2017-2018学年高中数学北师大版必修四教学案：第三章 §3 第1课时 倍角公式及其应用 Word版含答案

第1课时 倍角公式及其应用

[核心必知]

二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)

记法 公式 推导方法

S2α sin 2α＝2sin_αcos_α Sα＋β――→令α＝βS2α

C2α cos 2α＝cos2α－sin2α Cα＋β――→令α＝βC2α

cos 2α＝1－2sin2α

cos 2α＝2cos2α－1 利用sin2α＋cos2α＝1

消去sin2α或cos2α

T2α tan 2α＝2tan α1－tan2α Tα＋β――→令α＋βT2α

[问题思考]

1．倍角公式成立的条件是什么？

提示：在公式S2α，C2α中，角α为任意角，在T2α中，只有当α≠kπ＋π2(k∈Z)及α≠kπ2＋π4(k∈Z)时，才成立．

2．在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？

提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α才成立．

讲一讲

1．求下列各式的值：

(1)sin 75°cos 75°；(2)12－sin2π8；(3)2tan 150°1－tan2150°；

(4)1sin 10°－3cos 10°.

[尝试解答] (1)原式＝12(2sin 75°cos 75°)

＝12sin 150°＝12×12＝14.

(2)原式＝12(1－2sin2π8)＝12cos π4＝12×22＝24.

(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3.

(4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°

＝2（12cos 10°－32sin 10°）sin 10°cos 10°

＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°

＝4sin 20°sin 20°＝4.

二倍角公式的“三用”：

(1)公式正用

从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．

(2)公式逆用 要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin

2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos2α－sin2α＝cos 2α，2tan α1－tan2α＝tan 2α.

(3)公式的变形用

主要形式有1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α(升幂公式)，cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2(降幂公式)．

练一练

1．求值：

(1)sin π64cos π64cos π32cos π16cos π8＝________；

(2)2sin 50°＋cos 10°（1＋3tan 10°）1＋cos 10°＝________．

解析：(1)原式＝12sin π32cos π32cos π16cos π8

＝14sin π16cos π16cos π8＝18sin π8cos

π8

＝116sin π4＝232.

(2)原式＝2sin 50°＋cos 10°（1＋3sin 10°cos 10°）2cos25°

＝2sin 50°＋cos 10°＋3sin 10°2cos 5°

＝2sin 50°＋2（12cos 10°＋32sin 10°）2cos 5°

＝2sin 50°＋2sin 40°2cos 5°＝2sin 50°＋2cos 50°2cos 5°

＝22（22sin 50°＋22cos 50°）2cos 5°

＝22sin 95°2cos 5°＝2.

答案：(1)232 (2)2

讲一讲

2．已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin（α＋π4）cos（2α＋4π）的值．

[尝试解答] ∵α为第一象限角，且cos α＝513，

∴sin α＝1213.

原式＝22（sin α＋cos α）cos 2α＝22·sin α＋cos αcos2α－sin2α

＝22·1cos α－sin α＝22×1513－1213＝－13214.

当待求值的函数式较复杂时，一般需要利用诱导公式，倍角公式以及和差公式进行化简，与已知条件取得联系，从而达到化简求值的目的．

练一练

2．已知3π4

(1)求tan α的值；

(2)求5sin2α2＋8sin α2cos α2＋11cos2α2－82sin（α－π4）的值．

解： (1)∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－13或tan α＝－3.

∵3π4

∴－1

∴tan α＝－13.

(2)∵tan α＝－13， ∴5sin2α2＋8sin α2cos α2＋11cos2α2－82sin（α－π4）

＝5（sin2α2＋cos2α2）＋4sin α＋61＋cos α2－8sin α－cos α

＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.

讲一讲

3．(湖北高考)设函数f(x)＝sin2ωx＋23sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若y＝f(x)的图像经过点(π4，0)，求函数f(x)的值域．

[尝试解答] (1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋3sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－π6)＋λ.

由直线x＝π是y＝f(x)图像的一条对称轴，

可得sin(2ωπ－π6)＝±1.

所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，

即ω＝k2＋13(k∈Z)．

又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.

所以f(x)的最小正周期是6π5.

(2)由y＝f(x)的图像过点(π4，0)得f(π4)＝0，

即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sinπ4＝－2，

即λ＝－2，

故f(x)＝2sin(53x－π6)－2，

函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．

解决此类问题的步骤：

(1)运用倍角公式进行恒等变形，通常是逆用二倍角正弦和余弦，转化为asin α＋bcos α＋k的形式；

(2)运用和(差)正(余)弦公式进行恒等变形时，通常是逆用两角和与差的正余弦公式，转化为y＝a2＋b2sin(ωα＋φ)＋k或y＝a2＋b2cos(ωα＋φ)＋k的形式．(其中φ可由a，b的值唯一确定)

(3)利用f(x)＝sin x或f(x)＝cos x的性质进行研究，求得结果．

练一练

3．(山东高考)设函数f(x)＝32－3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.

(1)求ω的值；

(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．

解：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思想和运算能力．

(1)f(x)＝32－3sin2ωx－sin ωxcos ωx

＝32－3·1－cos 2ωx2－12sin 2ωx

＝32cos 2ωx－12sin 2ωx

＝－sin2ωx－π3.

因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，

又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.

(2)由(1)知f(x)＝－sin2x－π3.

当π≤x≤3π2时，5π3≤2x－π3≤8π3.

所以－32≤sin2x－π3≤1.

因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.

已知cos(π4＋x)＝35，17π12

[解] 法一：∵sin 2x＋2sin2x1－tan x

＝2sin xcos x＋2sin2x1－sin

xcos x

＝2sin xcos x（cos x＋sin x）cos x－sin x，

由cos x＋sin x＝2sin (π4＋x)，

cos x－sin x＝2cos(π4＋x)，

∴原式＝sin 2xtan(π4＋x)．

又∵17π12

∴5π3

∴sin(π4＋x)<0，

∴sin(π4＋x)＝－45，

∴tan(π4＋x)＝－43.

而sin 2x＝－cos(π2＋2x)＝－cos 2(π4＋x)，

∴原式＝－43sin 2x＝43cos(2x＋π2)

＝43cos2(x＋π4)

＝432cos2x＋π4－1＝－2875.

法二：∵sin 2x＋2sin2x1－tan x＝sin 2x＋2sin xcos xsin

xcos x1－tan x

＝sin 2x1＋tan x1－tan x

＝sin 2xtan(π4＋x)．(*) 又∵17π12

∴5π3

∵cos(π4＋x)＝35，

∴sin(π4＋x)＝－ 1－cos2（π4＋x）＝－45，

∴tan(π4＋x)＝－43，

又sin 2x＝－cos(π2＋2x)

＝－cos2(π4＋x)

＝－2cos2π4＋x－1

＝1－2×925＝725，

将上述结果代入(*)式有，原式＝725×(－43)＝－2875.

法三：原式＝2sin xcos x＋2sin2x1－sin xcos x

＝2sin xcos x（cos x＋sin x）cos x－sin x

＝sin 2x（cos x＋sin x）cos x－sin

x，①

由cos(π4＋x)＝35，得22(cos x－sin x)＝35，

即cos x－sin x＝325.②

平方得1－sin 2x＝1825，

∴sin 2x＝725③

∴(cos x＋sin x)2＝1＋sin 2x＝3225.

又∵17π12

∴cos x＋sin x<0.

则cos x＋sin x＝－425.④