误差分析方法分析

常用的偏差分析方法偏差分析是指对研究对象的实际观测值与其理论值、标准值或其他参考值之间的差异进行统计分析和判定。

通过偏差分析，我们可以了解到研究对象在不同条件下的表现，从而指导实际应用中的改进和优化措施。

本文将介绍几种常用的偏差分析方法，包括平均偏差、绝对偏差、相对偏差等。

平均偏差平均偏差是指实际观测值与参考值之间的平均差异。

计算平均偏差的步骤如下：1.将所有实际观测值与参考值之间的差异相加，得到总偏差。

2.将总偏差除以观测次数，得到平均偏差。

平均偏差能够反映整体上的偏差情况，如果平均偏差接近于零，则说明实际观测值与参考值之间的差异较小；如果平均偏差大于零，则说明实际观测值偏高；如果平均偏差小于零，则说明实际观测值偏低。

绝对偏差绝对偏差是指实际观测值与参考值之间的绝对差异。

计算绝对偏差的步骤如下：1.将每个观测值与参考值之间的差异取绝对值，得到绝对偏差。

2.将所有绝对偏差相加，得到总绝对偏差。

3.将总绝对偏差除以观测次数，得到平均绝对偏差。

绝对偏差能够反映实际观测值与参考值之间的差异程度，如果绝对偏差较小，则说明实际观测值较接近参考值；如果绝对偏差较大，则说明实际观测值与参考值之间存在较大的差异。

相对偏差相对偏差是指实际观测值与参考值之间的相对差异。

计算相对偏差的步骤如下：1.将每个观测值与参考值之间的差异除以参考值，得到相对偏差。

2.将所有相对偏差相加，得到总相对偏差。

3.将总相对偏差除以观测次数，得到平均相对偏差。

相对偏差能够消除参考值大小对偏差评估的影响，使得不同参考值之间的偏差可比较。

如果平均相对偏差接近于零，则说明实际观测值相对于参考值整体上没有明显的偏离；如果平均相对偏差大于零，则说明实际观测值相对于参考值整体上偏高；如果平均相对偏差小于零，则说明实际观测值相对于参考值整体上偏低。

标准差除了以上的偏差分析方法，还可以使用标准差来评估实际观测值与参考值之间的差异程度。

标准差是指观测值与平均值之间的差异的均方根。

高中物理常见实验误差分析一 基本知识回顾1 误差 测量值与真实值的差异称为误差，误差存在于一切测量之中，而且贯穿测量过程的始终。

2 误差的分类○1从误差来源看，误差根据其性质分为系统误差和偶然误差。

○2从分析数据看，误差分为绝对误差和相对误差。

3 系统误差和偶然误差○1系统误差，主要是由于实验原理不完备，实验仪器精度不够和实验方法粗略而产生。

其特点是：实验结果对真实值总是具有相同的倾向性，即总是偏大或者偏小。

减小系统误差的方法是：改善实验原理，提高实验仪器的测量精度，设计更精巧的实验方法。

○2偶然误差，是由于各种偶然因素对实验者和实验仪器的影响而产生。

其特点是：有时偏大有时偏小，且偏大偏小的机会相等。

减小偶然误差的方法是；多次实验取平均值。

4 绝对误差和相对误差○1绝对误差，测量值与真实值之差，即绝对误差= 测量值—真实值 ，它反应测量值偏离真实值的大小。

○2相对误差，相对误差等于绝对误差与真实值的比值，常用百分误差表示，即相对误差=真实值绝对误差100﹪，它反映测量结果的精确程度。

二 常见物理实验误差来源和分析1 力学部分○1互成角度的两个共点力的合成，误差来源：弹簧本身，读数误差，作图误差。

减小误差的方法：眼睛正视，按有效数字正确读数和记录，作出准确的平行四边形，两分力间的夹角不能过大。

○2测定匀变速直线运动的加速度，误差来源：因参与计算的量有S 和T ，所以误差来源于S 和T ，由于市电的频率很稳定，因此时间误差可忽略不计。

减小误差的方法：选择点子打得小而清晰的纸带，应选择最小分度为1㎜的刻度尺，读数时眼睛要正视点和刻度尺，估读到0.1㎜,计算时采用逐差法。

○3验证牛顿第二定律，误差来源：实验原理不完善（用砂和砂桶的总重力代替对小车的拉力，实际对小车的拉力小于砂和砂桶的总重力），因平衡摩擦不当而引起的误差。

减小误差的方法：砂和砂桶的总质量远小于小车和砝码的总质量，恰当的平衡摩擦。

○4研究物体的平抛运动，误差来源：斜槽末端不水平，建立坐标系时，以斜槽末端口为坐标原点，实际为端口小球球心。

误差分析报告模板一、引言误差分析是对实验或测量结果中的误差进行分析和评估的过程。

它帮助我们了解实验或测量的准确性和可靠性，并对误差进行合理的解释和处理。

本报告旨在提供一个误差分析报告的模板，帮助读者了解如何进行误差分析并撰写相关报告。

二、实验设计和数据收集在进行误差分析之前，我们首先需要明确实验设计和数据收集的过程。

描述实验设计和数据收集的步骤，包括实验的目的、实验设备和仪器的使用、数据的采集方法等。

三、数据处理和误差计算对实验数据进行处理和误差计算是误差分析的核心部分。

以下是常见的误差计算方法：1. 绝对误差绝对误差是实际测量值与理论值之间的差值。

计算绝对误差的公式如下：绝对误差 = 实际测量值 - 理论值2. 相对误差相对误差是绝对误差与理论值之间的比值。

计算相对误差的公式如下：相对误差 = (绝对误差 / 理论值) * 100%3. 百分比误差百分比误差是相对误差的绝对值。

计算百分比误差的公式如下：百分比误差 = |相对误差|4. 不确定度不确定度是对误差的度量，用于描述测量结果的范围。

计算不确定度的方法有很多种，包括A类不确定度和B类不确定度的合成等。

四、误差分析和结果讨论在误差分析和结果讨论部分，我们对误差的来源进行分析和讨论。

将误差分为系统误差和随机误差，并对其进行详细的描述和解释。

同时，我们还可以探讨误差对结果的影响程度，并提出改进实验的建议。

五、结论在结论部分，我们对整个误差分析进行总结，并提出对实验或测量的结论。

强调实验的准确性和可靠性，并指出需要进一步改进的地方。

六、参考文献列举本报告中引用的相关文献，并按照规定的格式进行引用。

以上是误差分析报告的模板，帮助您撰写误差分析报告时有一个清晰的框架。

根据实际情况，您可以根据需要对模板进行修改和补充。

希望本模板能对您有所帮助！。

测量误差分析与精度评定中的最小二乘法原理与应用引言：在科学研究和工程实践中，准确测量和评定误差的大小是至关重要的。

而最小二乘法则是一种常用的数据处理方法，用于识别和分析测量误差，并对测量精度进行评定。

本文将介绍最小二乘法的原理和应用，以期帮助读者更好地理解和运用该方法。

一、最小二乘法原理最小二乘法是一种通过最小化测量残差平方和来确定最优拟合曲线或其他模型参数的方法。

其基本原理是找到一组参数，使得模型预测值与实际观测值之间的误差平方和最小化。

这样做的目的是尽量减小误差的影响，提高测量结果的精度。

二、最小二乘法应用最小二乘法广泛应用于各种领域，例如物理学、工程学、经济学等。

以下是几个常见的应用案例：1. 直线拟合最小二乘法可以用于拟合一条直线，以确定直线的斜率和截距。

通过将观测点到拟合直线的垂直距离的平方和最小化，可以获得最佳拟合直线。

2. 曲线拟合最小二乘法也可以用于拟合曲线，以确定曲线的方程和参数。

通过最小化观测点到拟合曲线的垂直距离的平方和，可以找到最佳拟合曲线。

3. 数据平滑有时，测量数据中包含一些噪声或随机误差，这可能会影响对数据的分析。

最小二乘法可以用于数据平滑，通过拟合一个平滑曲线来消除噪声或误差的影响，从而得到更可靠的结果。

4. 变量选择在一些实验设计和数据分析中，为了简化模型和减少计算量，需要选择最为重要的变量。

最小二乘法可以通过评估变量的贡献程度来选择最相关的变量，从而建立一个更简化的模型。

三、最小二乘法误差分析最小二乘法不仅可以用于拟合和参数估计，还可以用于误差分析。

通过对残差进行统计分析，可以获得有关测量误差的重要信息。

以下是几种常见的误差分析方法：1. 观测误差分布分析最小二乘法可以通过统计方法来分析观测误差的分布特性，比如均值、方差等。

这有助于确定测量误差的大小和分布情况。

2. 置信区间估计最小二乘法可以根据残差的分布情况，进一步估计参数的置信区间。

这有助于评估参数估计的精度和可靠性。

滤波器设计中的误差分析和校正技术滤波器是电子设备中常用的一种信号处理器件，用于对输入信号进行频率选择性处理。

然而，在滤波器的设计和应用过程中，由于各种因素的影响，误差不可避免地会产生。

本文将探讨滤波器设计中的误差来源、误差分析方法以及校正技术，以帮助读者更好地理解和应用滤波器。

一、误差来源在滤波器设计中，误差主要来自于以下几个方面：1. 元器件的误差：滤波器中的电感、电容、电阻等元器件的参数存在一定的制造误差，包括容值、电感系数、电阻值等。

这些误差会对滤波器的性能产生影响，例如通带波纹、阻带衰减等。

2. 运算放大器的误差：在滤波器中，运算放大器常用于实现滤波器的主要功能，然而运算放大器本身存在输入偏置电流、输入偏置电压、开环增益等误差。

这些误差会对滤波器的增益、带宽等性能参数产生影响。

3. 温度漂移误差：滤波器的工作环境往往会发生温度变化，而滤波器各个元器件的特性参数在温度变化下也会发生漂移。

这种温度漂移会导致滤波器性能的变化，需要进行校正或者采用温度补偿技术。

二、误差分析方法误差分析是滤波器设计中的重要环节，通过误差分析可以了解各个元器件的误差对滤波器性能的影响程度，为进一步的校正提供依据。

常用的误差分析方法包括以下几种：1. 理论分析法：通过对滤波器电路进行理论推导，结合元器件参数误差的范围，估计得到滤波器性能的误差范围。

这种方法相对简单，但不够准确，只能作为初步估计使用。

2. 数值仿真法：利用电子设计自动化（EDA）软件，对滤波器电路进行仿真，模拟各种影响因素对滤波器性能的影响。

通过分析仿真结果，可以得到滤波器性能的具体误差情况，为后续校正提供具体参考。

3. 实际测试法：通过实际制作滤波器电路，并使用测试仪器对滤波器的性能进行测量。

通过与设计目标进行对比，可以得到滤波器实际性能与设计性能之间的误差情况。

三、校正技术在滤波器设计中，校正误差是提高滤波器性能的关键环节。

校正技术根据不同的误差来源和分析结果，采用不同的方法进行校正。

误差分析和误差估计的方法和应用误差分析和误差估计是科学研究中至关重要的两个概念。

任何一项研究都需要考虑到误差的存在，以及如何在研究结果中进行误差估计和分析。

本文将从理论基础、方法和应用角度，探讨误差分析和误差估计的相关问题。

一、理论基础误差是指测量值与真实值之间的差异。

在研究中，由于测量方法和条件的不同，可能会产生误差。

误差通常可以分为系统误差和随机误差两大类。

系统误差是指由于测量方法或仪器本身的缺陷，导致测量结果一直偏向某个方向，如常见的仪器漂移问题。

系统误差可以通过校正或更换测量仪器等措施来降低。

随机误差是指由于测量条件的不确定性，导致多次测量结果之间存在的差异。

随机误差是不可避免的，但可以通过多次重复实验，然后统计数据来降低其影响。

二、方法误差估计是通过对测量数据进行统计分析，来计算误差的大小和范围。

其中最基本的方法是均值和标准差的计算。

均值指多次测量结果的平均值。

在确定均值时，需要注意对极端值和异常值的处理，以避免对结果影响过大。

标准差指多次测量结果离均值的偏差大小。

标准差越小，代表所得数据越准确。

通过计算标准差，可以得到置信区间，即真实值有可能落在的区间范围内。

误差分析是对误差来源的分析，以确定误差的类型和大小，从而提高测量结果的准确性。

在误差分析中，需要确定误差模型，以及模型参数的值和不确定性。

常见的误差模型包括线性模型、非线性模型、时间序列模型等。

在确定模型参数时，需要考虑到测量条件的变化和误差来源的多样性，以保证模型的准确性和可靠性。

三、应用误差分析和误差估计在各个领域都有重要应用，包括工程、生物学、医学、社会科学等。

以下是一些应用实例：1、工程领域。

误差分析在工程领域中广泛应用，如在机械设计过程中，需要对零件尺寸误差进行分析，以确保生产出的零件符合设计要求。

2、医学领域。

医学研究中需要对患者的生理指标进行测量，如血糖、血压等。

通过误差估计，可以确定测量结果的准确度和稳定性，从而更好地指导临床诊断和治疗。

间接测量和误差分析在科学研究和工程实践中，测量是一个至关重要的环节。

我们通过测量来获取数据并获得对现象和物体的认识。

然而，直接测量并非总是可行的或准确的。

在一些情况下，我们需要通过间接测量来获得所需的数据。

本文将探讨间接测量的原理、方法以及误差分析。

间接测量是指通过测量一些相关的参数来推断所需的目标参数。

这种测量常常涉及到物理模型、数学关系或统计学方法。

举个例子，我们想要测量一个球的体积，但是球形体太过复杂，我们无法直接测量其体积。

然而，我们可以通过测量球的直径来计算出其体积。

这就是通过间接测量来获得目标参数的一种常见情况。

间接测量需要建立一个合理的模型或关系来描述所研究的现象或物体。

在上述的例子中，我们使用了球的直径和球形体的几何关系来推断其体积。

这个模型或关系通常是基于已有的科学知识和实验数据构建的。

因此，我们在进行间接测量时需要对所使用的模型或关系进行严格的验证和校准。

误差是任何测量中不可避免的一个因素。

由于现实世界中的各种干扰和不确定性，我们很难做到绝对准确的测量。

误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。

系统误差是由于测量方法或仪器本身的限制引起的。

比如，如果我们使用的仪器存在刻度不准确或读数误差，那么我们所进行的所有测量都会存在系统误差。

为了消除或减小系统误差，我们可以对仪器进行校准或寻找更准确的测量方法。

随机误差是由于无法精确控制实验条件或测量过程中的干扰因素引起的。

这种误差是不可避免的，但可以通过多次重复测量来进行均值处理以减小其影响。

此外，我们也可以通过增加实验样本的大小，使用统计方法来对随机误差进行分析和消除。

对误差进行分析是提高测量准确性和可靠性的重要环节。

我们可以采用很多方法来进行误差分析，比如回归分析、方差分析、误差传递等。

这些方法可以帮助我们了解误差产生的原因，评估误差大小以及确定误差的上下限。

通过误差分析，我们可以对测量结果进行合理的评估和处理，从而提高实验数据的可信度。

2024年小学开展开学第一课活动总结2024年开学第一课活动总结小学开展的开学第一课活动是学校的一项传统活动，旨在让学生在新学期开始前，以一种愉快、轻松的方式重新适应学校生活，并树立正确的学习态度和价值观。

本次活动的主题为“开启美好学习之旅”，主要包括开学典礼、班级活动和主题教育三个部分，通过多样化的形式和内容，提高学生的学习积极性，培养良好的学习习惯。

一、开学典礼开学典礼是活动的重要环节，通过庄重的仪式和激励性的演讲，为学生们揭开新学期的序幕。

在典礼上，学校领导和班主任向学生表达了对他们的期望和祝福，鼓励他们以积极的态度和勇气面对新学期的挑战。

在典礼上，学生代表还进行了自我介绍，这不仅增强了同学们之间的交流和了解，也让他们有机会展示自己的优点和特长。

同时，我们还请来了一位知名校友作为嘉宾，分享他的学习经验和成功故事，激发学生的学习热情。

二、班级活动班级活动是本次开学第一课活动的核心部分，通过各种团队合作和互动游戏，增强同学们的归属感和团队精神。

首先，我们组织了班级拓展活动，包括一系列挑战性的团队合作项目，例如解谜、趣味竞赛等。

这些活动既考验了同学们的智力和创造力，也锻炼了他们的团队协作能力和沟通能力。

在这个过程中，同学们互相帮助，在解决问题的同时建立了深厚的友谊。

接着，我们举行了班级文艺表演活动，让同学们展示自己的才艺。

有的同学表演了精彩的舞蹈和歌曲，有的同学展示了自己的绘画和手工制作作品，还有的同学表演了小品和相声等喜剧节目。

这些表演不仅丰富了同学们的课余生活，也展示了他们的个人特长和创造力。

最后，我们还组织了一次班级研讨会，与同学们探讨学习方法和学习策略。

我们邀请了一位教育专家给同学们讲解如何高效学习和养成良好的学习习惯。

同学们积极参与讨论，互相分享自己的学习经验和技巧，相信这些讨论对他们今后的学习会有积极的影响。

三、主题教育为了让同学们能更好地理解开学第一课的意义，我们开展了一系列主题教育活动，通过观看教育纪录片、参观博物馆、听取专题讲座等形式，拓宽同学们的知识面，培养他们的社会责任感和公民意识。

天平称质量的误差分析专题（方法+练习）核心点：读数=砝码+游码左盘=右盘+游码左物右码1、第一类左右放错a、未移动游码读数正确b、游码移动读数偏小真实值=砝码-游码2、第二类砝码不准口诀（大轻小重）a.砝码变轻：如磨损读数偏大读数>物体的实际质量b.砝码变重：如砝码生锈读数偏小读数<物体的实际质量3、指针问题(右小谐音幼小)称量前，但指针未对准中央刻度线a.指针偏右，就开始测量了 ----- 测出的物体质量偏小b.指针偏左，就开始测量了 ----- 测出的物体质量偏大称量时，但指针未对准中央刻度线刚好和前面相反4、使用前游码未归零a .读数偏大例1坤坤测量物体质量由于疏忽，当游码还停在0.2g位置时就调节天平平衡，然后把被测物体放左盘，当右盘加入20g和30g砝码后，游码移到1.4g位置，天平恰好平衡。

则被测真实物体的质量为： 20g+30g+1.4g-0.2g。

例2坤坤测量物体质量，由于疏忽，当游码还停在0.2g位置时就调节天平横梁平衡了，然后把被测物体放左盘，当在右盘中加入20g砝码和30g砝码，天平恰好平衡。

则被测真实物体的质量为： 20g+30g+0.2g-0.2g 。

5.左右盘未垫纸片（用极限思想判断，假设纸片非常重）a.左盘未垫纸片读数偏大读数>物体的实际质量b.右盘未垫纸片读数偏小读数<物体的实际质量练习1.在调节天平平衡时，发现无论怎么调节都不能把天平调平衡，后在左盘内放了一点沙子，终于把天平调平衡了，然后开始称量物体，当右盘放30g砝码时（未移动游码）天平刚好平衡，则该物体的质量是（）A．30g B．小于30g C．大于30g D．无法判断2.托盘天平调节好以后，在称量时发现指针偏在分度盘中央的左边，这时应（）A．把右端的平衡螺母向右旋出一些 B．把左端的平衡螺母向左旋出一些C．向天平右盘中增加砝码或将游码向右移动 D．将天平右盘中砝码减少3．为配制适当浓度的盐水，需要用天平称取5 g食盐，天平调平衡后，现在将右盘放5 g 砝码，食盐放在左盘，发现指针稍偏向分度盘中央刻度线右侧，则接下来的操作应是（）A．取出部分食盐B．往左盘加适量食盐C．将游码向右调节 D．将右盘中的砝码取出4小红用调好的天平测一木块的质量，天平的最小砝码是5g。

自动控制原理误差分析知识点总结自动控制是现代科学技术的重要组成部分，广泛应用于各个领域。

误差分析是自动控制中的一个关键概念，用于评估实际输出与期望输出之间的差异，并通过相应的控制策略来减小该差异。

本文将对自动控制原理中的误差分析知识点进行总结。

一、误差定义与分类在自动控制中，误差是指实际输出值与期望输出值之间的差别。

根据误差的来源和性质，可以将误差分为系统误差和随机误差两类。

1. 系统误差：指由于系统本身结构、参数、非线性等因素引起的误差，具有一定的规律性和可预测性。

2. 随机误差：指由于外界干扰、测量误差等原因引起的误差，具有无规律性和不可预测性。

二、误差分析方法为了准确评估误差并找到相应的控制策略，可以采用以下常用的误差分析方法。

1. 均方根误差（Root Mean Square Error, RMSE）：通过计算误差的平方和的均值再开方得到，用于评估系统的总体误差水平。

2. 最大偏差（Maximum Deviation）：指实际输出值与期望输出值之间的最大差异，用于评估系统的极端误差情况。

3. 稳态误差（Steady-state Error）：指系统在稳态下输出值与期望输出值之间的差别，用于评估系统的稳定性能。

4. 频域分析：通过对系统的频率响应进行分析，评估不同频率下的误差变化情况，用于优化系统的频率特性。

三、误差补偿控制方法误差分析的目的是找到相应的控制策略来减小误差，常用的误差补偿控制方法包括：1. 比例控制（Proportional Control）：根据误差的大小进行比例调整，控制输出与期望输出之间的比例关系。

2. 积分控制（Integral Control）：通过积分误差以消除稳态误差，使输出趋于期望输出。

3. 微分控制（Derivative Control）：通过对误差的变化率进行调整，改善系统的动态响应特性。

4. 预测控制（Predictive Control）：基于模型对未来误差进行预测，提前采取相应控制策略以减小误差。

CAD模型精度调整与误差分析的技巧与方法在使用CAD软件进行建模设计时，经常会遇到需要调整模型精度以及进行误差分析的情况。

本文将介绍一些相关的技巧和方法，帮助读者更好地处理模型精度和误差问题。

1. 模型精度调整为了使CAD模型更加精确，我们可以采取以下方法进行调整：1.1 增加细分数或步长：在进行建模操作时，可以增加细分数或步长来增加模型的精度。

这可以通过调整软件设置中的相应参数来实现。

增加细分数或步长将使模型更加细致，但也会增加计算和绘制的时间。

1.2 使用辅助几何体：有时候，模型的某些部分可能无法按照预期进行建模。

这时，可以使用辅助几何体来辅助建模。

比如，可以先建立一个辅助平面或曲线来作为参考，再在其基础上进行建模，这样可以更好地控制模型的精度。

1.3 使用约束和尺寸限制：为了增加模型的精度，可以使用约束和尺寸限制来确保模型的几何形状和尺寸符合要求。

例如，可以使用水平、垂直、对称、等距等约束来确保模型的几何关系和形状。

2. 误差分析对于已经建立的CAD模型，我们需要进行误差分析来评估其精确度和质量。

以下是一些常见的误差分析方法：2.1 尺寸误差分析：通过对模型中的尺寸进行测量和对比，可以评估模型与实际要求的尺寸之间的差距。

可以使用CAD软件中的测量工具来获取尺寸数据，并与设计要求进行比较。

2.2 几何拟合误差分析：对于复杂的CAD模型，可以使用几何拟合算法来评估其与实际要求的几何形状之间的差距。

几何拟合算法可以计算出模型表面与理论曲面之间的最小距离，从而评估模型的几何形状误差。

2.3 运动仿真误差分析：对于需要进行运动仿真的CAD模型，可以通过仿真工具来评估其运动性能和误差。

运动仿真可以模拟模型在现实环境中的运动，从而评估模型的运动误差和性能。

以上是CAD模型精度调整和误差分析的一些技巧和方法。

通过合理运用这些技巧和方法，我们可以更好地处理模型精度和误差问题，提高CAD设计的质量和准确性。

数值分析误差及分析数值分析是一种通过数学方法和计算机模拟来处理和解决实际问题的方法。

然而，由于计算机的运算能力和存储能力有限，以及问题本身的复杂性，数值分析往往会引入一定的误差。

误差是指数值计算结果与真实值之间的差异，它分为截断误差和舍入误差两种类型。

截断误差是由于在数值分析过程中对无限小量和无限级数的截取而产生的误差。

无限小量是指小到可以忽略不计的量，无限级数是指由无限多个项相加的数列。

在实际计算过程中，为了获得可计算的结果，人们往往只考虑有限项的计算，这就导致了截断误差的出现。

截断误差的大小与问题本身的性质以及截止条件的选择有关。

舍入误差是由于计算机内部的浮点数表示方式而引入的误差。

计算机内部使用有限的位数来表示实数，这就不可避免地导致了浮点数的精度问题。

当计算结果需要表示的位数超过了计算机所能表示的范围时，就会发生舍入误差。

舍入误差的大小与计算机的表示精度以及计算过程中的计算次数有关。

为了减小误差，提高数值分析的精度，可以采取以下方法：1.增加计算机的位数：增加计算机的位数可以扩大浮点数的表示范围，从而减小舍入误差的发生概率。

2.使用更高精度的数据类型：在一些特殊情况下，为了提高计算结果的精度，可以使用更高精度的数据类型，如使用双精度浮点数代替单精度浮点数。

3.改进算法：优化算法可以减小截断误差的影响，例如使用数值积分的自适应算法、迭代法等。

4.选择合适的截止条件：在数值分析过程中，需要选择适当的截止条件。

截止条件的选择既不应过于严格，以免造成大的截断误差，也不应过于宽松，以免在计算机内部引入较大的舍入误差。

5.进行误差分析：在数值分析过程中，应该对误差进行分析和估计。

可以通过理论方法、数值试验和统计方法等途径来估计误差的上界或下界，从而评估计算结果的可靠性。

总而言之，数值分析误差是不可避免的，但可以通过增加计算机位数、改进算法、选择合适的截止条件、使用高精度数据类型和进行误差分析等方法来减小误差，提高数值分析的精度和可靠性。

5第一章 测量、误差和数据处理1．测量与误差1.1 测量在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的．所谓测量，就是用一定的工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地与被测对象进行比较．著名物理学家伽利略有一句名言：“凡是可能测量的，都要进行测量，并且要把目前无法度量的东西变成可以测量的”．物理测量的内容很多，大至日、月、星辰，小到原子、分子．现在人们能观察和测量到的范围，在空间方面已小到10-14～10-15 cm ，大到百亿光年，大小相差在1040倍以上．在时间方面已短到10-23 ～10-24 s 的瞬间，长达百亿年，两者相差也在1040倍以上．在定量地验证理论方面，也需要进行大量的测量工作．因此可以说，测量是进行科学实验必不可少的极其重要的一环．测量分直接测量和间接测量．直接测量是指把待测物理量直接与认定为标准的物理量相比较，例如用直尺测量长度和用天平测物体的质量．间接测量是指按一定的函数关系，由一个或多个直接测量量计算出另一个物理量，例如测物体密度时，先测出该物体的体积和质量，再用公式算出物体的密度．在物理实验中进行的测量，大多属于间接测量．一个测量数据不同于一个数值，它是由数值和单位两部分组成的．一个数值有了单位，才具有特定的物理意义，这时它才可以称之为一个物理量．因此测量所得的值（数据）应包括数值（大小）和单位，两者缺一不可．1.2 误差从测量的要求来说，人们总希望测量的结果能很好地符合客观实际．但在实际测量过程中，由于测量仪器、测量方法、测量条件和测量人员的水平以及种种因素的局限，不可能使测量结果与客观存在的实际值（真值）完全相同，我们所测得的只能是某物理量的近似值．也就是说，任何一种测量结果的量值与真值之间总会或多或少地存在一定的差值，将其称为该测量值的测量误差，简称“误差”，误差的大小反映了测量的准确程度．测量误差的大小可以用绝对误差表示，也可用相对误差表示 绝对误差 ＝ 测量值－真值，100%真值绝对误差相对误差⨯=E ．测量总是存在着一定的误差，但实验者应该根据要求和误差限度来制订或选择合理的测量方案和仪器．不能不切合实际地要求实验仪器的精度越高越好；环境条件总是恒温、恒湿、越稳定越好；测量次数总是越多越好．一个优秀的实验工作者，应该是在一定的要求下，以最低的代价来取得最佳的实验结果．要做到既保证必要的实验精度，又合理地节省人力与物力．误差自始至终贯穿于整个测量过程之中，为此必须分析测量中可能产生各种误差的因素，尽可能消除其影响，并对测量结果中未能消除的误差做出评价．1.3 误差的分类6误差的产生有多方面的原因，从误差的来源和性质上可分为“偶然误差”和“系统误差”两大类．1.3.1 系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，测量值对真值的偏离（包括大小和方向）总是相同的，这类误差称为系统误差．系统误差的来源大致有以下几种：（1）理论公式的近似性：例如单摆的周期公式g l T π2 成立的条件之一是摆角趋于零，而在实验中，摆角为零的条件是不现实的．（2）仪器结构不完善：例如温度计的刻度不准，天平的两臂不等长，示零仪表存在灵敏阈等．（3）环境条件的改变：例如在20℃条件下校准的仪器拿到－20℃环境中使用．（4）测量者生理心理因素的影响：例如记录某一信号时有滞后或超前的倾向，对准标志线读数时总是偏左或偏右、偏上或偏下等．系统误差的特点是恒定性，不能用增加测量次数的方法使它减小．在实验中发现和消除系统误差是很重要的，因为它常常是影响实验结果准确程度的主要因素．能否用恰当的方法发现和消除系统误差，是测量者实验水平高低的反映，但是又没有一种普遍适用的方法去消除误差，主要靠对具体问题作具体的分析与处理，要靠实验经验的积累．1.3.2 偶然误差 偶然误差是指在相同条件下，多次测量同一物理量，其测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化．这种误差是由实验中多种因素的微小变动而引起的，例如实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动，测量仪器指示数值的变动，以及观测者本人在判断和估计读数上的变动等等．这些因素的共同影响就使测量值围绕着测量的平均值发生涨落，这变化量就是各次测量的偶然误差．偶然误差的出现，就某一测量值来说是没有规律的，其大小和方向都是不能预知的，但对一个量进行足够多次的测量，则会发现它们的偶然误差是按一定的统计规律分布的，常见的分布有正态分布、均匀分布、t 分布等． 常见的一种情况是：正方向误差和负方向误差出现的次数大体相等，数值较小的误差出现的次数较多，数值很大的误差在没有错误的情况下通常不出现．这一规律在测量次数越多时表现得越明显，它就是一种最典型的分布规律——正态分布规律．1.3.3 系统误差和偶然误差的关系 系统误差和偶然误差的区别不是绝对的，在一定条件下，它们可以相互转化．比如称量的砝码误差，对于制造厂家来说，它是偶然误差，对于使用者来说，它又是系统误差．又如测量对象的不均匀性（如小球直径、金属丝的直径等），既可以当作系统误差，又可以当作偶然误差．有时系统误差和偶然误差混在一起，也难于严格加以区分．例如测量者使用仪器时的估读误差往往既包含有系统误差，又包含有偶然误差．这里的系统误差是指他读数时总是有偏大或偏小的倾向，偶然误差是指他每次读数时偏大或偏小的程度又是互不相同的．2．测量的不确定度和测量结果的表示2.1 测量的不确定度 测量误差存在于一切测量中，由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度即为测量的不确定度，它给出测量结果不能确定的误差范围．一个完整的测量结果不仅要标明7其量值大小，还要标出测量的不确定度，以表明该测量结果的可信赖程度． 目前世界上已普遍采用不确定度来表示测量结果的误差．我国从1992年10月开始实施的《测量误差和数据处理技术规范》中，也规定了使用不确定度评定测量结果的误差． 通常不确定度按计算方法分为两类，即用统计方法对具有随机误差性质的测量值计算获得的A 类分量∆A ，以及用非统计方法计算获得的B 类分量∆B ． 2.2 偶然误差与不确定度的A 类分量 2.2.1 偶然误差的分布与标准偏差 偶然性是偶然误差的特点．但是，在测量次数相当多的情况下，偶然误差仍服从一定的统计规律．在物理实验中，多次独立测量得到的数据一般可近似看作为正态分布，正态分布的特征可以用正态分布曲线形象地表示出来，如图1所示．当测量次数n 趋于∞时，测量值x 将成为连续型随机变量，其概率密度分布为正态函数，形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221exp 21)(σμπσx x f （1）其中，µ 表示x 出现概率最大的值，在消除系统误差后，µ为真值．σ 称为标准偏差，它反映了测量值的离散程度．定义21()d xx f x x ξ=⎰，表示变量x 在(x 1，x 2)区间出现的概率，称为置信概率．x 出现在（µ－σ，µ＋σ）之间的概率为()d 0.683f x x μσμσξ+-==⎰（2）说明对任一次测量，其测量值出现在（µ－σ，µ＋σ）区间的可能性为0.683．为了给出更高的置信水平，置信区间可扩展为（µ－2σ，µ＋2σ）和（µ－3σ，µ＋3σ），其置信概率分别为22()d 0.954f x x μσμσξ+-==⎰和 33()d 0.997f x x μσμσξ+-==⎰（3）2.2.2 多次测量平均值的标准偏差和算术平均值标准误差尽管一个物理量的真值µ是客观存在的，但由于随机误差的存在，企图得到真值的愿望仍不现实，我们只能估算µ值．根据偶然误差的特点，可以证明如果对一个物理量测量了相当多次后，分布曲线趋于对称分布，其算术平均值就是接近真值µ的最佳值．如对物8理量x 测量n 次，每一次测量值为x i ，则算术平均值x 为nxx ni i∑==1（4）x 的标准偏差（Standard Deviation)可用贝塞尔公式估算为1)(12--=∑=n x xni ix σ （5）其意义为任一次测量的结果落在)(x x σ-到)(x x σ+区间的概率为0.683．由于算术平均值是测量结果的最佳值，最接近真值，因此我们更希望知道x 对真值的离散程度．误差理论可以证明x 的标准误差（Standard Error)为()()nn n x x xix σσ=--=∑12（6）上式说明，平均值的标准差是n 次测量中任意一次测量值标准差的n /1，显然x σ小于x σ．x σ的意义是待测物理量处于x x σ±区间内的概率为0.683．从上式中可以看出，当n为无穷大时，0=x σ，即测量次数无穷多时，平均值就是真值．2.2.3 有限次测量的情况和t 因子值得注意的是测量次数相当多时，测量值才近似为正态分布，上述结果才成立．在测量次数较少的情况下，测量值的概率密度曲线将呈t 分布（图2）．测量次数较少时，t 分布相比正态分布变得平坦，当测量次数较多时（例如多于10次）t 分布趋于正态分布，当测量次数趋于无限时，t 分布过渡到正态分布．对有限次测量的结果，要保持与正态分布同样的置信概率，显然要扩大置信区间，将置信区间乘以一个大于1的t 因子，则)/(n t x t x x x x σσξξ±=±=的置信概率与正态分布的置信概率ξ相同．在物理实验中，我们建议置信概率采用0.95，因子95.0t 和n t /95.0的值见表1．表1 95.0t 和n t /95.0与n 的关系92.2.4 不确定度的A 类分量不确定度的A 类分量∆A 是重复测量时用统计学方法计算的分量，当重复测量次数为n 时, n t t x x A /Δξξσσ⋅==．当实验中取置信概率为0.95，且n ＝6时，有x A σ05.1=∆．通常在大学物理实验中，当n ＝6时，由于有1/95.0≈n t ，取∆A = σx ，即在置信概率为0.95的前提下，A 类不确定度∆A 可用测量值的标准偏差σx 估算．2.3 不确定度的B 类分量不确定度的B 类分量∆B 是用非统计方法计算的分量，如仪器误差等．一般而言，不确定度的B 类分量∆B 记为仪器标定的最大允差∆仪/C ，其中C 为置信系数，通常情况下C 取1，即∆B = ∆仪．某些常用实验仪器的最大允差∆仪见表2．表2 常用实验仪器的最大允差102.4 测量结果的表示 2.4.1 测量结果的表示若用不确定度表征测量结果的可靠程度，则测量结果需写成下列标准形式⎪⎩⎪⎨⎧⨯=±=%100x u u u x x xx r x （7）式中x 为多次测量的平均值，u 为合成不确定度，u r 为相对不确定度．合成不确定度u 由A 类不确定度∆A 和B 类不确定度∆B 采用均方根合成方式得到22B A x u ∆+∆=（8）若A 类分量有n 个，B 类分量有m 个,那么合成不确定度为∑∑==∆+∆=mi B ni A x i iu 1212（9）2.4.2 直接测量的不确定度计算过程 （1）单次测量时，通常有三种情况：（a ）仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同，不必进行多次测量； （b ）对测量的准确程度要求不高，只测一次就够了； （c ）因测量条件的限制，不可能多次重复测量．单次测量的结果也用（7）式表示测量结果．这时u 常用极限误差∆表示．∆的取法一般有二种：一种是仪器标定的最大允差∆仪；另一种是根据不同仪器、测量对象、环境条件、仪器灵敏阈等估计一个极限误差．两者中取数值较大的作为∆值．（2）多次测量时，不确定度以下面的过程进行计算：（a ）修正已知的系统误差，得到测量值（如螺旋测微器必须消除零误差）；（b ）求测量数据的算术平均值：nxx i∑=；（c ）用贝塞尔公式计算标准偏差：()12--=∑n x x ixσ；（d ）标准偏差乘以一置信参数n t /95.0，求得∆A ； （e ）根据仪器标定的最大允差∆仪 确定∆B ： ∆B = ∆仪； （f ）由∆A 、∆B 计算合成不确定度：22B A x u ∆+∆=；11（g ）计算相对不确定度：%100⨯=xu u xr x ； （h ）给出测量结果:⎪⎩⎪⎨⎧⨯=±=%100x u u u x x xr x x ．例：在室温23℃下，用共振干涉法测量超声波在空气中传播时的波长λ，数据见表：试用不确定度表示测量结果． 解：波长λ的平均值为()mm 64.46161==∑=i i λλ任意一次波长测量值的标准偏差为()()mm)(03.0510109164612≈⨯=--=-∑iλλσλ实验装置的游标示值误差为：∆仪 = 0.02 mm波长不确定度的A 类分量为：∆A =1.05σλ ≈σλ = 0.03mm B 类分量为：∆B = ∆仪 = 0 .02 mm 于是，波长的合成不确定度为()()04.002.003.02222≈+=∆+∆=B A u λ(mm )相对不确定度为 %9.0%100=⨯=λλλu u r测量结果表达为：()⎩⎨⎧=±=%9.004.064.4λλr u cm122.4.3 间接测量不确定度的计算间接测量量是由直接测量量根据一定的数学公式计算出来的．这样一来，直接测量量的不确定度就必然影响到间接测量量，这种影响的大小也可以由相应的数学公式计算出来．设间接测量所用的数学公式可以用如下的函数形式表示),,,( z y x F N = （10）式中的N 是间接测量量，x ，y ，z ，…是直接测量量，它们是互相独立的量．设x ，y ，z ，…的不确定度分别为u x ，u y ，u z ，…，它们必然影响间接测量量，使N 值也有相应的不确定度u ．由于不确定度都是微小的量，相当于数学中的“增量”，因此间接测量的不确定度的计算公式与数学中的全微分公式基本相同．不同之处是：1.要用不确定度u x 等替代微分dx 等；2.要考虑到不确定度合成的统计性质，一般是用“方和根”的方式进行合成．于是，在普通物理实验中用以下两式来简化地计算不确定度+∂∂+∂∂+∂∂=222222)()()()()()(z y x u zFu y F u x F u （11）+∂∂+∂∂+∂∂==222222)()ln ()()ln ()()ln (z y x N r u zF u y F u x F N u u （12）（11）式适用于N 是和差形式的函数，（12）式适用于N 是积商形式的函数．用间接测量不确定度表示结果的计算过程如下： （1）先写出（或求出）各直接测量量的不确定度．（2）依据),,,( z y x F N =的关系求出x F ∂∂，y F ∂∂…，或x F ∂∂ln ，yF ∂∂ln …． （3）用(11)式或(12)式求出u 和u r ，亦可用传递公式直接用各直接测量量不确定度进行计算u 和u r （见表3）．（4）给出实验结果⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=%100N uu uN N r，其中),,,(⋅⋅⋅=z y x f N ． 例：已知金属环的内径D 1 = 2.880±0.004 cm ，外径D 2 = 3.600±0.004 cm ，高度 H = 2.575±0.004 cm ，求金属环的体积，并用不确定度表示实验结果． 解：求金属的体积()()3222122cm 436.9575.2880.2600.344=⨯-⨯=-=ππH D DV求偏导：13H H V D D D D V D D D D V 1ln ,2ln ,2ln 212211212222=∂∂--=∂∂-=∂∂%8.0008.0)(22222122122122212===⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==代入数据H u D D u D D D u D V u u H D D VrV求3cm 08.0008.0436.9≈⨯==rV V u V u实验结果：⎩⎨⎧=±=%8.0cm 08.044.93rV u V ．表3 常用函数的不确定度传递公式3．有效数字及其运算规则3.1 有效数字的概念 任何一个物理量，其测量结果既然都包含误差，那么该物理量数值的尾数不应该任意取舍．在进行具体的数字运算前，按照一定的规则确定一致的位数，然后舍去某些数字后面多余的尾数的过程被称为数字修约，指导数字修约的具体规则被称为数字修约规则．根据数值修约规则（按国家标准文件：GB8170-87），测量结果只写到开始有误差的那一或两位数，以后的数按“4舍6入5看右，5后有数进上去， 尾数为0向左看，左数奇进偶舍弃”修约．对于“5”后尾数都为0的情况，则看“5”前一位，前一位是奇数，则将5进上，使有误差末位为偶数，若5的前一位是偶数则将5舍去．我们把测量结果中可靠的几位数字加上有误差的一到两位数字称为测量结果的有效数字．或者说，有效数字中最后一到两位数字是不确定的．显然，有效数字是表示不确定度的一种粗略的方法，而不确定度则是对有效数字中最后一到两位数字不确定程度的定量描述，它们都表示含有误差的测量结果．有效数字的位数与小数点的位置无关．如1.23与123都是三位有效数字．关于“0”是不是有效数字的问题，可以这样来判别：从左往右数，以第一个不为零的数字为起点，它左边的“0”不是有效数字，它右边的“0”是有效数字．例如0.0123是三位有效数字，0.01230是四位有效数字．作为有效数字的“0”，不可以省略不写．例如，不能将1.3500 cm 写作1.35 cm，因为它们的准确程度是不同的．有效数字位数的多少，大致反映相对误差的大小．有效数字位数越多，则相对误差越小，测量结果的准确度越高．3.2 数值书写规则测量结果的有效数字位数由不确定度来确定．由于不确定度本身只是一个估计值，一般情况下，不确定度的有效数字位数只取一到两位．测量值的末位须与不确定度的末位取齐．在初学阶段，可以认为有效数字只有最后一位是不确定的，相应地不确定度也只取一位有效数字，例如L =（1.00±0.02）cm．一次直接测量结果的有效数字，由仪器极限误差或估计的不确定度来确定．多次直接测量算术平均值的有效数字，由计算得到平均值的不确定度来确定．间接测量结果的有效数字，也是先算出结果的不确定度，再由不确定度来确定．当数值很大或很小时，用科学计数法来表示．如：某年我国人口为七亿五千万，极限误差为二千万，就应写作：(7.5±0.2)×104万，其中(7.5±0.2)表明有效数字和不确定度，104万表示单位．又如，把(0.000623±0.000003) m写作(6.23±0.03)×10-4 m，看起来就简洁醒目了．3.3 有效数字的运算规则在有效数字运算过程中，为了不致因运算而引进“误差”或损失有效位数，影响测量结果的精度，统一规定有效数字的近似运算规则如下：（1）诸量相加（或相减）时，其和（或差）数在小数点后所应保留的位数与诸数中小数点后位数最少的一个相同；（2）诸量相乘（或除）后保留的有效数字，只须与诸因子中有效数字最少的一个相同．（3）乘方与开方的有效数字与其底的有效数字位数相同．（4）一般来说，函数运算的位数应根据误差分析来确定．在物理实验中，为了简便和统一起见，对常用的对数函数、指数函数和三角函数作如下规定：对数函数运算后的尾数取得与真数的位数相同；指数函数运算后的有效数字的位数可与指数的小数点后的位数相同（包括紧接小数点后的零）；三角函数的取位随弧度的有效数字而定；（5）在运算过程中，我们可能碰到一种特定的数，它们叫作正确数．例如将半径化为直径d = 2r时出现的倍数2，它不是由测量得来的．还有实验测量次数n，它总是正整数，没有可疑部分．正确数不适用有效数字的运算规则，只须由其他测量值的有效数字的多少来决定运算结果的有效数字；（6）在运算过程中，我们还可能碰到一些常数，如π、g之类，一般我们取这些常数与测量的有效数字的位数相同．例如：圆周长l ＝2πR，当R＝2.356 mm时，此时π应取143.142．在实际运算过程中，为减少舍入误差，其数值的修约可以暂时多保留一位，但运算得到最后结果时，再根据有效位数弃去多余的数字。