矩阵乘积AB与BA的关系及性质

第２８卷第５期　２００７年ｌＯ月　闽江学院学报　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＭＩＮＪＩＡＮＧ　ＵＮＩＶＥＲＳＩ１ｎｒ　Ｖ０１．２８　Ｎｏ．５　

０ｃｔ．２００７　

矩阵乘积ＡＢ与ＢＡ的关系及性质　戴立辉　（闽江学院数学系，福建福州３５０１０８）　摘要：由于矩阵的乘法运算不满足交换律，因此对矩阵Ａ，Ｂ而言，在一般情形下，ＡＢ＃ＢＡ．通过对矩阵乘法的深　入研究，利用分块乘法的初等变换，讨论了矩阵Ａ，Ｂ的特征多项式之间、特征值之间、特征矩阵的秩之间等的关系，　并进一步地得到矩阵乘积ＡＢ与ＢＡ的一些性质，所得结果是矩阵理论的补充和推广．　关键词：矩阵乘积；分块乘法；初等变换　中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９—７８２１（２００７）０５—００１０—０４　

Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ａｎｄ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ＡＢ　ａｎｄ　ＢＡ　ＤＡＩ　Ｌｉ－ｈｕｉ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｍｉ￣ｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｚｈｏｕ，Ｆｕｙｉａｎ　３５０１０８，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ　ｍａｔｒｉｘ　Ａ　ａｎｄ　Ｂ，ｉｎ　ｇｅｎｅｒａｌ，Ａ　≠　Ａ，ｔｈｉｓ　ｉｓ　ｂｅｃａｕｓｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｍｕｌｔｉｐｈｅａｔｉｏｎ　ｄｏｅｓ　ｎｏｔ　ｓａｔｉｓｆｙ　ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　ｌａｗ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｄｅｔａｉｌ，ａｎｄ　ｂｙ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　￣ａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐａ￣ｉｔｉｏｎｅｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ｉｔ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｃｈａｒａｃｔｅ．ｒｉｓｔｉｃ　ｐｏｌｙｎｏｍｉ—　

ａｌｓ，ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ，ｔｈｅ　ｒａｎｋ　ｏｆ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｉｎ　Ａ　ａｎｄ　Ｂ．Ａｎｄ　ｓｏｍｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ＯＦｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ＡＢ　ａｎｄ　Ａ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ，Ａｎｄ　ｔｈｅ　ｆｉｎｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ａｒｅ　ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ　ｔｈｅｏｒｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｄｕｃｔ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｃｅｓ；ｐａｒｔｉｔｉｏｎｅｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ￣ａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　

０引言　在高等代数以及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容，由矩阵的理论可知，矩阵的乘法不同　于数的乘法，矩阵的乘法运算不满足交换律，即：当ＡＢ有意义时，ＢＡ未必有意义；即使ＡＢ与ＢＡ均有意义，　它们也未必相等．或者说，在一般情形下，ＡＢ—ＢＡ≠０，从而研究ＡＢ与ＢＡ之间的关系，具有一定的意义．　笔者曾在文献［１］研究了ＡＢ＝ＢＡ的条件，得到了可交换矩阵的一些性质．作为文献［１］的续篇，文章通　过对矩阵乘法的深人研究，在ＡＢ与ＢＡ均有意义的条件下，利用分块乘法的初等变换心】（　，得到矩阵乘　积ＡＢ与ＢＡ的关系及性质，所得结果是矩阵理论的补充和推广，也可作为文献［２］、［３］相关内容的提高．　文章中的符号除另加说明之外，均采用文献［２］中常用的符号．　１　Ａｍ＾　与　Ａｍ＾的关系及性质　设Ａ为ｍ×　矩阵，　为　×ｍ矩阵，则ＡＢ与ＢＡ均有意义，它们之间有一定的关系，并有很多重要的性　质．　

收稿日期：２００７一ｏ４一Ｏ６　基金项目：闽江学院科研项目（ＹＫＱ０５００３）　作者简介：戴立辉（１９６３一），男，江西乐安人，闽江学院数学系教授　

维普资讯 http://www.cqvip.com 第５期　戴立辉：矩阵乘积ＡＢ与ＢＡ的关系及性质　ｌｌ　定理１记　（Ａ）为ＡＢ的特征多项式，　（Ａ）为ＢＡ的特征多项式．　（１）ＡＢ与ＢＡ的特征多项式有如下关系　Ａ　（Ａ）＝Ａ　（Ａ）．　（２）多项式ＩＡＥ　＋仰Ｉ与ＩＡＥ　＋ＢＡ　Ｉ有如下关系　Ａ“Ｉ　ＡＥ　＋ＡＢ　Ｉ＝Ａ　Ｉ　ＡＥ　＋ＢＡ　Ｉ　证…　由（　）·（　０枷　）　

（：　Ａ。Ｅ　０－鲋）　当Ａ≠Ｏ时，上两式取行列式可得　Ａ“Ｉ　ＡＥ　一ＡＢ　Ｉ＝Ａ　Ｉ　ＡＥ　一　ｌＡ　Ｉ　对Ａ＝Ｏ，显然Ａ“ＩＡＥ　一ＡＢＩ＝　Ｉ脑　一ＢＡ　Ｉ也成立．故　Ａ’　（Ａ）＝Ａ　（Ａ）　（２）在（１）中以一　代　，即可得　Ｉ　ＡＥ　＋仰Ｉ＝　Ｉ　ＡＥ　＋ＢＡ　Ｉ．　推论１　ＡＢ与　的非零特征值相同，而两者的零特征值之重数相差Ｉ　ｎ—ｍ　１个．　定理２（１）Ｅ　一ＡＢ（不）可逆的充分必要条件是Ｅ　一　（不）可逆．　当Ｅ　－ＡＢ可逆时，（Ｅ　一ＢＡ）～＝Ｅ　＋　（Ｅ　一ＡＢ）～Ａ；当Ｅ　一ＢＡ可逆时，　Ａ（Ｅ　一ＢＡ）　＆　（２）Ｅ　＋仰（不）可逆的充分必要条件是Ｅ　＋ＢＡ（不）可逆．　当Ｅ　＋仰可逆时，（　＋ＢＡ）～＝Ｅ　一Ｂ（Ｅ　＋ＡＢ）～Ａ；当Ｅ　＋ＢＡ可逆时，　Ａ（Ｅ　＋ＢＡ）　．　

（Ｅ　一仰）～＝Ｅ　＋　（Ｅ　＋仰）～＝Ｅ　证明在定理１中令Ａ＝１，即得　Ｉ　Ｅ　一ＡＢ　Ｉ＝Ｉ　Ｅ　一ＢＡ　Ｉ．易知：当Ｅ　一ＡＢ可逆时，（Ｅ　一ＢＡ）～＝　＋　（Ｅ　一ＡＢ）～Ａ；当Ｅ　一ＢＡ可逆时，（Ｅ　一ＡＢ）～＝Ｅ　＋Ａ（Ｅ　一ＢＡ）～Ｂ．　定理３（１）ＡＢ与ＢＡ的特征矩阵的秩满足（Ａ≠Ｏ）　秩（ＡＥ　－ＡＢ）一秩（ＡＥ　一ＢＡ）＝，孔一ｎ．　特别地，秩（Ｅ　一ＡＢ）一秩（　一ＢＡ）＝ｍ—ｎ．　（２）矩阵ＡＥ　＋ＡＢ与ＡＥ　＋　的秩满足（Ａ≠Ｏ）　秩（ＡＥ　＋ＡＢ）一秩（ＡＥ　＋ＢＡ）＝ｍ一几　特别地，秩（Ｅ　＋ＡＢ）一秩（　＋ＢＡ）＝ｍ—ｎ．　证明当Ａ≠Ｏ时，由　

【　）。（　０）　

ｆ　。Ｅ　０－　）　可得秩　。－ＡＢ　蝴　…ｎ，　

维普资讯 http://www.cqvip.com １２　闽江学院学报　第２８卷　从而　秩（：　）＝秩（　Ａ　ＯＡＢ）＝秩（ＡＥ￣－　Ａ　＋，ｎ．　秩（ＡＥ　一Ａ　）一秩（ＡＥ　一ＢＡ）＝ｒｒｔ—ｒｔ．　定理４　ＡＢ与ＢＡ的迹相等，即ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）．　证明设ＡＢ＝Ｃ＝（ｃｆｆ）ｍｍ，ＢＡ＝Ｄ＝（ｄ　，）　．则　

ｃ　＝∑口玎６ｊ　，　＝∑　口玎　Ｊ＝１　ｉ＝１　

从而ｔｒ（ＡＢ）＝∑ｃ　＝∑∑口玎　＝∑∑口玎　，　Ｉ　１　Ｉ　１　Ｊ　１　Ｊ　１　Ｉ＝１　

ｔｒ（ＢＡ）＝∑　＝∑∑　口玎＝∑∑口盯　Ｊ　１　Ｊ　１　Ｉ＝１　Ｊ　１　Ｉ＝１　故ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）．　

２　Ａ　与　Ａ　的关系及性质　当ｒｒｔ＝ｒｔ时，Ａ，　都是方阵，ＡＢ与ＢＡ有其特别的关系和性质．　定理５　１）ＡＢ与ＢＡ的特征多项式相等，即厂＾　（Ａ）＝　（Ａ），从而ＡＢ与ＢＡ的特征值也相同（包括重　数也一致）．　２）多项式Ｉ　ＡＥ＋ＡＢ　Ｉ与Ｉ　ＡＥ＋　Ｉ相等，即Ｉ　ＡＥ＋Ａ　Ｉ＝Ｉ　ＡＥ＋ＢＡ　Ｉ．　推论２　１）Ｅ—ＡＢ与Ｅ—ＢＡ的特征多项式相等．　２）　＋Ａ　与　＋ＢＡ的特征多项式相等．　证明　因为Ｉ　ＡＥ一（Ｅ—ＡＢ）Ｉ＝Ｉ（Ａ一１）　＋Ａ　Ｉ，ｌ　ＡＥ一（Ｅ—ＢＡ）Ｉ＝Ｉ（Ａ—１）　＋　Ｉ，由定理５知　Ｉ（Ａ一１）　＋Ａ　Ｉ＝Ｉ（Ａ一１）　＋　Ａ　Ｉ，所以Ｊ　ＡＥ一（Ｅ—ＡＢ）Ｊ＝Ｊ　ＡＥ一（Ｅ—ＢＡ）Ｊ．　同理可证Ｉ　ＡＥ一（Ｅ＋Ａ　）Ｉ＝Ｉ　ＡＥ一（　＋ＢＡ）Ｉ．　推论３　１）ＡＢ—Ａ与ＢＡ—Ａ的特征多项式相等．　２）ＡＢ＋Ａ与ＢＡ＋Ａ的特征多项式相等．　证明因为ＡＢ—Ａ＝Ａ（Ｂ—Ｅ），ＢＡ—Ａ＝（Ｂ—Ｅ）Ａ．根据定理５知Ａ（　一　）与（Ｂ—Ｅ）Ａ的特征多项　式相等，故ＡＢ—Ａ与ＢＡ—Ａ的特征多项式相等．　同理可证ＡＢ＋Ａ与ＢＡ＋Ａ的特征多项式相等　定理６　１）ＡＢ与ＢＡ的特征矩阵的秩相等（Ａ≠０），即秩（ＡＥ—ＡＢ）＝秩（ＡＥ—ＢＡ）．特别地，秩（　—　ＡＢ）＝秩（　一　）．　２）矩阵ＡＥ＋ＡＢ与ＡＥ＋ＢＡ的秩相等（Ａ≠０），即秩（ＡＥ＋Ａ　）＝秩（ＡＥ＋ＢＡ）．特别地，秩（　＋ＡＢ）　

＝秩（　＋ＢＡ）．　定理７若Ａ，　中有一个是可逆的，则ＡＢ与ＢＡ相似．　证明不妨设Ａ可逆，由ＢＡ＝Ａ　（ＡＢ）Ａ知，ＡＢ与ＢＡ相似．　定理８　１）ＩＡ　Ｉ＝Ｉ　ＢＡ　Ｉ．　２）ＡＢ与ＢＡ同为可逆矩阵或同为不可逆矩阵．　３）ＡＢ与ＢＡ的迹相等，即ｔｒ（ＡＢ）＝ｔｒ（ＢＡ）．　定理９　１）ＡＢ—ＢＡ不可能相似于ｋＥ（ｋ≠０）．　２）对可逆矩阵Ａ，不可能有ＡＢ—ＢＡ＝Ａ．　证明　１）因为ｔｒ（ＡＢ—ＢＡ）＝ｔｒ（ＡＢ）一ｔｒ（ＢＡ）＝０，而ｔｒ（ｋＥ）＝Ｉｉ｝，ｌ≠０（当Ｉｉ｝≠０时），由于相似矩阵的迹　相等　］（狮），所以ＡＢ—ＢＡ不可能相似于非零数量矩阵ｋＥ．　

维普资讯 http://www.cqvip.com 第５期　戴立辉：矩阵乘积ＡＢ与ＢＡ的关系及性质　１３　２）若存在可逆矩阵Ａ，使ＡＢ—ＢＡ＝Ａ，则Ｂ—Ａ—ＢＡ＝Ｅ，于是Ａ—ＢＡ＝Ｂ—Ｅ，即　与　—Ｅ相似，从而　ｔｒ（Ｂ—Ｅ）＝ｔｒ（Ｂ）一ｒｔ＝ｔｒ（Ｂ），这是不可能的．　定理１０　１）设Ａ，　同为（反）对称矩阵，则ＡＢ＋ＢＡ是对称矩阵，ＡＢ—ＢＡ是反对称矩阵．　２）设Ａ，　有一为对称矩阵，另一为反对称矩阵，则ＡＢ＋ＢＡ是反对称矩阵，ＡＢ—ＢＡ是对称矩阵．　推论４　１）设Ａ，　同为实（反）对称矩阵，则ＡＢ—ＢＡ的特征值的实部为零．　２）设Ａ，　有一为实对称矩阵，另一为实反对称矩阵，则ＡＢ＋ＢＡ的特征值的实部为零．　证明　由定理１０，ＡＢ—ＢＡ是实反对称矩阵．因为实反对称矩阵的特征值只能是零或纯虚数　，故　ＡＢ—ＢＡ的特征值的实部为零．　３　Ａ　Ａ，啪与Ａ　的关系及性质　当Ｂ＝Ａ　时，ＡＢ与ＢＡ，即ＡＡ　与Ａ　的关系更为特殊，它们具有更加有趣的性质．　定理ｌ１　ＡＡ　，Ａ，Ａ均为对称矩阵．　推论５秩（Ｅ　一ＡＡ　）一秩（Ｅ　一Ａ　）＝ｍ—ｒｔ．　定理１２设Ａ为实矩阵，则　秩（ＡＡ　）＝秩（Ａ　）＝秩（Ａ）．　证明因Ａ　＝０与Ａ　Ａ　＝０同解　］‘加¨，从而ｒｔ一秩（Ａ　）＝ｒｔ一秩（Ａ），所以秩（Ａ　）＝秩（Ａ）．　

同理Ａ　Ｘ＝０与ＡＡ　Ｘ＝０同解，并注意到秩（Ａ　）＝秩（Ａ），所以秩（ＡＡ　）＝秩（Ａ）．　定理１３设Ａ为实矩阵，则　１）当秩（Ａ）＝ｒｔ时，Ａ　为可逆矩阵；　２）当秩（Ａ）＝ｍ时，ＡＡ　为可逆矩阵．　证明　由定理ｌ２，当秩（Ａ）＝ｒｔ时，秩（Ａ　）＝ｒｔ，Ａ　为可逆矩阵；当秩（Ａ）＝ｎｔ时，秩（ＡＡ　）＝ｍ，ＡＡ　为可逆矩阵．　定理１４设Ａ为实矩阵，则　１）ＡＡ　，Ａ　均为半正定矩阵；　２）当秩（Ａ）＝ｒｔ时，Ａ　为正定矩阵；当秩（Ａ）＝ｍ时，ＡＡ　为正定矩阵．　证明作二次型，＝Ｘ＇Ａ＇ＡＸ，则ＶＸ＃Ｏ，　＝Ｘ＇Ａ　Ａ　＝（ＡＸ）　（Ａ　）≥Ｏ，所以ＡＡ　半正定；又秩（Ａ）＝ｒｔ　时，Ａ　＝Ｏ只有零解，故ＶＸ＃Ｏ，有ＡＸ＃０，从而厂＝（ＡＸ）　（ＡＸ）＞Ｏ，所以Ａ　为正定矩阵．　同理可证当秩（Ａ）＝ｍ时，ＡＡ　为正定矩阵．　ｈ　定理１５对，ｌ级实方阵Ａ＝（口玎），记ｏｒ（Ａ）＝∑口２玎，则