用解三角形或体积法求解之. ③作协助垂直平面，把求线面间隔 转化为求点线间隔 .空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原那么： 长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法〔角度等于45或者135〕4斜二测画法的步骤：〔1〕.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；〔2〕.平行于y 轴的线长度变半，平行于x 轴的线长度不变；〔3〕.画法要写好。