《不等式和绝对值不等式》课件7 (人教A版选修4-5)

的最小值.
1 x 2
2
≥2
上面解法错在哪?
均值不等式可以用来求最值(积定和小，和 定积大),但特别要注意条件的满足： 一正、 二定、 三相等.
四：三个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式得
abc 3 定理 3：如果 a、b、c R ，那么 ≥ abc ， 3 当且仅当 a b c 时，等号成立.
解:设AM=y米
200 - x 2 因而 4 xy x 2 200 y 4x
D
A
Q
P
C
B M N
于是S 4200x2 210 4xy 80 2 y2 0 x 10 2
E
F
课堂练习: 1.判断下列命题是否正确: (1) a b, c b a c ( ×) (2) a b c a c b ( ) √ (3) a b ac 2 bc 2 ( × (4) a b, c d ac bd × ) ) ( a b √ (5) 2 2 a b ( ) (6) a 2 b 2 a b × ) ( c c √ (7) a b a 2 b 2 × ) ( (8) a b a 2 b 2 ( )
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2 x) 的最大值. 2 2 x2 ( x 3) 的最小值. ⑵求函数 y x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2 解: ⑵∵ x 3 ,∴ x 3 0 2 x2 2( x 2 9) 18 18 2x 6 ∴y x 3 x 3 x 3 18 = 2( x 3) 12 ≥24 x 3 18 当且仅当 2( x 3) 即 x 6 时取等号. x 3 2 x2 ( x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. ∴函数 y x 3

3}5.解不等式:源自x 5 2x 3 1
5答案
补充练习: 5.解不等式
x 5 2x 3 1.
解: (零点分段讨论法)如图 ⑴当 x >5 时,原不等式可变形为 x 5 (2 x 3) 1 ,∴ x <9,∴5< x <9; ⑵当 ∴
1 3 3 2 x∴ 3 2 1 3 x x ≤ 5 时,原不等式可变形为 5 x ( 2 x 3) 1 ,
方法二：利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,把数轴分为三段, 然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对值符号的不等 式求解（零点分段讨论法）.(体现了分类讨论的思想)
解:(1)当x>1时，原不等式同解于 x>1 x≥2 (x-1)+(x+2) ≥5 (2)当-2≤x≤1时，原不等式同解于
-(x-1)+(x+2) ≥5 (3)当x<-2时，原不等式同解于 x<-2 x≤-3 -(x-1)-(x+2) ≥5 综合上述知不等式的解集为 x x ≥ 2 或 x ≤ 3
⑸
f
x
gx f
x
2
g x
2
课堂练习二(挑战)：
1.试解不等式 |
x 3 x 4 | x 1 ．
2
尝试 1:分类讨论去绝对值符号.
尝试 2:运用推广的解法公式. 尝试 3:数形结合(函数图象).
2.试解不等式|x -1|+|x +2|≥5 解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?

注：一正、二定、三等。
例 3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 --------------形的面积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方 ---------------形的周长最短.
例3答案
例4
例 3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 --------------形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中,正方 ---------------形的周长最短. 设矩形周长为L,面积为S,一边长为x,一边长为y, 周长L=2x+2y
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2 解: ⑵∵ x 3 ,∴ x 3 0 2 x 2 2( x 2 9) 18 18 2x 6 ∴y x 3 x 3 x 3 18 12 ≥24 = 2( x 3) x 3 18 当且仅当 2( x 3) 即 x 6 时取等号. x3 2 x2 ( x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. ∴函数 y x 3
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. x2 2
解: ⑶∵ y
2
x2 3 x2 2

x2 2 1 x2 2
x 2
算术平均数
C
几何平均数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何解释
ab
A a O D b B
可以用来求最值(积定和小，和定积大)
定理：设 x , y , z 都是正数，则有 ⑴若 xy S （定值） ，则当 x y 时， x y 有最小值 2 s .

方法小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。
主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号； ①含一个绝对值符号直接分类；②含两个或两 个以上绝对值符号:零点分段法确定. ⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）; ⑷利用函数图象来分析.
还有没有其他方法?
2.怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2或x ≤ 3

-(x-1)+(x+2) (3)当x<-2时，原不等式同解于 x<-2 x≤-3 -(x-1)-(x+2) ≥5 综合上述知不等式的解集为 x x ≥ 2或x ≤ 3
-2 ≤ x ≤ 1
x ≥5
2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5 方法三：通过构造函数，利用函数的图象(体现了 函数与方程的思想)． 解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0 令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则 (x-1)+(x+2)-5 (x>1) f(x)= -(x-1)+(x+2)-5 (-2≤x≤1) y -(x-1)-(x+2)-5 (x<-2) 2x-4 (x>1) f(x)= -2 (-2≤x≤1) -2x-6 (x<-2) 1 -2 由图象知不等式的解集为
1答案 2几何意义 、分类讨论 、函数图象