高中数学必修3北师大版 算法框图的基本结构及其设 第三课时 循环结构

2.3 循环结构一、教学目标根据本节教学内容以及学生的特点，结合学生现有知识水平，确定本节课教学目标如下：1、知识与技能：初步认识循环结构的简单程序，理解循环结构的基本思想，能运用循环结构设计程序框图解决简单的问题，。

2、过程与方法：通过模仿、操作、探索，学习设计简单的循环结构程序框图解决问题，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。

3、情感态度与价值观：使学生积极参与，发挥他们的主动性，激发他们的求知欲。

二、重点难点教学重点：理解循环结构，能识别和画出简单的循环结构框图。

教学难点：循环结构中循环条件和循环体的确定。

三、教学方法以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。

遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，运用多媒体辅助教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。

四、教学过程（一）情境创设引例：德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

你能否写出求的值的一个算法，并用框图表示你的算法。

此例由学生动手完成，师生共同点评，鼓励学生一题多解。

【设计意图】通过高斯求和的故事，复习顺序结构，提出递推求和的方法，导入新课。

此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。

（二）新课探究1．循序渐进，理解知识。

（1）引进“计数变量” 、“累加变量”。

借助“计数变量”和 “累加变量”使学生经历把“递推求和”转化为“循环求和”的过程，同时经历初始化变量，确定循环体，设置循环终止条件3个构造循环结构的关键步骤。

①将“递推求和”转化为“循环求和”的缘由及转化的方法和途径：引例“求123100++++的值”这个问题的自然求和过程可以表示为：21324312,3,4(2,3,,100)i i S S S S S S S S i i -=+=+=+=+= 用递推公式表示为：111(2,3,100)i i S i S S i-=⎧=⎨=+⎩直接利用这个递推公式构造算法在步骤1i i S S i -=+中使用了123100,,S S S S 共100个变量，计算机执行这样的算法时需要占用较大的内存。

§循环结构宿州市第二中学白彬一、教学内容的分析1．教材的地位和作用《循环结构》是北京师范大学出版社课程教材研究所编著的普通高中课程标准实验教科书数学（必修3）中§的内容，是新课标教材的新增内容。

算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算机科学的重要基础．算法的程序化思想已成为现代人应具备的一种数学素养。

培养算法思想对高中学生养成思考、分析问题的条理性和逻辑思维的严谨性有着积极、深远的意义。

本节课所学习的是算法三种基本逻辑结构中的循环结构，是算法中最重要、最核心的一种结构；循环结构是算法三大基本逻辑结构中最灵活，内涵最丰富的一种结构，该算法结构充分体现了算法的优势。

循环结构的学习，对于学生体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,有重要的意义循环结构广泛存在于许多著名算法设计中，譬如二分法，欧几里德算法，秦九韶算法等，且循环结构是学习循环语句的基础，循环结构中蕴含的“递推”思想为必修五数列的学习奠定了基础，是整个算法教学的重点与难点，同时也是高考关注的重点。

本节课是在学习了顺序结构，条件结构和赋值语句的基础上进行的，安排1课时。

2．教学的重点和难点由于循环变量赋初值、循环体、循环的终止条件是在顺序结构和条件结构未出现的概念，同时也是掌握循环结构的关键，由此确立本节课的重难点是：重点：循环结构的三要素的理解；难点：循环三要素的确定以及循环执行时变量的变化规律；3学情分析学生已经学习了算法的概念、顺序结构、条件结构及简单的赋值问题。

高一学生形象思维、感性认识较强，理性思维、抽象认识能力还很薄弱，因此教学中选择学生熟悉的，易懂的实例引入，通过对例子的分析，使学生逐步经历循环结构设计的全过程，学会有条理的思考问题，表达循环结构，并整理成程序框图。

二、学习目标分析1、知识与技能通过模仿、操作、探索的过程，引导学生能理解循环结构概念。

学会画简单的循环结构框图，把握循环结构的三要素：循环的初始值、循环体、循环的终止条件；能识别和理解循环结构的框图以及功能。

2．3循环结构预习课本P93～101，思索并完成以下问题(1)什么样的算法结构是循环结构？(2)循环体、循环变量、循环的终止条件的定义各是什么？(3)画循环结构的算法框图时，应确定哪三件事？[新知初探]1．循环结构的有关概念(1)定义：在算法中，从某处开头，依据肯定的条件反复执行某些步骤的结构称为循环结构，用算法框图表示如下．(2)循环体：反复执行的局部称为循环体．(3)循环变量：掌握着循环的开头和结束的变量称为循环变量．(4)循环的终止条件：推断是否连续执行循环体的推断条件，称为循环的终止条件．[点睛]循环结构的三要素：循环变量、循环体、循环的终止条件，三者缺一不行．“循环变量〞在构造循环结构中发挥了关键性的作用，其实质就是“函数思想〞．2．画循环结构的算法框图应留意的问题一般来说，在画出用循环结构描述的算法框图之前，需要确定三件事：(1)确定循环变量和初始条件；(2)确定算法中反复执行的局部，即循环体；(3)确定循环的终止条件．循环结构的算法框图的根本模式，如下图．[小试身手]1．推断正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)循环结构中，依据条件是否成立有不同的流向．( ) (2)循环体是指依据肯定条件，反复执行的某一处理步骤．( ) (3)循环结构中肯定有选择结构，选择结构中肯定有循环结构．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．解决以下问题的算法框图中，必需用到循环结构的是( ) A ．解一元二次方程x 2－1＝0B ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －y ＋1＝0C ．求lg 2＋lg 3＋lg 4＋lg 5的值D ．求满意1×2×3×…×n ＞2 0162的最小正整数n解析：选D A 、B 、C 中都可以只用挨次结构设计程序框图，D 中是累乘问题，需要确定正整数n 的最小值，因此必需用到循环结构设计算法框图．3．如图给出了三个算法框图，选择结构、挨次结构、循环结构依次是( )A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③①②解析：选B 依据三种根本结构的框图的形式易得B 正确．累加求和、累乘求积的算法框图[典例]用循环结构写出求1＋2＋3＋…＋100的值的算法，并画出算法框图．[解]算法如下：1．设i的值为1；2．设sum的值为0；3．计算sum＋i并用结果代替sum；4．计算i＋1并用结果代替i；5．假如i＞100，执行第6步，否那么转去执行第3步；6．输出sum的值．算法框图如下图．对于加(乘)数众多，不易采纳逐一相加(乘)的方法处理的问题，常通过循环结构解决，方法是引用两个变量i和S，其中i一般称为计数变量，用来计算和掌握运算次数，S称为累积变量，它表示所求得的和或积，它是不断地将前一个结果与新数相加或相乘得到的，这两个变量的表示形式一般为i＝i＋m(m为每次增加的数值)和S＝S＋A(A为所加的数)或S ＝S*A(A为所乘的数)．[活学活用]写出一个求满意1×3×5×7×…×n＞60 000的最小正整数n的算法，并画出相应的算法框图．解：算法如下：1．s＝1.2．n＝1.3．假如s≤60 000，那么n＝n＋2，s＝s×n，重复执行第3步；否那么，执行第4步．4．输出n.算法框图如下图．查找类(查找特定数)的算法框图[典例]给出以下10个数：5,9,80,43,95,76,20,17,65,36，要求把大于50的数找出来并输出．试画出该算法的框图．[解]算法步骤如下：1．i＝1.2．输入a.3．假如a＞50，那么输出a；否那么，执行第4步．4．i＝i＋1.5．假如i＞10，结束算法；否那么，返回第2步．算法框图如下图．利用循环结构设计查找问题的算法时，需把握以下几点：(1)引入循环变量i，并确定初始值；(2)确定问题满意的条件，即第一个推断框的内容；(3)确定在什么范围内解决问题，即i的取值限制，即其次个推断框的内容．[活学活用]一个两位数，十位数字比个位数字大，且个位数字为质数．设计一个找出全部符合条件的两位数的算法框图．解：两位数i 的十位数字a ＝⎣⎡⎦⎤i 10⎝⎛⎭⎫表示i10的整数局部，个位数字b ＝i －10a .下面我们来设计循环结构：循环变量为i ，i 的初始值为10，每次递增1，用i ＝i ＋1表示；推断条件是b ＜a 且b 是质数，假如满意条件那么输出i ；循环的终止条件是i ＞99.算法框图如下图．循环结构的读图问题[典例] 如下图，算法框图的输出结果是( )A.16 B.2524 C.34D.1112[解析] 第一次循环，s ＝12，n ＝4；其次次循环，s ＝34，n ＝6；第三次循环，s ＝1112，n＝8.此时跳出循环，输出s ＝1112.[答案] D(1)依据算法框图确定输出结果的方法是读懂算法框图，明确推断条件和循环次数，然后依次写出运行的结果．(2)在某些问题中，会给出算法框图的输出结果或算法框图的功能，要求对算法框图中缺失的地方进行补充．对于这类问题，最常见的是要求补充循环结构的推断条件，解决此类问题的关键是找出运算结果与推断条件的关系．[活学活用]如下图的算法框图，假设输出k的值为6，那么推断框内可填入的条件是()A．s＞12B．s＞35C．s＞710D．s＞45解析：选C第一次循环：s＝1×910＝910，k＝8；其次次循环：s＝910×89＝45，k＝7；第三次循环：s＝45×78＝710，k＝6，此时退出循环，输出ks＞710.[层级一学业水平达标]1．以下说法不正确的选项是()A．挨次结构的特征是完成一个步骤再进行另一个步骤B．选择结构的特征是依据对条件的推断打算下一步工作，应选择结构肯定包含挨次结构C．循环结构是在一些算法中从某处开头依据肯定的条件，反复执行某些处理步骤，故循环结构肯定包含挨次结构和选择结构D．循环结构不肯定包含选择结构解析：选D依据算法框图的三种根本结构的特征易得D不正确．2．执行两次如下图的算法框图，假设第一次输入的a的值为－1.2，其次次输入的a的值为1.2，那么第一次、其次次输出的a的值分别为()解析：选C两次运行结果如下：→－1.2＋1→－0.2＋1→0.8；→1.2－1→0.2.3．如图，给出的是计算13＋23＋33＋…＋n3的值的一个算法框图，其中推断框内应填入的条件是()A．i≤n B．i≥nC．i<n D．i>n解析：选D按要求程序运行至S＝13＋23＋33＋…＋n3以后，紧接着i＝i＋1即i＝n ＋1，此时要输出S，即推断框内应填i>n.4．如下图，算法框图的输出结果是________．解析：由算法框图可知，变量的取值状况如下：第一次循环，x ＝1，y ＝1，z ＝2； 其次次循环，x ＝1，y ＝2，z ＝3； 第三次循环，x ＝2，y ＝3，z ＝5； 第四次循环，x ＝3，y ＝5，z ＝8； 第五次循环，x ＝5，y ＝8，z ＝13； 第六次循环，x ＝8，y ＝13，z ＝21； 第七次循环，x ＝13，y ＝21，z ＝34；第八次循环，x ＝21，y ＝34，z ＝55，不满意条件，跳出循环． 答案：55[层级二 应试力量达标]1．执行如下图的算法框图，假设输入n ＝8，那么输出S ＝( )A.49 B.67 C.89D.1011解析：选A S ＝S ＋1i 2－1的意义在于对1i 2－1求和．由于1i 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1i －1－1i ＋1，同时留意i ＝i ＋2，所以所求的S ＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫11－13＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫17－19＝49. 2．阅读如下图的算法框图，假设输入m ＝4，n ＝6，那么输出的a ，i 分别等于( )A ．12,2B ．12,3C ．24,2D ．24,3解析：选B 当i ＝3时，a ＝4×3＝12能被6整除．3．执行如下图的算法框图，假设输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，那么输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158解析：选D 逐次计算，依次可得：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4，结束循环，输出的M ＝158.4．如图是计算某班级500名同学期末考试(总分值为100分)及格率q 的算法框图，那么图中空白框内应填入( )A ．q ＝NM B ．q ＝MN C ．q ＝NM ＋ND ．q ＝MM ＋N解析：选D 算法执行的过程：假如输入的成果不小于60分即及格，就把变量M 的值增加1，即变量M 为统计成果及格的人数；否那么，由变量N 统计不及格的人数，但总人数由变量i 进行统计，不超过500就连续输入成果，直到输入完500个成果终止循环，输出变量q .由q 代表的含义可得q ＝及格人数总人数＝MM ＋N.5.如下图，箭头a 指向①时，输出的结果是________；指向②时，输出的结果是________．解析：箭头a 指向①时，每次循环S 的初值都是0，i 由初值1依次增加1，从而输出结果是S ＝5；箭头指向②时，是求1＋2＋3＋4＋5的算法框图，所以输出结果是S ＝15.答案：5 156．某展览馆每天9：00开馆，20：00停止入馆．在如下图的框图中，S 表示该展览馆官方网站在每个整点报道的入馆总人数，a 表示整点报道前1个小时内入馆人数，那么空白的执行框内应填入________．解析：由于S 表示该展览馆官方网站在每个整点报道的入馆总人数，所以明显是累加求和，故空白的执行框内应填入S ＝S ＋a .答案：S ＝S ＋a7．某高中男子体育小组的50 m赛跑成果(单位：s)为6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5,7.6,6.3,6.4,6.4,6.5,6.7,7.1,6.9,6.4,7.1,7.0.设计一个算法，从这些成果中搜寻出小于6.8 s 的成果，并画出算法框图．解：该体育小组共20人，要解决问题必需对运发动进行编号，设第i 个运发动的编号为N i ，成果为G i .算法如下： (1)i ＝1； (2)输入N i ，G i ；(3)假如G i ＜6.8，那么输出N i ，G i ，并执行第4步，否那么，也执行第4步； (4)i ＝i ＋1；(5)假如i ≤20，那么返回第(2)步，否那么结束．算法框图如下图．8．设计一个求12＋12＋12＋12＋12的值的算法并画出算法框图．解：算法步骤如下：(1)A＝1 2；(2)i＝1；(3)A＝12＋A；(4)i＝i＋1；(5)假如i不大于或等于5，转去执行第(3)步，否那么，输出A，算法结束．算法框图如下图．。

要点归纳：算法的基本结构及设计
1、流程图——为了使算法的结构更加清晰，可借助图来帮助描述算法。

描述算法的图称为算法流程图或算法框图，简称流程图或框图。

一般地，我们把“开始”、“结束”框（起止框）画成圆角矩形：
把“输入”、“输出”框画成平行四边形：
把“计算”框（数据处理框）画成矩形：
把“判断”框画成菱形：
2、顺序结构——按照步骤依次执行的一个算法称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构。

3、选择结构——在执行下一个步骤之前需要先进行判断，判断的结果决定后面的步骤，这样的结构称为选择结构。

4、变量——在研究问题的过程中，可以取不同数值的量称为变量。

5、赋值——将某一数值赋给变量的过程称为赋值。

在计算机程序设计中，赋值是通过赋值语句实现的，所赋的值可以是数字，也可以是字符串或表达式。

不同的程序设计语言中，赋值语句的写法是不一样的，如将数值1赋给变量x，在VB中是用“x=1”实现的，而在C语言中是用“int x=1”实现的。

再如，“x=x+1”这个赋值语句执行后，会将此前计算的x的值再加1后的和赋给x（即使得x的值增加了1）。

6、循环结构——在一个算法中，有时有一些步骤需要重复执行，我们把这样的算法结构称为循环结构。

其中反复执行的部分称为循环体，控制循环开始和结束的变量称为循环变量。

一个循环结构中必须包括循环体、循环开始的条件和终止的条件（由循环变量控制）。

一般地，循环结构可分为如下两种：。